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2023-2024学年上学期期中考试强化训练：八年级数学-第12章-全三角形
一、单选题
1．（河北省石家庄外国语教育集团2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，若和的面积分别为，，则=（ ）
A．5：8 B．8：5 C．1：1 D．2：7
2．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3．（2023秋·广西南宁·八年级三美学校校考阶段练习）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，得出正确答案是（ ）
①平分；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当与全等时，x的值是（ ）
A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．1或2
6．（2022秋·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，在中，为的中点，平分， ，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·云南红河·八年级统考期末）如图，已知是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，．下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．①②③⑤ B．①③⑤⑥ C．①②③④ D．①④⑤⑥
8．（2022秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）如图，已知，，不能判定的是（ ）．
A． B． C． D．
9．（2022秋·甘肃平凉·八年级校考期末）如图所示，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·河北衡水·八年级校考阶段练习）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2023秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．120 B．60 C．45 D．30
12．（2023秋·湖北武汉·八年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）若，，，是上的中线，则的长可能是（ ）
A． B．2 C． D．3
13．（2023秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，以为直角边构造等腰直角，，过点作轴于，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023秋·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）如图，点在同一直线上，，添加下列条件，仍不能判定与全等的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）根据下列已知条件，能够画出唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
17．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（ ）
A．2cm B．1.5cm C．1cm D．3cm
18．（2022春·陕西西安·八年级校考期末）如图，点是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023秋·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考阶段练习）有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（ ）
A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等
C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等
20．（2023秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图．在中，是上一点，于点，于点，且，是上一点，且．下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①
二、填空题
21．（2023秋·江苏无锡·八年级江苏省天一中学校考阶段练习）如图，在四边形中，是边的中点，平分，且，若，四边形的周长为18，，则的值为 ．
22．（2023秋·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，在中，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则线段的长度为 ．
23．（2023秋·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是以C为直角顶点的直角三角形，且，点A的坐标为 ，点C的坐标为，则点B的坐标为 ．
24．（2023秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ．
25．（2023秋·广东中山·八年级校考阶段练习）如图，在的边，上取点M，N，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是8，则的长是 ．
26．（2023秋·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过 s后，与全等．
27．（2023秋·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考阶段练习）如图，有垂直于地面的两个木箱，高度分别为，，两个木箱之间恰好可以放进一个等腰直角三角板（，），点，，在水平地面上，点和点分别与木箱的顶端重合，两个木箱之间的距离等于 ．
28．（2023秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考阶段练习）如图，的面积为8，AD平分，且于D，则的面积是 ．
29．（2023秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，线段，相交于点O，，请你添加一个条件（只添一个即可），使，你添加的条件是 ．
30．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，于点E．若的面积为，，，则的长为 cm．
三、解答题
31．（2023秋·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知：，，，，垂足分别为点D，点E．
(1)如图1，
①证明；
②证明．
(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段，，之间的数量关系并说明理由．
32．（北京市朝阳区第八十中学集团校2023-2024学年八年级上学期月考数学试题）如图，在四边形中，，，，E是的中点，．求证：．
33．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
34．（2022秋·陕西西安·八年级校考开学考试）已知，如图，在中，点为线段上一点，，过点作且，求证：．
35．（2022秋·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示的长度： ．
(2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
(3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
36．（2023秋·广东中山·八年级校考阶段练习）如图，以点A为顶点作两个等腰直角三角形，，，连接，交于点F．线段和有何关系？请说明理由．
37．（2023秋·河北邢台·八年级校联考阶段练习）如图，，且点A，D，C，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上．
(1)若，求证：．
(2)若，，求的度数．
38．（2023秋·辽宁大连·八年级大连市第79中学校考阶段练习）如图1，与相交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作交于，交于，求证：．
(3)如图3，若，点从点A出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点到达点A时，两点同时停止运动．设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．
39．（2022秋·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）如图1，在等腰直角三角形中，，点为边上的一个动点，连接，以为直角边，为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接．
(1)当点在线段上时(不与点重合)，求证： ．
(2)当点在线段的延长线上时(如图2)，试猜想线段和的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
40．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒2厘米的速度由点向C点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）．
(1)用含的代数式表示的长度；
(2)若点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
(3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
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2023-2024学年上学期期中考试强化训练：八年级数学-第12章-全三角形
一、单选题
1．（河北省石家庄外国语教育集团2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，若和的面积分别为，，则=（ ）
A．5：8 B．8：5 C．1：1 D．2：7
【答案】C
【分析】如图，作底边上的高，底边上的高，由题意可计算出，，，，根据全等三角形判定可证得，得出，再根据三角形面积公式， ，即两三角形的底相等，高相等，即可得到，进而得出答案．
【详解】解：如图，过点作垂直，垂足为，则为底边上的高，
过点作垂直的延长线，垂足为，则为底边上的高，
，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
又，，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质并合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
2．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【分析】利用基本作图得到，，则根据“”可判断，然后根据全等三角形的性质得到．
【详解】解：由作图痕迹得，，
所以，
所以．
故选：D
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
3．（2023秋·广西南宁·八年级三美学校校考阶段练习）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，得出正确答案是（ ）
①平分；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】此题可以通过作辅助线来得解，作于点F．证明和可判断①③④⑤正确，符合题意，②⑥错误，不符合题意．
【详解】解：如图：作于点F，
，
，
，
故⑤正确，符合题意；
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
即平分，故①正确，符合题意；
∴，故③正确，符合题意；
，平分，平分，
，
，
即，
故④正确，符合题意；
由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明，，
故②⑥错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定、角平分线的定义，熟记全等三角形的判定定理、角平分线的定义是解题的关键．
4．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可．
【详解】根据题中所给的作图步骤可知，
是的角平分线，即．
当时，又，且，
所以，
所以，
故A选项不符合题意．
当时，
，
又，且，
所以，
所以，
故B选项不符合题意．
当时，
因为，，，
所以，
所以，
又，
所以，
即．
又，
所以，
则方法同（2）可得出，
故C选项不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当与全等时，x的值是（ ）
A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．1或2
【答案】B
【分析】由题意知分时和时两种情况，再根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：∵点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，
∴，，
∴．
∵，
∴可分类讨论：①当时，
∴，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
∴，
解得：．
综上可知x的值是1或．
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键在于分情况求解．
6．（2022秋·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，在中，为的中点，平分， ，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，根据题意列式计算得到答案．
【详解】解：如图，作于，于，
平分，，，
，
，
设的面积为，则，，
的面积比的面积大，
的面积比的面积大，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．（2022秋·云南红河·八年级统考期末）如图，已知是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，．下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．①②③⑤ B．①③⑤⑥ C．①②③④ D．①④⑤⑥
【答案】C
【分析】①根据三角形的中线直接进行判断即可；
②根据①中，和为同底等高的三角形，即可判断；
③根据“”直接进行判断即可；
④根据三角形会等的性质直接判定，根据平行线的判定方法得出结果；
⑤根据全等三角形的性质可以判定，不能判定；
⑥一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线．
【详解】解：①∵是的中线，
∴，故①正确；
②∵，
∴和为等底等高的三角形，故②正确；
③∵，
∴，
在和中，
，
∴，故③正确；
④∵，
∴，
∴，故④正确；
⑤∵，
∴，故⑤错误；
⑥∵是的中线，
∴，和不一定相等，故⑥错误；
综上所述：①②③④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
8．（2022秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）如图，已知，，不能判定的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项排查即可解答．
【详解】解：A、根据条件，，，不能判定，故A选项符合题意；
B、，符合，能判定，故B选项不符合题意；
C、，符合，能判定，故C选项不符合题意；
D、，得出，符合，能判定，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
9．（2022秋·甘肃平凉·八年级校考期末）如图所示，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质可得，再在中运用三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．
10．（2023秋·河北衡水·八年级校考阶段练习）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质可得到，，，从而得到，最后证明不成立即可．
【详解】解：,
，，，故①、③符合题意，
，，
，
，故④符合题意，
不一定成立，
也不一定成立，故③不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是关键．
11．（2023秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．120 B．60 C．45 D．30
【答案】D
【分析】根据题意可知为的平分线，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论．
【详解】解：由题意可知为的平分线，过点D作于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴，故正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12．（2023秋·湖北武汉·八年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）若，，，是上的中线，则的长可能是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】延长到点E，使，构造，得出，再利用三角形的三边关系得出的取值范围，即可求出结果．
【详解】解：如图，延长到点E，使，
∵是边上的中线，
，
又，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的中线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
13．（2023秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，以为直角边构造等腰直角，，过点作轴于，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2023秋·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）如图，点在同一直线上，，添加下列条件，仍不能判定与全等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、，，根据“”即可证明与全等，故此选项不符合题意；
B、，，即，再由，，根据“” 即可证明与全等，故此选项不符合题意；
C、，，根据“”即可证明与全等，故此选项不符合题意；
D、，，，根据“”不能证明与全等，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15．（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题要判定，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定，而添加后则不能．
【详解】解：、已知，是公共边，添加，根据，能判定，故本选项不符合题意；
、已知，是公共边，添加，根据，能判定，故本选项不符合题意；
、已知，是公共边，添加时，不能判定，故本选项符合题意；
、已知，是公共边，添加，根据，能判定，故本选项不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
16．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）根据下列已知条件，能够画出唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法可知只有 C能画出唯一三角形
【详解】解： A、已知 、 和 的对角， 不能画出唯一三角形，故本选项错误；
B、 ∵，
∴不能画出 ；故本选项错误；
C、 已知两角和夹边，能画出唯 一，故本选项正确；
D 、根据不能画出唯一三角形，故本选项错误；
故选：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法：一般三角形全等的判定方法有熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键
17．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（ ）
A．2cm B．1.5cm C．1cm D．3cm
【答案】A
【分析】根据判断出，根据推出，根据全等三角形的性质得出，，即可推出答案．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
在与中， ，
∴；
∴，，
∴，
∵，，
∴．
故选A
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出，注意：全等三角形的对应边相等．
18．（2022春·陕西西安·八年级校考期末）如图，点是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点D作，，根据已知由面积比可求出，由此判定平分，即可得出．
【详解】解：如图，过点D作，，
∵与的面积比是，，，
∴
又∵，，
∴，
∴平分，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线性质和判定，根据面积比求边长比从而得出是解题关键．
19．（2023秋·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考阶段练习）有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（ ）
A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等
C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等
【答案】B
【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．
【详解】解：，，为公共边，
，即甲、乙全等；
中，，即，
虽，，
不全等于，即丙、丁不全等．
综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．找着，即是正确解决本题的关键．
20．（2023秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图．在中，是上一点，于点，于点，且，是上一点，且．下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①
【答案】B
【分析】利用角平分线定理的逆定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
∵
∴，
∴，故②正确；
在和中，
∴，
∴，故①正确；
∵和中， 仅一组对边相等，一组对角相等 ，
∴现有条件不能够证明，故③错误；
综上，正确的是①②．
故选∶ B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
二、填空题
21．（2023秋·江苏无锡·八年级江苏省天一中学校考阶段练习）如图，在四边形中，是边的中点，平分，且，若，四边形的周长为18，，则的值为 ．
【答案】/
【分析】由是边的中点可得，由角平分线的定义可得，在上截取，连接，证明得到，，再证明得到，最后根据四边形的周长为18即可求出的值．
【详解】解：是边的中点，
，
平分，
，
如图，在上截取，连接，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形的周长为18，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质等知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．
22．（2023秋·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，在中，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则线段的长度为 ．
【答案】2.5
【分析】延长，交的延长线于点F，求证，得．求证，得．
【详解】解：延长，交的延长线于点F，
∵，
∴
∵，
∴．
∴．
∵平分,
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
23．（2023秋·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是以C为直角顶点的直角三角形，且，点A的坐标为 ，点C的坐标为，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】作轴于E，轴于F，证明，得到，，进而可求出点B的坐标．
【详解】解：作轴于E，轴于F，如图所示：
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（2023秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得：，得到，，，，得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴
∴，
同理可得：
∴，
∴，
∴图中实线所围成的图形的面积是，
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
25．（2023秋·广东中山·八年级校考阶段练习）如图，在的边，上取点M，N，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是8，则的长是 ．
【答案】10
【分析】过点P作，垂足为E，过点P作，垂足为F，过点P作，垂足为G，连接，利用角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积求出，再利用的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：过点P作，垂足为E，过点P作，垂足为F，过点P作，垂足为G，连接，
∵平分，平分，
∴，
∵，的面积是2，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是8，
∴的面积的面积的面积，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（2023秋·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过 s后，与全等．
【答案】4
【分析】设运动分钟后与全等；分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：于，于，
，
设运动后与全等；
由题意得：，，则，
分两种情况：
①若，则，
，，，
；
②若，则，
解得：，，
此时与不全等；
综上所述：运动后与全等；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，正确理解题意、合理分类讨论是关键．
27．（2023秋·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考阶段练习）如图，有垂直于地面的两个木箱，高度分别为，，两个木箱之间恰好可以放进一个等腰直角三角板（，），点，，在水平地面上，点和点分别与木箱的顶端重合，两个木箱之间的距离等于 ．
【答案】15
【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：由题意得，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
∴，，
，
故答案为：15．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．
28．（2023秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考阶段练习）如图，的面积为8，AD平分，且于D，则的面积是 ．
【答案】
【分析】延长交于点，则可得：，可得： 则可得出，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长交于点，
平分，，
，，
在和中，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形中线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
29．（2023秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，线段，相交于点O，，请你添加一个条件（只添一个即可），使，你添加的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定可得出答案．
【详解】解：应添加的条件是；．
在和中，
，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
30．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，于点E．若的面积为，，，则的长为 cm．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质，得，于是，解得．
【详解】解：过点D作于F，
∵是的角平分线，
∴.
∴.
∴,得.
故答案为：
【点睛】本题考查角平分线的性质，等积法；理解角平分线的性质是解题的关键．
三、解答题
31．（2023秋·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知：，，，，垂足分别为点D，点E．
(1)如图1，
①证明；
②证明．
(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段，，之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，
【分析】（1）①由，得到，再证明即可证明全等；
②由①得得到，即可证明；
（2）先证明，得到，，即可得到答案．
【详解】（1）证明：①，，
，
，
，
，
，
在，中，
，
；
②由①得，
，，
，
，
；
（2）；
证明：，，
，
，
，
，
，
在，中，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
32．（北京市朝阳区第八十中学集团校2023-2024学年八年级上学期月考数学试题）如图，在四边形中，，，，E是的中点，．求证：．
【答案】见详解
【分析】将已知条件进行转化证即可；
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
33．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）
(2)见解析
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，
，
即，
在和中，
，
；
当选择的条件为①③④时，
，
，
即，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
34．（2022秋·陕西西安·八年级校考开学考试）已知，如图，在中，点为线段上一点，，过点作且，求证：．
【答案】见解析
【详解】证出，证明，由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
35．（2022秋·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示的长度： ．
(2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
(3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
(3)当时，能够使与全等
【分析】（1）直接根据时间和速度表示的长；
（2）根据证明即可；
（3）因为点的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，则，得，解出即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
则；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
当时，由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（3）解：∵点的运动速度不相等，
∴，
当与全等，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，能够使与全等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
36．（2023秋·广东中山·八年级校考阶段练习）如图，以点A为顶点作两个等腰直角三角形，，，连接，交于点F．线段和有何关系？请说明理由．
【答案】，
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，推出，得出，，根据，，得出，即可得出，．
【详解】解：，．理由如下：
∵均为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，，
∴，即，
∴，
综上：，．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等是判定和性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等．
37．（2023秋·河北邢台·八年级校联考阶段练习）如图，，且点A，D，C，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上．
(1)若，求证：．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40度
【分析】（1）先证明，可得，结合，可得；
（2）先求解，可得，再证明，结合三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的对应角相等与三角形的内角和是解本题的关键．
38．（2023秋·辽宁大连·八年级大连市第79中学校考阶段练习）如图1，与相交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作交于，交于，求证：．
(3)如图3，若，点从点A出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点到达点A时，两点同时停止运动．设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)当或时，线段经过点
【分析】（1）根据题意可证，可得，根据平行线的判定方法即可求解；
（2）根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解；
（3）由（2）可知，当线段经过点时，，可得，由此可用含的式子列方程表示数量关系，由此即可求解．
【详解】（1）证明：在与中，
，
，
，
∴．
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：由（2）可知，当线段经过点时，，可得，
或，
或，
当或时，线段经过点．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，动点与几何图形的综合，掌握三角形的判定和性质是解题的关键．
39．（2022秋·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）如图1，在等腰直角三角形中，，点为边上的一个动点，连接，以为直角边，为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接．
(1)当点在线段上时(不与点重合)，求证： ．
(2)当点在线段的延长线上时(如图2)，试猜想线段和的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)猜想：，证明见解析
【分析】（1）先证明，再根据三角形全等的判定定理证明，即可；
（2）先证明，再根据三角形全等的判定定理证明，由全等三角形的性质，即可得证．
【详解】（1）
即∶
在和中
（2）猜想∶
即∶
在和中
(全等三角形的对应边相等)
(全等三角形的对应角相等)
即∶
综上所述，．
【点睛】本题主要考场三角形全等的判定定理和性质定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，是解题的关键．
40．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒2厘米的速度由点向C点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）．
(1)用含的代数式表示的长度；
(2)若点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
(3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)当时，能够使与全等．
【分析】（1）直接根据时间和速度表示的长；
（2）根据证明即可；
（3）因为点的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，则，得，解出即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
则；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
当时，由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（3）解：∵点的运动速度不相等，
∴，
当与全等，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，能够使与全等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
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