重庆八中2023—2024学年度（上）高2026级国庆学情检测数学试题
数学试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.
2．答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.
3．作答时，请将答案写在答题卡指定的区域，超出答题区域或写在试题卷、草稿纸上无效.
4．做选考题时，按要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题，，命题p的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 函数定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3. 游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（ ）
A. B.
C. D.
4 已知函数，则（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
5. 若，且，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A B. C. D.
6. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 ，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. 3 C. D.
7. 如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
8. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，错选不得分.
9. 下列各组函数表示的是不同函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10. 下列不等式，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A. ab有最大值1 B. 有最大值2
C. 有最小值2 D. 有最大值2
12. 已知有限集，如果A中元素满足，就称A为“完美集”下列结论中正确的有（ ）
A. 集合不是“完美集”
B. 若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2
C. 的“完美集”个数无限
D. 若，则“完美集”A有且只有一个，且
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的图象如图所示，那么其中只有唯一的值与之对应的值的范围是______.
14. 已知集合的子集只有两个，则实数的值为______．
15. 函数，若，则__________.
16. 已知a＞b＞0，且a＋b＝1，则的最小值为______．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合：：
（1）求集合A、B；
（2）求和．
18. 已知定义在上的函数满足：．
（1）求函数的表达式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
19. 党的二十大报告提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰、碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．在可再生能源发展政策的支持下，今年前8个月，我国光伏新增装机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦．某公司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生产x（单位：百台）发电机组需增加投入y（单位：万元），其中，该光伏发电机年产量最大为10000台．每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部售完．
（1）将利润P（单位：万元）表示为年产量x（单位：百台）的函数；
（2）当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入＝总成本＋利润）．
20. 已知关于的不等式.
（1）若，求不等式解集；
（2）若，不等式的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围.
21. 已知集合.
（1）当时，求实数的值；
（2）若时，求实数的取值范围.
22. 对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的“囧点”．
（1）当m＝2，a＝－3，b＝2时，求函数的“囧点”；重庆八中2023—2024学年度（上）高2026级国庆学情检测数学试题
数学试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.
2．答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.
3．作答时，请将答案写在答题卡指定的区域，超出答题区域或写在试题卷、草稿纸上无效.
4．做选考题时，按要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题，，命题p的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．
【详解】命题，的否定是：，
故选：D
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义域列不等式组求解即可.
【详解】由题意，得，解得且，
即函数的定义域为．
故选：C．
3. 游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】函数图像不过原点，排除AC；函数值有一段时间不变，排除B，得到答案.
【详解】游泳池原有一定量的水，故函数图像不过原点，排除AC；
再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B.
故选：D
4. 已知函数，则（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数解析式求解即可.
【详解】解：由题知，所以.
故选：C
5. 若，且，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】题目已知，且，于是可以推出得到最大数和最小数,而为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的,逐一验证.
【详解】解：且.
当时,,则,与已知条件矛盾,所以必有,同理可得.
A项,，即，故A项正确;
B项,，即，故B项错误;
C项,时,,故C项错误;
D项,当,,时,,故D项错误.
故选A
【点睛】本题主要考查给定条件判断不等式的性质，注意考虑的正负.
6. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 ，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由公式列出面积的表达式，代入已知，然后由基本不等式求得最大值．
【详解】由题意
，
当且仅当，即时等号成立﹐
此三角形面积的最大值为3.
故选：B．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
7. 如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可.
【详解】如果，则有 ，
，所以 是 的充分条件；
反之，如果 ，比如 ，则有，
根据定义， ，即不是必要条件，
故是 充分不必要条件；
故选：A.
8. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求得的最小值，根据不等式存在性问题，解一元二次不等式求得的取值范围.
【详解】若不等式有解，即即可，
因为两个正实数x，y满足，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
即，可得，即，解得或，
所以实数m的取值范围是．
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，错选不得分.
9. 下列各组函数表示的是不同函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用相同函数的定义求解.
【详解】A. 的定义域为，且，的定义域为，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；
B. 的定义域为R，定义域为R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；
C. 的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数，故错误；
D.，由得，所以的定义域为，由，得 或 ，
所以函数的定义域为或 ，所以不是同一函数，故错误；
故选：ACD
10. 下列不等式，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．
【详解】解：，
，的符号不定，所以与的大小不定，错误；
，
故，正确；
，当时，，故错误．
，故，正确；
故选：．
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A. ab有最大值1 B. 有最大值2
C. 有最小值2 D. 有最大值2
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据基本不等式，即可判断选项.
【详解】对于A项，因为，当且仅当时取等号，则ab的最大值为1，故A正确；
对于B项，，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，故B正确；
对于C项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故C正确；
对于D项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D错误.
故选：ABC
12. 已知有限集，如果A中元素满足，就称A为“完美集”下列结论中正确的有（ ）
A. 集合不是“完美集”
B. 若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2
C. 的“完美集”个数无限
D. 若，则“完美集”A有且只有一个，且
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定A错误，B和C正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定D正确.
【详解】对于A中，，，
集合是“完美集”，所以A错误；
对于B中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”，设，
根据根和系数的关系和相当于的两根，
由，解得或（舍去），所以，
所以、至少有一个大于2，所以B正确；
对于C中，由B知，一元二次方程，当取不同的值时，的值是不同的，
所以二元“完美集”有无穷多个，所以所以C正确；
对于D中，不妨设A中，
由，得，
当时，即有，所以，于是，无解，
即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”A只有一个，为．当时，
由，即有，
事实上，，矛盾，
所以当时不存在完美集，所以D正确．
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的图象如图所示，那么其中只有唯一的值与之对应的值的范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据图中数据即可求解.
【详解】解：由题中图形可得，
只有唯一的值与之对应的值的范围是：
故答案为：.
14. 已知集合的子集只有两个，则实数的值为______．
【答案】0或1
【解析】
【分析】分类讨论确定集合中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论．
【详解】时，，子集只有两个，满足题意，
时，若即，则，子集只有1个，不满足题意；
若，即，则集合有两个元素，子集有4个，不满足题意，
时，，，子集只有两个，满足题意，
所以或1.
故答案为：0或1，
15. 函数，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数各段的定义域，分，两种情况，由 求解.
【详解】当时，则，
因为，
所以，
即，
解得或（舍去），
所以.
当时，则，
因为，
所以无解.
综上：
故答案为：4
【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.
16. 已知a＞b＞0，且a＋b＝1，则的最小值为______．
【答案】12
【解析】
【分析】两次利用基本不等式求最值即可.
【详解】∵a＞b＞0，且a＋b＝1，
∴，
当且仅当且，即时，等号同时取到，
故答案为：12
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合：：
（1）求集合A、B；
（2）求和．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）解绝对值不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合；
（2）利用并集的定义可得，由补集的定义可得，再根据交集的定义即可求得．
【小问1详解】
∵，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，解得，
∴
【小问2详解】
∵，，
∴，或，
∴
18. 已知定义在上的函数满足：．
（1）求函数表达式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可；
（2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
将替换为得，
联立
解得
【小问2详解】
不等式为，化简得，
要使其在上恒成立，则，
，
当且仅当取等，所以．
19. 党的二十大报告提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰、碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．在可再生能源发展政策的支持下，今年前8个月，我国光伏新增装机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦．某公司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生产x（单位：百台）发电机组需增加投入y（单位：万元），其中，该光伏发电机年产量最大为10000台．每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部售完．
（1）将利润P（单位：万元）表示为年产量x（单位：百台）的函数；
（2）当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入＝总成本＋利润）．
【答案】（1）；
（2）当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元.
【解析】
【分析】（1）根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；
（2）根据二次函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
当时，；
当时，，
即；
【小问2详解】
当时，，
所以当时，，
当时，，
当且仅当时取等号，即时取等号，
∵，∴当年产量3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元．
20. 已知关于的不等式.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，不等式的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）先根据一元二次不等式的解法解含参不等式，再结合不等式的解集中恰有3个整数，即可得解.
【小问1详解】
当时，令，解得，
此时，
则由，得，
故不等式解集为；
【小问2详解】
当时，令，解得，
若，即时，不等式解集为，
此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是1，2，3，
所以，解得；
若，即时，不等式解集为，此时不符合题意；
若若，即时，不等式解集为，
而，此时不等式解集只有一个整数解，故不符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为.
21. 已知集合.
（1）当时，求实数的值；
（2）若时，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由解方程求出的值，再检验即可；
（2）由得出，结合子集的定义得出可能为，，，，分别讨论这四种情况，得出实数的取值范围．
【小问1详解】
，
∵，∴，即，解得或.
当时，，符合题意；
当时，，，不合题意，
综上，．
【小问2详解】
∵，∴，即可能为，，，.
当时，，即，解得或，
当集合中只有一个元素时，，解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，由根与系数的关系可知，
又，解得，
∴所求实数的取值范围是．
22. 对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的“囧点”．
（1）当m＝2，a＝－3，b＝2时，求函数的“囧点”；
（2）当m＝0时，对任意实数b，函数恒有“囧点”，求a的取值范围．
【答案】（1）“囧点”，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用“囧点”定义布列方程，即可得到结果；
（2）函数恒有“囧点”，等价于函数恒有“囧点”，结合判别式即可得到结果.
【小问1详解】
当m＝2，a＝－3，b＝2时，，
由题意知：∴，∴，
解得，，
所以当m＝2，a＝－3，b＝2时，函数的“囧点”，．
【小问2详解】
由题知：，所以，
由于函数恒有“囧点”，
所以，即，
又因为b是任意实数，所以，
