4.2.1 指数函数的概念 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
4.2.1 指数函数的概念
第四章 指数函数与对数函数
情境引入
对于幂()，我们已经把指数的范围拓展到了实数.上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法.下面继续研究其他类型的基本初等函数.
实际上，考古学家所用的数学知识就是本节要学的指数函数，指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用.例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.
情境引入
情境1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，地提高了景区门票价格，而地则取消了景区门票.下表给出了两地景区2001年至2015年的旅游人次以及逐年增加量.
新知探索
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
为了有利于观察规律，根据表格，分别画出两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象(如下图).
地
地
新知探索
观察图象和表格，可以发现，地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律.
问题1：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.能否通过对地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试.
地
地
新知探索
从2002年起，将地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到：
结果表明，地景区的游客人次的年增长率都约为，是一个常数.
做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率.增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量.
新知探索
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，地景区的游客人次近似于指数增长.
显然，从2001年开始，地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的倍；2年后，游客人次是2001年的倍；
3年后，游客人次是2001年的倍；……
年后，游客人次是2001年的倍.
如果设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么.①
这是一个函数，其中指数是自变量.
新知探索
情境2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么：
死亡1年后，生物体内碳14含量为；
死亡2年后，生物体内碳14含量为倍；
死亡3年后，生物体内碳14含量为倍；……
死亡年后，生物体内碳14含量为.
新知探索
根据已知条件，，从而，所以.
设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么，即
②
这也是一个函数，指数是自变量.死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减.像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.
新知探索
如果用字母代替上述①②两式中的底数和，那么函数和就可以表示为的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于且不等于的常量.
一般地，函数，且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是.
注：
(1)指数函数的定义域是实数集；
(2)自变量是指数，且指数位置只能有这一项；
(3)底数只能有一项，且其系数必须为1；
(4)底数的范围是且.
例析
例1.已知指数函数(，且)，且，求，，的值.
解：∵，且，则，
解得，于是.
∴，，.
例析
例2.(1)在情境1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，地景区的门票价格为150元，比较这15年间两地旅游收入变化情况.
解(1)：设经过年，游客给两地带来的收入分别为和，则，.利用计算工具可得，当时，.
当时，.
结合图可知：当时，，
当时，.
当时，.
例析
例2.(1)在情境1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，地景区的门票价格为150元，比较这15年间两地旅游收入变化情况.
这说明，在2001年，游客给地带来的收入比地多412000万元；随后10年，虽然，但的增长速度大于；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有，这时游客给地带来的收入和地差不多；此后，，游客给地带来的收入超过了地；由于增长得越来越快，在2015年，地的收入已经比地多了347303万元了.
例析
例2.(2)在情境2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
(2)设生物死亡年后，它体内碳14含量为.如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么.
当时，利用计算工具求得.
所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.
例析
在实际问题中，经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型：设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则.形如且；，且的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
练习
例1.给出下列函数：①②③④;⑤.
其中，指数函数的个数是（ ）.
A.0 B.1 C.2 D.4
题型一：指数函数的概念
解：据题意，只有③符合指数函数的概念.故选B.
练习
方法技巧：
判断指数函数的关键：
(1)指数函数的定义域是实数集；
(2)自变量是指数，且指数位置只能有这一项；
(3)底数只能有一项，且其系数必须为1；
(4)底数的范围是且.
练习
变1.若函数是指数函数，则=___________ .
解：∵是指数函数，
∴，即，
∴或
而且，∴.
练习
例2.已知指数函数且的图象过点，
的值.
题型二：指数(型)函数的解析式及应用
解：∵且的图象过点，
∴ 即
∴
练习
方法技巧：
求解指数(型)函数的解析式的关键：
(1)根据题意写出等量关系或者根据所给式子发现其增长规律；
(2)将自变量的具体值代入解析式中，即可计算各个函数值.
练习
变2.已知函数且，.求函数的一个解析式.并求出 的值.
解：∵
∴
∴以为增长比例呈指数增长.
即，∴.
例析
例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题：
(1)写出两城市的人口总数（万人）与年份（年）的函数解析式；
解(1)：年后甲城市人口总数为
年后乙城市人口总数为.
题型三：指数函数的实际应用
练习
例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题：
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数（精确到0.1万人）.
解(2)：
10年后 20年后 30年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113 126 139
练习
方法技巧：
指数函数的实际应用：
先观察题意得出指数函数模型；再根据具体条件建立等式，求解出函数解析式；最后代入数据即可求解相应问题.
练习
变3.按复利计算利息的一种储蓄，本金为(单位：元)，每期利率为，本利和为(单位：元)，存期数为.
(1)写出本利和关于存期数的函数解析式；
(2)如果存入本金1000元，每期利率为，试计算5期后的本利和.
解(1)：据题意可得：
解(2)：将代入上式，
得：元.
课堂小结
小结：
1.指数函数的概念：
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，
定义域是
2.指数函数需要注意的几个点：
①指数函数的定义域是实数集；
②自变量是指数，且指数位置只能有这一项；
③底数只能有一项，且其系数必须为1；
④底数的范围是且.
(3)幂函数与指数函数的区别.
作业
作业：
1.课本的练习1——3题；
2.课本习题4.2的练习2、4、5、7、8题.
谢谢学习
Thank you for learning