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2023-2024学年上学期期中考试强化训练：八年级数学-第11章-三角形
一、单选题
1．（2023秋·河南新乡·八年级校考阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断．
【详解】解：A.，，，，解得：，，，不是直角三角形，故符合题意；
B. ，，，，解得：，是直角三角形，故不符合题意；
C.，设，，，，，解得：，，是直角三角形，故不符合题意；
D.，，，，
，解得：，，， 是直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据同角的余角相等证明①正确；利用直角三角形的两个锐角互余，三角形外角性质，角平分线的意义，三角形内角和定理可证明②正确；利用直角三角形的两个锐角互余，三角形外角性质，角平分线的意义证明③正确；利用等高的两个三角形的面积之比等于对应底的比可证明④正确．
【详解】设与的延长线交于点M，
∵，，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
故②正确；
∵，平分，
∴，
∴，
故③正确；
∵平分，
∴点E到的距离相等，都设为h，
∴,
故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
3．（2023秋·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案
【详解】解：设这个多边形的边数是边形，
根据题意可得：，
解得：，
这个多边形的边数是7，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形．
4．（2023春·四川遂宁·七年级射洪中学校考阶段练习）如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积是16，则图中阴影部分面积等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】首先根据是的中点，可得：，再根据是的中点，可得：，，所以；然后根据是的中点，求出的面积是多少即可．
【详解】解：是的中点，
∴，
是的中点，
∴，，
，
是的中点，
．
答：图中阴影部分面积等于4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．
5．（2023秋·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考阶段练习）如图，是的平分线，，，则（ ）
A．25° B．60° C．85° D．95°
【答案】C
【分析】首先根据是的平分线，，求出的度数，然后根据三角形的外角性质即可求得的度数．
【详解】解：，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，难度一般，解答本题的关键是熟练掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．（2023秋·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图中，分别是和的外角平分线，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据三角形外角求出，，再根据角平分线的性质得到，求出，再次根据三角形内角和求出代入即可解题．
【详解】∵，，
∴，
∵分别是和的外角平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选D.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
7．（2023秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图所示，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的外角的性质得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
.
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟记性质是解题的关键．
9．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断的形状．
【详解】解：A．．因为，
所以，故具备条件A的是直角三角形；
B．因为，
所以，故具备条件B的是直角三角形；
C．因为，
所以，故具备条件C的是直角三角形；
D．因为，
所以，故具备条件D的不是直角三角形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是是解决本题的关键．
10．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图所示，，分别是，的两条角平分线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，从而得到，再由三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：，，
，
，分别是，的两条角平分线，
，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线的定义是解题的关键．
11．（2023秋·广东惠州·八年级惠州市华侨中学校考阶段练习）如图，的三边长均为整数，且周长为24，是边上的中线，的周长比的周长大3，则长的可能值有（ ）个．
A．7 B．5 C．6 D．4
【答案】D
【分析】依据的周长为24，的周长比的周长大3，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到整数值．
【详解】解：是边上的中线，
，
的周长为24，的周长比的周长大3，
，
解得，
又的三边长均为整数，的周长比的周长大3，
为整数，
边长为奇数，
，7，9，11，
即的长可能值有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
12．（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）在中，，，那么中线的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长到E，使，连接BE，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可．
【详解】画出延长中线到，使，连接，
∵是的中线，
∴ ，
在与中，
，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系得：，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出是解此题的关键．
13．（2023秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果．
【详解】解如图，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，
，，，
，
，
在中，，
，
在中，
，
，
即，
，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出和的倍数关系是解决问题的关键．
14．（2022春·安徽宣城·九年级统考自主招生）如图，在中，是中线，点是边上的一点，，与相交于点，若，则的面积是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】连接，根据是中线可得，，从而得到，根据可得，，从而可得，，进而得出，，最后由，进行计算即可得到答案．
【详解】解：连接，
，
在中，是中线，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，找个各三角形之间的面积关系，准确进行计算是解此题的关键．
15．（2023秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定与的关系，依此类推即可．
【详解】解：∵是的平分线，是的平分线
∴
∵
∴
∴
同理可得：
故选：C
【点睛】本题考查角平分线的有关计算．确定是解题关键．
16．（2021春·福建福州·七年级统考期中）如图：，的平分线交直线a于点C，垂直直线c于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由和，得到，进而得到，然后由平行线的性质得到，进而由平分得到的度数，最后由三角形的外角性质求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查垂直的定义、三角形的内角和与外角和定理、平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
17．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（ ）
①过点C作
②延长到点F，过点C作
③作于点D
④过上一点D作，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：①．由，则，．由，得．
②．由，则，．由，得．
③．由于，则，无法证得三角形内角和是．
④．由，得，．由，得，，那么．由，得．
∴能证明的内角和是的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
18．（2022秋·宁夏银川·八年级银川一中校考阶段练习）如图，，的角平分线交于点P，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长，交于点．先利用三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，据此即可得．
【详解】解：如图，延长，交于点．
∵是的外角，，
∴．
∵是的外角，，
∴，
∴，
．
∵，的角平分线交于点，
，，
设与相交于，则，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
19．（2023秋·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）如图，在中，D是边上任意一点，连接并取的中点E，连接并取的中点F，连接并取的中点G，连接，若，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段中点得出，，，根据等底等高的三角形的面积相等得出，，，，再求出答案即可．
【详解】解：为的中点，
，
，
即，
为的中点，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积，能熟记等底等高的三角形面积相等和三角形的面积公式是解此题的关键．
20．（2022春·福建泉州·七年级校考期中）当三角形中一个内角是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
【答案】C
【分析】分类讨论，①，②，③既不是也不是，根据“友好三角形”的定义及三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】①，则这个“友好三角形”的“友好角”的度数为，
②，则，
，
③既不是也不是，
则，
，
解得，
综上所述：这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为或或．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．
二、填空题
21．（北京市朝阳区第八十中学集团校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）三角形三边为，a，5，．a的取值范围是
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边和两边之差小于第三边列出不等式组，求出其解即可．
【详解】解：由题意得：，
由①得：，
∴，
由②得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，解决问题的关键是熟练掌握三角形三边的关系列不等式组．
22．（2022秋·湖北武汉·八年级校考开学考试）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】可分三种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，当为直角三角形，根据三角形内角和定理及三角形外角的性质计算可求解．
【详解】解：如图，当为锐角三角形时，
，
，
，
，
，
，
，
当为钝角角三角形时，的延长线于，
，
，
，
，
，
，
；
当为直角三角形，时，不存在，故的度数为或．
故答案为：130°或50°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．
23．（2023秋·江西南昌·八年级校考阶段练习）某多边形内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为 ．
【答案】4/四
【分析】n边形的内角和为，外角和为，根据题意列方程，即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：，
解得，
即这个多边形的边数为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查多边形内角和与外角和的综合，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
24．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是边上的点，且，，．若的面积为S，则的面积为 ．（用含有S的代数式表示）
【答案】
【分析】如图，连接，，可得；，，于是．
【详解】解：如图，连接
∵，，
∴；
同理，连接，则
，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查组合图形求面积，关键是对于底共线、共高三角形面积关系的理解．
25．（2023秋·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考阶段练习）如图，点是三角形内角平分线的交点，点是三角形外角平分线的交点，则与的数量关系是 ．
【答案】
【分析】利用角平分线的定义，证明，利用四边形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：如图：
点是三角形内角平分线的交点，点是三角形外角平分线的交点，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，四边形内角和定理等知识，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
26．（2021·青海西宁·统考中考真题）十二边形的内角和等于 °．
【答案】1800
【分析】根据多边形内角和公式求解即可．
【详解】解：十二边形的内角和等于：．
故答案为：1800．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，掌握多边形的内角和公式成为解答本题的关键．
27．（2023秋·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形中，的平分线与的外角平分线相交于点，若，则 ．
【答案】/25度
【分析】根据四边形内角和定理求出，表示出，再根据角平分线定义求出和，最后利用三角形外角的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的平分线与的外角平分线相交于点，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，准确识别各角之间的关系是解题的关键．
28．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）若一个正边形的内角和等于它外角和的倍，则 ．
【答案】
【分析】根据多边形内角和公式和外角和为可得方程，再解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
29．（2022春·湖南长沙·七年级校考期中）如图，，，，则 ．
【答案】/92度
【分析】连接，根据平行线的判定方法可得，再根据平行线的性质以及三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
又，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判断方法以及平行线的性质是解答本题的关键．
30．（2023秋·山东泰安·七年级青云中学校考阶段练习）如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是 ．
【答案】10
【分析】如图，利用三角形重心的性质得、为三角形的中线，，，然后根据三角形面积公式出，则，，从而得到图中阴影部分面积．
【详解】是的重心，
、为三角形的中线，，，
，
，，
图中阴影部分面积．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了三角形面积公式．
三、解答题
31．（2023秋·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线．
(1)已知，，求的度数；
(2)设，，请直接写出用，表示的关系式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据三角形的内角和求出，再根据的高和角平分线求出，进而求解；
（2）仿照（1）的思路解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，分别是的高和角平分线，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，分别是的高和角平分线，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高和角平分线等知识，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键．
32．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，斜边与轴交于点．
(1)若，求证：；
(2)如图2，延长交轴于点，过作，若，，求的度数；
(3)如图3，平分，的平分线交的延长线于点，，当绕点旋转时（斜边与轴正半轴始终相交于点），问的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)的度数不变，，理由见详解
【分析】（1）由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等即可证明；
（2）由直角三角形两锐角互余、等量代换求得；然后根据外角定理知；从而求得，即；
（3）由角平分线的性质知①，②，根据①②解得，最后根据三角形内角和定理求得旋转后的的度数．
【详解】（1）证明：是直角三角形，
，，
，
；
（2）解：，，
，
又，，
，
，
；
（3）解：的度数不变，．理由如下：
，，
又平分，平分，
①，②，
①②得：，
．
【点睛】本题综合考查了三角形内角和定理、坐标与图形的性质．解答时，需注意，旋转后的形状与大小均无变化．
33．（2023秋·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）如图，如图，在中，，，分别是，上的点，连接，，，求的度数．
【答案】
【分析】设，，根据，即可列出方程，从而求解．
【详解】解：设，，
，
又，
则，
又，
，
解得，
的度数是．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确确定相等关系列出方程是解题的关键．
34．（2023秋·江西南昌·八年级校考阶段练习）已知一个多边形的边数为．
(1)若，求这个多边形的内角和．
(2)若这个多边形的内角和的为，求的值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】当时，根据多边形的内角和为，计算求解即可；
（2）依题意可知，，计算求解即可．
【详解】（1）解：当时，多边形的内角和为，
∴这个多边形的内角和为；
（2）解：依题意可知，，
解得，
∴的值为7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．解题的关键在于熟练掌握：边形的内角和为．
35．（2022秋·山西运城·九年级统考阶段练习）阅读与理解
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①，在和中，，分别是和边上的高线，且、则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用分别表示和的面积，
则，，
．
【性质应用】
(1)如图②，D是的边上的一点．若，则_________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，则_________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据等高的两个三角形面积的比等于底的据等高的两个三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；
(2)根据等高的两个三角形面积的比等于底的据等高的两个三角形面积的比等于底的比，即可求出答案；
(3)同样根据等高的两个三角形面积的比等于底的比的方法即可求出答案.
【详解】（1）∵,
，
故答案为:.
（2）∵,
，
，
，
∵,
，
，
故答案为：；
（3）∵,
，
，
，
∵,
，
，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比于底的比是解本题的关键.
36．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）规定：一条直线将三角形分割为两个图形，若其中一个新三角形与原三角形有两个角分别相等，则称这条直线为原三角形的恰巧线．例如：如图①，在中，直线将分割为两个图形，若新三角形与原三角形有，，则称直线为的恰巧线．
(1)如图②，已知，且，，则下列直线中，是的恰巧线的是________．（填上所有正确的序号）
①的角平分线所在的直线；
②的边上的高所在的直线；
③的边上的中线所在的直线．
(2)在中，，，点D，E分别在边上（不与端点重合），若直线是的恰巧线，则的度数为________°．
(3)如图③，在中，，，垂足为D，直线是的恰巧线，分别交于点E，交于点F，连接，且．求证：直线是的恰巧线．
(4)如图④，是锐角三角形，，P是边上的定点．在图④中，画出所有经过点P的的恰巧线示意图，并写出每一条恰巧线须满足的两组相等的角，不必说明理由．
【答案】(1)②
(2)或
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据新定义、高的定义，角平分线定义，中线定义求解；
（2）根据新定义分两种情况求解；
（3）由直线是的恰巧线知，于是，结合，得证，所以直线是的恰巧线．
（4）存在四种情况，分别说明；
【详解】（1）解：① 角平分线将原三角形分成两个新三角形，对于任意一个新三角形，无法得到与原三角形存在两组等角，故不是；
②如图，,则,
∴
又
∴是恰巧线；
③中线将原三角形分成两个新三角形，对于任意一个新三角形，无法得到与原三角形存在两组等角，故不是恰巧线；
故答案为：②；
（2）解：如图
或
∴或；
（3）∵直线是的恰巧线，
∴.
∴.
∵,
∴．
而
∴直线是的恰巧线．
（4）解：如图，直线;
直线;
直线；
直线；
【点睛】本题考查对新定义的理解，三角形高、角平分线，中线定义，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，注意分类讨论的思想是解题的关键．
37．（2023秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）．
(1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点，则______°．
(2)如图2，当时，，的平分线交于点，则______°（用含的式子表示）．
(3)如图3，当（为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．随着点，的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含的式子表示）；如果会，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)的大小不变，理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理计算即可；
（3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵分别为的平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）当时，，的平分线交于点，则
∵，
∴，
∵分别为的平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）的大小不变；
理由如下：∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∵，
∴，即的大小不变．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理和三角形的外角性质，熟练掌握上述知识是解题的关键．
38．（2022春·福建泉州·七年级校考期中）如图，和有公共顶点，，，．
(1)若，则________；
(2)如图1，过上一点作，分别交、、于点、、．
①若，，，求线段的长；
②如图2，的平分线和的平分线交于点，的平分线和的平分线交于点，的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②度数不变，
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，求出的度数，进一步求出即可；
（2）①根据三角形的面积公式，求出，，再根据进行计算即可；②角平分线定义和三角形的内角和定理以及外角的性质，得到，，即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①如图1中，∵，，
∴，，
∴，，
∴．
②结论：，度数不变．
理由：如图，
∵，分别平分，，
∴，
∵，分别平分，，
∴
，
∴．
【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的高线，三角形的外角．熟练掌握相关知识点，理清角度之间的数量关系，是解题的关键．
39．（2022春·江西新余·七年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一点，是第四象限内一点，轴交轴负半轴于，且，．
(1)求点的坐标．
(2)如图2，设为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点，求的度数；（点在轴的正半轴）．
(3)如图3，当点在线段上运动时，作交于点，、的角平分线、交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b，得到点A、点B的坐标，根据梯形的面积公式求出，得到点C的坐标；
（2）根据三角形内角和定理、角平分线的定义计算即可；
（3）过D作，，根据角平分线的定义计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，，
∴，．
∴，．
∵，
∴，
解得，，
∵C在第四象限，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
（3）解：在图3中，，大小不会发生变化，
理由如下：过D作，，
则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义以及非负数的性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义是解题的关键．
40．（2022春·安徽合肥·七年级校考期末）如图，平分，．
(1)如图1，求证：．
(2)求证：．
(3)如图2，若射线上取点，连接，当，时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)．
【分析】（1）根据平分，得到，结合，推出，即得；
（2）根据三角形内角和定理以及邻补角的性质即可证明结论成立；
（3）已知，设，则，设，根据可知，，根据平角的定义可知，求出即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴；
（3）解：∵，
设，则，
设，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
解得，
即．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
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2023-2024学年上学期期中考试强化训练：八年级数学-第11章-三角形
一、单选题
1．（2023秋·河南新乡·八年级校考阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023秋·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2023春·四川遂宁·七年级射洪中学校考阶段练习）如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积是16，则图中阴影部分面积等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．（2023秋·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考阶段练习）如图，是的平分线，，，则（ ）
A．25° B．60° C．85° D．95°
6．（2023秋·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图中，分别是和的外角平分线，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图所示，为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图所示，，分别是，的两条角平分线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023秋·广东惠州·八年级惠州市华侨中学校考阶段练习）如图，的三边长均为整数，且周长为24，是边上的中线，的周长比的周长大3，则长的可能值有（ ）个．
A．7 B．5 C．6 D．4
12．（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）在中，，，那么中线的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022春·安徽宣城·九年级统考自主招生）如图，在中，是中线，点是边上的一点，，与相交于点，若，则的面积是（ ）
A．3 B． C．4 D．
15．（2023秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．（2021春·福建福州·七年级统考期中）如图：，的平分线交直线a于点C，垂直直线c于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（ ）
①过点C作
②延长到点F，过点C作
③作于点D
④过上一点D作，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2022秋·宁夏银川·八年级银川一中校考阶段练习）如图，，的角平分线交于点P，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023秋·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）如图，在中，D是边上任意一点，连接并取的中点E，连接并取的中点F，连接并取的中点G，连接，若，则的值为( )
A． B． C． D．
20．（2022春·福建泉州·七年级校考期中）当三角形中一个内角是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
二、填空题
21．（北京市朝阳区第八十中学集团校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）三角形三边为，a，5，．a的取值范围是
22．（2022秋·湖北武汉·八年级校考开学考试）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为 ．
23．（2023秋·江西南昌·八年级校考阶段练习）某多边形内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为 ．
24．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是边上的点，且，，．若的面积为S，则的面积为 ．（用含有S的代数式表示）
25．（2023秋·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考阶段练习）如图，点是三角形内角平分线的交点，点是三角形外角平分线的交点，则与的数量关系是 ．
26．（2021·青海西宁·统考中考真题）十二边形的内角和等于 °．
27．（2023秋·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形中，的平分线与的外角平分线相交于点，若，则 ．
28．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）若一个正边形的内角和等于它外角和的倍，则 ．
29．（2022春·湖南长沙·七年级校考期中）如图，，，，则 ．
30．（2023秋·山东泰安·七年级青云中学校考阶段练习）如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是 ．
三、解答题
31．（2023秋·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线．
(1)已知，，求的度数；
(2)设，，请直接写出用，表示的关系式．
32．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，斜边与轴交于点．
(1)若，求证：；
(2)如图2，延长交轴于点，过作，若，，求的度数；
(3)如图3，平分，的平分线交的延长线于点，，当绕点旋转时（斜边与轴正半轴始终相交于点），问的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．
33．（2023秋·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）如图，如图，在中，，，分别是，上的点，连接，，，求的度数．
34．（2023秋·江西南昌·八年级校考阶段练习）已知一个多边形的边数为．
(1)若，求这个多边形的内角和．
(2)若这个多边形的内角和的为，求的值．
35．（2022秋·山西运城·九年级统考阶段练习）阅读与理解
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①，在和中，，分别是和边上的高线，且、则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用分别表示和的面积，
则，，
．
【性质应用】
(1)如图②，D是的边上的一点．若，则_________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，则_________．
36．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）规定：一条直线将三角形分割为两个图形，若其中一个新三角形与原三角形有两个角分别相等，则称这条直线为原三角形的恰巧线．例如：如图①，在中，直线将分割为两个图形，若新三角形与原三角形有，，则称直线为的恰巧线．
(1)如图②，已知，且，，则下列直线中，是的恰巧线的是________．（填上所有正确的序号）
①的角平分线所在的直线；
②的边上的高所在的直线；
③的边上的中线所在的直线．
(2)在中，，，点D，E分别在边上（不与端点重合），若直线是的恰巧线，则的度数为________°．
(3)如图③，在中，，，垂足为D，直线是的恰巧线，分别交于点E，交于点F，连接，且．求证：直线是的恰巧线．
(4)如图④，是锐角三角形，，P是边上的定点．在图④中，画出所有经过点P的的恰巧线示意图，并写出每一条恰巧线须满足的两组相等的角，不必说明理由．
37．（2023秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）．
(1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点，则______°．
(2)如图2，当时，，的平分线交于点，则______°（用含的式子表示）．
(3)如图3，当（为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．随着点，的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含的式子表示）；如果会，请说明理由．
38．（2022春·福建泉州·七年级校考期中）如图，和有公共顶点，，，．
(1)若，则________；
(2)如图1，过上一点作，分别交、、于点、、．
①若，，，求线段的长；
②如图2，的平分线和的平分线交于点，的平分线和的平分线交于点，的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由．
39．（2022春·江西新余·七年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一点，是第四象限内一点，轴交轴负半轴于，且，．
(1)求点的坐标．
(2)如图2，设为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点，求的度数；（点在轴的正半轴）．
(3)如图3，当点在线段上运动时，作交于点，、的角平分线、交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
40．（2022春·安徽合肥·七年级校考期末）如图，平分，．
(1)如图1，求证：．
(2)求证：．
(3)如图2，若射线上取点，连接，当，时，求的度数．
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