2023-2024学年山西省太原重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年山西省太原重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知全集，集合，集合，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.下列六个关系式：；；；；；，其中正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.二次不等式的解集为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知集合，，，则，，的关系为( )
A. B. C. D.
6.可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是( )
A. B. C. D.
7.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知集合满足，则这样的集合可能为( )
A. B. C. D.
10.已知，，，均为实数，则下列命题正确的是
( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若， ，则 D. 若 ， ，则
11.若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是( )
A. B. C. D.
12.下列说法正确的是( )
A. 命题“，都有”的否定是“，使得”
B. 当时，的最小值是
C. 若不等式的解集为，则
D. “”是“”的充要条件
三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13.命题：“”的否定______．
14.若实数，满足，，则的取值范围是______ ．
15.已知集合，，若，则实数的取值集合为______ ．
16.已知正实数，满足，则的最小值是______ ．
四、解答题（本大题共5小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设，，．
求；
．
18.本小题分
求下列函数的最值．
求函数的最小值．
已知，求函数的最大值．
19.本小题分
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙的长度没有限制的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．
Ⅰ若菜园面积为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小？
Ⅱ若使用的篱笆总长度为，求的最小值．
20.本小题分
已知集合，
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知关于的不等式．
若的解集为，求实数，的值；
求关于的不等式的解集．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，
集合，集合，
则；
所以集合．
故选：．
根据补集与交集的定义，写出即可．
本题考查了补集与交集的定义与应用问题，是基础题目．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，属于基础题．
解一元二次不等式可得集合，再根据交集的定义计算即可．
【解答】
解：由题意得，
因为，
解得，
则
则．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：对于，根据集合的子集关系得到正确；
对于，两个集合的元素完全相同，所以正确；
对于，含有运算，而没有任何元素；故错误；
对于，根据集合与元素的关系，；正确；
对于，与都是集合而是元素与集合的关系；故错误；
对于，空集是任何集合的子集，所以正确；
故选：．
利用集合与集合，元素与集合的关系对六个关系式分别分析解答．
本题考查了集合与集合，元素与集合的关系；注意符号的运用；属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：二次不等式的解集为，
，是方程的两个实数根，且．
，解得，
．
故选C．
利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出．
熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：集合，则，．
，则，．
，则，．
，，三者分母相同，
所以只需要比较他们的分子．
：的倍数，
：的倍数，
所以．
故选：．
分别化简集合，，，结合选项得出答案．
本题考查集合的包含关系的判断及其应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
6.【答案】
【解析】解：由题意，，
解得，
而可以推出，
故选：．
先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件．
本题考查充分必要条件的应用，考查一元二次方程的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：时，不等式可化为对任意实数均成立；
时，不等式对任意实数均成立，等价于，
．
综上知，实数的取值范围是．
故选：．
分类讨论，结合不等式对任意实数均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数的取值范围．
本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题是应用题，考查的是基本不等式的应用，乘法”与基本不等式的性质使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于中档题．
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：已知，，，可得：，，
则
；
当且仅当，，时取等号．
则的最小值为：．
故答案选：．
9.【答案】
【解析】解：集合满足，
集合中至少含有元素和，且是集合的真子集，
故选：．
由已知条件，确定出集合中的元素，结合选项得出答案．
本题考查集合间的关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
根据题意，根据不等式的基本性质和举反例，综合可得答案．
本题考查不等式的性质以及应用，注意不等式成立的条件，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，，则，则有，A正确；
对于，当，，，时，，B错误；
对于，若，，则，即，则有，C正确；
对于，当，，，时，，D错误；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
对于选项B直接用特殊值法代入排除，其他选项用基本不等式代入求解即可判断．
此题主要考查基本不等式，属于中档题目．
【解答】
解：对于不等式，
由，
当且仅当时取等号，A正确；
对于不等式，令，时不成立，B错误；
对于不等式，
，当且仅当时取等号，C正确；
对于不等式，，当且仅当时取等号，D正确．
故选ACD．
12.【答案】
【解析】解：对于：命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；
对于：当时，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于：由不等式的解集为，
可知，，
，，，故C正确；
对于：由“”可推出“”，
由，可得或，推不出“”，故D错误，
故答案为：．
对于：写出命题的否定，即可判断是否正确；
对于：利用基本不等式，即可判断是否正确；
对于：利用根与系数关系，解得，，即可判断是否正确；
对于：由“”可推出“”，可得或，推不出“”，即可判断是否正确．
本题考查命题的真假，解题中需要理清思路，属于中档题．
13.【答案】，
【解析】解：特称命题的否定是全称命题
命题“，”的否定是：，．
故答案为：，．
利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，考查基本知识的应用．属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由得，由得，即，
因此．
故答案为：．
根据不等式的基本性质求解即可．
本题考查不等式的基本性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，的子集有，，，，
当时，显然有；
当时，；
当时，；
当，不存在，符合题意，
实数值集合为：，
故答案为：．
，可以得到，求出集合的子集，这样就可以求出实数值集合．
本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题．重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：正实数，满足，
，当且仅当时取等号，
即，解得或，
又正实数，，
，即的最小值是．
故答案为：．
利用基本不等式将中的表示成，求解不等式即可求得的取值范围，从而得到的最小值．
本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．
17.【答案】解：，
，
所以．
或，
所以或．
【解析】求出集合，，再利用交集运算求解即可；
求出的补集，再由并集的运算求解即可．
本题主要考查不等式的解法，集合的交、并、补运算，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：，，
当且仅当，即时，等号成立，则函数的最小值为；
，
，，
当且仅当，即时，等号成立，故当时，取得最大值．
【解析】利用配凑法即可求函数的最小值；原函数配凑系数即可函数的最大值．
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ由已知可得，而篱笆总长为．
又，
当且仅当，即，时等号成立．
菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小．
Ⅱ由已知得，
又，
，
当且仅当，即，时等号成立．
的最小值是．
【解析】Ⅰ由已知可得，而篱笆总长为利用基本不等式即可得出；
由已知得，利用基本不等式，进而得出．
本题考查了利用基本不等式的“最值定理”解决实际问题，属于基础题．
20.【答案】解：由得，
当时，则有，
解得；
当时，则有，
解得；
所以实数的取值范围为，
若，则有
或，
解得，
所以实数的取值范围为．
【解析】本题考查了集合的运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题目．
由得，讨论或时，求出对应的取值范围；
当时，求出满足条件的实数的取值范围．
21.【答案】解：因为的解集为，
所以，是方程的根，
故，
解得；；
由得，
即，
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为或；
当时，解集为
【解析】由已知结合二次方程与二次不等式的关系及方程的根与系数关系可求；
先对已知方程进行变形，然后对两根大小的情况对进行分类讨论可求．
本题主要考查了二次方程与二次不等式关系的应用，还考查了含参数二次不等式的求法，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
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