专题26.6反比例函数的图象和性质 巩固篇专项练习（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题26.6 反比例函数的图象和性质（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．若两个点，均在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．反比例函数（，k为常数）的图象经过点，则它的图象还经过点（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知反比例函数（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx－2的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
5．正比例函数()的图象与反比例函数()的图象相交于A． B两点，其中A的横坐标为 2，则满足的x的取值范围是（ ）
A．x< 2或02 D． 22
6．反比例函数y=，关于其函数图象下列说法错误的是（ ）
A．位于第二、四象限 B．图象过点（-1,3） C．关于原点成中心对称 D．y随x的增大而增大
7．若双曲线在第二、四象限，那么关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．条件不足，无法判断
8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．反比例函数与一次函数y＝－kx－1（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
10．某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积需满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．反比例函数的图像在第 象限．
12．已知反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小，则的取值范围是 ．
13．已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y＝上，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是 ．
14．已知反比例函数，当时，的最大值与最小值之差是4，则 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y的交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1 y2的值为 ．
16．已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为 ．
17．已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）．
18．已知满足，则反比例函数直线的图象在第一、三象限的概率是 ．
三、解答题
19．已知函数的图象是双曲线．
求的值；
若该函数的图象经过第二、四象限，求函数的表达式．
20．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
21．已知：反比例函数的图象分别位于第二、第四象限．
(1)填空：k﹣1_______0（用“>”、“<”或“=”填空）
(2)化简：．
22．点A是反比例函数的图像上一点，直线轴，交反比例函数（）的图像于点B，直线轴，交于点C，直线轴，交于点D．
(1)若点A（1，1），分别求线段AB和CD的长度；
(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段AB和CD的数量关系，并说明理由．
23．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限交于点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点．
（1）求点C的坐标及k、b的值．
（2）求出一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点的坐标，并直接写出当时，x的取值范围．
24．阅读下列材料，解决下列问题：我们知道，用描点法可以画出反比例函数的图像，其图像是双曲线，那么如何画出函数的图像呢？其图像与函数的图像有何关系吗？下面是小明同学对函数的图像画法的部分探究过程；
解：①列表、取值（这里自变量的取值范围是，即）：
… 0 2 3 5 7 9 …
… 8 4 2 1 …
②描点、连线…．
(1)请在下面的平面直角坐标系中将函数图像补充完整．
(2)联想函数的图像和性质，根据下列要求，回答问题：
①函数的图像是由函数的图像向______平移______个单位长度得到的．
②仔细观察图像，归纳函数的函数值随自变量的增减变化情况．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据点，均在反比例函数的图象上，推出，，得到，，根据，得到，求得k＜2，推出k的值可能是1，
【详解】解：∵点，均在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，，
∵，
∴
∴k＜2，
∴k的值可能是1，
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，解不等式，反比例函数的图象和性质．
2．C
【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∵，则不经过，
∵，则不经过，
∵，则经过，
∵，则不经过．
故选：C．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．A
【分析】根据反比例函数中判断出函数图像所在象限及增减性，再根据各点的横坐标的特点判断即可．
【详解】∵反比例函数中，
∴函数图像位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵-2＜0，-1＜0，
∴点，位于第二象限，
∴＞0，＞0，
∵，
∴，
∵＞0，
∴在第四象限，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据反比例函数增减性，比较函数值的大小，注意反比例函数的增减性要分象限是本题的易错点．
4．D
【分析】由反比例函数的图象的分别确定＜再确定一次函数y＝kx-2的图象经过的象限即可得到答案．
【详解】∵反比例函数y（k≠0）的图象分布在二，四象限，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx-2的图象经过二，三，四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与性质，掌握一次函数与反比例函数的图象与k、b的关系是解题的关键．
5．A
【分析】根据反比例函数的对称性得到反比例函数与正比例函数另一个交点的横坐标，再根据数形结合的思想求得x的取值范围．
【详解】如图，令反比例函数与正比例函数的另一个交点为点B
根据反比例函数图像关于坐标原点对称，因为点A的横坐标为 2，则点B的横坐标为2
由，可知
由数形结合思想可知，当正比例函数图像位于反比例函数图像的上方时，x的取值范围是或，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的关系以及反比例函数图像的性质，熟练掌握数形结合的思想解题是解决本题的关键．
6．D
【分析】根据反比例函数图象是双曲线、反比例函数图象的增减性以及反比例函数图象与系数的关系进行判断即可．
【详解】解：A、反比例函数中的，则该函数图象经过第二、四象限，正确，故本选项不符合题意；
B、反比例函数，当时，正确，故本选项不符合题意；
C、反比例函数的图象关于原点对称，正确，故本选项不符合题意；
D、反比例函数中的，则在每个象限内，随的增大而增大，错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】考查了反比例函数的性质，解题的关键是了解反比例函数的性质，属于反比例函数的基础性题目，比较简单．
7．B
【分析】根据反比例函数图象性质，由双曲线在第二、四象限，得．再根据关于x的方程计算根的判别式，从而判断该方程根的情况．
【详解】解：∵双曲线在第二，四象限，
∴．
∵关于x的方程，
∴，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象性质，一元二次方程根的判别式，正确理解相关概念，通过反比例函数图象性质得到m的取值范围，是解题的关键．
8．C
【分析】设点C的坐标为（c,0），根据已知写出P的坐标，再代入反比例函数解析式，根据ｃ的取值范围即可求解．
【详解】解：设点C的坐标为（c,0）
∵点的坐标为，轴于点，
∴P（）
∵函数的图象经过点
∴
∴c=2k-4
∵0≤c≤4
∴0≤2k-4≤4
∴
故选：C
【点睛】考核知识点：反比例函数．理解反比例函数的意义是关键．
9．D
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图像的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、当 时，则 ，此时一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，故选项不正确，不符合题意；
B、因为一次函数y＝－kx－1（k≠0），则其与y轴交点为（0，-1），故选项不正确，不符合题意；
C、因为一次函数y＝－kx－1（k≠0），则其与y轴交点为（0，-1），故选项不正确，不符合题意；
D、当 时，则 ，此时一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，故选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的图像，能根据函数图像所在象限判断k的值是解题的关键．
10．D
【分析】由图可求出压强与气体的体积的关系式为，为了不让气球爆炸，则需要，结合图象可知：若，则．
【详解】解：由图可知函数为反比例函数，且过，
设气球内气体的压强与气体的体积的关系为，
则，即，
为了不让气球爆炸，则需要，
当时，，如图：
结合图象可知：若，则，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是结合函数图象求出压强与气体的体积的关系，并根据的取值求出的取值．
11．一、三
【分析】根据＞0，判定函数图像的分布即可．
【详解】解：∵＞0，
反比例函数的图像在第一、三象限．
故答案为：一、三．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键．
12．##
【分析】根据反比例函数的性质进行作答，当反比例函数系数时，它图象所在的每个象限内y随x的增大而减小．
【详解】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，对于反比例函数 （），（1），反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大．
13．y1＞y2
【分析】反比例函数y＝的图形在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小判定则可．
【详解】解：∵k＝5＞0，
∴在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解答此题的关键．
14．6或-6．
【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．
【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，
∴a=3（a-4），
解得a=6，
∴k=6；
当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，
∴b=3（b+4），
解得b=-6，
∴k=-6；
∴k=6或-6，
故答案为：6或-6．
【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程．
15． 2
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出M、N两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．
【详解】∵y=kx(k>0)图像关于(0，0)中心对称，
∵k>0，
∴图像经过一、三象限，
y图像也关于(0，0)中心对称，
∵2>0，
∴图像经过一、三象限，
又∵M、N为y=kx与y交点，
∴M、N也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限，
∴M(x1， )，N( x1，)，
∴x1 y2== 2，
故答案为 2．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称是解答本题的关键．
16．（2，1）
【分析】根据点A，B关于y=x（y-x=0）的对称，求解即可
【详解】解：∵点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，OA=OB，
∴点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称，
设点（1，2）关于直线y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b）
由两点中点在直线y=x上及过两点的直线垂直直线y=x（斜率之积为-1）
可以得到：，
解得：a=2，b=1，
∴点B的坐标为（2,1）
故答案为：（2，1）
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称是解题的关键．
17．
【分析】根据平方的非负性得出，再分析反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴反比例函数图象位于第二，第四象限内，且每一象限内y随x的增大而增大．
∵点，，在反比例函数图象上，
且，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据反比例函数图象的性质比较反比例函数值的大小，根据平方的非负性判断反比例函数图象所处的象限，并熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
18．
【分析】先判断出有22个负数，2000个正数，再结合反比例函数中利用概率公式可得答案．
【详解】解： ，
而
有22个负数，2000个正数，
而反比例函数直线的图象在第一、三象限，
则
所以反比例函数直线的图象在第一、三象限的概率是
故答案为：
【点睛】本题考查的是绝对值的性质，反比例函数的性质，利用概率公式求解简单随机事件的概率，判断出有22个负数，2000个正数是解本题的关键．
19．；．
【分析】（1）根据反比例函数的定义列出方程求解即可；
（2）根据反比例函数的性质，确定m的值，即可求得解析式．
【详解】根据题意得：，
解得：；
∵函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得，
∴，
∴函数的表达式．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
20．（1）a＝2，k＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由见解析
【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；﹣＝a﹣4，②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【详解】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1最大值为，①；
当x＝2时，y2最小值为﹣＝a﹣4，②；
由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
则m0＜0，m0+1＞0，
∴当x＝m0时，p＝y1＝ ，
当x＝m0+1时，q＝y1＝，
∴p＜0＜q，
∴圆圆的说法不正确．
【点睛】此题考查反比例函数的性质特点，难度一般，能结合函数的增减性分析是解题关键．
21．(1)<
(2)5
【分析】(1)根据反比例函数的图象与性质即可解答；
(2)根据，分式的加减及二次根式的化简运算，进行运算即可求得．
【详解】（1）解：反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，
，
故答案为：<；
（2）解：
，
，
原式
．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，分式的加减运算及二次根式的化简运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
22．(1)，
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD的长度；
（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB=2a，CD=a．即可求得AB＞CD．
【详解】（1）解：如图，
∵轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，
∴B（3，1）．
同理可求：C（1，3），D（，3）．
∴，
（2）解：．
证明：如图，
∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，
∴A（a，）．
∵轴，B在反比例函数的图象上，
∴B（3a，）．
同理可求：C（a，），D（，）．
∴，．
∴
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的坐标是解题的关键．
23．（1）C（﹣2，4）；；（2）另一个交点坐标为（4，﹣2），x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．
【分析】（1）由A（2，0）利用平行线等分线段定理，可求出点C的横坐标，代入反比例函数关系式，可求其纵坐标；用两点法确定一次函数的关系式，即待定系数法确定函数的关系式，求出k、b的值；
（2）可将两个函数的关系式联立成方程组，解出方程组的解，若有两组解，说明两个函数的图象有两个交点，根据图象可以直观看出一次函数值大于反比例函数值时，自变量的取值范围．
【详解】（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵CD∥OB，
∴，
又∵B是AC的中点．
∴AB＝BC，
∴OA＝OD
∵A（2，0），
∴OA＝OD＝2，
当x＝﹣2时，y＝﹣＝4，
∴C（﹣2，4）
把A（2，0），C（﹣2，4）代入y＝kx+b得：
解得：，
∴一次函数的关系式为：y＝﹣x+2；
因此：C（﹣2，4），k＝﹣1，b＝2．
（2）由题意得：
解得：；
∵一个交点C（﹣2.4）
∴另一个交点E（4，﹣2）；
当时，即：y一次函数＞y反比例函数，
由图象可以直观看出自变量x的取值范围：x＜﹣2或0＜x＜4．
因此：另一个交点坐标为（4，﹣2），x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．
【点睛】反比例函数图象上的点坐标的特征，待定系数法求函数的关系式，解方程组以及数形结合思想的应用是解题关键．
24．(1)见解析
(2)①右，1；②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小
【分析】（1）用平滑的曲线连接各点，画出函数图像即可；
（2）①根据反比例函数的图像和平移的性质判断即可；
②根据函数图像判断其增减性即可．
【详解】（1）解：画出的图像如图所示：
（2）①函数的图像是由函数的图像向右平移1个单位长度得到的；
②由函数图像可知：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小．
【点睛】本题考查了画函数图像，反比例函数的图像和性质，平移的性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页