3.4《函数的应用(一)》
分层练习
考查题型一 利用一次函数、二次函数模型解决实际问题
1．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元.
4．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是
5.某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表.
投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79
该经营者准备在第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
6.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数及利润函数的最大值；
(2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．
考查题型二 分段函数模型的应用
1.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量 m3．
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
2.巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整）
3.我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元．
(1)试求关于的函数；
(2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量；
(3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？
(多选题)1．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为 (万元)．一万件售价为万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 _______万件．
3．定义区间(a，b)，[a，b]，(a，b]，[a，b]的长度为d＝b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：(1，2)[3，5]的长度d=(2-1)+(5-3)=3，设f(x)=[x] {x}，g(x)=x-1，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，若用d表示不等式f(x)≥g(x)解集区间的长度，则当时x∈[-2009，2009]，d＝ ．
4．A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：
运行区间 公布票价 学生票
上车站 下车站 一等座 二等座 二等座
A B 81（元） 68（元） 51（元）
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
(2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？
5．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，试写出该种饼干900克装的合理售价．3.4《函数的应用(一)》
分层练习
考查题型一 利用一次函数、二次函数模型解决实际问题
1．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
【答案】A
【详解】由题意，，
则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.
故选：A.
2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，解得，又因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是.
故选：C
3．将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元.
【答案】
【详解】设售价为元，总利润为元，
则，
当时，最大，最大的利润元；
即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元．
故答案为: .
4．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是
【答案】10
【详解】由题意，设该厂月获利为元，则：
，
当工厂日获利不少于1 000元时，即，
即，
解得：.
故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.
故答案为：10
5.某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表.
投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79
该经营者准备在第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
【答案】12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品；约为4.6万元.
【详解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．
取为最高点，则，
再把点代入，得，
解得，所以.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．
设，取点和代入，
得，解得.
所以.
设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为万元，万元，总利润为万元，
那么
，
当x＝3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元．
故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元.
6.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数及利润函数的最大值；
(2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．
【答案】(1)利润函数，最大值为（元）
(2)当台时，每台产品的利润取到最大值1900元
【详解】（1）由题意知，
，
易得的对称轴为，
所以当或时，取得最大值为（元）．
所以利润函数，最大值为（元）；
（2）依题意，得
（元）.
当且仅当时等号成立，即时，等号成立．
所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．
考查题型二 分段函数模型的应用
1.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量 m3．
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
【答案】16
【详解】设用数量为，交纳水费为，由题可知，当时，解得，
故答案为：16
2.巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整）
【答案】(1)
(2)25艘/海里，最大值为625．
【详解】（1）由题意知时，海里/小时；
当时，设，
则，解得，
故；
（2）由（1）可得，
当时，，此时；
当时，，
当时，取到最大值为625；
由于，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量可以达到最大值，
最大值为625．
3.我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元．
(1)试求关于的函数；
(2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量；
(3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？
【答案】(1)；(2)立方米；(3)元
【详解】（1）因为某户该月用水立方米，
按收费标准可知，当时，；
当时，；
当时，．
所以
（2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档，
所以， 解得．
所以该月的用水量为立方米．
（3）因为，
所以．
当时，，此时．
所以此时两户一共需要支付的水费是元．
(多选题)1．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【答案】BC
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为 (万元)．一万件售价为万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件．
【答案】
【详解】设利润为，则，当时，有最大值，
故答案为：18.
【点睛】本题是函数的应用题，关键是建立函数的关系式求解，解函数应用题，一般可按照以下步骤进行：
（1）读题：读懂和深刻理解题意，找出等量关系，将应用问题转化为数学问题；
（2）建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
（3）求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
（4）评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最终将结果应用于现实.
3．定义区间(a，b)，[a，b]，(a，b]，[a，b]的长度为d＝b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：(1，2)[3，5]的长度d=(2-1)+(5-3)=3，设f(x)=[x] {x}，g(x)=x-1，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，若用d表示不等式f(x)≥g(x)解集区间的长度，则当时x∈[-2009，2009]，d＝ ．
【答案】2011
【详解】f(x)=[x] {x}=[x] (x-[x])=[x]x-[x]2，g(x)=x-1，
f(x)≥g(x) [x]x-[x]2>x-1，即([x]-1)x≥[x]2-1，
当x∈[0，1)时，[x]=0，上式可化为x≤1，∴x∈[0，1)；
当x∈[1，2)时，[x]=1，上式可化为0≥0，∴x∈[1，2)；
当x∈[2，2009]时，[x]-1>0，上式可化为x≥[x]+1，而x<[x]+1，∴x∈ ；
当x∈[-2019，0)时，[x]<0，上式可化为x≤[x]+1恒成立，∴x∈[-2009，0）；
∴f(x)≥g(x)在-2009≤x≤2009时的解集为[-2009，2)，故d＝2011.
故答案为：2011
4．A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：
运行区间 公布票价 学生票
上车站 下车站 一等座 二等座 二等座
A B 81（元） 68（元） 51（元）
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
(2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【答案】(1)10人、20人与180人；(2)；
(3)至少要花11233元，最多要花16980元.
【详解】（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，
若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：，
解得，则.
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.
（2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，
①当时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共180张，名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票.
所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.
②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张.
所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.
综上：
（3）由（2）知，当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11233元，当时，y的值最大，最大值为11610元.当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11640元，当时，y的值最大，最大值为16980元.所以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元.
5．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，试写出该种饼干900克装的合理售价．
【答案】9.6元
【详解】设饼干的质量为克，则其售价（单位：元）与之间的函数解析式为．
由题意得，
即①，
，
即②．
由①②解得，．
∴．
当时，．
故这种饼干900克装的售价为9.6元．
