江苏省南通市海安市高级中学2023-2024学年高一上学期10月阶段检测（一）数学试题（含解析）

海安市高级中学2023-2024学年高一上学期10月阶段检测（一）
数学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确选项。）
1.设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知条件，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.对于集合M，N，定义，，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
7.甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（ ）
A.甲 B.乙 C.一样低 D.不能确定
8.不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题至少有两个正确选项，漏选或少选得2分，不选或错选不得分。）
9.集合，，则下列关系错误的是（ ）
A. B. C. D.
10.当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两集合之间构成“偏食”.对于集合，，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值可以是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
11.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若且，则 D.若，则
12.已知正数a，b满足，则（ ）
A.的最大值是 B.的最大值是
C.的最大值是 D.的最小值是2
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知集合，，则______.
14.已知一元二次方程的一个根在内，另一个根在内，则实数a的取值范围为______.
15.某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第n层楼时，环境不满意程度为.则此人应选第______楼，会有一个最佳满意度.
16.若a，b，c为正数，则的最大值为______.
四、解答题（本题共6小题，17题10分，其余每小题12分，共70分。）
17.设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.
18.已知集合，.
（1）已知，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
19.关于x的不等式的解为.
（1）求a和b的值；
（2）求关于x的不等式的解集.
20.已知命题p：，，命题q：，.
（1）当命题为假命题时，求实数k的取 范围；
（2）若命题p和q中有且仅有一个是假命题，求实数k的取值范围.
21.已知，.
（1）关于x的方程有且只有正根，求实数a的取值范围；
（2）若对恒成立，求实数x的取值范围.
22.已知二次函数.
（1）若且点在该二次函数的图象上，求的解集；
（2）若点在该二次函数的图象上，且，求的最小值.
海安市高级中学2023-2024学年高一上学期10月阶段检测（一）
数学试卷
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】C
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
3.【答案】A
4.【答案】A
【详解】由可得，或，所以可推出，即“”是“”的充分条件；由，不能够推出，故“”是“”的不必要条件；
综上，“”是”的充分不必要条件.
故选：A
5.【答案】D
【详解】解：因为p是q的充分不必要条件，
所以，
则，
故选：D.
6.【答案】C
【详解】集合，，
则，，
由定义可得：，
，
所以，选项ABD错误，选项C正确.
故选：C.
7.【答案】B
【详解】设两次加油时的单价分别为x元和y元，且，
则甲每次加油20升，两次加油中，平均价格为元，
乙每次加油200元，两次加油中，平均价格为元，
可得，所以乙的平均价格更低.
故选：B.
8.【答案】B
【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为：，
令，则不等式转化为：，在上恒成立，由可得即，
故可得.
故选：B.
二、多选题
9.【答案】AB
【详解】∵
时，表示所有奇数，表示所有整数，
所以且，所以CD正确.
故选：AB
10.【答案】ABD
【详解】当时，，此时满足，两个集合之间构成“全食”，符合条件.
当时，，，
当时，，满足，构成“全食”，此时；
当时，，构成“偏食”，此时.
综上所述，a的取值集合为.
故选：ABD.
11.【答案】BCD
【详解】对于A，当时，，故A为假命题，
对于B，∵，
∴，
∴，，
∴，故B为真命题，
对于C，∵，
∴，即，
∵，
∴，故C为真命題，
对于D，∵，
∴当，时，取得最小值为，且
∴
故D为真命题.
故选：BCD.
12.【答案】ABC
【详解】由得，当且仅当时取等，A正确；
由得，当且仅当时取等，B正确；
对C，因为，a，b为正数，则，
，当时去等，故C正确；
对D，，
当且仅当，时等号成立，故D错误，故选：ABC.
三、填空题
13.【答案】
【详解】由题意可得，解方程可得，，故
故答案为：
14.【答案】
【详解】设，由题意知，解得，
故答案为：.
15.【答案】3
【详解】设此人应选第n层楼，此时的不满意程度为y，由题意知，
∵，当且仅当，即时取等号，
即此人应选3楼，不满意度最低.
故答案为：3.
16.【答案】
【解析】因为有不等式且，
所以
所以
当且仅当时等号成立.
四、解答题
17.【详解】假设p：方程有一个根是1，.
证明，即证明必要性：
∵是方程的根，
∴，即.
再证明，即证明充分性：
由，得.
∵，
∴，即.
故.
∴是方程的一个根.
故方程有一个根是1的充要条件是.
18.【答案】（1）
（2）
（1）当时，，，
∵，
∴，
∴.
（2）∵，
∴，
当时，即时，成立，
当时，，
∵，
则，
∴，
综上a的取值范围是.
19.【答案】（1），
（2）
【详解】（1）∵x的不等式的解为，
∴，是方程的两根，且，
由韦达定理可得：，解得，；
（2）∵，，∴不等式等价为，
即，解得，即不等式的解集为.
20.【答案】（1）
（2）
【详解】（1）当命题为假命题时，命题p为真命题，
p：，，
当时，，
∴，即
∴实数k的取值范围为.
（2）∵命题p和q中有且仅有一个是假命题，
∴命题p和q一真一假，
当命题q为真命题时，，解得或，
①当命题p为真，命题q为假时，
，解得，
②当命题为真，命题为假时，
，解得，
综上，实数k的取值范围为.
21.【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）当时，，解得，符合题意；
当时，即，
，解得
综上可得：实数a的取值范围是.
（2）即，
构造，
则有，即，解得
实数x的取值范围是.
22.【答案】（1）答案见解析 （2）
【详解】（1）解：因为点在函数上，
所以，即，
所以不等式，即，即，
②当时，原不等式即为，则不等式的解集为R；
③当时，解得或，即不等式的解集为；
④当时，解得或，即不等式的解集为；
综上可得
当时不等式的解集为R；
当时不等式的解集为；
当时不等式的解集为.
（2）解：因为点在函数上，
所以，即，
因为，所以，
所以，
当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立；
当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立.
所以的最小值为.