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2023-2024学年上学期期中考试强化训练：八年级数学-第13章-轴对称
一、单选题
1．（2022秋·四川眉山·八年级校考期中）如图：A、B、C三点在一条直线上，分别以线段、为边向同一方向做等边三角形，和，连接交于点F，连接交于点G，，交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由等边三角形的性质可得，然后根据可证，则有，进而问题可求解．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，故②正确；
在和中，
，
∴，故③正确；
∵，
∴根据三角形内角和可知，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2023春·江苏苏州·七年级校考期中）如图，将长方形沿翻折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到的度数和，从而可以得到的度数．
【详解】解：由题意可得，，
∵，，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）在中，，于点D，于点E，于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由是等腰三角形，于点D，得到，，又由得到，则，由得到，则，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
4．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）如图所示，在中，，、线段的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用垂直平分线的性质得到，再利用等腰三角形的性质求出的度数，结合含角的直角三角形特征得到，根据，即可求出最后结果．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含角的直角三角形特征，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握性质特征是解答本题的关键．
5．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图，A、C、E三点在同一直线上，，都是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论中正确的个数为（ ）
①；②平分；③；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】先由SAS判定，证得①正确；推出，利用三角形的外角性质证得③正确；再由ASA证，得到，，可得⑤正确，④错误；作过作于，于，同理证得，得到②正确．
【详解】解：和均是等边三角形，
，，，
，，
，
在和中，，
，
∴；故①正确；
，
∵，
∴；故③正确；
在和中， ，
，
∴，故⑤正确；
∴，
而，
∴，故④错误；
如图，过作于，于，
，
，，
，
，，
平分，故②正确；
综上，正确的有①②③⑤共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
6．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，平分，，，垂足分别是A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C．射线是对称轴 D．平分
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质，轴对称图形和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．
【详解】解：对A、B、D选项，∵平分，，，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，，
∴平分，故A、B、D正确，不符合题意；
C．∵平分，，，
∴直线是对称轴，故C错误，符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意证明，是解题的关键．
7．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，，平分，是射线上的一点，于，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】作交于，由角平分线的定义及性质可得，，由平行线的性质可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后由含角的直角三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：如图，作交于，
，
，平分，，，，
，，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义及性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2022秋·湖北随州·八年级校考期中）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为（ ）.
A． B．或 C． D．或或
【答案】D
【分析】分别以每个顶点为顶角的顶点，根据等腰三角形的定义和性质确定的度数即可得到答案．
【详解】解：∵，平分，
∴，
如图，当时，，
当时，，
∴，
当时，，
综上可知，的度数为或或，
故选：D
【点睛】此题考查等腰三角形的定义和性质，角平分线的定义，根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键．
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．或 B． C． D．和
【答案】A
【分析】分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时，分别进行计算即可．
【详解】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图：
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
这个等腰三角形的底角是；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图：
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
这个等腰三角形的底角是；
综上所述：这个等腰三角形的底角是或，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
10．（2021秋·陕西渭南·八年级校考期中）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由是的垂直平分线，得,由是的平分线，，，得出,借助即可，通过证出,从而有，即可得出即可求出的长．
【详解】连接，，
是的垂直平分线，
,
是的平分线，，，
,
在和中，
,
,
．
在和中，
,
,
,
,
,
,
．
故选：A
【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
11．（2021秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，过作于，得到，依据，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到．
【详解】解：如图，连接，
∵点关于的对称点恰好落在上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
12．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在中，，分别以点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；作直线交于点，交于点；连结．则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据作图得到垂直平分，即可得到，，结合得到，即可得到答案；
【详解】解：由作图可得，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D；
【点睛】本题考查垂直平分线性质，等腰三角形形判定及性质，解题的关键是根据作图得到垂直平分线．
13．（2020秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，在等边三角形中，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点A在边上的点D位置，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠可知，，再由三角形的内角和定理即可计算出的度数，即可求的度数．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是折叠而成，
∴，，
又∵
∴，
∴
∴在中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及折叠的性质，解题的关键是熟知等边三角形与折叠的性质，并灵活运用三角形内角和定理进行计算．
14．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，点B在点A的北偏西方向，点C在点B的正东方向，且点C到点B与点A到点B的距离相等，则点A相对于点C的位置是（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西
【答案】D
【分析】根据题意求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，得到答案．
【详解】解：如图，
∵点B在点A的北偏西方向，
∴，
∵点C在点B的正东方向，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A相对于点C的位置是南偏西，
故选：D．
【点睛】本题考查的是方向角、等腰三角形的性质，正确标注方向角是解题的关键．
15．（2022秋·河南漯河·八年级校考期中）如图，为线段上一动点（不与点A、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：
①；②；③；④；⑤，一定成立的是（ ）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
【答案】B
【分析】证明，就可以得出，，证明得出，可以得出是等边三角形，就可以得出，就可以得出，由就可以得出，就可以得出，根据得到，进而得出结论．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，．
故①正确，
在和中，
，
∴，
∴，
故④正确，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故②正确，
∵，
∴．
故⑤正确，
∵，
∴，
∴，
∴．
故③错误，
综上所述，正确的有：①②④⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
16．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
，
．
，
，
，
，
，；
故选：A．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形．
17．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】由于此高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以要分锐角三角形和钝角三角形两种情况求解．
【详解】解：分两种情况：
①高在三角形的内部时，如图：
，，，
∴，
∴；
②高在三角形的外部时，如图：
，，，
∴，
∴．
故底角度数为或，
故选D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想与数形结合思想的应用．
18．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，为上一点，连接平分交于点，且，，，，则的长为（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由平分，可得，，再由等腰三角形的判定和性质可得，代入数值进行计算即可得到答案．
【详解】解：平分，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，注意等腰三角形“三线合一”性质的运用．
19．（2022秋·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，中边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：垂直平分，且，
，
的周长为，
，
，即，
则的周长是，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
20．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，在中，，，点在上，，，则等于（ ）
A．1 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】由等腰三角形的性质可得，由垂线的定义可得，由直角三角形的性质可得，，由三角形外角的定义及性质可得，从而得到，最后由进行计算即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、垂线的定义、含角的直角三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
二、填空题
21．（2022春·四川·八年级校联考期中）如图，已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点，若，则的度数为 ．
【答案】/40度
【分析】首先根据等边三角形的性质可得，再结合翻折的性质可得，易知，结合三角形内角和定理可得，然后由可推导，然后在中由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
由翻折可得，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、对顶角相等以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
22．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，为等边三角形，点分别在边上，与相交于点，且．则 度．
【答案】
【分析】利用等边三角形的性质易证，可得，根据外角等于不相邻两个内角的和即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，本题中求证是解题的关键．
23．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．
【答案】2
【分析】根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得， 可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
24．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，点是等边内一点，联结且．点D在外且．联结．若是以为腰的等腰三角形，则 度．
【答案】125或110
【分析】利用等边三角形的性质结合，，可证得是等边三角形，，可知，，设，则，可得则，，，分两种情况：当时，，当时，，分别求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，则
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，，
设，则，
则，
，
，
当时，，即：，
解得：，即；
当时，，即：
解得：，即；
综上，或，
故答案为：125或110．
【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题关键在于掌握相关图形的性质．
25．（2021秋·福建福州·八年级校考期中）如图，中，平分，且平分，于，于．如果，，则 ．
【答案】4
【分析】连接，根据角平分线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得，可得，再证得，得到，设，由，即可得方程，解方程求出，进而可求得．
【详解】解：连接，，
平分，，，
，，
且平分，
，
在与中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，，，，
，
解得：，
，
，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解是解决问题的关键．
26．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）如图，已知和中，，，，，相交于点P，则 度．
【答案】120
【分析】先根据等边三角形的判定与性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得．
【详解】解：，，，
和都是等边三角形，
，
又，
，即，
在和中，，
，
，
，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
27．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，等边的边长为，D、E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ．
【答案】3
【分析】由将沿直线折叠，点A落在点处，根据折叠的性质，即可得，又由等边的边长为，易得阴影部分图形的周长为：，则可求得答案．
【详解】解：∵等边的边长为，
∴，
∵沿直线折叠，点A落在点处，
∴，
∴阴影部分图形的周长为：
，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
28．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，、、在平面内有点，使和全等，则点的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】分三种情况画出图形，根据对称性结合全等三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：如图，
根据对称性可得当时，满足条件，此时点D的坐标为；
当时，也满足条件，此时作于E，则根据全等三角形的对应高相等可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据对称性可得：关于x轴对称的点也满足条件；
综上，点的坐标为或或；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质，全面分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
29．（2021秋·辽宁辽阳·八年级统考期中）若，则点关于轴对称的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出的值，从而得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案．
【详解】解：，，，
，，
解得：，，
点的坐标为
关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质、关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，以及关于轴对称的点的坐标特征为横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
30．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）若等腰三角形的两边的边长分别为和，则这个三角形周长是 ．
【答案】49
【分析】分为底和腰两种情况，分别根据等腰三角形的定义、三角形三边关系确定等腰三角形的边，最后求周长即可．
【详解】解：①当为底边时，第三边长为,因为，故不能构成三角形；
②当为腰时，第三边长为,，故能构成三角形；则三角形的周长为．故答案为：49.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识点，最后利用三角形三边关系进行检验是解答本题的关键．
三、解答题
31．（2020秋·福建福州·八年级校考期中）如图，和均是以点为顶点的等腰三角形，，点，，在同一直线上，是的中点，连接，，设．
(1)用含的式子表示．
(2)当时，用等式表示线段、、之间的数量关系，并给出证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）首先证明，由全等三角形的性质可知，由可求得的度数；
（2）由等腰三角形三线合一的性质可知，即，最后依据可得到、、之间的数量关系．
【详解】（1）解：和均是等腰三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
同（1）的方法得，，
，
∵，∴和均是等腰直角三角形，
在等腰中，，M为DE中点，
，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．证明出是解答本题的关键．
32．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，中，厘米，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1厘米/秒，点N的速度为2厘米/秒．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．设点M、N运动时间为t秒．
(1)当点M、N运动__________秒时，可得到等边三角形：
(2)当点M、N运动__________秒时，M、N两点重合；
(3)请在备用图里画出图形解答：当点M、N在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时t的值．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)12
(3)作图见解析；存在；
【分析】（1）根据等边三角形的判定，得到当时可得到等边三角形，进行求解即可；
（2）根据重合时，点比点多运动12cm，进行求解即可；
（3）根据要求画图即可，证明，得到，列式求解即可．
【详解】（1）解：∵中，厘米，
∴为等边三角形，
∴，
∴当时，为等边三角形，
由题意，得：，解得：；
即：当点M、N运动4秒时，可得到等边三角形；
故答案为：；
（2）由题意，得：，解得：，
∴当点M、N运动秒时，M、N两点重合；
故答案为：12；
（3）存在
当秒时M、N两点恰好在C处重合．
如图，是以MN为底边的等腰三角形．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
33．（2022秋·广西柳州·八年级统考期中）如图，在等边中，为上一点，为延长线上一点，连接交于点，且，过点作交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质得，由，得，，则，即可根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”证明是等边三角形；
（2）由，，得，由，得，而，即可证明，则．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形．
（2）证明：是等边三角形
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
34．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）在中，所对的边分别为．已知．求证，．
【答案】见解析
【分析】由，则在的内部作，可得，，在中，由三边关系可知：，即可证明结论．
【详解】证明：∵，则在的内部作，
∴，
∴，
在中，由三边关系可知：，
∴．
【点睛】本题考查三角形的三边关系及等角对等边，画出图形，添加辅助线构造三角形，利用三角形三边关系是解决问题的关键．
35．（2022秋·浙江台州·八年级校考期中）在中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论；
（）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
36．（2021秋·辽宁盘锦·八年级校考期中）某数学小组学习了图形的全等之后，进行了如下研究：
(1)已知在中，，， 直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为D，E．
①如图1．当直线m经过内部时， 在图1中完成， 经测量发现， ；(填“”“”或“”)；
②如图2，当直线m经过外部时，间的关系是 ；
(2)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上， 且有， 其中α为任意锐角或钝角．（1）②中的结论是否成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展与说明：如图4，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合) ， 且，F是平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，求的度数．
【答案】(1)①；②
(2)仍然成立，理由见解析
(3)．
【分析】（1）①证明，可得，，，由此即可求解；
②证明，可得，，，由此即可求解；
（2）证明，可知，，由此即可求证；
（3）与都是等边三角形，，由此即可求解．
【详解】（1）解：①；
证明：如图：
∵，直线，直线，
∴，
∴，且，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
如图：
同理，，
∴，，
∵，
∴，
综上，；
故答案为：；
②，
证明：∵，直线，直线，
∴，
∴，且，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：仍然成立，理由如下：
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：由（2）可知：，，
又∵与都是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判断和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键．
37．（2021秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，已知中，边的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交AC于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）通过判定，即可求证；
（2）通过证明，得到，设，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，平分，
∴，
又为的垂直平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴
（2）由（1）知，，
在和中，
∵
∴，
∴，∴，
设，则，
解得：，
即
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
38．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，在的延长线上取点，在上取点、，连接、，交于点，已知．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，连接，使，且，若，求长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)10．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出，再根据以及三角形外角性质，得出，即可得到；
（2）先判定是等边三角形，再过点作，交于点，则为等边三角形，进而得出，，，再根据，可得，进而得到；
（3）先根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，得出，再根据是等边三角形，且，得出，进而判定，得到，再判定，即可得出．
【详解】（1）证明：如图1，∵，
，
，
，
又，，
，
；
（2）证明：，，
，
，
又，
，即是等边三角形，
如图2，过点作，交于点，则为等边三角形，
，，，
，
又，
，
；
（3）解：如图3，，
，
又∴，
，，
，
是等边三角形，且，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了请点击三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
39．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，已知：在中，，是高和的交点，
(1)求证：．
(2)若，，求：三角形的边的长．
【答案】(1)见解析；
(2)8．
【分析】（1）先证明，再证明，从而利用ASA证明可得到结论；
（2）结合（），，，可以解决问题．
【详解】（1）证明：∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴（）；
（2）解：由（）知：，
∴，，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到．
40．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧．
(1)若，，求的度数；
(2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值
【答案】(1)
(2)；当时，有最大值，即
【分析】（1）根据证明与全等，进而解答即可；
（2）根据当时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）解：在与中，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：，
，
，，，
，
∴当时，x最小，最大，，
，，
，
，
时，有最大值，即．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定两个三角形全等的方法是解题的关键．
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2023-2024学年上学期期中考试强化训练：八年级数学-第13章-轴对称
一、单选题
1．（2022秋·四川眉山·八年级校考期中）如图：A、B、C三点在一条直线上，分别以线段、为边向同一方向做等边三角形，和，连接交于点F，连接交于点G，，交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023春·江苏苏州·七年级校考期中）如图，将长方形沿翻折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）在中，，于点D，于点E，于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）如图所示，在中，，、线段的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图，A、C、E三点在同一直线上，，都是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论中正确的个数为（ ）
①；②平分；③；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，平分，，，垂足分别是A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C．射线是对称轴 D．平分
7．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，，平分，是射线上的一点，于，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022秋·湖北随州·八年级校考期中）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为（ ）.
A． B．或 C． D．或或
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．或 B． C． D．和
10．（2021秋·陕西渭南·八年级校考期中）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2021秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在中，，分别以点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；作直线交于点，交于点；连结．则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2020秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，在等边三角形中，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点A在边上的点D位置，且，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，点B在点A的北偏西方向，点C在点B的正东方向，且点C到点B与点A到点B的距离相等，则点A相对于点C的位置是（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西
15．（2022秋·河南漯河·八年级校考期中）如图，为线段上一动点（不与点A、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：
①；②；③；④；⑤，一定成立的是（ ）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
16．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
17．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
18．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，为上一点，连接平分交于点，且，，，，则的长为（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2 D．3
19．（2022秋·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，中边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，在中，，，点在上，，，则等于（ ）
A．1 B．5 C．6 D．8
二、填空题
21．（2022春·四川·八年级校联考期中）如图，已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点，若，则的度数为 ．
22．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，为等边三角形，点分别在边上，与相交于点，且．则 度．
23．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．
24．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，点是等边内一点，联结且．点D在外且．联结．若是以为腰的等腰三角形，则 度．
25．（2021秋·福建福州·八年级校考期中）如图，中，平分，且平分，于，于．如果，，则 ．
26．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）如图，已知和中，，，，，相交于点P，则 度．
27．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，等边的边长为，D、E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ．
28．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，、、在平面内有点，使和全等，则点的坐标为 ．
29．（2021秋·辽宁辽阳·八年级统考期中）若，则点关于轴对称的点的坐标为 ．
30．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）若等腰三角形的两边的边长分别为和，则这个三角形周长是 ．
三、解答题
31．（2020秋·福建福州·八年级校考期中）如图，和均是以点为顶点的等腰三角形，，点，，在同一直线上，是的中点，连接，，设．
(1)用含的式子表示．
(2)当时，用等式表示线段、、之间的数量关系，并给出证明．
32．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，中，厘米，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1厘米/秒，点N的速度为2厘米/秒．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．设点M、N运动时间为t秒．
(1)当点M、N运动__________秒时，可得到等边三角形：
(2)当点M、N运动__________秒时，M、N两点重合；
(3)请在备用图里画出图形解答：当点M、N在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时t的值．若不存在，请说明理由．
33．（2022秋·广西柳州·八年级统考期中）如图，在等边中，为上一点，为延长线上一点，连接交于点，且，过点作交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
34．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）在中，所对的边分别为．已知．求证，．
35．（2022秋·浙江台州·八年级校考期中）在中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
36．（2021秋·辽宁盘锦·八年级校考期中）某数学小组学习了图形的全等之后，进行了如下研究：
(1)已知在中，，， 直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为D，E．
①如图1．当直线m经过内部时， 在图1中完成， 经测量发现， ；(填“”“”或“”)；
②如图2，当直线m经过外部时，间的关系是 ；
(2)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上， 且有， 其中α为任意锐角或钝角．（1）②中的结论是否成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展与说明：如图4，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合) ， 且，F是平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，求的度数．
37．（2021秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，已知中，边的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交AC于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
38．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，在的延长线上取点，在上取点、，连接、，交于点，已知．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，连接，使，且，若，求长．
39．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，已知：在中，，是高和的交点，
(1)求证：．
(2)若，，求：三角形的边的长．
40．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧．
(1)若，，求的度数；
(2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值
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