3.3《幂函数》
分层练习
考查题型一 幂函数的概念
1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】由于幂函数的一般表达式为：；
逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.
(多选题)2.下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．函数表示幂函数
C．若表示递增的幂函数，则
D．幂函数的图像都过点，
【答案】AC
【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；
对于B，函数不是幂函数，B错误；
对于C，是幂函数，则，解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意，
当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；
对于D，幂函数不过点，D错误.
故选：AC
3.若是幂函数，则＝ .
【答案】/0.25
【详解】由题意得，解得，
故，所以
故答案为：
4．已知幂函数在为增函数，则实数a的值为 .
【答案】4
【详解】因为为幂函数，
所以，解得或，
又在为增函数，
所以；
故答案为：4.
考查题型二 幂函数的图象及应用
1.右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（ ）
A．，，1，2 B．2，1，，
C．，，2， D．2，，，
【答案】B
【详解】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为；
对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为；
对应的图象为抛物线，对应的图象应为；
在第一象限内的图象是；
所以与曲线对应的n依次为2，1，，.
故选：B
2．若幂函数的图象经过第三象限，则a的值可以是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】当时，为偶函数，图象在第一和第二象限，
不经过第三象限，A不合题意；
当时，为偶函数，图象过原点分布在第一和第二象限，
图象不经过第三象限，B不合题意；
当时，，图象过原点分布在第一象限，不经过第三象限，C不合题意；
当时，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意，
故选：D
3．当时，幂函数的图象不可能经过第 象限.
【答案】四
【详解】因为的图象经过第一、三象限，的图象经过第一象限，的图象经过第一、二象限，
所以幂函数，的图象不可能经过第四象限，
故答案为：四
4.图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
【答案】D
【详解】由题图知：，，，
所以，，依次可以是，，3．
故选：D
考查题型三 利用幂函数的单调性比较大小
1．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，，，
又，在上单调递增，
所以．
综上，．
故选：A．
2．已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．
故选:D．
3.判断大小： .(填“”或“”)
【答案】
【详解】由在上递减，又，
所以.
故答案为：
4．已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是 ．
【答案】
【详解】设幂函数为，
因为幂函数的图象过点，可得，解得，
所以幂函数为，
此时函数的偶函数，且当时，函数是减函数，
则，所以.
故答案为：.
考查题型四 幂函数性质的综合应用
1．以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】A选项，在R上单调递减，且，
故是奇函数，满足要求，A正确；
B选项，定义域为R，且，故为偶函数，B错误；
C选项，定义域为R，且，
故为偶函数，C错误；
D选项，在上单调递增，D错误.
故选：A
2.幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（ ）
A． B．－1 C．1 D．－3
【答案】C
【详解】设幂函数，将代入，得：，
解得：，
故，它在上单调递减，故当时，取得最大值，
.
故选：C
3.已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得，
所以.
因为，所以为奇函数，且在上单调递增，
所以可化为，
可得，解得，所以的取值范围为.
故选:C.
4.请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的增函数．则 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，
又为上的增函数，
则为上单调递减，故 ，故可取，
故答案为：（答案不唯一）
5．若＜，则实数m的取值范围 ．
【答案】
【详解】因为幂函数的定义域是{x|}，且在(0,+∞)上单调递增，
则原不等式等价于，解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
6.已知幂函数在上是减函数，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由函数为幂函数得，
解得或，
又函数在上是减函数，则，即，
所以，；
（2）由（1）得，所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以解得，所以实数的取值范围是.
7．已知幂函数的图象经过点.
(1)求的解析式:并判断它的奇偶性（不证明）；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)，非奇非偶函数；(2)
【详解】（1）设幂函数，将代入可得，解得，
故，此函数为非奇非偶函数，
理由如下：因为定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；
（2）在上单调递增，
，故，
解得，
即的取值范围是.
1．已知幂函数过点，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则，则，，
由可得，解得，
因此，不等式的解集为.
故选：C.
2．函数在上是（ ）
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
【答案】A
【详解】因为，令，
因为关于原点对称，
所以，
所以是奇函数，又因为，所以在是增函数
故选：A.
3.已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由于在区间上是严格增函数，
所以，
解得，所以的取值范围是.
故答案为：
4．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ．
【答案】1
【详解】由题意知，，
设，则，
因为，
所以为奇函数，
所以在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以．
故答案为：1.
5.已知幂函数在上单调递减.
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）幂函数在上单调递减，
则且，解得，
故.
（2）的定义域，
在上单调递减，且，
在上单调递减，且.
显然且，
当且，即时，
由不等式得，即，与不符，
当与一正一负时，若不等式成立，
只能有且，解得，
当且，即时，
由不等式得，解得，
综上，不等式的解集为.3.3《幂函数》
分层练习
考查题型一 幂函数的概念
1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
(多选题)2.下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数
C．若表示递增的幂函数，则 D．幂函数的图像都过点，
3.若是幂函数，则＝ .
4．已知幂函数在为增函数，则实数a的值为 .
考查题型二 幂函数的图象及应用
1.右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（ ）
A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，，
2．若幂函数的图象经过第三象限，则a的值可以是（ ）
A． B．2 C． D．
3．当时，幂函数的图象不可能经过第 象限.
4.图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
考查题型三 利用幂函数的单调性比较大小
1．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3.判断大小： .(填“”或“”)
4．已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是 ．
考查题型四 幂函数性质的综合应用
1．以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（ ）
A． B．－1 C．1 D．－3
3.已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的增函数．则 ．
5．若＜，则实数m的取值范围是 ．
6.已知幂函数在上是减函数，.
(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.
7．已知幂函数的图象经过点.
(1)求的解析式:并判断它的奇偶性（不证明）；(2)若，求a的取值范围.
1．已知幂函数过点，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．函数在上是（ ）
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
3.已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ．
4．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ．
5.已知幂函数在上单调递减.
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集.
