中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年上学期期中考试强化训练：九年级数学-第22章-二次函数
一、单选题
1．（2021秋·陕西渭南·九年级校考期中）二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②（为不等于1的实数）；③；④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021秋·江西上饶·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为， ；⑤若m， n为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2022秋·北京·九年级北京市十一学校校考期中）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，，两点，若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2022春·福建福州·九年级校考期中）已知二次函数，当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为．若点，在该二次函数图象上，，则，的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，y随x增大而增大．其中结论正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，对称轴是直线，P为抛物线的顶点，则P到原点的距离为（ ）．
A．17 B． C．16 D．
8．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）已知点在抛物线上，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的两组对应值：
… 0 …
… …
下列各选项中可能错误的是（ ）
A．这个函数的图象开口方向无法确定
B．这个函数的图象对称轴是直线
C．如果时，函数y的值算的增大而或小，那么这个函数有最大值
D．二次函数与轴一定有两个交点
10．（2022秋·广东惠州·九年级校考期中）已知抛物线．下列结论：
①抛物线开口向下；②对称轴是轴；③顶点坐标是；④函数有最小值；⑤当时，随的增大而减小．
其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）已知函数，当时，有最大值，最小值3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
14．（2021秋·福建莆田·九年级统考期中）已知二次函数的图象如下图所示，且关于的一元二次方程有实数根，有下列结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
15．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）在二次函数：①；②；③中，图像开口大小顺序用序号表示为（ ）
A． B． C． D．
16．（2021秋·河北石家庄·九年级校联考期中）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（ ）
A．小球的最大高度为8米
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．当小球抛出高度达到时，小球距O点水平距离为
17．（2021秋·广东韶关·九年级校考期中）设二次函数，的图象与一次函数图象交于点，，若函数的图象与x轴仅有一个交点，则（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）对于二次函数，下列说法中，正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为
C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向下，顶点坐标为
20．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）已知抛物线经过，，三点，若，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期中）如图，一段抛物线：．记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得．
（1）请写出抛物线的解析式： ；
（2）若点在第10段抛物线上，则 ；
（3）在第 段抛物线上．
22．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）如图，正方形的边长为5，E为上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．
①若，则正方形的面积为 ．
②连接，，则面积的最小值为 ．
23．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）已知抛物线的顶点为点，与轴负半轴交于点，直线与抛物线交于点，与直线交于点，则线段的长度最大值为 ．
24．（2020秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）已知二次函数的图象如图所示，当时，函数y有最小值是 ，最大值是 ．
25．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）抛物线（，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③一元二次方程的两根为，，则；④对于任意实数m，不等式恒成立．则上述说法正确的是 ．（填序号）
26．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级校考期中）小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．你认为其中正确信息的有： ．（填序号）
27．（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与轴的一个交点为，直线与抛物线交于，两点，下列结论：；不等式的解集为；抛物线与轴的另一个交点是；方程有两个相等的实数根；
其中正确的是 ．
28．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）若抛物线与x轴的交点为，则方程的解为 ．
29．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级校考期中）已知为抛物线上的点，则 ．
30．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）若关于x的函数与坐标轴仅有两个交点，则a的值可能是 ．
三、解答题
31．（2022秋·安徽六安·九年级校考期中）已知抛物线与x轴交于和两点，且与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是对称轴上一点，求当周长最短时，求点的坐标．
32．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
(3)当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？
33．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）抛物线过点，，
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求y的取值范围．
34．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期中）如图1，在坐标系内有一矩形，，，把它绕点C顺时针旋转角，旋转后的矩形，在旋转过程中，
(1)如图1，当点E在射线上时，直接写出E点坐标；
(2)当是正三角形时，直接写出的度数；（为锐角）
(3)如图2，当与相交于G点，时，求G点坐标；
(4)如图3，当时，判断矩形的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．
35．（2023秋·广东广州·九年级广州市天河中学校考期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． 若设每件衬衫降价元，商场平均每天赢利元．
(1)写出与之间的函数关系式，并化成一般式；
(2)若商场平均每天赢利要达到1200元，且让顾客得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？
(3)请说明商场平均每天赢利能否达到1300元？
36．（2022秋·湖北襄阳·九年级校联考期中）如图，已知抛物线经过、两点．
(1)求，的值和顶点坐标；
(2)当时，求的取值范围．
37．（2022秋·湖北襄阳·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，顶点为的抛物线与轴交于点．
(1)如图，当时，点是抛物线段上的一个动点．
①求，，，四点的坐标；
②当面积最大时，求点的坐标；
(2)在轴上有一点，当点在线段上时，直接写出的取值范围．
38．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（）与运行的水平距离（）满关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．
(1)当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当时，球能否越过球网？球会不会出界（球落在边界上算界内）？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，直接写出的最大值．
39．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）已知抛物线交y轴于点B，交x轴于点C，抛物线顶点为A，点P是抛物线上的动点，其横坐标为n．
(1)求证：抛物线与x轴一定有交点．
(2)当时，
①当点P在x轴下方时，结合图象直接写出n的取值范围；
②若点C在如图1位置，当点P位于第四象限时，过点P分别作直线，y轴的垂线段．求当n为何值时，的长度最大．
(3)是否存在一定点D，无论m取何值，抛物线都经过该定点？若存在，则以为边作等腰直角三角形，此时若点G恰好落在此抛物线的对称轴上，直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点
(1)求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；
(2)若是第一象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与交于点，连接．设点的横坐标为．
①求线段的最大值；
②时，求值；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年上学期期中考试强化训练：九年级数学-第22章-二次函数
一、单选题
1．（2021秋·陕西渭南·九年级校考期中）二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②（为不等于1的实数）；③；④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由对称轴可知：，由图象可知：，
，
，
故本选项正确；
②当时，；
当时，，
当m取关于抛物线对称轴的对称点时，，
即，
此时，
故本选项错误；
③∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴，
∴，
故本选项错误；
④由图象可知：当时，，
∴，
故本选项正确；
综上所述，正确的是①④．
故选：B．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
2．（2021秋·江西上饶·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为， ；⑤若m， n为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由开口方向确定a，由与y轴交点判c，由对称轴及a判b，结合对称轴及的点即可判a，c关系，根据交点即对称性即可判方程的根，即可得到答案；
【详解】解：由函数图象可得，
，，，
则，故①正确；
，得，
∵时，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
由图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误；
∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，
∴的两个根为，，
∴的两个根为，，
∴一元二次方程的两根分别为， ，故④正确；
∵该函数与x轴的两个交点为，，
∴该函数的解析式可以为，
当时，，
∴当对应的x的值一个小于，一个大于2，
∴若m，为方程的两个根，则且，故⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查根据二次函数图像判断各个式子的值，解题的关键是根据图像判断各项系数与0的关系，结合对称轴及与x轴交点确定方程的解．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①③，由时及抛物线的对称性可判断②，由抛物线与轴交点个数可判断④．
【详解】解：抛物线开口方向向下，
，
抛物线的对称轴，
，
，故③错误，
抛物线与轴交点在轴的上方，
，
，故①错误，
由图象可知时，，
抛物线的对称轴为直线，
时，，故②正确，
抛物线与轴有两个交点，
，即，故④正确，
综上所述正确的有②④，共两个，
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4．（2022秋·北京·九年级北京市十一学校校考期中）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，，两点，若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】通过比较点和点到轴的距离的远近判断与的大小．
【详解】解：抛物线的对称轴为轴，
而，到轴的距离比，点到轴的距离要远，
所以．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用二次函数的图象比较二次函数值的大小比较简便．
5．（2022春·福建福州·九年级校考期中）已知二次函数，当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为．若点，在该二次函数图象上，，则，的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由二次函数图像可知函数的最小值为，由得到即可得到答案．
【详解】由二次函数图像可知函数的最小值为，
在该二次函数图象上，，
得到，
故．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键．
6．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，y随x增大而增大．其中结论正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即可判断①；进而得到，，从而得到，即可判断②；根据当时，即可判断③；求出时的函数值即可判断④；根据抛物线的增减性即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即抛物线经过原点，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵当时，，
∴，故③错误；
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，故④正确；
∵抛物线对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，y随x增大而减小，故⑤错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
7．（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，对称轴是直线，P为抛物线的顶点，则P到原点的距离为（ ）．
A．17 B． C．16 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称性，以及抛物线与x轴的两个交点之间的距离，求出两个交点坐标，进而求出函数解析式，求出顶点坐标，即可得解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，对称轴是直线，
∴两个交点到对称轴的距离均为2，
∴两个交点坐标分别为，
∴抛物线的解析式为：，
∴，
∴P到原点的距离为；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的对称性，求二次函数的解析式和顶点坐标，熟练掌握二次函数的对称性，求出二次函数图象与轴的交点坐标，是解题的关键．
8．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）已知点在抛物线上，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据进行讨论，然后根据函数的增减性即可得出答案
【详解】解：∵
∴或
∴或
∵抛物线的对称轴为：
∵
∴点A比点B与对称轴的距离远，
∴
∵
∴点A比点B与对称轴的距离远，
∴
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键
9．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的两组对应值：
… 0 …
… …
下列各选项中可能错误的是（ ）
A．这个函数的图象开口方向无法确定
B．这个函数的图象对称轴是直线
C．如果时，函数y的值算的增大而或小，那么这个函数有最大值
D．二次函数与轴一定有两个交点
【答案】D
【分析】根据抛物线经过点，可得抛物线对称轴为直线，由抛物线经过点，利用待定系数法，可得抛物线解析式为，进而判断各选项．
【详解】解：抛物线经过点，，
抛物线对称轴为直线，
故选项B正确；
设这个函数的解析式为，
代入点，得，
故这个函数的解析式为，
不能确定的值，即这个函数的图象开口方向无法确定，
故选项A正确；
如果时，函数y的值算的增大而或小，
这个函数的图象开口向下，
故选项C正确；
时，，
，不能确定与的大小．
故选项D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
10．（2022秋·广东惠州·九年级校考期中）已知抛物线．下列结论：
①抛物线开口向下；②对称轴是轴；③顶点坐标是；④函数有最小值；⑤当时，随的增大而减小．
其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，故①正确；
对称轴是轴，故②正确；
顶点坐标是，故③错误；
函数有最大值，故④错误；
当时，随的增大而减小，故⑤正确；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）已知函数，当时，有最大值，最小值3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数表达式可求出对称轴，再根据函数图象开口向下可得函数性质，确定最值范围即可求解．
【详解】解：，
对称轴为直线，
当时，，当时，，
因此时，，
当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小，
时，有最大值，最小值3，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，掌握性质及图象、运用数形结合思想是解题的关键．
12．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】解：正方形边长为4，
，
是的二次函数，函数的顶点坐标为，开口向上
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意
但是的顶点在轴上，故B不符合题意，只有A符合题意
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
13．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】根据二次函数的开口确定，根据对称轴为可得，，即且，二次函数与轴的交点可得，则，可判断①；二次函数与轴有两个交点，则，即，可判断②；二次函数和轴的一个交点坐标为，且对称轴为，则另一交点坐标为，即方程的两个根是，，可判断③；将代入可得，，可判断④；根据函数图象，对称轴以及开口方向可以判定⑤．
【详解】解：二次函数的开口向下，则，
对称轴为可得，，即且，
二次函数与轴的交点为，可得，则，①正确；
二次函数与轴有两个交点，则，即，②正确；
二次函数和轴的一个交点坐标为，且对称轴为，则另一交点坐标为，
由二次函数与一元二次方程的关系可得：方程的两个根是，，③正确；
将代入可得，，④正确；
，开口向下，对称轴为
则时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而增大，⑤正确，
正确的个数为5．
故选：A
【点睛】此题考查了二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
14．（2021秋·福建莆田·九年级统考期中）已知二次函数的图象如下图所示，且关于的一元二次方程有实数根，有下列结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质以及二次函数与一元二次方程的关系，求解即可．
【详解】解：由函数图象可得，图象与轴有两个交点，则，①正确；
函数图象开口向下，则，对称轴在的右侧，则，可得
函数图象与轴的交点在轴上方，则
则，②错误；
关于的一元二次方程有实数根，则有解
即与有交点
则，即，③错误；
正确的个数为1
故选：B
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
15．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）在二次函数：①；②；③中，图像开口大小顺序用序号表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可得，的绝对值越大，开口越小，求解即可．
【详解】解：二次函数：①；②；③中
，，
∵，，，即
∴①的开口小于③的开口小于②的开口，
即，
故选：C
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握的绝对值越大，开口越小．
16．（2021秋·河北石家庄·九年级校联考期中）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（ ）
A．小球的最大高度为8米
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．当小球抛出高度达到时，小球距O点水平距离为
【答案】D
【分析】根据抛物线的性质得出A正确；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B正确；求出抛物线与直线的交点，判断C正确，求出当时，x的值，判定D错误．
【详解】解：A、，
，
当时，y有最大值，最大值为8，
小球的最大高度为8米，故A正确；
B、，
抛物线的对称轴为，
当时，y随着x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，故B正确；
C、解方程组：，
得：或，
则小球落地点距O点水平距离为7米，故C正确；
D、当时，，
整理得，
解得，，
当小球抛出高度达到时，小球距O点水平距离为或，故D错误；
故选∶D．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．（2021秋·广东韶关·九年级校考期中）设二次函数，的图象与一次函数图象交于点，，若函数的图象与x轴仅有一个交点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先根据一次函数的图象经过点，，可得，；然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，，再结合对称轴公式求解．
【详解】一次函数的图象经过点，，
，
，
，
当时，，，
当时，，
与轴仅有一个交点，
的图象与轴的交点为，，
，
化简得：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，．
18．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
【详解】解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时点P和点B重合，即抛物线的对称轴为：，
N点坐标为，则M点坐标为，
点P和点A重合，点M的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为：，
N点坐标为，则M点的坐标为，
点M的横坐标的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
19．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）对于二次函数，下列说法中，正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为
C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向下，顶点坐标为
【答案】B
【分析】根据二次函数顶点式的特点即可判断．
【详解】解：∵，
∴，顶点坐标为，
∴抛物线开口向下，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；其顶点坐标是．
20．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）已知抛物线经过，，三点，若，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得出，即可确定抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】解：，
∴该抛物线对称轴为直线．
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y值最大，即最大；
∵，
∴点比点离对称轴远，
∴；
当时，点P和点Q重合，即此时．
综上可知．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
二、填空题
21．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期中）如图，一段抛物线：．记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得．
（1）请写出抛物线的解析式： ；
（2）若点在第10段抛物线上，则 ；
（3）在第 段抛物线上．
【答案】 1 一/1
【分析】（1）根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，
（2）利用已知得出图象与x轴交点坐标变化规律，进而求出a的值；
（3）根据，代入解析式求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线：．记为，它与x轴交于点O、；
∴抛物线过两点，
∵将绕点旋转得，
∴物线的解析式二次项系数为：，且过点，
∴物线的解析式为；
故答案为：；
（2）∵抛物线：，
∴图象与x轴交点坐标为：，
∵将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得．
∴与x轴的交点横坐标为，且图象在x轴上方，
∴抛物线的解析式为：，
当时，．
故答案为：1．
（3）∵，且当时，，
∴在第一段抛物线上．
故答案为：一
【点睛】此题主要考查了二次函数的旋转规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．
22．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）如图，正方形的边长为5，E为上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．
①若，则正方形的面积为 ．
②连接，，则面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】①利用勾股定理求出即可解决问题；
②设，则，根据，求出面积的函数表达式，配方求最值即可．
【详解】解：①∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积，
故答案为：；
②设，则，
∵，
∴，
∵，
∴时，的面积的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用配方法求二次函数的最值，根据，求出面积关于x的函数表达式是解题的关键．
23．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）已知抛物线的顶点为点，与轴负半轴交于点，直线与抛物线交于点，与直线交于点，则线段的长度最大值为 ．
【答案】/0.25
【分析】先根据抛物线解析式求出点P，点A的坐标，再求出直线的解析式，进而用含m的代数表示出的长度，即可求解．
【详解】解：如图，
，
顶点的坐标为，抛物线的对称轴为，
令，
解得，，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
直线与抛物线交于点，与直线交于点，
点M的纵坐标为，点N的纵坐标为，
，
二次项系数，
抛物线开口向下，
当时，取最大值，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，解题的关键是用含m的代数表示出的长度．
24．（2020秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）已知二次函数的图象如图所示，当时，函数y有最小值是 ，最大值是 ．
【答案】 6
【分析】直接根据二次函数的图象进行解答即可．
【详解】解：由二次函数的图象可知，
当时，二次函数的最大值为6，最小值为，
故答案为：6；．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键．
25．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）抛物线（，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③一元二次方程的两根为，，则；④对于任意实数m，不等式恒成立．则上述说法正确的是 ．（填序号）
【答案】①②/②①
【分析】利用抛物线的对称性，借助图象即可判断①；根据对称轴为直线即可判断②；根据题意得出，，即可判断③；根据时，函数有最大值即可判断④．
【详解】解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间．
∴当时，，
即，所以①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故结论②正确；
③一元二次方程的两根为，，
即的两根为，，
∴抛物线与直线的交点的横坐标为，，
当时，，
当时，，
∴直线经过点，抛物线与x轴的另一个交点在点和之间．
∴，
∴，所以结论③错误；
④∵时，函数有最大值，
∴（任意实数m），
∴，所以④结论错误；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于点：抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
26．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级校考期中）小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．你认为其中正确信息的有： ．（填序号）
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】根据图象的开口方向，与坐标轴的交点坐标，对称轴位置，逐一判断即可解答．
【详解】解：根据图象的开口向下，可得，故（1）正确；
根据函数图象与轴的交点坐标在的上方，可得，故（2）正确；
根据函数图象的对称轴在轴右边，可得异号，故，故（3）正确；
根据图像可得，当时，，即，故（4）正确；
根据图像可得，当时，，即，故（5）错误；
故答案为：（1）（2）（3）（4）．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
27．（2022秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与轴的一个交点为，直线与抛物线交于，两点，下列结论：；不等式的解集为；抛物线与轴的另一个交点是；方程有两个相等的实数根；
其中正确的是 ．
【答案】
【分析】错误，由题意，，，；观察图象即可判断正确，错误；抛物线与轴的另一个交点是；抛物线 图象与直线只有一个交点，方程有两个相等的实数根，故正确．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线交轴于负半轴，
∴，
∵对称轴在轴右边，
∴，
∴，
∴，故错误，
由题意：图象与直线交于，两点，
当时，即不等式的解集为，故正确，
抛物线与轴的另一个交点是，故错误，
∵抛物线 图象与直线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故正确，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
28．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）若抛物线与x轴的交点为，则方程的解为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的图象与轴交点的横坐标就是方程的两根填空即可．
【详解】解：当时，，
二次函数的图象与轴交点坐标的横坐标就是方程的两根；
又二次函数与轴的交点为，
方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点．注意二次函数与一元二次方程的联系．
29．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级校考期中）已知为抛物线上的点，则 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可解答．
【详解】解：的对称轴为直线，
开口向下，
时，随的增大而减小，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像上的点的坐标特征，二次函数的性质，能熟练运用二次函数的性质进行推理是解题的关键．
30．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）若关于x的函数与坐标轴仅有两个交点，则a的值可能是 ．
【答案】0或1或2
【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分三种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；③函数为二次函数，与y轴的交点也在x轴上，即图象经过原点．针对每一种情况，分别求出a的值．
【详解】解：∵关于x的函数的图象与坐标轴仅有两个交点，
∴可分如下三种情况：
①当函数为一次函数时，有，
∴，此时，与坐标轴有两个交点；
②当函数为二次函数时，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，
∵函数与x轴有一个交点，
∴，
∴，
解得：；
③函数为二次函数时，与x轴有两个交点，与y轴的交点和x轴上的一个交点重合，即图象经过原点，
∴，解得，
当，此时，与坐标轴有两个交点．
故答案为：0或1或2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
三、解答题
31．（2022秋·安徽六安·九年级校考期中）已知抛物线与x轴交于和两点，且与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是对称轴上一点，求当周长最短时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于和两点可设抛物线的解析式为：，根据抛物线与轴交于点，求出的值即可得到答案；
（2）连接与对称轴交于点，连接，当三点共线时，有最小值，此时的周长最短，求出直线的解析式，直线与对称轴的交点即为点．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于和两点，
设抛物线的解析式为：，
抛物线与轴交于点，
将代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为：，即；
（2）解：抛物线解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线与x轴交于和两点，
点、关于直线对称，
如图，连接与对称轴交于点，连接，
则，
，
当三点共线时，有最小值，此时的周长最短，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、利用轴对称求最短距离，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
32．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
(3)当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？
【答案】(1)
(2)当每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4000元
(3)当每件童装售价定为47元或53元时，该店一星期可获得3910元的利润
【分析】（1）根据每降价1元，每星期可多卖10件列出对应的函数关系式即可；
（2）设每星期利润为w元，根据利润（售价进价）销售量列出w关于x的关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：设每星期利润为w元，
根据题意，得
，
∵，
∴当时，w有最大值为4000元，
∴当每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4000元．
（3）解：由题意得，，
整理得：，
解得或，
∴当每件童装售价定为47元或53元时，该店一星期可获得3910元的利润．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式等等，正确理解题意列出对应的函数关系式和方程是解题的关键．
33．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）抛物线过点，，
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】将，，代入得，，计算求解可得的值，进而可得解析式；
（2）由，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的图象与性质求解取值范围即可．
【详解】（1）解：将，，代入得，，
解得，，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴当时，y值最小，为，
当时，，
当时，，
∵，
∴当时，y的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
34．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期中）如图1，在坐标系内有一矩形，，，把它绕点C顺时针旋转角，旋转后的矩形，在旋转过程中，
(1)如图1，当点E在射线上时，直接写出E点坐标；
(2)当是正三角形时，直接写出的度数；（为锐角）
(3)如图2，当与相交于G点，时，求G点坐标；
(4)如图3，当时，判断矩形的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)点H不在此抛物线上．
【分析】（1）依题意得点E在射线上，横坐标为，纵坐标为矩形对角线的长，根据勾股定理可得点E；
（2）已知，然后可得；
（3）设，则，，在中根据勾股定理即可求解；
（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为，把点A的坐标代入求出a值．当时代入函数解析式可得解．
【详解】（1）解：在矩形中，对角线为，
由旋转得，，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
由旋转知，；
（3）解：设，则，，
在中，∵，
∴，
解得，即，
∴；
（4）解：由题意得，，
设以C为顶点的抛物线的解析式为，
把代入，得．
解得．
∴抛物线的解析式为，
矩形的对称中心H即为对角线的交点，
∵，，
∴．
当时，．
∴点H不在此抛物线上．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用以及利用待定系数法求出函数解析式，解决问题的关键是掌握旋转的性质以及矩形的性质．
35．（2023秋·广东广州·九年级广州市天河中学校考期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． 若设每件衬衫降价元，商场平均每天赢利元．
(1)写出与之间的函数关系式，并化成一般式；
(2)若商场平均每天赢利要达到1200元，且让顾客得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？
(3)请说明商场平均每天赢利能否达到1300元？
【答案】(1)
(2)20元
(3)不能，理由见详解
【分析】（1）设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件，根据总利润每件的利润销售数量列式即可；
（2）当时，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出结论．
【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件，
依题意，得：；
（2）解：当时，
，
整理，得：，
解得：，，
让顾客得到实惠，
．
答：每件衬衫应降价20元；
（3）解：设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件，
依题意，得：，
整理，得：．
，
该方程无解，
商场平均每天盈利不可能为1300元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
36．（2022秋·湖北襄阳·九年级校联考期中）如图，已知抛物线经过、两点．
(1)求，的值和顶点坐标；
(2)当时，求的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）将点代入计算可得的值，从而可得抛物线的解析式，再将解析式化成顶点式，据此可得顶点坐标；
（2）根据二次函数的增减性求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
则，
所以抛物线的顶点坐标为．
（2）解：由（1）可知，，
则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
当时，；当时，；当时，，
所以的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法是解题关键．
37．（2022秋·湖北襄阳·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，顶点为的抛物线与轴交于点．
(1)如图，当时，点是抛物线段上的一个动点．
①求，，，四点的坐标；
②当面积最大时，求点的坐标；
(2)在轴上有一点，当点在线段上时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，；②
(2)m的取值范围为或
【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C， D的坐标，①当时，代入上述坐标即可得出结论；②过点P作轴交直线于点E，设点P的横坐标为t，所以，根据三角形的面积公式可得的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；
（2）由(1)可知，，y轴上有一点，点C在线段上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可．
【详解】（1）∵直线与轴，轴分别交于，两点，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点为，
令，则，
∴
①当时，
∴ ；
②由上可知，直线的解析式为，抛物线的解析式为，
如图，过点P作轴交直线于点E，
设点P的横坐标为t，
∴
∴，
∴的面积为
∵，
∴当时，的面积的最大值为3，
此时；
（2）由(1)可知，，
y轴上有一点，点C在线段上，
需要分两种情况：
当时，可得；
当时，可得，
∴m的取值范围为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数上点的坐标特点，三角形的面积，不等式的应用，分类讨论思想等相关内容，第二问注意需要分类讨论．
38．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（）与运行的水平距离（）满关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．
(1)当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当时，球能否越过球网？球会不会出界（球落在边界上算界内）？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，直接写出的最大值．
【答案】(1)
(2)球能越过球网，球会出界，理由见解析
(3)
【分析】（1）将点A的坐标和的值代入二次函数解析式中即可求出结论；
（2）分别将、代入二次函数解析式中，求出的值，然后比较大小即可得出结论；
（3）先将点A的坐标代入解析式中，用含的式子表示出，根据题意可知：当时，＞；当时，，列出不等式组即可求出结论．
【详解】（1）解：由图象可知：点
将点和代入解析式中，得
解得：
∴与的关系式为；
（2）球能越过球网，球会出界，理由如下
将代入中，得
∴球能越过球网；
将代入中，得
∴该抛物线与x轴的右交点必在的右侧
∴球会出界
综上：球能越过球网，球会出界；
（3）将点代入解析式中，得
解得：
∴抛物线的解析式为
若球一定能越过球网，则当时，；
∴
解得：
若不出边界，即抛物线与x轴的右交点在的左侧或重合，则当时，；
∴
解得
综上：若球一定能越过球网，又不出边界，的最大值为．
【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决实际问题是解题关键．
39．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）已知抛物线交y轴于点B，交x轴于点C，抛物线顶点为A，点P是抛物线上的动点，其横坐标为n．
(1)求证：抛物线与x轴一定有交点．
(2)当时，
①当点P在x轴下方时，结合图象直接写出n的取值范围；
②若点C在如图1位置，当点P位于第四象限时，过点P分别作直线，y轴的垂线段．求当n为何值时，的长度最大．
(3)是否存在一定点D，无论m取何值，抛物线都经过该定点？若存在，则以为边作等腰直角三角形，此时若点G恰好落在此抛物线的对称轴上，直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
(3)存在；点G的坐标是或或或
【分析】（1）只要证明对应方程的判别式即可；
（2）①求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据抛物线的性质求解；
②作轴交于点G，如图，证明，用含n的代数式表示，再利用二次函数的性质求解；
（3）先确定定点坐标是，求出点，设抛物线的对称轴交x轴于点H，根据构建方程求解即可．
【详解】（1）当时，可得方程，
∵方程的，
∴抛物线与x轴一定有交点；
（2）①当时，抛物线为，
当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴交于点，
∵点P在x轴下方时，
∴其横坐标n的取值范围是；
②∵，，
∴，直线的解析式是，
∴，
作轴交于点G，如图，
则，
∴，
∵点P是抛物线上的动点，其横坐标为n，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的长度最大；
（3）存在；∵当时，，
∴无论m取何值，抛物线都经过定点，
∴，
∵，
∴，
设抛物线的对称轴交x轴于点H，则，
∵点G在抛物线的对称轴上，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
当时，，
解得或4；
此时点A的坐标是（舍去）或，
∴点G的坐标是或；
当时，，
解得或3，
此时点A的坐标是或（舍去），
∴点G的坐标是或，
综上，点G的坐标是或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特点二次函数的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
40．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点
(1)求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；
(2)若是第一象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与交于点，连接．设点的横坐标为．
①求线段的最大值；
②时，求值；
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)① ；②
【分析】（1）将A、B、C三点的坐标代入中得一个三元一次方程组，解这个方程组求出a、b、c的值即可得二次函数的表达式，再将一般式化成顶点式，即可求得顶点坐标．
（2）①设直线的表达式为，将B、C两点的坐标代入中求得m、n的值，即可知的表达式．由P点的横坐标为t，可得P点的坐标为，M点的坐标为，用含有t的代数式表示出的长，再求出最大值即可．
②用含有t的代数式表示出和的长，由和等高，且，可得，即可求出t的值．
【详解】（1）（1）将，，代入，得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为．
，
∴二次函数图像的顶点坐标为.
（2）①设直线的表达式为，
将代入，得：
，
解得：，
∴直线的表达式为．
∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
，
∴线段的最大值为．
②∵点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
．
和等高，，
，即，
解得：（不合题意，舍去），
∴当时，的值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数及几何图形的综合运用，综合性较强，难度较大．熟练掌握用待定系数法求函数表达式及数形结合法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
