人教版数学八年级上册 14.3.2.2 运用完全平方公式因式分解课件 (共19张PPT)

(共19张PPT)
14.3.2.2 运用完全平方公式因式分解
1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方
公式进行因式分解．
2．综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进
行因式分解．
学 习 目 标
1. 因式分解是一个怎样的过程？
把一个多项式化成几个整式的积的形式,与整式乘法互逆.
2. 因式分解的基本方法：
（1）提公因式法：比如 8m2n+2mn= 2mn(4m+1)
（2）公式法：比如 4x2-9=（2x）2-32
=（2x+3）（2x-3）
复 习 导 入
探究 运用完全平方公式分解因式
问题1：多项式a2+2ab+b2与a2－2ab+b2有什么特点？
两个数的平方和，加上或减去它们的积的2倍．
是两个数的和或差的平方．
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
完全平方式
特点：
1.必须是三项式；
2.有两个同号的平方项；
3.有一个乘积项等于平方项底数的±2倍.
首平方，尾平方，首尾两倍在中央！
合 作 探 究
判断下列多项式是不是完全平方式
(1) a2－4a+4; (2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; (4)a2+ab+b2
(5) (a+b)2+12(a+b)+36
×
√
√
×
×
典 例 精 析
例1
问题2：你能把多项式a2+2ab+b2与a2－2ab+b2分解因式吗？
整式乘法的
完全平方公式
因式分解的
完全平方公式
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a－b)2=a2－2ab+b2.
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2－2ab+b2=(a－b)2
分解因式：
(1)16x2 ＋ 24x ＋ 9;
(2) － x2 ＋ 4xy － 4y2.
例2
典 例 精 析
在(1)中，16x2 = (4x) 2 , 9 = 32 ，24x = 2
4x 3，所以 16x2 ＋ 24x ＋ 9是一个完全
平方式，即
16x2 ＋ 24x ＋ 9 = (4x) 2 ＋ 2 4x 3 ＋ 32.
a2 ＋ 2 a b ＋ b2
分析：
(1)16x2 ＋ 24x ＋ 9
= (4x) 2 ＋ 2 4x 3 ＋ 32
=(4 x ＋ 3) 2;
(2) － x2 ＋ 4xy － 4y2
= － (x2 － 4xy ＋ 4y2 )
= －[x2 － 2 x 2y ＋ (2 y) 2]
= － (x － 2y) 2.
解：
解题的关键是判断该多项式是否符合完全平方公式的结构特点，若符合公式特点再确定公式中的a，b在本题中所代表的是什么式子，分解因式的结果要分解到每一个因式都不能再分解为止．
新 知 小 结
分解因式：
(1)3 ax2＋ 6axy ＋ 3ay2 ；
(2) (a ＋ b) 2 －12(a ＋ b) ＋ 36.
例3
典 例 精 析
(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进
一步分解； (2)中，将 a ＋ b看作一个整体，
设a ＋ b =m，则原式化为完全平方式m 2
－ 12m ＋ 36.
分析：
(1)3 ax2＋ 6axy ＋ 3ay2
=3a (x2 ＋ 2xy ＋ y2)
= 3a(x ＋ y) 2;
(2) (a ＋ b) 2 －12(a ＋ b) ＋ 36
= (a ＋ b) 2 －2 (a ＋ b) 6+6 2
= (a ＋ b － 6) 2 .
解：
1．下列二次三项式是完全平方式的是( )
A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16
C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16
2．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48 C．32 D．16
B
A
随 堂 练 习
3. 下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 ( )
A．－a2－4ab＋4b2
B．a2＋6ab－9b2
C．a2＋2ab＋4b2
D．4(a－b)2＋4(a－b)＋1
D
4．下列分解因式正确的是( )
A．x2＋4x＋4＝(x＋4)2
B．4x2－2x＋1＝(2x－1)2
C．9－6(m－n)＋(m－n)2＝(3－m－n)2
D．－a2－b2＋2ab＝－(a－b)2
D
当堂演练
5.分解因式：
(1)－2x3y＋4x2y－2xy；
解：原式＝－2xy(x2－2x＋1)＝－2xy(x－1)2；
(2)(a－b)2－6(b－a)＋9；
解：原式＝(a－b)2＋6(a－b)＋9＝(a－b＋3)2；
(3)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
解：原式＝(x2－2x＋1)2＝[(x－1)2]2＝(x－1)4.
已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2－8a－10b＋41＝0，求△ABC中最大边c的取值范围．
解：由已知得(a2－8a＋16)＋(b2－10b＋25)＝0，
∴(a－4)2＋(b－5)2＝0，
∴a＝4，b＝5，
∴1＜c＜9，
又∵c是最大边，
∴5≤c＜9
拓 展 提 升
（1）完全平方公式：
从项数看：
都是有3项
从每一项看：
都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
（2）因式分解的完全平方法需要满足的条件：
（3）因式分解步骤：
1. 首先提取公因式（有的话）；
2. 然后再去用公式（可以的话）；
3. 最后因式分解要彻底
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2－2ab+b2=(a－b)2
课 堂 总 结
谢谢大家！