教案设计
——北海中学数学组曹钟鹏
课题:§7.19镶嵌 课时:1 授课时间:2003/3/4
课型:研究课 班级:三2班
教学目标:
1 掌握用正多边形镶嵌平面时要满足的条件:围绕一个顶点的各内角和为360°;并由此展开探讨,知道几种镶嵌方案。
初步涉足必要条件和充分条件,为学生进一步学习命题积累感性认识。
培养学生探讨问题,分析解决问题的能力。
在动手实验和探讨的过程中领会理论联系实际的研究风格。
通过动手实践增强学生的学习兴趣。
教学理念:
多媒体技术使得把数学实验带入课堂教学成为可能。学生在“数学实验室”中亲自动手实验,手脑并用,是数学教学的有效手段之一,确能有效地提高教学效率,它符合辩证唯物论的认识论的观点。有益于提高学生的学习兴趣,
教学重点:根据平面镶嵌的条件建立数学模型——方程;
教学难点:使用一种以上正多边形进行镶嵌的问题。
教学手段:利用多媒体技术,让学生在虚拟的“数学实验室”中动手实践;根据实践经验发现平面镶嵌的条件,并建立数学模型;探讨镶嵌方案;再指导学生用实验来验证镶嵌方案;在实践中发现“平面镶嵌条件”的不足之处,从而加深对此条件的理解。
教学环境:计算机房,学生每人一台电脑,教室内的计算机用苏亚星教学网络联结,教室内配有正投影机。
准备工作——
课堂上教师所用课件的描述:
课件“§7-19镶嵌”是用“几何画板4.03版”编制的。
课件有14个页面。第一页是“虚拟实验室”;第2——14页是演示性页面。
第14页是封面,显示本节课的课题;
第13页所列是①平面镶嵌时在一个顶点处要满足的条件;②只用一种正多边形进行镶嵌的方案;③用两种正多边形进行镶嵌的方案;各条都用按钮控制其显示与隐藏。
第3、4页是一个正多边形的顶点可在另一个正多边形的边上的两种镶嵌实例;
第2、5页是用单一正多边形进行镶嵌的实例;
第6页是正三边形与正四边形的镶嵌实例;
第7、9、11页是是正三边形和正六边形镶嵌的实例;
第8页是正四边形和正八边形镶嵌的实例;
第10页是正三边形和正十二边形镶嵌的实例;
第12面是用正四边形、正六边形、正12边形镶嵌的实例。
第1 页是虚拟实验室。在此“实验室”中备有实验时要用到的各种正多边形,每种正多边形都备有十几块(都可用按钮实现“显示”与“隐藏”的转换),不够时可以临时再复制;每种正多边形的边长都相等,并可对所有正多边形的边长进行控制调节;拖动正多边形的内部可以实现平移,拖动正多边形的“控制点”则可实现正多边形的旋转。由平移和旋转就能实现在“实验室”中用正多边形进行的镶嵌实验。利用几何画板的填充功能,可以按学生的意愿进行各种配色方案,使得镶嵌图案更加美观。
课堂上学生所用课件:
仅有教师课件的第一页。供学生在课堂上动手进行实验活动。
教师课前准备:
教师制作课件;①学生用课件“镶嵌”②教师用课件“§7-19镶嵌”
把“几何画板4.03版”与课件传到学生电脑的桌面上;
学生:打开镶嵌课件备用(教师通过教学网,使学生机器“黑屏”)。
教学过程:
引入课题:
教师用正投在屏幕上显示课件第14页,显示本节课题)
由家庭装修、北京人行道的彩色砖块……引入课题,说明研究本课题的必要性;并引入“平面镶嵌”的概念:既无缝隙且不重合地全部复盖。
屏幕上显示课件第3、4页)展示镶嵌方法①:一个正多边形的顶点可在另一正多边形的边上。问:在什么地方有这种镶嵌。
幕上再展示镶嵌方法:②正多边形的顶点不落在相邻正多边形的边上;并引导学生讨论相邻正多边形的边长在长度上有什么关系?(相等)
——指出第二种是今天要研究的。
带领学生:复习计算正多边形内角度数的公式。并询问正3、4、6、
8边形的一个内角的度数。
探讨用正多边形镶嵌时,每个顶点处各角要满足的条件:
1. 解除黑屏
2. 学生利用课件,动手做只用正六边形和只用正五边形的镶嵌实验;
3. 问:①为什么用正六边形可以实现镶嵌而用正五边形不能实现镶嵌?要想使正多边形能无间隙地镶嵌平面,除了边长相等之外,在镶嵌的一个顶点处,各内角在度数上要满足什么条件?(度数之和为360°)
探讨用单一的正多边形进行镶嵌:
引导学生进行理论探讨探讨,如果采用一种正多边形进行镶嵌,可以采用正几边形?(设在一个顶点处有k个正n边形,必须满足 ,可得(n - 2) ( k – 2 ) = 4 ,可得n=3,k=6、n=4,k=4和n=6,k=3三种可能性 )。得到结论:只有三种正多边形(正三边形,正四边形,正六边形)可用于镶嵌。
要求学生利用课件,亲自动手在自己的计算机上进行镶嵌实验,以验证自己的结论。
3. 教师对学生的活动加以指导,点评。(可教给学生改变颜色的方法,使镶嵌图案更加美观。)展示课件第2、5页,供学生参考。
提出新问题:为了更加美观,想采用两种边数不同的正多边形进行
镶嵌,可能有什么方案?
引导学生进行理论上的讨论:
用正三边形m个和正四边形n个:m·60°+n·90°=360°=>2m+3n=12 =>正整数解为 m=3,n=2;可知每个顶点处应有三个正三边形和两个正四边形。
学生动手实验,(在课件中,隐藏原来用到的正六边形和正五边,显示正三边形和正四边形)采用正三边形和正四边形进行镶嵌。
教师可以点播学生的作品。展示课件第6页。
用正三边形m个和正六边形n个:m·60°+n·120°=360°,=>m+2n=6, =>正整数解:m=4,n=1和m=2,n=2,既每个顶点处用四个正三边形和一个正六边形或每个顶点处用两个正三边形和两个正六边形。
请学生用实验的方法来验证这两种方案。展示课件第7、9、11页。
提出新问题:用正四边形m个和正八边形n个要满足什么条件?(m·90°+n·135°=360°) 在学生列出关系式后,教师告诉学生(为节约时间),由所列关系式可得:每个顶点处用一个正四边形和两个正八边形。
学生实践验证之。
展示课件第8页。
另外每个顶点处用一个正三边形和两个正十二边形也可以进行平面镶嵌。教师展示课件第10页所示两种方案的镶嵌结果。
关于在每个顶点处用三种多边形进行镶嵌:
指出也有可能用两种以上的正多边形镶嵌平面。比如用类似的方 法,可以进行类似的讨论。有兴趣的同学可以参看课本第164页有关内容。教师用正投展示课件第12页。
讨论在每个顶点处用两个正五边形和一个正十边形的镶嵌方案:
学生打开书上第165页,告诉学生,该页的表2是根据:在某个顶点处各个角的和为360°推导出的各种方案。
学生利用正5边形和正10边形的进行镶嵌;
当学生发现无法进行平面镶嵌时,引导学生讨论为什么推导出的这个方案行不通?
告诉学生,书上第164页列出的关系式仅是一个必要条件,而不是充分条件。在我们的生活中,在在着大量的这种现象。比如“煤的颜色是黑的,当我们根据煤的这个特性去寻找煤时,找到的黑颜色的东西却不一定是煤;在数学中,2大于0,但大于0 的数却不一定是2。这些现象将来在高中阶段将要深入研究。
如果时间允许,可让学生在自己的计算机上用课件进行各种形式的 镶嵌实验。如有好的方案,用网络传给全体学生欣赏。
小结:
①本节课在探究“正多边形镶嵌”时,所列的关系式时是
依据什么条件得到的?
②指出人们经常通过大量的实践得到猜想,并发展成理论,而这个理论还需要在实践中得到验证。实践——理论——实践……是我们认识自然的必由之路。
作业:P166的思考题1
教学后记:
本节课是为全校老师做的一节研究课,通过这节探讨课,展示如何应用多媒体技术更好地为教学服务。
本节课基本上完成了预定的教学任务,但由于课程的容量较大,时间有点紧张。
数学组的教师们普遍认为这节课如果不采用多媒体技术就很难上。
学生们整节课兴致都很高,尤其是让他们动手进行镶嵌活动时,更是情绪高涨,有的学生给多边形配色的方案比教师展示的要好。
教学处刘主任:这节课较好地实现了计算机技术为几何教学服务。要求数学组的教师们开一个组会,以总结经验,并扩大使用范围,在代数课上怎么用好电脑技术?
课后,当向学生征求在计算机房上数学课的意见时,郝丹丹同学写道“通过电脑上的动画效果,我们可以看到抛物线的平移、顶点坐标的变化;通过电脑,我们看到圆柱与圆锥的形成过程;在电脑上我们甚至可以自己完成正多边形的镶嵌。这使我们对于数学,尤其是几何产生了更加浓厚的兴趣。”看来学生还是挺喜欢用这种形式上数学课的。
下课铃响,很多同学还在争取时间继续进行镶嵌实验,刚下课,就有五六个同学问是否可以给他们复制课上用的课件,带回家玩去。
有个同学找到了用四种正多边形的镶嵌方案,兴奋异常。
课后有两个老师在计算机上继续研究新的镶嵌方案。
《§7.19 探究性活动:镶嵌》说课稿
(注:这是我校石彩云老师在区级说课比赛上的讲稿,获得了一等奖)
各位评委、老师们:你们好!
我叫石彩云,是北海中学的数学教师,有机会参加这次说课活动,向各位评委、老师们学习,感到非常荣幸。
我的说课内容是《§7.19探究性活动:镶嵌》。
下面分教学内容,教学目标,重点、难点,教学手段和方法的选用,教学过程等五方面作说明。
一.关于教学内容和教学要求的认识
本节课是一节探究性活动课,教学大纲上对数学活动课作了这样的解释:“数学活动课指在教师的指导下,通过学生自主活动,以获得直接经验和培养实践能力为主的课程。教育的目的在于弥补数学学科课程的不足,加强实践环节,重视数学思维的训练,培养学生的学习兴趣, 促进学生志趣、个性、特长等自主和谐发展, 从而全面提高学生的数学素质”。可见教学大纲把实习和开展探究性教学放在了重要的地位。
本节探究性活动课,我从学生见过的实例及熟悉的家庭装饰、装修中地板的铺设问题引入课题,以激发学生探究问题的兴趣,从而引出“平面镶嵌”的概念,也体现了数学知识来源于实践的思想。在适当复习有关的预备性知识(正多边形内角和定理)后,引导学生进行理论探讨,得到进行“平面镶嵌”的条件“在一个顶点处,各内角之和为360°”,根据这个条件,学生们自己设计镶嵌方案,然后在虚拟的环境中进行尝试,以验证镶嵌方案。(分三个步骤:①只限于一种正多边形的平面镶嵌,②用几种正多边形组合起来镶嵌③引导学生验证书上P165正五边形与正十边形的镶嵌,认识到“ 在一个顶点处,各内角之和为360°”作为平面镶嵌条件的不充分性,初步接触充分、必要条件,以利于以后的学习。
在整个教学过程中,教师引导学生动手实践,探索规律,再进行理性思考,然后进行知识的实际应用,较完整地实现了“实践——理论——再实践”的认识过程。这符合学生的认知规律,体现了辨证唯物主义观点。学生在此过程中,培养了创新思维意识。
“平面镶嵌”活动中的图形设计,经历了漫长世纪和不同文化,它源于生活又服务于生活,有着深厚的实际应用价值和审美价值,学生在获取数学知识的同时,可感受数学中蕴涵的美。
二.关于教学目标、重点、难点的确定
根据大纲的要求和教学内容的特点,我确定教学目标如下:
1.知识目标:掌握用正多边形镶嵌平面时要满足的条件:在一个顶点处各内角和为360°;能自行设计几种镶嵌方案。
2.能力目标:培养学生探讨问题,分析解决问题的能力;在动手实验和探究的过程中领会理论联系实际的研究方法,培养学生学数学,用数学的意识。初步涉足必要条件和充分条件,为学生进一步学习命题积累感性认识。
3.情感目标:学生利用多媒体技术,亲自动手实验,手脑并用,提高学习兴趣,培养探究精神,发现数学中蕴涵的美。
教学重点:根据平面镶嵌的条件建立数学模型——不定方程;掌握平面镶嵌的几种方案。
教学难点:使用一种以上正多边形进行组合镶嵌的问题。
三.关于教学手段、教学方法的选用:
利用多媒体技术,让学生在虚拟的“数学实验室”中动手实践;探索平面镶嵌的条件,并建立数学模型;探讨镶嵌方案;再指导学生用实验来验证镶嵌方案;在实践中发现“平面镶嵌条件”的不足之处。因此本节课我采用在教师指导下学生动手实践 、自主探索与合作交流”的教学方法。
四.教学环境:
计算机房,学生每人一台计算机,教室内的计算机用苏亚星教学网络联接,教室内配有正投影机。
虚拟实验环境介绍:
在虚拟实验环境里,教师利用几何画板4.03版,做好课上需要的课件,分教师展示课件和学生用课件,两类课件都备有“各种边长相等的正多边形”,用鼠标拖动正多边形可实现平移和旋转,从而模拟了真实的镶嵌活动。在教师机上还备有各种镶嵌图案的实例,供学生欣赏。)
五.关于教学过程的设计:
问题的提出:蜜蜂们没有学过镶嵌理论,但是正像自然界中的许多事物一样,昆虫和兽类的建筑常常可以用数学方法进行分析。自然界用的是最有效的形式——只需花费最少能量和材料的形式。正是这一点把自然界和数学联系起来了。
把我们的注意力集中于蜜蜂,可以观察到许多数学概念。
正三角形、正方形和正六边形是仅有的三种自镶嵌正多边形。其中,对于给定面积来说,六边形的周长最小。这意味着蜜蜂在建筑蜂房中的六角柱巢室时,比起用以正方形或正三角形为底的棱柱来镶嵌空间的情况,可以用较少的材料围出相同的空间。
从自然界的蜂房镶嵌图案,到罗马的马赛克,到希腊的拼砖,到简洁的彭罗斯拼砖…
镶嵌图案被广泛应用于各种艺术设计中,尽管它们的基础是数学,但是这无损于它们的美丽和朴雅。
下面这幅图案是艺术家利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案,它远溯至15世纪。
今天,让我们也利用计算机这一高科技手段,尝试着设计更美丽的镶嵌图案。
(一)引入课题:展示第1组图:
图1
由今天的家庭装饰、装修,人行道的彩色砖块……引入课题,说明研究本课题的必要性;并引入“平面镶嵌”的概念:“用形状相同或不同的平面封闭图形,把一块地面既无缝隙又不重叠地全部覆盖,叫做平面镶嵌。”
1.教师展示镶嵌图案①:一个正多边形的顶点可在另一正多边形的边上。引导学生观察:在什么地方见过这种镶嵌图案。第2组图:
图2
2.教师再展示镶嵌图案②:正多边形的顶点不落在相邻正多边形的边上;并引导学生讨论相邻正多边形的边有什么关系?(相等)
指出第二种是我们本节课主要研究的内容。第3组图:
图3
(二)带领学生复习正多边形内角度数的公式,并计算正3、4、6、8边形的一个内角的度数。
(三)探讨用正多边形镶嵌时,每个顶点处各角要满足的条件:(引导学生归纳、概括图形满足的条件)
1.学生利用课件,动手做只用正六边形和只用正五边形的镶嵌实验;
2.提出问题:①为什么用正六边形可以实现镶嵌而用正五边形不能实现镶嵌?要想使正多边形能无间隙地镶嵌平面,除了边长相等之外,在镶嵌的一个顶点处,各内角在度数上要满足什么条件?(度数之和为360°)
(四)探讨用单一的正多边形进行自镶嵌:
引导学生进行理论探讨,如果采用一种正多边形进行镶嵌,可以采用正几边形?
设在一个顶点处有k个正n边形,必须满足 ,可得
(n - 2) ( k – 2 ) = 4 (说明:这是一个特殊方程——不定方程,我们只需它的正整数解),可得;和三种可能性 。
归纳结论:只有三种正多边形(正三边形,正四边形,正六边形)可用于自镶嵌。
2.学生利用课件,亲自动手在自己的计算机上进行镶嵌实验,以验证自己的结论。见第4组图:
图4
3.教师对学生的活动加以指导,点评。(可教给学生改变颜色的方法,使镶嵌图案更加
美观。
(五)提出新问题:我们根据自己的审美观,能否实现两种边数不同的正多边形进行镶嵌,可能有什么方案?
引导学生进行讨论:用m个正三边形和n个正四边形进行平面镶嵌:一个顶点处各内角和为3600 ,即讨论方程m·60°+ n·90°=360°的正整数解的问题,不难得出结论,正整数解为;可知每个顶点处应有三个正三边形和两个正四边形。
学生动手实验,采用正三边形和正四边形进行镶嵌。教师可以选播学生的优秀作品。如图5:
图5
关于其他镶嵌方案的探讨,可类似进行。请学生用实验的方法来验证所发现的新的镶嵌方案。见第6组图
图6
(六)关于在每个顶点处用三种正多边形进行镶嵌:
引导学生发现,也有可能用两种以上的正多边形进行平面镶嵌,研讨方法类似,我们先参看课本第164页的探讨过程。展示图7:
图7
从而得到教科书第165页表2的结论,其根据是:“在一个顶点处各个角的和为360°”
(七)实验探究:学生用正5边形和正10边形进行镶嵌;见图8:
图8
当学生发现无法进行平面镶嵌时,引导学生讨论为什么推导出的这方案行不通?归纳概括:这个问题要满足条件在一个顶点处各角的和是360°,必须由2个正五边形和1个正十边形进行镶嵌,但事实上这种镶嵌是不能保证连续进行下去的。即这个条件并不充分。这个问题在高中阶段将要深入研究。
尽管一些正多边形之间的镶嵌或自镶嵌在理论上不能实现,但是艺术家把正多边形与其它图形巧妙结合,设计出美丽的图案。如前面看到的图案,它是由正五边形与菱形组成的又一类平面镶嵌图案, 这是数学美与艺术美的结合。
小结和作业
1.小结:
本节课在探究“正多边形镶嵌”时,理论依据是“在一个顶点处,各角之和为
3600”。
② 我们通过实践得到猜想,探讨理论依据,再到实践中进行验证。即:实践——
理论——再实践是我们认识事物普遍规律。
③从偶然到必然,从必然到自由,不仅是我们研究数学问题的方法,更是人类探索
未知世界的常用方法。我们只有在不断探索与实践中才能得到科学结论,发展我们的认识。
2.作业:请你利用课件设计几个平面镶嵌图案。
结束语:
任何数学分支,无论怎样抽象,总有一天可被应用于现实世界的各种现象。本节课,应用多媒体技术创建了虚拟的实验环境,学生们在这里探讨了正多边形的平面镶嵌这一古老而又充满活力的问题,整个过程符合实践——理论——再实践的认知规律,体现了学生动手实践、自主探索、合作交流的学习方式,充分调动了学生的自主性和创造性,培养了学生的创新意识和探索精神。
以上是我对这节课的设计,不妥之处,敬请指正。
谢谢!
2003 年11月
课件20张PPT。《§7.19 探究性活动:镶嵌》说课稿北海中学 石彩云
利用多媒体技术,让学生在虚拟的“数学实验室”中动手实践;探索平面镶嵌的条件,并建立数学模型;探讨镶嵌方案;再指导学生用实验来验证镶嵌方案。在整个教学过程中,教师引导学生动手实践,探索规律,再进行理性思考,然后进行知识的实际应用,较完整地实现“实践——理论——再实践”的认识过程。 一、 设计思路:
计算机房,学生每人一台计算机,教室内的计算机用苏亚星教学网络联接,教室内配有正投影机。在虚拟实验环境里,教师利用几何画板4.03版,做好课上需要的课件。课件都备有“各种边长相等的正多边形”,用鼠标拖动正多边形可实现平移和旋转,从而模拟真实的镶嵌活动。 二、 教学环境:1.知识目标:掌握用正多边形镶嵌平面时要满足的条 件:在一个顶点处各内角和为360°;能自行设计几种镶嵌方案。
2.能力目标:培养学生探讨问题,分析解决问题的能力;在动手实验和探究的过程中领会理论联系实际的研究方法,培养学生学数学,用数学的意识。初步涉足必要条件和充分条件,为学生进一步学习命题积累感性认识。
3.情感目标:学生利用多媒体技术,亲自动手实验,手脑并用,提高学习兴趣,培养探究精神,发现数学中蕴涵的美。三、教学目标
四、教学重点:根据平面镶嵌的条件建 立数学模型——不定方程;掌握平面镶嵌的几种方案。
使用一种以上正多边形进行组合镶嵌的问题。
教学难点: 五、教学过程: 1.问题提出2.探讨用正多边形进行平面镶嵌时,要满足的条件3.探讨用单一的正多边形进行自镶嵌4.探讨两种边数不同的正多 边形的镶嵌 5.关于在每个顶点处用三种正多边形进行镶嵌6. 实验探究:学生用正5边形和正10边形进行镶嵌1.问题的提出:
自然界中的镶嵌——蜂巢。古希腊的拼砖 定义:
“用形状相同或不同的平面封闭图形,把 一块地面既无缝隙又不重叠地全部覆盖,叫做平面镶嵌。”
①:一个正多边形的顶点可在另一正多边形的边上。平面镶嵌的类型:
②:正多边形的顶点不落在相邻正多边形的边上;2.探讨用正多边形进行平面镶嵌时,要满足的条件(1)各正多边形边长相等
(2)在每个顶点处,各多边形内角之和为360度3.探讨用单一的正多边形进行自镶嵌(1)引导学生进行理论探讨,如果采用一种正多边形进行镶嵌,可 以采用正几边形?设在一个顶点处有k个正n边形,必须满足 可得(n - 2) ( k – 2 ) = 4 它的正整数解
归纳结论:只有 (正三边形,正四边形,正六边形)可用于自镶嵌(2)学生利用课件动手在计算机上进行镶嵌实验,验证自己的结论。4.两种边数不同的正多边形进行镶嵌 (1)引导学生进行讨论:用m个正三边形和n个正四边形进行平面镶嵌:一个顶点处各内角和为3600 ,即讨论方程m·60°+ n·90°=360°的正整数解的问题,不难得出结论,正整数解为可知每个顶点处应有三个正三边形和两个正四边形。(2)关于其他镶嵌方案的探讨,可类似进行。请学生用实验的方法来验证所发现的新的镶嵌方案。5.关于在每个顶点处用三种正多边形进行镶嵌先参看课本第164页的探讨过程 从而得到教科书第165页表2的结论,其根据是:“在一个顶点处各内角的和为360度6. 实验探究:学生用正5边形和正10边形进行镶嵌引申 六.小结和作业
1小结
2.作业
请你利用课件设计几个平面镶嵌图案。①正多边形镶嵌的理论依据是在一个顶点处,各内角之和为360度
② 实践——理论——再实践是我们认识事物普遍规律。③从偶然到必然,从必然到自由,不仅是我们研究数学问题的方法,更是人类探索未知世界的常用方法。我们只有在不断探索与实践中才能得到科学结论,发展我们的认识。