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2023-2024学年上学期期中考试强化训练：九年级数学-第23章-旋转
一、单选题
1．（2022春·福建漳州·八年级校考期中）已知点与点关于坐标原点对称，则实数a，b的值是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在中，，，点P是内一点，，，，求的度数（ ）
A． B． C． D．
3．（2021秋·福建福州·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，以原点为中心，将点按顺时针方向旋转，得到的点Q所在的位置是（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．x轴上 D．y轴上
4．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（ ）．
A． B．3 C． D．
5．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转，点落在的延长线上的处，点落在处，若，，则的长为（ ）
A．7.5 B．6 C．6.4 D．6.5
6．（2021秋·河北廊坊·九年级统考期中）如图，点是正方形内一点，将绕点沿顺时针方向旋转后与重合，若，那么（ ）
A． B． C．6 D．
7．（2022春·河南焦作·八年级校考期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图，正方形的两边，分别在轴、y轴上，点在边上，以为中心，把绕点顺时针旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图，一段抛物线：（），记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得.若在第13段抛物线上，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当旋转角为，，，三点在同一直线上时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·福建漳州·八年级校考期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转度得到，若，则旋转角的值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·福建漳州·八年级校考期中）如图，点在上，点在上，与交于点若≌，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．与关于直线对称 D．只通过旋转变换能与重合
14．（2023春·山西运城·八年级统考期中）如图，将绕点逆时针旋转，点的对应点与点重合，得到，连接AD、AE．若，，，则的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
15．（2023春·福建漳州·八年级校考期中）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60°
二、填空题
16．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在中，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点在一条直线上，那么旋转角等于 ．
17．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期中）已知点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为 ；
18．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级校考期中）如图．在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，M是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最小值为 ．
19．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图，矩形起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．则顶点A在旋转2022次后的坐标为 ．
20．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．
21．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，，，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，线段的中点恰好落在抛物线上，则 ．
22．（2022秋·山西晋中·八年级校考期中）如图，两块完全一样的含角的直角三角板，将它们重叠在一起，绕其较长直角边的中点转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面三角板的直角顶点．已知，则这两块直角三角板顶点A、之间的距离等于 ．
23．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）如图，在中，，，，，为中点，为线段上一动点，为线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转90°得到，连，则线段的最小值为 ，线段的最小值为 .
24．（2023春·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期中）如图，点P是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为 ．
25．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）平面直角坐标系内与关于原点对称的点的坐标是 ．
三、解答题
26．（2022春·安徽合肥·八年级校考期中）（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个质点均在格点上，现将绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，如图所示则__________；
（2）（解决问题）
如图2条等边内有一点P，且，，，如果将绕点B逆时针旋转得出，求的度数和的长；
（3）（灵活运用）
如图3．将（2）题中“在等边内有一点P”改为“在等腰直角三角形 内有一点P”且，，，，求的度数．
27．（2022春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，为等边三角形，点F是线段上一点（点F不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点D，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)延长交与点M，求证：M为的中点．
28．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出，并作出它关于轴对称的图形．
(2)画出绕点逆时针旋转的图形．
(3)求的面积．
29．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）在的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹）．
(1)将线段绕点逆时针旋转得到线段；
(2)作的角平分线；
(3)作线段关于四边形的中心点对称的线段．
30．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
直接写出的度数为______；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
31．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期中）如图，的三个顶点坐标分别是、、．
(1)把绕C点旋转180°后，画出旋转后的，写出、的坐标；
(2)把平移到的位置，使A的对应点的坐标为，画出平移后，写出、的坐标；
(3)直接写出的面积．
32．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为．
(1)画出关于原点对称的；
(2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的对应点的坐标．
33．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）已知正方形，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图（）中，分别画出另外三边的中点；
(2)在图（）中，连接，将绕着点顺时针旋转，画出旋转后的三角形．
34．（2022秋·北京·九年级北京市十一学校校考期中）如图，等腰三角形中，，．作于点，将线段绕着点逆时针旋转角后得到线段，连接．求证：．
35．（2022春·福建厦门·八年级校考期中）正方形的顶点处有一等腰直角三角形，，连接，．
(1)如图1，若点在上
①当，求的度数；
②求线段和之间的数量关系．
(2)若将图1中的顺时针旋转使点落在上，如图2，则和之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
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一、单选题
1．（2022春·福建漳州·八年级校考期中）已知点与点关于坐标原点对称，则实数a，b的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】关于原点对称的横纵坐标互为相反数，由此可得到答案．
【详解】解：由于点与点关于坐标原点对称，
根据关于原点对称的横纵坐标互为相反数，
得到，
故选B．
【点睛】本题主要考查坐标关于原点对称的性质，熟知关于原点对称的横纵坐标互为相反数是解题的关键．
2．（2020秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在中，，，点P是内一点，，，，求的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将绕点B逆时针旋转得到，根据旋转性质得到，，，证明为等腰直角三角形，得到，，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，且，进而可求解．
【详解】解：根据题意，将绕点B逆时针旋转得到，如图，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，利用旋转性质求解是解答的关键．
3．（2021秋·福建福州·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，以原点为中心，将点按顺时针方向旋转，得到的点Q所在的位置是（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．x轴上 D．y轴上
【答案】D
【分析】过点作轴，垂足为，根据垂直定义可得，再根据点的坐标可得，然后利用等腰直角三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，即可解答．
【详解】解：如图：过点作轴，垂足为，
∴，
∵点，
∴，
∵，
∴，
∴以原点为中心，将点按顺时针方向旋转，得到的点所在的位置在轴上，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（ ）．
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．首先证明，推出点G的在射线上运动，推出当时，的值最小，证明四边形是矩形，进一步推出，则，即可得到的最小值为．
【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点G的在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形得到动点运动的轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
5．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转，点落在的延长线上的处，点落在处，若，，则的长为（ ）
A．7.5 B．6 C．6.4 D．6.5
【答案】C
【分析】过点A作于点H，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的性质可得的长，进而可得的长，根据勾股定理可得的长，根据旋转的性质进一步可得的长．
【详解】解：过点A作于点H，如图所示：
，，，
根据勾股定理，得，
是的中点，
，
，
，
即，
解得，
，
根据勾股定理，可得，
根据旋转的性质，可得，
点H是的中点，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，利用面积法求的长是解决本题的关键．
6．（2021秋·河北廊坊·九年级统考期中）如图，点是正方形内一点，将绕点沿顺时针方向旋转后与重合，若，那么（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得出，，则为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据旋转的性质可知，，，
为等腰直角三角形，
由勾股定理，得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方．
7．（2022春·河南焦作·八年级校考期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质得出，然后利用进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了旋转的性质：掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是本题的关键．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
8．（2020秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图，正方形的两边，分别在轴、y轴上，点在边上，以为中心，把绕点顺时针旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作交轴于点，证，即可得知绕点顺时针旋转点的对应点即为，求出即可得出答案．
【详解】解：如图，作交轴于点，
，
四边形是正方形，，
，，，，
，，
在和中，
，
，
，，
绕点顺时针旋转点的对应点即为，其坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质及旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键．
9．（2020秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图，一段抛物线：（），记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得.若在第13段抛物线上，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】求出抛物线与轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在轴上方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线的解析式，然后把点的坐标代入计算即可得解．
【详解】解：令，则，
解得，，
，
由图可知，抛物线在轴上方，
相当于抛物线向右平移个单位得到，
抛物线的解析式为，
∵在第13段抛物线上，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
10．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可知，根据，因此可算出，又因为旋转的性质可知，即可求解．
【详解】解：∵将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，A点落在位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等，每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
11．（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当旋转角为，，，三点在同一直线上时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解．
【分析】解：将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当旋转角为，，，三点在同一直线上，
，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．（2022秋·福建漳州·八年级校考期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转度得到，若，则旋转角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，，根据三角形内角和定理求得，由旋转得，则．
【详解】解：，，
，
由旋转得，
，
，
故选A．
【点睛】本题重点考查旋转的性质，三角形内角和定理等知识，求得是解题的关键．
13．（2022秋·福建漳州·八年级校考期中）如图，点在上，点在上，与交于点若≌，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．与关于直线对称 D．只通过旋转变换能与重合
【答案】D
【分析】连接，根据全等三角形的性质可得，，，从而利用等式的性质可得，再根据对顶角相等可得，然后根据可证≌，从而可得，再利用证明≌，从而可得与关于直线对称，最后根据旋转的性质可得不能通过旋转变换与重合，逐一判断即可解答．
【详解】解：连接，
≌，
，，，
，
，
，
≌，
，
，
≌，
与关于直线对称，
故A、B、C不符合题意；
因为不能通过旋转变换与重合，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握旋转的性质，以及全等三角形的性质是解题的关键．
14．（2023春·山西运城·八年级统考期中）如图，将绕点逆时针旋转，点的对应点与点重合，得到，连接AD、AE．若，，，则的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质和等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：是由绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识，解题的关键是证明．
15．（2023春·福建漳州·八年级校考期中）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60°
【答案】B
【分析】根据平移的性质得出，，根据旋转的性质得出，推出为等边三角形，，，根据即可得出平移距离．
【详解】解：∵沿射线的方向平移得到，，
∴，，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴为等边三角形，
则，，
∵，
∴，
综上：平移的距离为2，旋转角的度数为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平移和旋转的性质，解题的关键是掌握平移和旋转前后，对应角相等，对应边相等；对应边的夹角等于旋转角；对应点连线的距离等于平移距离．
二、填空题
16．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在中，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点在一条直线上，那么旋转角等于 ．
【答案】/度
【分析】根据三角形内角和定理可求，再根据旋转的性质可得旋转角为．
【详解】解：∵，，
∴，
根据旋转的性质可得：
旋转角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
17．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期中）已知点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为 ；
【答案】
【分析】过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用旋转的性质可得，，然后利用平角定义可得，从而利用同角的余角相等可得，进而可得，最后利用全等三角形的性质可得，，即可解答．
【详解】解：如图：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
，
，
，
，
由旋转得：，
，
，
()，
，
的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级校考期中）如图．在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，M是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最小值为 ．
【答案】2
【分析】连接．解直角三角形求出，，再根据即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
在中，，，，
，，
是的中点，是的中点，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
即，
的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图，矩形起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．则顶点A在旋转2022次后的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据矩图形、旋转和图形规律的性质，计算出旋转周期，结合坐标的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：∵矩形，，
∴，，
根据题意，当矩形第1次旋转至图①位置，点A坐标保持不变
第2次旋转至图②位置，点，即
第3次旋转至图③位置，点，即
第4次旋转后，点，即
∴矩形旋转4次后，矩形沿轴向右平移6个单位长度，
∴当矩形旋转次后，矩形沿轴平移个单位长度，
∵
∴，
∴连续旋转2022次后，A点的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形、旋转、图形和数字规律、直角坐标系的知识，解题的关键是熟练掌握图形和数字规律的性质．
20．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将逆时针旋转得到，根据题意证明出是等边三角形，得到，进而得到，证明出当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，将逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形
∴
∴
∴当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度，
∵菱形的边长为4
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是将逆时针旋转得到．
21．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，，，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，线段的中点恰好落在抛物线上，则 ．
【答案】
【分析】先根据旋转的性质，得到，，进而得到中点，再利用抛物线上的点的坐标特征，即可求出的值．
【详解】解：，，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，
，，
是线段的中点，
，
恰好落在抛物线上，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形和坐标变换——旋转，坐标中点，抛物线上点的坐标特征，正确得出C、D两点的坐标是解题关键．
22．（2022秋·山西晋中·八年级校考期中）如图，两块完全一样的含角的直角三角板，将它们重叠在一起，绕其较长直角边的中点转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面三角板的直角顶点．已知，则这两块直角三角板顶点A、之间的距离等于 ．
【答案】4
【分析】连接，由旋转的性质可得，可证是等边三角形求得的长即可．
【详解】解：如图，连接，
∵点M是中点，
∴，
∵它们重叠在一起，绕其较长直角边的中点转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面三角板的直角顶点，
∴
∴，
∴
∴，且，
∴是等边三角形
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定、旋转的性质等知识点，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
23．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）如图，在中，，，，，为中点，为线段上一动点，为线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转90°得到，连，则线段的最小值为 ，线段的最小值为 .
【答案】
【分析】由为线段上一动点，可知当时，线段取最小值，然后根据三角形的面积公式求出此时的值即可；过作于点，证明，求出，然后根据点与点重合时，取最小值，可得最小值为．
【详解】解：∵为线段上一动点，
∴当时，线段取最小值，
∵，
∴此时，即，
∴；
如图，过作于点，则，
由旋转可得，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴当点与点重合时，取最小值，最小值为
故答案为：，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，判断出何时取最小值以及取最小值是解题的关键．
24．（2023春·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期中）如图，点P是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为 ．
【答案】150
【分析】将绕点B逆时针旋转后得到的．首先证明，推出，，所以为等边三角形，得，可得，，，，即可得到为直角三角形，则，所以；由此即可解决问题．
【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转后得到的．
∴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴；
故答案为：150．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
25．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）平面直角坐标系内与关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点即可解答．
【详解】解：∵平面直角坐标系内的点与关于原点对称，
∴该点的坐标为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标的横纵坐标互为相反数成为解答本题的关键．
三、解答题
26．（2022春·安徽合肥·八年级校考期中）（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个质点均在格点上，现将绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，如图所示则__________；
（2）（解决问题）
如图2条等边内有一点P，且，，，如果将绕点B逆时针旋转得出，求的度数和的长；
（3）（灵活运用）
如图3．将（2）题中“在等边内有一点P”改为“在等腰直角三角形 内有一点P”且，，，，求的度数．
【答案】（1）（2），（3）
【分析】（1）只要证明是等腰直角三角形即可；
（2）根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，，，推出 是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，于是得到结论；
（3）仿照（2）中的思路，将绕点B逆时针旋转，得到了，然后连接，根据旋转的性质结合勾股定理的逆定理可得是直角三角形，可得从而得出结论．
【详解】解：（1）如图1，将绕点A按顺时针方向旋转，
，
；
故答案为：；
（2）如图2，是等边三角形，
，
将绕点B逆时针旋转得出，
，，，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，则是直角三角形，
；
（3）如图3，
将绕点B逆时针旋转，得到，连接，
则，，
故，
，，
是直角三角形，，
，即 ．
【点睛】本题考查几何变换综合题、旋转的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．
27．（2022春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，为等边三角形，点F是线段上一点（点F不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点D，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)延长交与点M，求证：M为的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，得出，说明即可；
（2）过点C作，交的延长线于点N，证明，得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，
∴是等边三角形，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：如图，过点C作，交的延长线于点N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即点M为的中点．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明，．
28．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出，并作出它关于轴对称的图形．
(2)画出绕点逆时针旋转的图形．
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
【详解】（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）的面积．
【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
29．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）在的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹）．
(1)将线段绕点逆时针旋转得到线段；
(2)作的角平分线；
(3)作线段关于四边形的中心点对称的线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对称点即可；
（2）利用网格的特点作出的中点，连接，则射线即为所求；
（3）连接，，线段和相交于点，分别画出点和点关于点的中心对称点和点，则线段即为所求．
【详解】（1）如图1所示，线段即为所求．
（2）如图2所示，连接，利用网格的特点作出的中点，连接，则射线即为所求．
（3）连接，，线段和相交于点，分别画出点和点关于点的中心对称点和点，则线段即为所求．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
30．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
直接写出的度数为______；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①，②，理由见解析
【分析】（1）利用证明，即可得出答案；
（2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题；
②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得．
【详解】（1）解：，
证明：是等边三角形，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
；
（2）解：①当时，
则，
，
，
，
故答案为：；
②，理由如下：
延长到，使，连接，，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
又为正三角形，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．
31．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期中）如图，的三个顶点坐标分别是、、．
(1)把绕C点旋转180°后，画出旋转后的，写出、的坐标；
(2)把平移到的位置，使A的对应点的坐标为，画出平移后，写出、的坐标；
(3)直接写出的面积．
【答案】(1)图见解析，；
(2)图见解析，；
(3)3
【分析】（1）依据以点C为旋转中心旋转，即可画出旋转后的，并写出、的坐标即可；
（2）依据点A的对应点的坐标为，，即可画出平移后的，并写出、的坐标即可；
（3）根据三角形面积计算公式进行计算即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求．
（3）
【点睛】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
32．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为．
(1)画出关于原点对称的；
(2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的对应点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）分别写出、、关于原点对称的三点分别为，，，在图中标出，依次连接即可；
（2）分别找出、、绕点逆时针旋转后对应点，的位置，然后连接，由图即可写出的坐标．
【详解】（1）解：,，
由图可知，
、、关于原点对称的三点分别为，，，
在图中标出，依次连接即可，
如图，即为所求，
（2）如图，即为所求，
由图可知，点的对应点的坐标为．
【点睛】本题考查了直角坐标系中的点的坐标，画中心对称图形和画旋转图形，掌握旋转的性质，中心对称的性质是解答本题的关键．
33．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）已知正方形，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图（）中，分别画出另外三边的中点；
(2)在图（）中，连接，将绕着点顺时针旋转，画出旋转后的三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（）连接，交于点，连接，延长交于点，同理即可画出点，；
（）连接，延长交延长线于点，连接即可．
【详解】（1）如图（），
连接，交于点，连接，延长交于点，
连接，交于点，连接，两端延长分别交，于点，，
∴，，即为所求；
（2）如图（），
连接，延长交延长线于点，连接，
∴即为旋转后的三角形．
【点睛】此题考查了作图-旋转变换，正方形的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
34．（2022秋·北京·九年级北京市十一学校校考期中）如图，等腰三角形中，，．作于点，将线段绕着点逆时针旋转角后得到线段，连接．求证：．
【答案】见解析．
【分析】将线段绕着点逆时针旋转角后得到线段，可得，然后证明与全等，可得，所以
【详解】证明：∵将线段绕着点逆时针旋转角后得到线段，
∴
∵
∴
∵，
∴
在与中，
∴．
∴
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质及三角形全等的证明，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
35．（2022春·福建厦门·八年级校考期中）正方形的顶点处有一等腰直角三角形，，连接，．
(1)如图1，若点在上
①当，求的度数；
②求线段和之间的数量关系．
(2)若将图1中的顺时针旋转使点落在上，如图2，则和之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）①利用等腰三角形的性质求解即可；②利用等腰直角三角形的性质证明即可；
（2）结论成立．如图2，过点作，且，证明，推出，，再证明四边形是平行四边形，可得结论．
【详解】（1）解：①如图1中，连接．点E在BC上，则点P在AC上，
四边形是正方形，
，，
，
，
；
②结论：．
理由：，是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，
，
；
（2）结论成立．
理由：如图2，过点作，且，连接AH，HE，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
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