4.2.1指数函数的概念 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
第4章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数得概念
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 1.数学抽象、直观想象素养.
2.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 数学建模素养.
新知导入
上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法:
下面继续研究其他类型的基本初等函数．
抽象
抽象归纳
新知导入
情境1：随着中国经济增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.右表给出了A地景区2001年至2015年的游客人次.
时间/ 年 A地景区 人次/万次 年增加量/万次
2001 600
2002 609
2003 620
2004 631
2005 641
2006 650
2007 661
2008 671
2009 681
2010 691
2011 702
2012 711
2013 721
2014 732
2015 743
新知探究
右表给出了B地景区2001年至2015年的游客人次.
时间/ 年 B地景区 人次/万次 年增加量/万次
2001 278
2002 309
2003 344
2004 383
2005 427
2006 475
2007 528
2008 588
2009 655
2010 729
2011 811
2012 903
2013 1005
2014 1118
2015 1244
新知探究
为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采 取不同措施后的15年游客人次的图，根据图像并结合年增长量，发现了什么规律？
Ａ地：游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次）
Ｂ地：游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．
新知探究
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．
从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
　　
做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．
结果表明，Ｂ 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数．
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.
新知探究
因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
１年后，游客人次是２００１年的____________倍；
２年后，游客人次是２００１年的____________倍；
３年后，游客人次是２００１年的____________倍；
……
x年后，游客人次是２００１年的_____________倍．
1.111
1.112
1.113
1.11x
如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么
y＝________________________
1.11x （x∈[０，＋∞））． ①
新知探究
关系式y=1.11x是一个函数吗？
新知探究
情境2：当生物死亡之后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，你能写出表示死亡生物体内碳14含量y与死亡年数x之间的代数关系吗？
新知探究
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p,如果把刚死亡的生物体内碳14的含量看成1个单位，那么：
死亡1年后，生物体内碳14含量为 ；
死亡2年后，生物体内碳14含量为 ；
死亡3年后，生物体内碳14含量为 ；
……
死亡5730年后，生物体内碳14含量为 .
如何求衰减率p？
新知探求
如何求衰减率p？
死亡5730年后，生物体内碳14含量为
题目的已知信息是：
大约每经过5730年衰减为原来的一半
所以 ；
从而 ；
所以 .
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么
即：
, （x∈[０，＋∞））②．
这也是一个函数，指数x是自变量．
死亡生物体内碳１４含量每年都以1-规率衰减．
像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减.
归纳生成
B地景区游客人次增长规律与碳14衰减规律有什么共同特征？
代数关系式 自变量1 函数值1 自变量2 函数值2 不变量 类型
指数增长
指数衰减
y=1.11x （x∈[０，＋∞）） ①
, （x∈[０，＋∞））②
抽象归纳
问题：以上两个式子有何共同特征？
(1)均是幂形式；
(2)底是一个常数；
(3)自变量x在指数位置上.
概念生成
定义： 一般地：形如y = ax (a>0且a≠1)的函数叫做指数函数.其中x是自变量,函数的定义域是R
系数为1
x系数为1
底数为正数且不为1
思考：为什么指数函数中明确规定a>0,且 a≠1？
①如果a<0
②如果a=0
③如果a=1
为了便于研究，规定： a>0且a≠1.
初试身手
1.思考辨析
(1)y＝x2是指数函数．(　　)
(2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　)
2.下列函数中，是指数函数的个数是（ ）
①y=(-3)x; ②y=2·3x; ③y=; ④y=.
A.0 B.1 C.2 D.3
×
√
B
新知讲授
【例1】函数y＝(a2－3a＋3)是指数函数，求a的值，并写出这个指数函数．
解：
∵函数y＝(a2－3a＋3)是指数函数，
∴
∴
此时这个指数函数为y=.
新知讲授
【例2】已知指数函数设f(x)＝ax(a>0, 且a≠1),且f(3)=π，
求f(0)，f(1)，f(-3)的值．
解：
分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值.
因为 f(x)＝ax ,且 f(3)=π,则 = π，解得 ,
于是f(x)＝
所以f(0)==1，f(1)==，f(-3)==.
新知讲授
【例3】（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可以给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间，A，B两地旅游收入的变化情况.
解：
g(x)=1000×278×1.11x.
则f(x)=1150（10x+600)，
（1）设经过x年之后，游客对A，B带来的旅游收入分别为f(x)和g(x).
利用计算工具可得，
当x=0时，f（０）－g（０）＝412000．
当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）．
结合图可知：
当x＜10.22时，f（x）＞g（x），
当x＞10.22时，f（x）＜g（x）．
当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303．
新知讲授
这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x），
这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．
新知讲授
【例3】（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的百分之几？
解：
（2）设生物死亡x年后，它体内的碳14含量为h(x)，如果把刚死亡的生物体内碳14的含量看成1个单位，那么
所以,生物死亡10000年后，它体内的碳14含量衰减为原来的30%.
新知讲授
初试身手
1.已知函数f(x)是指数函数，且满足f(2)＝81，则f（＝(　　)
A.± B.±3 C. D.3
2.衣柜里的樟脑丸的体积会随着时间挥发而缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·2-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸的体积变为a,则经过的天数为(　　)
A.125　　　　　B.100　　　　　C.75　 D.50
D
解析：由已知,得a=a·2-50k,∴2-k=.设经过t1天后,一个新丸的体积变为a,则a=a·,∴==,∴=,∴t1=75.故选C.
C
初试身手
3.光线通过1块玻璃,强度要损失10%,设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度变为y.
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)通过20块这样的玻璃后,光线强度约为多少
(参考数据:0.919≈0.14,0.920≈0.12)
初试身手
解析：　(1)光线通过1块玻璃后强度变为(1-10%)·k=0.9k;
光线通过2块玻璃后强度变为(1-10%)·0.9k=0.92k;
光线通过3块玻璃后强度变为(1-10%)·0.92k=0.93k;
……
光线通过x块玻璃后强度变为0.9xk,
∴y=0.9xk(x∈N*).
(2)将x=20代入函数解析式,
得y=0.920k≈0.12k,
即光线强度约为0.12k.
课堂小结
1.知识：指数函数定义，指数函数模型.
2.方法：
问题情境
数据
直观想象
数学运算
函数解析式
归纳抽象
指数函数
指数函数的应用
3.指数函数的特征：
形如y = ax (a>0且a≠1)的函数叫做指数函数.其中x是自变量,函数的定义域是R.
作业布置
作业：p115练习 1，2
p118-119. 习题4.2 1，2，4.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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