数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程（共26张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程（共26张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-20 20:31:53 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
圆锥曲线的方程
第三章
用垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆．
如图，用不垂直于轴的平面截圆锥，当轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线
如果改变轴与截平面所成的角，会得到怎样的曲线呢
圆
椭圆
抛物线
双曲线
圆锥曲线
圆锥曲线与科技、生产以及人类生活有着紧密的关系。生活中很多例子都能说明圆锥曲线在生活中有着广泛的运用！
为什么会有这样广泛的运用？我们将可以从他们的几何特性及性质中得到答案！
本章继续采用坐标法研究圆锥曲线，回顾用坐标法研究直线、圆的过程，你能猜想研究的大概思路吗？
几何特征
方程
性质
应用
3.1.1椭圆及其标准方程
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类的生活中具有广泛的运用。那么，椭圆到底有怎样的几何特征？
新课导入
该如何利用这些特征建立椭圆的方程，进一步研究椭圆的几何性质？
实验探究
探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
l
在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．
焦点
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(用表示)
焦距的一半称为半焦距(用表示).
问题1：你能用精确的数学语言来刻画椭圆吗？
F1
F2
M
追问1：椭圆定义中，需要特别关注哪些要素？
（1）两个定点：两点间距离确定;
（2）定长：轨迹上任意点到两定点距离和确定.
（3）
追问2：当动点到两定点、间距离之和等于两定点间的距离时，动点的轨迹是什么？（即）
线段AB
追问3：动点到两定点、间距离之和能小于两定点间的距离吗？（即）
点轨迹不存在
F1
F2
M
新知探究
思考：观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
对称性
以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示
设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，则焦点的坐标分别为．
根据椭圆的定义，设点与焦点的距离的和等于
所以+= .
下面怎么化简？
+= 将左边的一个根式移到右边，得= 两边平方得
=.
整理得. 两边平方得
.
整理得. 两边同除以，得.由椭圆的定义可知,，所以>0.
令=，
那么方程
.
思考：观察右图，你能从中找出表示 ， ， 的线段吗？
椭圆的标准方程
焦点在轴上
焦点坐标，
此时椭圆的标准方程是
焦点
思考：如图3.1-4，如果焦点在轴上，且的坐标分别为，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
推导过程请同学们课下独立完成
思考：椭圆的两种标准方程有什么异同？
焦点在轴上
焦点在轴上
共同点：
判断焦点位置：看，的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上
间的关系：,最大，大小不确定
焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆
方程的左边是平方和，右边是1.
1.如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是_________.
课堂练习
14
2.设是椭圆上的任意一点，若，是椭圆的两个焦点，则等于( ).
A.10 B.8 C.5 D.4
A
3.经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点.
(1)求△AF1B的周长;
(2)如果AB不垂直于轴， △AF1B的周长有变化吗？为什么？
课堂练习
例题精讲
解：由于椭圆的焦点在轴上，设标准方程为.
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程.
由椭圆的定义知
所以
所以.
所求椭圆的标准方程为
定义法
例题精讲
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程.
待定系数法
课堂练习
例2 如图，在圆上任取一点P，过点作轴的垂线段，为垂足.当点P在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？
解：设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为.由点是线段的中点，得.
因为点在圆上，所以.①
把，代入方程①，得，即.
所以点的轨迹是椭圆.
例题精讲
由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
将圆上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的时，利用伸缩变换的知识，可得到，即，此为椭圆方程.
同理将圆上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，利用伸缩变换可得，即，得到拉伸后的椭圆方程.所以椭圆可以由圆经过伸缩变换得到.
例题精讲
例3.如图，在，两点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.
解：设点的坐标为，因为点的坐标为，
所以直线的斜率为
同理，直线的斜率为
由已知，有，
得点的轨迹方程为.
点的轨迹是除去两点的椭圆.
课堂小结
椭圆定义:
平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆
椭圆的标准方程：
焦点在轴上
焦点在轴上
圆锥曲线的方程
第三章
用垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆．
如图，用不垂直于轴的平面截圆锥，当轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线
如果改变轴与截平面所成的角，会得到怎样的曲线呢
圆
椭圆
抛物线
双曲线
圆锥曲线
圆锥曲线与科技、生产以及人类生活有着紧密的关系。生活中很多例子都能说明圆锥曲线在生活中有着广泛的运用！
为什么会有这样广泛的运用？我们将可以从他们的几何特性及性质中得到答案！
本章继续采用坐标法研究圆锥曲线，回顾用坐标法研究直线、圆的过程，你能猜想研究的大概思路吗？
几何特征
方程
性质
应用
3.1.1椭圆及其标准方程
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类的生活中具有广泛的运用。那么，椭圆到底有怎样的几何特征？
新课导入
该如何利用这些特征建立椭圆的方程，进一步研究椭圆的几何性质？
实验探究
探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
l
在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．
焦点
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(用表示)
焦距的一半称为半焦距(用表示).
问题1：你能用精确的数学语言来刻画椭圆吗？
F1
F2
M
追问1：椭圆定义中，需要特别关注哪些要素？
（1）两个定点：两点间距离确定;
（2）定长：轨迹上任意点到两定点距离和确定.
（3）
追问2：当动点到两定点、间距离之和等于两定点间的距离时，动点的轨迹是什么？（即）
线段AB
追问3：动点到两定点、间距离之和能小于两定点间的距离吗？（即）
点轨迹不存在
F1
F2
M
新知探究
思考：观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
对称性
以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示
设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，则焦点的坐标分别为．
根据椭圆的定义，设点与焦点的距离的和等于
所以+= .
下面怎么化简？
+= 将左边的一个根式移到右边，得= 两边平方得
=.
整理得. 两边平方得
.
整理得. 两边同除以，得.由椭圆的定义可知,，所以>0.
令=，
那么方程
.
思考：观察右图，你能从中找出表示 ， ， 的线段吗？
椭圆的标准方程
焦点在轴上
焦点坐标，
此时椭圆的标准方程是
焦点
思考：如图3.1-4，如果焦点在轴上，且的坐标分别为，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
推导过程请同学们课下独立完成
思考：椭圆的两种标准方程有什么异同？
焦点在轴上
焦点在轴上
共同点：
判断焦点位置：看，的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上
间的关系：,最大，大小不确定
焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆
方程的左边是平方和，右边是1.
1.如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是_________.
课堂练习
14
2.设是椭圆上的任意一点，若，是椭圆的两个焦点，则等于( ).
A.10 B.8 C.5 D.4
A
3.经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点.
(1)求△AF1B的周长;
(2)如果AB不垂直于轴， △AF1B的周长有变化吗？为什么？
课堂练习
例题精讲
解：由于椭圆的焦点在轴上，设标准方程为.
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程.
由椭圆的定义知
所以
所以.
所求椭圆的标准方程为
定义法
例题精讲
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程.
待定系数法
课堂练习
例2 如图，在圆上任取一点P，过点作轴的垂线段，为垂足.当点P在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？
解：设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为.由点是线段的中点，得.
因为点在圆上，所以.①
把，代入方程①，得，即.
所以点的轨迹是椭圆.
例题精讲
由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
将圆上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的时，利用伸缩变换的知识，可得到，即，此为椭圆方程.
同理将圆上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，利用伸缩变换可得，即，得到拉伸后的椭圆方程.所以椭圆可以由圆经过伸缩变换得到.
例题精讲
例3.如图，在，两点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.
解：设点的坐标为，因为点的坐标为，
所以直线的斜率为
同理，直线的斜率为
由已知，有，
得点的轨迹方程为.
点的轨迹是除去两点的椭圆.
课堂小结
椭圆定义:
平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆
椭圆的标准方程：
焦点在轴上
焦点在轴上