数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章直线和圆的方程章末总结（共30张ppt）

(共30张PPT)
章末总结
第 二 章 直线和圆的方程
人教A版2019选修第一册
01知识结构
PART ONE
知识结构
倾斜角
斜率
范围：__________
定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_________与直线
l__________之间所成角,叫做直线的倾斜角.
定义：倾斜角α(α≠90°)的___________叫做这条直线的斜率，即 k=_____.
斜率公式：过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为
______________.
正方向
向上方向
正切值
tanα
[0°,180°)
1.直线切斜角与斜率
知识结构
2.直线方程的几种形式的转化
y=kx +b
知识结构
设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)平行 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
(2)相交 A1B2－A2B1≠0；
3.两条直线的位置关系
(4)垂直 A1A2+B1B2=0；
知识结构
4.距离公式
(1)两点间的距离公式
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则|P1P2|＝ .
(2)点到直线的距离公式
①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ；
②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝ .
知识结构
1.圆的方程
(1)圆的标准方程： .
(2)圆的一般方程： .
2.点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点P .
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点P .
3.直线与圆的位置关系
设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d r 相离；d___r 相切；d r 相交.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
在圆外
在圆内
在圆上
>
＝
<
知识结构
4.圆与圆的位置关系
设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|知识结构
5.与圆有关的最值问题的常见类型
(1)形如μ＝ 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.
6.计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.
(2)代数方法
运用根与系数的关系及弦长公式
注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.
02直线和圆的方程的应用
PART ONE
知识应用
1.直线的倾斜角与斜率
1. 已知直线l过点P(1,1)且与以A(－1,0)、B(3，－4)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
解：如图所示，直线PA的斜率kPA＝＝，
直线PB的斜率kPB＝ ＝.
当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是[，＋∞)，
当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是(－∞，－ ]．
∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ ]∪[，＋∞)
知识应用
1. 过点A(－5，－4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．
2.求直线的方程
解：由题意的，直线l的斜率存在。
设直线为y+4=k(x+5),与x轴交点为（5,0）,与y轴交点（0，5k4)
得25k2－30k＋16＝0或25k2－50k＋16＝0，
解得k＝，或k＝，
所以所求直线l的方程为2x－5y－10＝0，或8x－5y＋20＝0.
知识应用
2.求通过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且距原点为1的直线方程．
解:　法一：过两条直线交点的直线系方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.①
∵原点到直线的距离为1，即＝1，解得λ2＝9，
∴λ＝±3.代入方程①中，
得所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
知识应用
法二：由方程组 解得两条直线的交点为A(1,3)．
①当斜率存在时，设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0.
∵原点到直线的距离为1，即 ＝1，∴|3－k|＝，∴k＝ .
∴直线方程为y－3＝(x－1)，即4x－3y＋5＝0.
②当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1也符合题意．
故所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
2.求通过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且距原点为1的直线方程．
知识应用
常见的直线系有：
(1)过已知点P(x0，y0)的直线系y－y0＝k(x－x0)(k为参数)．
(2)斜率为k的平行直线系方程y＝kx＋b(b为参数)．
(3)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，λ≠C)．
(4)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．
(5)过直线：A1x＋B1y＋C1＝0与：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
知识应用
3.两条直线的位置关系
1.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
分析　对于(1)，由题意列出关于a，b的方程组求解；
对于(2)，先得出关于a，b的关系，再由原点到l1，l2的距离相等求解．
知识应用
解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)＝0，即a2－a－b＝0.　 ①
又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.　 ②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，＝1－a，b＝，
故l1与l2的方程分别为l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋ ＝0.
∵坐标原点到l1，l2的距离相等，
∴4| |＝| |，a＝2或a＝. 因此或
知识应用
4.对称问题
1. 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
知识应用
知识应用
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7), 由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二：设直线l关于点A的对称直线l′上的任意一点P(x，y)，则点P(x，y)关于点A(－1,－2)的对称点P′(－2－x，－4－y)，
∵点P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
知识应用
5.数形结合
1.求函数y＝＋的最小值．
解：　y= ＋
= ＋，
∴y表示x轴上的点P(x,0)到A(1,1)，B(3,2)两点的距离之和．
如图，点B关于x轴的对称点B′(3，－2)，∴|BP|＝|BP|.
又∵两点之间线段最短，
∴y的最小值为|AB′|＝＝.
知识应用
2.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－5λ＝0的距离为d，求d的最大值．
知识应用
6.求圆的方程
1.已知圆M经过直线l：2x＋y＋4＝0及圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且圆M的圆心到直线g：2x＋6y－5＝0的距离为3，求圆M的方程．
解：设经过直线l和圆C交点的圆系方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，
则x2＋y2＋2(λ＋1)x＋(λ－4)y＋4λ＋1＝0，
∴圆M的圆心M(－λ－1，)，
∴＝3，
解得λ＝－11，或λ＝13.
∴所求圆M的方程为x2＋y2－20x－15y－43＝0，
或x2＋y2＋28x＋9y＋53＝0.
知识应用
已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为 求l的方程；
7.直线与圆的位置关系
(2)求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程.
知识应用
设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
知识应用
（2）设过点P的圆C的弦的中点为E(x，y)，
则CE⊥PE，所以kCE·kPE＝－1，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
知识应用
已知一个圆的圆心坐标为A(2，1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1，P2两点，若点A到直线P1P2的距离为 求这个圆的方程.
解　设圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，
所以直线P1P2的方程为x＋2y－5＋r2＝0.
解得r2＝6.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝6.
8.圆与圆的位置关系
知识应用
4.最值与范围问题
已知实数x，y满足y＝，则代数式 的取值范围为________．
解析：如图所示y＝化为x2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形为半圆弧，
的几何意义为定点A(－3，－1)与半圆弧上任意一点M(x，y)的连线的斜率．
利用数形结合法可知kAB≤≤kAC.又B( ，0)，kAB＝＝，
设直线AC的方程为y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－1＝0.
∵直线AC与半圆相切，∴ ＝，即3k2－3k－1＝0，解得k＝ 或 (舍去)．
∴kAC＝ .∴ ≤ ≤ .
知识应用
设点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值.
解:(1)式子的几何意义是圆x2+(y-1)2=1上的点与定点(2,0)之间的距离.因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是,圆的半径是1,所以的最小值是-1.
知识应用
(2)式子的几何意义是圆x2+(y-1)2=1上的点P(x,y)与定点(-1,-2)连线的斜率.如图,当连线为切线l1时,斜率最小,设l1的斜率为k,则l1的方程为kx-y+k-2=0,由直线与圆相切,得,解得k=.故的最小值是.