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数学好玩3尝试与猜测 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：结合解决“鸡兔同笼”的问题，体验借助列表进行尝试与猜测的解题策略。通过讨论，了解尝试与猜测、列表策略适用于哪些问题。知道与“鸡兔同笼”有关的数学史，进行数学文化的熏陶和感染。
2.学习内容分析：本节内容借助“鸡兔同笼”这个载体，意在让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会解决问题的一般策略——列表。教科书呈现了古代趣题“鸡兔同笼”的情境，本课教材呈现了三种解决问题的方法， 即逐一举例法、间隔尝试法和取中列表法，以此来寻找解决问题的结果。
3.学科核心素养分析：经历尝试与猜测的过程，体会数学中的建模思想，并能够将数学模型思想应用到解决现实问题中去，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点
1.重点：从不同的角度分析，用不同的列表法解题。
2.难点：在应用尝试与猜测、列表解题策略的过程中，体会枚举、优化、化繁为简的数学思想。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 师：我国古代数学名著《孙子算经》中有一种有趣的数学名题。课件出示：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？师：你知道题目的意思吗？引导学生得出：现在笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有35个头，从下面数有94只脚。鸡和兔各有几只？师：当笼子里鸡和兔的头数、腿数都比较多时，我们不妨从简单的情形入手开始研究。 从《孙子算经》中的鸡兔同笼问题入手，让学生产生认知冲突，师引导学生不妨从简单的题目入手，帮助学生积累解决问题的策略。 教师观察学生的参与程度，给予及时的鼓励与表扬。
探究新知 任务一：解决简单的鸡兔同笼问题1.获取信息课件出示：鸡兔同笼，有5个头，12条腿，鸡、兔各有几只？师：读一读，说说你获取了哪些数学信息？学生独自读一读，然后自由说说。师：这道题里还有隐藏的数学信息吗？学生：鸡有2条腿，兔子有4条腿。师：你能找到这道题的数量关系吗？学生1：鸡的腿数+兔子的腿数=总腿数学生2：鸡的只数+兔子的只数=总头数2.说说自己的想法师：读完这道题，你有什么想法？与同伴说一说。学生与同伴说说自己的想法。师：谁来说说？学生1：我早听说过“鸡兔同笼”问题，就是不会做。学生2：有9个头会有哪些可能呢？列表试一试。3.解决问题师：这个方法挺好，下面我们就用列表法解决这个问题。课件出示：师：这个表怎么填？学生：一共有9个头，假设有1只鸡，应该有8只兔，那鸡和兔的腿数是34条，不对；……师生一起填表得出：师：这种方法被称为逐一列表法。大家还有不同的想法吗？学生：也可以先假设有1只兔，8只鸡。师：假设有1只兔，8只鸡该怎样填表呢？请你自己列表试一试。学生在作业纸上完成，然后集体展示。4.说发现师：从上面的列表中，你还发现了什么？与同伴交流。学生独自观察，然后与同伴交流。师：谁来说说自己的发现？学生1：我发现鸡增加1只，兔减少1只，腿就会减少2条。学生2：只要按这个步骤做下去，不管头数还是腿数是多少都能解决…… 通过说一说，培养学生的审题意识，同时让学生初步明确“鸡兔同笼”问题的框架。采用逐一列表法解决“鸡兔同笼”的问题，让学生经历填表的过程，体会数学中的建模思想，激发学生学习数学的兴趣。通过谈发现，培养学生观察、分析等思维能力，同时帮助学生积累解决此类问题的策略，为后面解决稍复杂的问题做准备。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
任务二：解决稍复杂的鸡兔同笼问题师：你能用发现的规律来解决《孙子算经》中的鸡兔同笼问题吗？课件出示：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿。鸡和兔各有几只？师：请你用列表法算一算。在解决问题的过程中，思考除了逐一列表法，还可以用什么好办法解决这一问题？分组合作完成。学生分组完成，师巡视指导。师：哪个小组想和大家交流一下？学生：我们组还从有1只鸡开始，一个一个地减。师：你能说说逐一列表法给你的感受吗？学生：用列表法很简单，不遗漏，但是数字变大了，列表法就会比较麻烦，会浪费很多时间。 师：看来大数字不适合用一列表法，有小组想出其他好办法吗？学生：我们也采用的是列表法，但是根据所求的腿数适时地进行调整。学生展示，并介绍填法：师：这种方法称之为跳跃式列表法。在列表过程中，如果掌握了变化的规律，可以适当的跳跃，这样能很快地找出想要的结果。还有其他的方法吗？学生：我们假设鸡和兔的数量差不多，再根据结果进行调整。师：这种方法称之为取中列表法。利用这种方法可以使我们调整的幅度变小，很快捷。师：通过这道题我们学会了逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法，请你选择一种你喜欢的方法完成下题。 学生在尝试列表的过程中，引导学生发现表格中隐藏的规律，并运用规律进行调整，发展优化意识。本环节利用问题串和层层递进的活动，引导学生用枚举的思想方法来解决问题，体会优化的策略。 老师通过提问了解学生是否掌握本环节内容，并给予及时的鼓励与指导。
任务三：分析应用，建构模型课件出示：乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？请你用列表的方法解决问题。学生独立完成，然后展示反馈。师：想一想，还有哪些问题可以用列表的方法解决呢？学生结合课前积累自由说说。根据学生的回答，师小结：看来今天研究的“鸡兔同笼”不仅仅可以解决“鸡兔”同笼的问题，换成乌龟和仙鹤，换成2分球和3分球仍然是鸡兔同笼问题，“鸡兔”同笼其实只是解决这类问题的一个模型！ 通过解决问题，提高学生解决问题的能力，同时促进学生对“鸡兔同笼”问题模型的建构，进一步明确“鸡兔同笼”问题的实质，同时也赋予了“鸡兔同笼”问题的现实意义。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
迁移运用 任务四：课堂练习基础题：1.鸡兔同笼，有头10个，腿32条，鸡、兔各有几只？接着往下填。2.鸡兔同笼，共有20个头，66条腿，鸡、兔各有多少只？ 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.龟鹤共有100个头，350只脚。龟有多少只，鹤有多少只？
拓展题4.投篮．篮球比赛规则：3分外命中得3分，3分线内命中得2分，罚中一次命中得1分，姚明在一场比赛中投篮13次，得了27分，请问姚明投中了3分球吗？为什么？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.填空。（1）鸡兔同笼，有20个头，58条腿，鸡有（ ）只，兔有（ ）只。（2）鸡兔同笼，一共有10个头，28条腿。鸡有（ ）只，兔 有（ ）只。 2.全班一共有36人，共租了7条船，每条船都坐满了，大船坐6人，小船坐4人。大、小船各租了几条？选做题：1.鸡兔同笼，共32个头，102只脚，有多少只鸡，多少只兔？2.贺兰二小开展“阳光体育工程”活动，学校操场的12张乒乓球台上共计有34名学生在进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打的球台各有多少张？【综合实践类作业】 查阅关于“鸡兔同笼”的经典解法，并与同伴分享。
板书设计 尝试与猜测 ——鸡兔同笼
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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尝试与猜测
北师大版五年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1.结合解决“鸡兔同笼”的问题，体验借助列表进行尝试与猜测的解题策略。
2.通过讨论，了解尝试与猜测、列表策略适用于哪些问题。
3.知道与“鸡兔同笼”有关的数学史，进行数学文化的熏陶和感染。
新知导入
《孙子算经》中的原题是“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
你知道题目的意思吗？
新知导入
现在笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有35个头，从下面数有94只脚。鸡和兔各有几只？
《孙子算经》中的原题是“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
鸡和兔的头数、腿数都比较多
从简单的情形入手
新知讲解
鸡兔同笼，有9个头，26条腿。鸡、兔各有几只？
鸡有2条腿，兔子有4条腿。
鸡的腿数+兔子的腿数=总腿数
鸡的只数+兔子的只数=总头数
新知讲解
鸡兔同笼，有9个头，26条腿。鸡、兔各有几只？
你有什么想法？与同伴说一说。
我早听说过“鸡兔同笼”问题，就是不会做。
新知讲解
鸡兔同笼，有9个头，26条腿。鸡、兔各有几只？
有9个头会有哪些可能呢？列表试一试。
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
1
8
34
×
2
7
32
×
3
6
30
×
4
5
28
×
5
4
26
√
逐一列表法
新知讲解
鸡兔同笼，有9个头，26条腿。鸡、兔各有几只？
学习任务：
假设有1只兔，8只鸡该怎样填表呢？请你自己列表试一试。
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
8
1
20
×
7
2
22
×
6
3
24
×
5
4
26
√
新知讲解
从下面的列表中，你还发现了什么？与同伴交流。
鸡增加1只，兔减少1只，腿就会减少2条。
只要按这个步骤做下去，不管头数还是腿数是多少都能解决……
新知讲解
鸡兔同笼，共有35个头，94条腿。鸡和兔各有几只？
学习任务：
请你用列表法算一算。在解决问题的过程中，思考除了逐一列表法，还可以用什么好办法解决这一问题？
新知讲解
鸡兔同笼，共有35个头，94条腿。鸡和兔各有几只？
从有1只鸡开始，一个一个地减。
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
1
34
138
×
2
33
136
×
3
32
134
×
4
31
132
×
…
…
…
23
12
94
√
新知讲解
说说逐一列表法给你的感受。
用列表法很简单，不遗漏。
数字变大了，比较麻烦，浪费时间。
新知讲解
鸡兔同笼，共有35个头，94条腿。鸡和兔各有几只？
根据所求的腿数适时地进行调整。
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
1
34
138
×
10
25
120
×
20
15
100
×
25
10
90
×
23
12
94
√
……这么多腿，一定是兔子太多了。
……腿还多，兔子数减少。
……差不多了，再调一点儿。
……腿数比94少了，兔子数应该在
10和15之间。
24
11
92
×
新知讲解
跳跃式列表法
在列表过程中，如果掌握了变化的规律，可以适当的跳跃，这样能很快的找出想要的结果。
新知讲解
鸡兔同笼，共有35个头，94条腿。鸡和兔各有几只？
假设鸡和兔的数量差不多，再根据结果进行调整。
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
17
18
106
×
20
15
100
×
22
13
96
×
23
12
94
√
取中列表法
调整的幅度变小，很快捷
新知讲解
乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？请你用列表的方法解决问题。
学习任务：
我们学会了逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法，请你选择一种你喜欢的方法完成下题。
新知讲解
乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？请你用列表的方法解决问题。
5.1元=51角
1角/枚
5角/枚
总值/元
14
13
79
×
20
7
55
×
21
6
51
√
新知讲解
想一想，还有哪些问题可以用列表的方法解决？
鸡兔同笼
乌龟和仙鹤
2分球和3分球
“鸡兔”同笼只是解决这类问题一个模型
课堂练习
基础题：
1.鸡兔同笼，有头10个，腿32条，鸡、兔各有几只？接着往下填。
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
5
5
30
×
4
6
32
√
答：兔有6只，鸡有4只。
课堂练习
基础题：
2.鸡兔同笼，共有20个头，66条腿，鸡、兔各有多少只？
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
10
10
60
×
×
9
11
62
×
8
12
64
√
7
13
66
答：兔有13只，鸡有7只。
课堂练习
提高题：
3.龟鹤共有100个头，350只脚。龟有多少只，鹤有多少只？
龟有几只
鹤有几只
脚有多少只
50
50
300
×
×
60
40
320
×
70
30
340
√
75
25
350
课堂练习
拓展题：
4.投篮．篮球比赛规则：3分外命中得3分，3分线内命中得2分，罚中一次命中得1分，姚明在一场比赛中投篮13次，得了27分，请问姚明投中了3分球吗？为什么？
假设全是投的2分球，则一共要得分：2×13=26（分）
而已知得分27分，比实际假设的总得分多了：27－26=1（分）
答：至少有一次投篮得了3分，这样得分才能得27分。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我会用列表法解决“鸡兔同笼”的问题了。
我还知道有逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法。
板书设计
尝试与猜测
——鸡兔同笼
猜测 → 验证 → 调整
列表法
逐一 跳跃 取中
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
1.填空。
（1） 鸡兔同笼，有20个头，58条腿，鸡有（ ）只，兔有（ ）只。
（2）鸡兔同笼，一共有10个头，28条腿。鸡有（ ）只，兔 有（ ）只。
11
9
6
4
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.全班一共有36人，共租了7条船，每条船都坐满了，大船坐6人，小船坐4人。大、小船各租了几条？
大船有几条
大船有几条
能坐多少人
1
6
30
×
×
2
5
32
×
3
4
34
√
4
3
36
答：大船有4条，小船有3条。
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1.鸡兔同笼，共32个头，102只脚，有多少只鸡，多少只兔？
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
16
16
96
×
×
15
17
98
×
14
18
100
√
13
19
102
答：兔有19只，鸡有13只。
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
2.贺兰二小开展“阳光体育工程”活动，学校操场的12张乒乓球台上共计有34名学生在进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打的球台各有多少张？
单打
双打
学生人数
6
6
36
×
√
7
5
34
答：正在进行单打和双打的球台各有7张、5张。
作业布置
查阅关于“鸡兔同笼”的经典解法，并与同伴分享。
【综合实践类作业】
谢谢
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《数学好玩》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《数学好玩》单元是数学好玩领域第三学段“综合与实践”中的重要内容。《数学课程标准》中指出：“学生将在实际情境和真实问题中，运用数学和其他学科的知识与方法，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，感悟数学知识之间、数学与科学技术和社会生活之间的联系，积累活动经验，感悟思想方法，形成和发展模型意识、创新意识，提高解决实际问题的能力，形成和发展核心素养。学生将面对现实的背景，从数学的角度发现并提出问题，综合运用数学和其他学科的知识与方法。分析并解决问题。解决现实问题为重点，综合应用数学和其他学科知识解决问题，体会数学知识的价值，以及数学与其他学科的关联。”在“内容要求”中指出：“在活动中综合运用数学及其他学科知识解决问题，提高应用能力。”在“学业要求”中指出：“能够积极参与活动，在活动中能独立思考问题，主动与他人交流，经历实地测量、收集素材、调查研究、解决问题的过程，提升思考问题的能力，积累根据解决问题的需要合理选择策略和方法的经验，形成模型意识与初步的应用意识和创新意识。”
（二）单元教材内容分析
本单元是“综合与实践”中的重要内容，教材安排了旅游活动中的买票、坐车等方案问题，图形的规律问题以及鸡兔同笼问题三个活动，通过解决问题，将进一步整合数与代数、图形与几何、统计与概率三个领域的内容，让学生运用学到的知识解决生活中的实际问题，感受学习数学的价值。
（三）学生认知情况
五年级的学生心理逐步趋向稳定时期，他们发现问题、分析问题和解决问题的能力有了明显的提高，技能的学习也正逐步从模仿向创新发展，但合作意识和合作技能相对较弱。在教学中，不仅要引导学生应用所学的计算和统计等数学知识解决问题，还要引导学生掌握必要的学习方法。
二、单元目标拟定
1.通过创设具体的情境，引导学生解决旅游活动中的买票、坐车等方案问题。
2.让学生在观察活动中，发现图形中隐含的规律，渗透数形结合的思想。
3.让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，尝试用列表的策略解决“鸡兔同笼”的问题。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.让学生自主探究，能够利用所学的知识解决设计秋游方案中的数学问题。
2.借助图形中的规律，引导学生发现图形中的规律，培养和发展归纳与概括的能力，养成善于观察、思考的好习惯。
3.利用列表法解决“鸡兔同笼”的问题。
（二）教学难点
渗透化繁为简、数形结合、数学模型的思想，掌握用列表法、画图法、假设法解决问题，体验解决问题策略的多样性，体会用假设法的逻辑性和一般性。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。综合与实践是小学数学学习的重要领域。学生将在实际情境和真实问题中，运用数学和其他学科的知识与方法，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，感悟数学知识之间、数学与其他学科知识之间、数学与科学技术和社会生活之间的联系，积累活动经验，感悟思想方法，形成和发展模型意识、创新意识，提高解决实际问题的能力，形成和发展核心素养。
组织本单元学习内容的思路如下：
本单元教学建议：
（一）加强教学过程与实际的联系
本单元的知识与生活密切相关，所以应引导学生联系实际生活情境，利用所学的知识分析、解决问题，感受学习数学的价值。
（二）感受综合应用问题的特征
本单元的内容具有较强的综合性，涉及到数与代数、图形与几何和统计与概率三大领域，在学习本单元的知识时，首先要找到它们的相通点，体验数学知识间的相互联系。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 □统计与概率 综合与实践
单元数量 数学好玩
单元主题 单元名称 主要内容 课时
综合实践 数学好玩 设计秋游方案 1
图形中的规律 1
尝试与猜测 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 □分类 □集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
数学好玩1《设计秋游方案》 目标：经历设计活动方案的过程，提高收集数据与处理数据的能力。在收集数据、设计方案、交流等活动中，学会合理地评价活动过程和设计方案等，发展自我反思能力。 任务一：明确活动任务→任务二：设计方案 →任务三：动手实验 → 任务四：交流反思 →任务五：自我评价 → 1.在交流中明确本次活动的具体任务。2.在实际开展活动之前，对活动具体事项进行商量和讨论。3.动手收集数据，进行活动方案的实际设计。4.在设计活动方案之后回顾活动过程，总结活动方法，反思开展设计活动的意义和收获。5.在活动结束后对活动过程中自己的表现进行合理而有效的评价。
数学好玩2《图形中的规律》 目标：体验发现摆三角形的规律的方法。能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会图形与数的联系。 任务一：探究摆10个三角形需要的小棒数 →任务二：观察上表，说说自己的发现 →任务三：根据需要的小棒数算算摆的三角形个数→任务四：观察每个点阵中点的个数，说说自己的发现 →任务五：从不同的角度观察，说说自己的发现 → 1.探索三角形个数与小棒根数之间的关系。2.能够分析表格中的有关数据，从中猜想三角形个数与小棒根数之间的关系。3.验证在“摆三角形”中所发现的两个规律的正确性；运用所发现的规律去解决相关问题。4.用计算的方法研究给出的四个点阵及画出的第五个点阵，归纳出这五个点阵所隐含的规律。5.知道通过点阵研究数的形式可以是多样的。
数学好玩3《尝试与猜测》 目标：结合解决“鸡兔同笼”的问题，体验借助列表进行尝试与猜测的解题策略。通过讨论，了解尝试与猜测、列表策略适用于哪些问题。 任务一：解决简单的鸡兔同笼问题 →任务二：解决稍复杂的鸡兔同笼问题 →任务三：分析应用，建构模型 → 1.学会用逐一列表法解决“鸡兔同笼”的问题，能够独立发现问题中蕴含的规律。2.学会用逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法解决稍复杂的“鸡兔同笼”问题。3.尝试用列表的方法解决生活中的一些问题，拓展思路。
活动一：在交流中明确本次活动的具体任务。
任务一：应用所学的计算和统计等数学知识设计秋游方案。
活动二：对活动具体事项进行商量和讨论。
活动三：收集数据，进行活动方案的实际设计。
问题一：设计秋游方案
活动四：总结活动方法，反思开展设计活动的意义和收获。
活动五：对活动过程中自己的表现进行评价。
活动一：探索三角形个数与小棒根数之间的关系。
活动二：猜想三角形个数与小棒根数之间的关系。
数学好玩
任务二：发现图形中隐含的规律，体会到图形与数的联系。
活动三：验证发现的两个规律的正确性，并运用所发现的规律去解决问题。
问题二：图形中的规律
活动四：归纳出五个点阵所隐含的规律。
活动五：体会点阵研究数的形式可以是多样的。
活动一：学会用逐一列表法解决“鸡兔同笼”的问题，并引导学生发现问题中蕴含的规律。
活动二：学会用逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法解决稍复杂的“鸡兔同笼”问题。
任务三：体会出解决问题的一般策略——列表。
问题三：尝试与猜测
活动三：鼓励学生用列表的方法解决生活中的一些问题，拓展学生的思路。
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