3.3 幂函数 课件（共26张PPT）

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3.3 幂函数
第三章 函数的概念与性质
复习导入
前面我们学习了函数的概念，并利用函数概念和对函数图象的观察，研究了函数的单调性、最值和奇偶性.从这些性质出发，我们可以来研究更多新的函数类型.
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探索新知
活动1：请同学们根据下列情境，写出相应的式子，并分析是否满足函数关系.
(1)如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付的金额表示为？
(2)如果正方形的边长为,那么正方形的面积表式为？
(3)如果立方体的棱长为，那么立方体的体积表式为？
(4)如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形场地的边长表示为？
(5)如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度表示为？
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
探索新知
(1)；(2)；(3)；(4)； (5).
活动2：观察5个情境中的函数解析式，它们有什么共同特征？
通过观察，我们可以发现这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是它们都是形如的函数.
幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也具有各自的含义，这些会在后面学习.
探索新知
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
注：幂函数的表达式中，的系数必须为“”.
思考1：对于幂函数，我们只研究时的图象与性质.结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？
通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题.
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活动3：尝试在同一坐标系中画出函数和图象.(取点要具有代表性)
“”作图.
探索新知
活动4：观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内.
探索新知
活动4：观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内.
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减，在 上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递减
定点
探索新知
通过观察函数图象和表格，我们得到：
(1)函数和的图象都通过点；
(2)函数是奇函数，函数是偶函数；
(3)幂函数在上都有定义；
(4)当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增；
(5)当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减；
(6)在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(即“指大图高”).
例析
例.证明幂函数是增函数.
证明：函数的定义域是.
,且,有
∵,,
∴,即幂函数是增函数.
练习
题型一：幂函数的概念
例1.已知是幂函数，则________.
解：∵是幂函数
∴，
得：或
练习
方法技巧：
幂函数的注意事项
(1)幂函数的表达式中，的系数必须为“”.
(2)当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增；
(3)当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减.
例析
变1.已知幂函数在上单调递增，则等于（ ）.
解：∵为幂函数
∴，
又∵幂函数在上单调递增
∴.即
∴
练习
题型二：幂函数的图象及应用
例2.若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，问当为何值时，(1)
解：∵设,则
∴=2.即
同理可得，
画出和的函数图象，
则由图象可知：当或时，；
当时，；
当时，.
练习
方法技巧：
解决幂函数图象问题的原则：
(1)根据图象的高低判断幂指数的大小：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(“指大图低”)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(即“指大图高”).
(2)当时，幂函数的图象都经过和点.
练习
变2：若四个幂函数图象在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ）.
答案：B.在（1，+）上，指大图高.
练习
题型三：利用幂函数的单调性比较大小
例3.比较下列各组数中两个数的大小.
与； 与；
解：(1)∵幂函数在上是单调递增的，
又，∴>.
(2)∵幂函数在上是单调递减的，
又，∴.
练习
例3.比较下列各组数中两个数的大小.
与.
解：(3)∵幂函数在上是单调递增的，
又，∴>
又∵在上是单调递增的，
且,∴
∴
练习
方法技巧：
比较幂的大小的3种基本方法：
直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性来比较大小
中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的
练习
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
与； 与.
解：(1)∵幂函数在上是单调递减的，
又，∴
(2)∵,幂函数在上是单调递增的，
且，∴,即
练习
题型四：幂函数性质的综合应用
例4.已知幂函数
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在定义域上的单调性；
解：(1)∵∴
∴,,∴不为偶数且为正数.
∴该函数的定义域为,
由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增.
例4.已知幂函数
(2)若该函数图象经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
练习
解：(2)由(1)得：
∵该函数图象经过点,∴，
∴，即=，∴，即.
由，得，解之得
故的值为，满足条件的实数的取值范围为
练习
方法技巧：
解决幂函数的综合问题，要注意以下几点：
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象过定点、单调性、奇偶性等；
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论、数形结合等.
练习
变4.已知幂函数为偶函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的值.
解：(1)∵幂函数为偶函数,
∴，解得（舍去）或
∴,∴ .
(2)由，可得.
即
.
解之得
课堂小结&作业
小结：
(1)幂函数的概念；
(2)5个常见幂函数的图象及其性质；
(3)幂函数的性质；
(4)幂函数比较大小的方法.
作业：
(1)整理课件题型；
(2)课本P91 的练习1、2、3题和习题3.3的第1题.
谢谢学习
Thank you for learning