南雅中学2023年下期高一第一次质量检测
数 学
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.)
1. 下列各组对象可构成一个集合的是（ ）
A. 与10非常接近的数 B. 本班视力差的女生
C. 中国漂亮的工艺品 D. 我校学生中的女生
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的性质判断即可.
【详解】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性.
故选：D
2. 已知集合，集合，则集合的真子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，再求，根据元素个数判断真子集个数.
【详解】不等式，解得，又，得，
集合，得集合，
则集合的真子集个数为.
故选：C.
3. 某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ）
A. 27 B. 23 C. 15 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，结合韦恩图可求解
【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为 ,参加田赛项目的学生组成的集合为，参加径赛项目的学生组成的集合为
由题意集合有15个元素，有20个元素，中有8个元素
所以有个元素.
所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为
故选：B
4. 若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式，积定和最小，凑积为定值，即可求出．
【详解】因为，所以，∴
（当且仅当时，等号成立），所以，的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
5. 下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ）
A. 至少有一个，使得成立 B. 菱形的两条对角线长度相等
C. ， D. 对任意，，都有
【答案】D
【解析】
【分析】由定义选择全称量词命题，再判断真假.
【详解】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题，
菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误，
对任意，，都有，
即，D选项正确.
故选：D
6. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B， ，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果.
【详解】对A，取，所以，故错误；
对B，由，，所以，故正确；
对C, ，
由，，所以，所以，故正确；
对D，由，所以，又，所以
故选：A
7. 设集合A＝｛x|＜0，B＝｛x || x－1|＜a，则“a＝1”是“A∩B≠”
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得A＝{x|－1
①当a＝1时，B＝{x|0则A∩B＝{x|0②若a＝，则A∩B＝{x|－1综合得“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分不必要条件，故选A.
8. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9. 下列关系式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系、空集的概念逐个判断即可.
【详解】对A，元素0是集合中的元素，故，故A正确；
对B，是任何非空集合的真子集，故B正确；
对C，是自己本身的子集，故成立，故C正确；
对D，不是中的元素，故D错误.
故选：ABC
10. 图中矩形表示集合是的两个子集，则阴影部分可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据阴影部分不在集合A中，在集合B中可得答案,
【详解】根据图形可得阴影部分不在集合A中，在集合B中，
即阴影部分可以表示为
故选：BC
11. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，作差法得到，结合，得到结论；B选项，可举出反例；CD选项，作差法比较大小.
【详解】对于A，，又，故，A正确；
对于B，不妨设，则，故B错误.
对于C，，
∵，∴，，，
∴，∴，所以C错误.
对于D，，
∵，∴，，∴，
∴，所以D正确.
故选：AD
12. 设正实数满足，则（ ）
A. 的最大值是 B. 的最小值为9
C. 的最小值为 D. 的最大值为2
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，∵，∴，当且仅当时，即，时等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知命题，使得，则为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定求解即可
【详解】命题，使得，
则为，
故答案为：
14. 在R上定义运算，则满足的实数x的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【分析】
由新定义转化条件，解一元二次不等式即可得解.
【详解】由题意，，即，解得，
所以实数x的取值范围是.
故答案为：.
15. 若实数，满足且，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先计算出，从而得到.
【详解】设，
即，
故，解得，
所以，
故，，
故，即
故答案为：
16. 已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是_________；
【答案】
【解析】
【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合对进行分类讨论，分，和三种情况，求出符合要求的实数a的取值范围.
【详解】可变形为，
因为，所以，
其中，
当时，开口朝下，不合题意；
当时，，解得：，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去；
当时，开口朝上，
因为，所以不等式解集为，
此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2，
则必有，所以，结合，
所以，所以，
综上：
故答案为：.
四、解答题(本题共6小题，共70分，第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17. 集合．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】化简集合B,根据集合交并补运算直接求解.
【小问1详解】
由得,所以,
因为,所以.
【小问2详解】
因为或，
所以.
18. 已知集合，或.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出或，从而求出交集；
（2）根据题意得到是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
时，或，
故或=
【小问2详解】
是的充分不必要条件，
故是的真子集，
因为，故要满足是的真子集，
则或，
解得：或
故实数的取值范围是.
19. 求下列函数的最值
（1）求函数的最小值.
（2）若正数，满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）5.
【解析】
【分析】（1）化为，再根据基本不等式可求出结果；
（2）化为，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】（1），当且仅当即时等号成立，
故函数的最小值为.
（2）由得，
则，
当且仅当,即，时等号成立，
故的最小值为5.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
20. 对平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义：如果，那么称点是点的“上位点”，同时称点是点的“下位点”．
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）设a，b，c，d均为正数，且点是点的“上位点”，请判断点是否既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为（答案不唯一，正确即可）
（2）是，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知“上位点”和“下位点”的定义，可得出点（3，5）的一个“上位点”的坐标为（3，4），一个“下位点”的坐标为 （3，7）；
（2）由点是点的“上位点”得出, 然后利用作差法得出与的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论.
【小问1详解】
解：由题意，可知点的一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为．（答案不唯一，正确即可）
【小问2详解】
解：点既是点的下位点，又是点的“上位点”，证明如下：
∵点是点的“上位点”，
∴，
又a，b，c，d均为正数，
∴，
∵，
∴是点的“下位点”，
∵，
∴是点的“上位点”，
综上，既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．
21. 设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）讨论和两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数的取值范围；
（2）按，和三种情况分类讨论，当，比较和1的大小，分情况写出不等式的解集．
【小问1详解】
由得，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，满足，
即，解得；
故实数的取值范围是．
小问2详解】
不等式，等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上：当时，等式的解集为或
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
22. 此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为万元.
（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人
（2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）75人；（2）存在，m的范围为.
【解析】
【分析】
（1）求出对应的100-x名研发人员的年总投入，建立方程关系进行求解即可；
（2）根据条件①②建立不等式利用参数分离法转化求最值问题即可．
【详解】（1）由题意得：，解得，所以调整后的技术人员的人数最多75人.
（2）由技术人员年人均投入不减少得（ⅰ），得，
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入得（ⅱ），
两边除以ax得，整理得，故有，
，当且仅当时取等号，，
又因为，当时，令取得最大值7，，，
即存在这样的m满足条件，其范围为.南雅中学2023年下期高一第一次质量检测
数 学
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.)
1. 下列各组对象可构成一个集合的是（ ）
A. 与10非常接近的数 B. 本班视力差的女生
C. 中国漂亮的工艺品 D. 我校学生中的女生
2. 已知集合，集合，则集合的真子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
3. 某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ）
A. 27 B. 23 C. 15 D. 7
4. 若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ）
A. 至少有一个，使得成立 B. 菱形的两条对角线长度相等
C. ， D. 对任意，，都有
6. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7. 设集合A＝｛x|＜0，B＝｛x || x－1|＜a，则“a＝1”是“A∩B≠”的
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
8. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9. 下列关系式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 图中矩形表示集合是的两个子集，则阴影部分可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12 设正实数满足，则（ ）
A. 的最大值是 B. 的最小值为9
C. 的最小值为 D. 的最大值为2
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知命题，使得，则为___________.
14. 在R上定义运算，则满足的实数x的取值范围是____________
15. 若实数，满足且，则的取值范围是_________．
16. 已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是_________；
四、解答题(本题共6小题，共70分，第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17. 集合．
（1）求；
（2）求．
18. 已知集合，或.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19. 求下列函数的最值
（1）求函数最小值.
（2）若正数，满足，求的最小值.
20. 对平面直角坐标系第一象限内任意两点，作如下定义：如果，那么称点是点的“上位点”，同时称点是点的“下位点”．
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）设a，b，c，d均为正数，且点是点的“上位点”，请判断点是否既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
21. 设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
22. 此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为万元.
（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人