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2023-2024学年上学期期中考试强化训练：九年级数学-第21章-一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
2．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）为增强学生体质，各高校准备开展足球联赛，赛制为单循环形式，现计划安排21场比赛，则共有几支队伍参赛（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】设共有支队伍参赛，赛制为单循环形式，即每两队之间都赛一场，支队伍比赛总场数为，即可列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设共有支队伍参赛，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
共有7支队伍参赛，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
3．（2023春·安徽合肥·八年级合肥38中校考期中）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】A
【分析】由方程有实数根，得到判别式，即可求解．
【详解】解：①当时，方程为，是一元一次方程，
解得，符合题意；
②当时，方程是一元二次方程，
∵于x的方程有实数根，
∴，
∴，
即，
∴，
∴方程为一元二次方程时，m的取值范围是且，
综上所述：m的取值范围是．
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式及一元二次方程的定义，根据方程有实数根进行分类讨论是解题的关键．
4．（2022秋·广东江门·九年级台山市武溪中学校考期中）一元二次方程的解为（ ）
A． B． C．或 D． 且
【答案】C
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
移项得：，
分解因式得：，
解得：或，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
5．（2022春·安徽滁州·八年级校考期中）若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】B
【分析】根据是一元二次方程的一个解得到，整体代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：是一元二次方程的一个解，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，根据一元二次方程的解的定义得出是解此题的关键．
6．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.若设米，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可求长方形的长为（米），由长方形的面积即可求解．
【详解】解：由题意得
长方形的长为：
（米），
则可列方程为：；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
7．（2023春·安徽宣城·八年级校考期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长（ ）尺．
A．10 B．8 C．10或2 D．8或2
【答案】A
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长．
【详解】解：设竹竿尺，则图中．
，
，
又在直角三角形中，，
由勾股定理得：，
所以，
整理，得，
因式分解，得，
解得，，
因为且，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，解一元二次方程，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．
8．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，即可一一判定．
【详解】解：、为是一元二次方程，故此选项符合题意；
、是分式方程，故此选项不符合题意；
、为二元二次方程，故此选项不符合题意；
、当时，方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解题的关键．
9．（2021秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考期中）若关于x的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据有一根小于1，一根大于1建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：，
，
解得，，
这个方程有一根小于1，一根大于1，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．
10．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）已知某商场一月份营业额为10万元，二月份经营不善，营业额减少，三份开始整顿，到四月份营业额为12.32万元．若三、四月份月增长率相同，设三月份的增长率为，则可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得二月份的营业额为，则三月份的营业额为，根据三、四月份月增长率相同，四月份营业额为12.32万元，可得方程，即可解答．
【详解】解：由题意可得方程，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系．
11．（2022秋·天津西青·九年级校考期中）某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
12．（2022春·安徽合肥·八年级校考期中）已知是实数，且满足，，则的值是（ ）
A．0或 B．5或15 C．或5 D．0或15
【答案】D
【分析】先把变形得，则把替换成用a表示的式子，解一元二次方程即可．
【详解】解：变形得：①，
变形得：②，
把②代入①得：③，
解方程③得：或5，
则或10，
则的值为15或0．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
13．（2022春·安徽六安·八年级校考期中）定义新运算，对于两个不相等的实根a，b，我们规定符号表示a，b中较大值，如，因此，按照这样的规定，若，则x的值是（ ）
A．或 B． C．1或 D．0或
【答案】A
【分析】解：据题意得，等于a、b中较大的值，当时，；当时，，解出方程，即可．
【详解】解：由题意知，等于a、b中较大的值，
∴当时，
，
，
解出，，
∵，不合题意，舍去，
取；
当时，，
，
解得：，，
，不合题意，舍去，
；
综上所述：的值是或．
故选：A．
【点睛】本题考查新定义，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
14．（2022秋·广东深圳·九年级校联考期中）已知是方程的解，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【分析】将代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：是方程的解，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】解：该一元二次方程为，
，，，
，
该一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
16．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2016年手机支付用户约为4.69亿人，连续两年增长后，2018年手机支付用户达到约5.83亿人，如果设这两年手机支付用户的年均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设这两年手机支付用户的年平均增长率为，根据“由原来4.69亿人增长到5.83亿人”，根据即可得出方程．
【详解】解：设这两年手机支付用户的年平均增长率为，
依题意，得．
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．正确找出等量关系是解题的关键.
17．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
【详解】解：，
移项得：，
∴二次项系数和一次项系数分别是和，
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项是解题关键．
18．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期中）中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．则羊的只数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意找出等量关系，“头数加只数只数减头数只数乘头数只数除头数”，把相关数值代入化简即可．
【详解】设羊的只数为，则头数加只数为，只数减头数为，只数乘头数为，只数除头数为，
∴根据题意：，
解得：，(不符合题意，舍去)
故选：．
【点睛】此题考查了用一元二次方程解决实际问题，读懂题意，得到总只数为的等量关系是解题的关键．
19．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）若关于的方程有实数根，是实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．且
【答案】A
【分析】分方程是一元一次和一元二次两种情况求解即可．
【详解】解：当时，，解得，
当时，，解得，且，
综上，实数的取值范围是；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元二次方程的根的判别．解题的关键在于分方程是一元一次和一元二次两种情况求解．
20．（2023春·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）我校图书馆三月份借出图书本，计划四、五月份共借出图书本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先表示出四月份借出图书本，五月份借出图书本，然后根据四、五月份共借出图书本列出方程即可．
【详解】解：设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则四月份借出图书本，五月份借出图书本，
根据题意列出的方程是，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四、五月份借出图书量是在三月份借出图书量的基础上得到的．
二、填空题
21．（2022秋·湖南衡阳·九年级校考期中）如图，在一块长8m、宽6m的矩形空地上，修建一横一纵共两条等宽的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为，则修建的道路的宽应为 m.
【答案】1
【分析】设修建的道路的宽应为，通过平移可得栽种花草的部分可拼成一个长为宽为的长方形，由此列一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设修建的道路的宽应为，
由题意得，
整理，得，
解得，，
当时，，不合题意，舍去；
故修建的道路的宽应为．
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，平移的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．
22．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月的720万元，连接两个月降至500万元，设平均每月降低率为x，则可列方程 ．
【答案】
【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论．
【详解】解：依题意，得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）若，（）为菱形的两条对角线，且a，b为一元二次方程的两根，则菱形的周长为 ．
【答案】20
【分析】利用根与系数的关系可得出，，进而可得出的值，利用勾股定理及菱形的性质，可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出菱形的周长．
【详解】解：∵a、b为一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴菱形的边长为，
∴菱形的周长为．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、菱形的性质以及勾股定理，利用根与系数的关系及勾股定理，求出菱形的边长是解题的关键．
24．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）已知关于的二次方程的两根为，，且，则 ．
【答案】1
【分析】根据根与系数的关系可得和的值，然后根据，即可求得的值．
【详解】解：关于的二次方程的两根为，，
，，
，
，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
25．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）已知关于的方程有一根是，则 ．
【答案】5
【分析】根据方程可求得方程的根为，，结合方程有一根是，可得，进而可求得的值．
【详解】解：∵，
∴或，
可得关于的方程为，，
∵关于的方程有一根是，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查解一元二次方程及一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键．
26．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如果，则方程必有一解为 ．
【答案】1
【分析】根据，若，则，可判断当时满足条件，于是判断出方程的根．
【详解】解：∵，若，则，
∴当时，，
∴此方程必有一个根为1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解得知识点，解答本题的关键是利用好的条件，此题比较简单．
27．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明，如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则 ．
【答案】6
【分析】利用正方形的面积和全等三角形的性质，得到，，并可设 ，则．在中，利用勾股定理可求出x的值，从而即可得出的值．
【详解】解：∵小正方形的面积是4，大正方形的面积是100，
∴小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，
∴，．
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
∴可设，则．
在中，，
∴，
解得：，（舍），
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形面积公式，解一元二次方程，正方形的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
28．（2021秋·陕西渭南·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】设一元二次方程的两个根为，根据，根据面积公式计算即可．
【详解】设一元二次方程的两个根为，
∵，
∴菱形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数关系定理，菱形的面积公式，熟练掌握根与系数关系定理，菱形的面积公式是解题的关键．
29．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）若是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
【答案】2030
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，把代入方程得，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2030．
【点睛】本题考查代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系，把代数式进行变形成整体代入求值是解题的关键．
30．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】由题意知，，，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，，解得，，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题
31．（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）已知关于的一元二次方程
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围．
(2)若方程的两实数根分别为，并且满足求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得根的判别式，据此得到不等式求解即可；
（2）由根与系数的关系可得；然后代入求出的值即可．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，
解得：，
∴实数m的取值范围是；
（2）解：由两根关系得，
∵，
∴，
即
解得：（不符合要求，舍去）或，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
32．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）设每次下降的百分率为，为两次降价的百分率，50降至32是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，
根据题意得，，
解得：（舍）或，
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克应涨价元，
由题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∵商场要尽快减少库存，
∴符合题意，
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．
33．（2022秋·安徽宿州·九年级校考期中）已知关于x的方程有实数根．
(1)当一次项系数为负数时，k的取值范围是___________；
(2)当时，设方程的两个实数根分别为a，b，试说明：不存在实数k，使得．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据一次项系数为负数列出不等式，求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得，，再由列方程，解得，最后求出此时，即可说明不存在．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
故答案为：；
（2）根据根与系数的关系，得，，
若，即，解得．
当时，原方程可化为，
此时，，
所以，不存在实数，使得．
【点睛】此题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握根的判别式的意义和根与系数的关系是解本题的关键．
34．（2022春·安徽滁州·八年级校考期中）“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
(1)求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元
【答案】(1)每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为
(2)当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元
【分析】(1)由图象可知每月销售量(件)与售价(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为，用待定系数法求解即可；
(2)由题意得关于x的医院二次方程，解一元二次方程可得答案．
【详解】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，
设其函数关系式为，
将，代入，得，解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为﹔
（2）根据题意得：，
整理得，，解得，，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的，
∴，即，
∴不合题意应舍去，∴．
∴当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元．
【点睛】本题考查了一次函数与一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键．
35．（2022春·福建厦门·九年级校考期中）（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【答案】；
【分析】（1）分别解两个不等式，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集；
（2）直接利用配方法解方程即可．
【详解】解：（1）,
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是：；
解：（2）
方程移项得：，
配方得：，即，
解得：；
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
36．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）凤凰百货商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？
【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为；
(2)当商品降价5元时，商品获利4250元
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：400件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量每件商品的利润4250列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：或（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
37．（2021秋·陕西渭南·九年级统考期中）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形土地做养鸡场，如图所示，矩形养鸡场一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆），求这个矩形养鸡场的长和宽．
【答案】这个矩形养鸡场的长是，宽是．
【分析】设这个茶园的宽为，则另一边的长度为，根据茶园的面积为，列出方程并解答即可．
【详解】解：设，则．
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：这个矩形养鸡场的长是，宽是．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．
38．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，则商场日销售量增加___________件，当天可获利___________元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【答案】(1)6，1692
(2)，
(3)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元
【分析】（1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【详解】（1）销售量增加：件，
当天盈利：（元）．
故答案为：6；1692．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元．
故答案为，；
（3）根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∵商城要尽快减少库存，
∴．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【点睛】考查了列代数式、有理数混合运算的实际应用、一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程（或算式）．
39．（2022秋·北京·九年级北京市十一学校校考期中）阅读下面的材料，回答问题：
(1)将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．
已知，用“降次法”求出的值是 ．
(2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为（1），解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
请你用（2）中的方法求出方程的实数解．
【答案】(1)2024
(2)，
【分析】（1）先用表示得到，再两边平方，则可用表示得到，然后利用整体代入的方法计算；
（2）设，则原方程可变为，利用因式分法解方程得到，．当时，，解方程得到或；当时，，利用根的判别式的意义判断
方程没有实数解，从而得到原方程的根为，．
【详解】（1），
，
，
；
故答案为：2024；
（2），
，
设，则原方程可变为，
解得，．
当时，，
解得或；
当时，，
，
，
方程没有实数解，
原方程的根为，．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了换元法．
40．（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）定义：若关于x的一元二次方程（）的两个实数根为和（），分别以、为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”.
(1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标；
(2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，
①若点P在直线上，求k的值；
②点O为坐标原点，求当线段OP取得最小值时点P的坐标.
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）解方程x2＝4得两根，即可得结果；
（2）①将点P坐标代入即可得出．
②根据点P坐标特点，判断出点P在直线上，然后当于点P时，OP取得最小值．
【详解】（1）解方程得：，
所以，点．
（2）∵，
∴.
∵，
∴，.
∴
∵点P在直线上，
∴.
∴
②∵，
∴点P在直线l：上
∴当于点P时，OP取得最小值
如图，设直线l：分别交x轴、y轴于点A、B，作于点P、于点H，则、.
∴.
又∵，
∴是等腰直角三角形.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一次函数的性质等知识点，知识点的熟练运用是解题关键．
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2023-2024学年上学期期中考试强化训练：九年级数学-第21章-一元二次方程
一、单选题
1．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
2．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）为增强学生体质，各高校准备开展足球联赛，赛制为单循环形式，现计划安排21场比赛，则共有几支队伍参赛（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2023春·安徽合肥·八年级合肥38中校考期中）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
4．（2022秋·广东江门·九年级台山市武溪中学校考期中）一元二次方程的解为（ ）
A． B． C．或 D． 且
5．（2022春·安徽滁州·八年级校考期中）若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
6．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.若设米，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·安徽宣城·八年级校考期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长（ ）尺．
A．10 B．8 C．10或2 D．8或2
8．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考期中）若关于x的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）已知某商场一月份营业额为10万元，二月份经营不善，营业额减少，三份开始整顿，到四月份营业额为12.32万元．若三、四月份月增长率相同，设三月份的增长率为，则可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022秋·天津西青·九年级校考期中）某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022春·安徽合肥·八年级校考期中）已知是实数，且满足，，则的值是（ ）
A．0或 B．5或15 C．或5 D．0或15
13．（2022春·安徽六安·八年级校考期中）定义新运算，对于两个不相等的实根a，b，我们规定符号表示a，b中较大值，如，因此，按照这样的规定，若，则x的值是（ ）
A．或 B． C．1或 D．0或
14．（2022秋·广东深圳·九年级校联考期中）已知是方程的解，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
16．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2016年手机支付用户约为4.69亿人，连续两年增长后，2018年手机支付用户达到约5.83亿人，如果设这两年手机支付用户的年均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
18．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期中）中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．则羊的只数为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）若关于的方程有实数根，是实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．且
20．（2023春·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）我校图书馆三月份借出图书本，计划四、五月份共借出图书本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
21．（2022秋·湖南衡阳·九年级校考期中）如图，在一块长8m、宽6m的矩形空地上，修建一横一纵共两条等宽的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为，则修建的道路的宽应为 m.
22．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月的720万元，连接两个月降至500万元，设平均每月降低率为x，则可列方程 ．
23．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）若，（）为菱形的两条对角线，且a，b为一元二次方程的两根，则菱形的周长为 ．
24．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）已知关于的二次方程的两根为，，且，则 ．
25．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）已知关于的方程有一根是，则 ．
26．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如果，则方程必有一解为 ．
27．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明，如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则 ．
28．（2021秋·陕西渭南·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为 ．
29．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）若是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
30．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
三、解答题
31．（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）已知关于的一元二次方程
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围．
(2)若方程的两实数根分别为，并且满足求m的值．
32．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
33．（2022秋·安徽宿州·九年级校考期中）已知关于x的方程有实数根．
(1)当一次项系数为负数时，k的取值范围是___________；
(2)当时，设方程的两个实数根分别为a，b，试说明：不存在实数k，使得．
34．（2022春·安徽滁州·八年级校考期中）“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
(1)求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元
35．（2022春·福建厦门·九年级校考期中）（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
36．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）凤凰百货商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？
37．（2021秋·陕西渭南·九年级统考期中）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形土地做养鸡场，如图所示，矩形养鸡场一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆），求这个矩形养鸡场的长和宽．
38．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，则商场日销售量增加___________件，当天可获利___________元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
39．（2022秋·北京·九年级北京市十一学校校考期中）阅读下面的材料，回答问题：
(1)将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．
已知，用“降次法”求出的值是 ．
(2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为（1），解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
请你用（2）中的方法求出方程的实数解．
40．（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）定义：若关于x的一元二次方程（）的两个实数根为和（），分别以、为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”.
(1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标；
(2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，
①若点P在直线上，求k的值；
②点O为坐标原点，求当线段OP取得最小值时点P的坐标.
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