专题26.9反比例函数与面积问题 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题26.9 反比例函数与面积问题（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数（k≠0，x＞0）的图像上，点D的坐标为（﹣3，1），则k的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是6，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A是反比例函数y1＝（x＞0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数（x＞0）的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为1，则k的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，．若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
6．如图，在直角坐标系中，点A在函数的图像上，轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数的图像交于点D，连接AC，CB，BD，DA，若四边形ACBD的面积等于，则k的值为（　　　）
A． B． C．4 D．
7．如图，A、B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和3．则的面积是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．6
8．如图，已知点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥y轴于点A，B是x轴上一点，连接AB、PB，若△PAB的面积为2，则双曲线的解析式为（　　）
A．y B．y C．y D．y
9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与相交于、两点，已知，，，则点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，线段AB的延长线交x轴于点C，若，．则的值为（ ）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-3
二、填空题
11．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，的面积为6，则 ．
12．如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则 ．
13．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，且交y轴于点C．
（1）连接OA，则的面积为 ；
（2）若，则k的值为 ．
14．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数（k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为
15．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，过A、B两点分别作y轴的垂线交y轴于点A1、B1，若梯形A A1B1 B的面积为2022，则△AOB的面积为 .
16．如图，矩形OABC的面积为40，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且，则 .
17．如图所示，点A是双曲线在第二象限的分支上的任意一点，点B、C、D分别是点A关于x轴、原点、y轴的对称点，则四边形ABCD的面积是 ．

18．如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数（x＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为 ．
三、解答题
19．如图，等腰的锐角顶点，的坐标分别为，，直角顶点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)求的面积．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)请你在反比例函数的图象上找一点，使得和的面积相等，并求出点的坐标．
21．如图，菱形的边长为5，轴，垂足为点E，点A在第二象限，点B在y轴的正半轴上，点C、D均在反比例函数的图像上，连接，点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D的横坐标为1，反比例函数的图像上是否存在一点P，使得的面积是菱形面积的，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说出理由．
22．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与、相交于点D、E．
(1)若点，求k的值；
(2)若四边形的面积为6，求反比例函数的解析式．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，面积为1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上求一点P，使的值最大，并求出其最大值和P点坐标．
24．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且，，．
(1)求证：；
(2)若，求m的值；
(3)若，求km的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】先根据反比例函数的几何意义只要求出矩形OEBF的面积，再根据矩形的性质可得S矩形OGDH＝S矩形OEBF， S矩形OGDH可通过点D（﹣4，1）转化为线段长而求得，最后根据反比例函数的所在的象限，确定k的值即可．
【详解】解：如图，根据矩形的性质可得：S矩形OGDH＝S矩形OEBF，
∵D（﹣3，1），
∴OH＝3，OG＝1，
∴S矩形OGDH＝OH OG＝3，
设B（a，b），则OE＝a，OF＝﹣b，
∴S矩形OEBF ＝S矩形OGDH＝OE OF＝﹣ab＝3，
又∵B（a，b）在函数（k≠0，x＞0）的图像上，
∴k＝ab＝﹣3
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征等知识点，灵活地将坐标与线段长进行相互转化是解答本题的关键．
2．B
【分析】利用点D坐标求出反比例函数和正比例函数解析式，再设出点C坐标，利用平行四边形的性质和正比例函数解析式表示出点B的坐标，从而可得BC，再用BC与点C的纵坐标表示出平行四边形的面积，求解即可．
【详解】解：∵点D（2，1）在反比例函数上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函数解析式为：，
设直线OB的函数解析式为y=mx，
∵点D（2，1）在对角线OB上，
∴2m=1，即，
∴OB的解析式为：,
∵点C在反比例函数图象上，
∴设点C坐标为（a，），
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BCOA，
∴点B的纵坐标为，
将y=代入，
解得：x=，
∴点B坐标为（，），
∴BC=，
∵平行四边形OABC的面积是6，
∴（）×=6，
解得：a=1或a=-1（舍去），
∴，，
∴点B坐标为：，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，平行四边形的性质，一次函数图象等知识点，解题的关键是利用反比例函数和一次函数将点C，点B的坐标统一表示出来．
3．A
【分析】延长BA，与y轴交于点C，由AB与x轴平行，得到BC垂直于y轴，利用反比例函数k的几何意义表示出三角形AOC与三角形BOC面积，由三角形BOC面积减去三角形AOC面积表示出三角形AOB面积，将已知三角形AOB面积代入求出k的值即可．
【详解】解：延长BA，与y轴交于点C，
∵AB//x轴，
∴BC⊥y轴，
∵A是反比例函数y1＝（x＞0）图象上一点，B为反比例函数y2＝（x＞0）的图象上的点，
∴S△AOC＝，S△BOC＝，
∵S△AOB＝1，即，
解得：k＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
4．B
【分析】先根据点的横向坐标求出P1(1,k)，P2(3,)，P3(6,)，再根据S2=(6-3)( -)=3，求出k值，再根据S1=1×(k-)求解即可．
【详解】解：把x=1代入，得y=k，
∴P1(1,k)，
把x=3代入，得y=，
∴P2(3,)，
把x=6代入，得y=，
∴P3(3, )，
∵S2=(6-3)( -)=3，
∴k=6，
∴S1=1×(k-)=1×(6-)=4，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，根据S2=(6-3)( -)=3，求出k值是解题的关键．
5．B
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6．B
【分析】设A（a，），可求出D（2a，），由于对角线垂直，所以面积=对角线乘积的一半即可．
【详解】解：设A（a，），
∵轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，
∴CDx轴，C（0，）
∴点D纵坐标为，
∵点D在函数的图像上，
∴当y=时，x=2a，
∴D（2a，），
∵AB⊥CD，
∴S四边形ACBD=AB CD=×2a×=2，
解得k=2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A和点D的坐标．
7．B
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出A，B两点的纵坐标，再由△OAB面积=梯形ADCB面积+△AOD的面积-△BOC面积，而S△AOD=S△BOC=3，就可求出△OAB的面积．
【详解】解：∵A、B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，
∴点A（2，3），B（3，2），
∴AD=3，BC=2，
∴梯形ADCB的面积为：
∴△OAB面积=梯形ADCB面积+△OAD的面积-△OBC面积，
∵A，B在反比例函数上，
∴S△AOD=S△BOC=3，
∴△OAB的面积是：．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、图象上点的坐标特征，熟练掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
8．C
【分析】连接OP，根据平行线的判定定理得到AP∥OB，求得S△APO=S△ABP=2，设双曲线的解析式为，于是得到结论．
【详解】解：连接OP，
∵PA⊥y轴于点A，OB⊥y轴，
∴AP∥OB，
∴S△APO=S△ABP=2，
设双曲线的解析式为，
∴，
∴双曲线的解析式为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．
9．B
【分析】根据题目条件可求出反比例函数解析式以及直线的解析式，联立即可得点坐标．
【详解】解：∵
，
∵，
设，直线的解析式为：，
则，
，
直线的解析式为：，
点为与反比例函数的交点，
，
解得：（负值舍去），
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题关键．
10．A
【分析】设=a，则OC=3a，根据三角形面积公式可得AM=，则A，代入反比例函数的解析式可求k的值．
【详解】解：设=a，则OC=3a，
∴，
∴AM=，
∴A，
∴ ，
∴k=-8，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
11．8
【分析】如图作EF⊥BC，由矩形的性质可知，设E点坐标为（a，b），则A点坐标为（c，2b），根据点A，E在反比例函数上，根据反比例函数系数的几何意义可列出ab=k=2bc，根据三角形OEC的面积可列出等式，进而求出k的值．
【详解】解：如图作EF⊥BC，则，
设E点坐标为（a，b），则A点的纵坐标为2b，
则可设A点坐标为坐标为（c，2b），
∵点A，E在反比例函数上，
∴ab=k=2bc，解得：a=2c，故BF=FC=2c-c=c，
∴OC=3c，
故，解得：bc=4，
∴k=2bc=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查矩形的性质，反比例函数的图形，反比例函数系数k的几何意义，能够熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决本题的关键．
12．8．
【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果．
【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，
∴的面积为，∴，∴.
故答案为8．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于基础题型．
13． 4
【分析】（1）根据轴可得的面积等于4；
（2）由可得，即可求出k的值．
【详解】（1）∵轴，A在上
∴
故答案为：
（2）连接OB，
∵，
∴，
∵点B在双曲线上，
∴，
∴，解得
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟记反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
14．4
【分析】根据图可得题中所给的△ODE面积等于长方形OABC面积减掉三个小三角形△OAD，△BDE△OCE的面积，设出B点的坐标后，根据已知条件列出方程：，求解即可．
【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为(a，b)，则E的坐标为
∵D为AB的中点，
∴D
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ab=k，
∵
=3
∴，
解得∶k=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与反比例函数性质的综合应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15．2022
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可以列出方程，进而求出k的值即可．
【详解】解：过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AO，BO，如图，
∵A，B在反比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2022．
【点睛】考查反比例函数的图象和性质，利用三角形的面积列方程是解决问题的关键．
16．
【分析】利用反比例函数和矩形的面积进行计算，再将B、E点坐标表示出来，代入计算即可．
【详解】由题意，设点D的坐标为（xD，yD），
∵
则点B的坐标为（xD，yD），
∴矩形OABC的面积=|xD×yD|=40，
∵图象在第一象限，
∴k=xD yD=，
∴E点坐标为（xD，），B点坐标为（xD，）
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质和点坐标的表示是解题关键．
17．4
【分析】由题意点A在是双曲线上，设出A点坐标，在由已知条件对称关系，表示出B，D两点坐标，再由矩形面积公式求出其面积．
【详解】设A（x，y），
∵点A是双曲线在第二象限的分支上的任意一点，点B、C、D分别是点A关于x轴、原点、y轴的对称点，
∴D（-x，y），B（x，-y）
∵ABCD为矩形，
∴四边形ABCD的面积为：AB AD=2y×2x=4|xy|，
又∵点A在双曲线上，
∴xy=-1，
∴四边形ABCD的面积为：4|xy|=4．
故答案为：4．
18．
【分析】如图，过点A作AE⊥OC于E，由菱形的性质可得AO∥CB，OA=OC，可证△AOC是等边三角形，可得S△AOE=S△AOC==，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥OC于E，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AO∥CB，OA=OC，且∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，
∴S△AOE=S△AOC，
∵OA∥BC，
∴S△OAD=S△OAC=，
∴S△AOE==，
∴k=，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．(1)9
(2)5
【分析】（1）过点 C分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为E，D，易证 ， 可得四边形OECD是正方形，则OD=OE，设，则，可解得x的值，进而得到点C的坐标；
（2）由勾股定理可得AC，BC的长度，根据等腰直角三角形面积的求法可得答案．
【详解】（1）如图，过点 C分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为E，D，
可得∠DCE=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AC，∠BCA=∠BCD+∠DCA=90°，
∵∠DCA+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
∴（AAS），
∴，
设
由，可得，
∴.
解得
∴点的坐标为
∴
（2）由点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（3，3），
可知AE=1，CE=3，在Rt△ACE中，由勾股定理可得，
由三角形ABC是等腰直角三角形可得，的面积为
【点睛】本题考查反比例函数的几何问题，正确作出辅助线，根据图形的性质，数形结合，是解题的关键．
20．(1)一次函数的解析式为；反比例函数为；
(2)点P的坐标为：
【分析】(1)根据A的坐标求出k的值，把A、B的坐标代入一次函数的解析式求出a，b；
(2) 设AB交x轴于点M，则M(4，0)，所以BO=2，OM=4，过点O作OP∥AB，交反比例函数于点P，则此时S AOP=S BOP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，可以求出P的坐标．
【详解】（1）将A(6，1)代入y= 中，
得k=1×6=6
所以反比例函数为：
而 与y轴交于B，
将A，B两点代入中得到
；
解得
所以一次函数的解析式为 ；
（2）设AB交x轴于点M，
令y=0，
则，得到x=4，
则M(4，0)，
∵B(0，-2)，
∴BO=2，OM=4，
过点O作OP∥AB，交反比例函数 于点P，则此时S AOP=S BOP，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB
∴∠POQ=∠BMO，
∴tan∠POQ=tan∠BMO=
故可设PQ=a，OQ=2a，则
解得a1= ，a2=- (舍去)，
所以2a=2，
所以点P的坐标为：
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用以及三角形的面积，题目是一道比较典型的题目，难度适中．解题的关键是熟悉一次函数以及反比例函数的图像和性质．
21．(1)
(2)存在，点P的坐标为
【分析】(1)先确定点C的坐标，再根据反比例函数的性质求解析式即可．
(2)根据解析式确定点D的坐标，计算出菱形的面积，设点P的坐标为(m，)，三角形的高为，再根据三角形的面积计算即可．
【详解】（1）∵ 菱形的边长为5，轴，
∴AD∥BC∥x轴，BC=5，
∵ 点，
∴点C的坐标，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，交BC于点N，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点G，
∵点D的横坐标为1，反比例函数的解析式为，
∴，
∴DN==3，
∵的面积是菱形面积的，
∴，
设点P的坐标为(m，)，
则三角形的高为，
∴，
解得m=，
∴=，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，坐标的特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22．(1)8
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质，，根据反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，求得点的坐标，然后待定系数法求解析式即可；
（2）过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形，根据中位线的性质以及的几何意义，可得S矩形ABCO＝4S矩形ONMG＝4|k|，结合已知条件即可求解
【详解】（1），四边形是矩形，为矩形对角线交点，
反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，
（2）如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形
由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE＝，S△OAD＝，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S矩形ONMG＝|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
则S矩形ABCO＝4S矩形ONMG＝4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则++6=4k，
∴k＝2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何图形，的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
23．(1)
(2)最大值为，
【分析】（1）由面积为1，可直接得到答案；
（2）记一次函数的图象与x轴的交点为P点，此时的值最大，最大值为的长．联立： ，再解方程组求解A，B的坐标，从而可得最大值，再令，则，解得，从而可得P的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，面积为1，
∴，
∵，
∴，
故反比例函数的解析式为：；
（2）解：记一次函数的图象与x轴的交点为P点，此时的值最大，最大值为的长．
联立：
整理得：
解得：
所以方程组的解为：
，
∴，
∴的最大值为，
∵一次函数，
令，则，
解得，
∴P点坐标为．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点坐标问题，两条线段的绝对值之差的最大值的理解，掌握“反比例函数的性质”是解本题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)
(3)8
【分析】（1）根据点的坐标特征，将A、B的坐标代入，k相等，可求；
（2）根据两点间距离公式得，所以，将代入即可求解；
（3）先求出直线AB的解析式为：，得到，，因为，，，可得方程，求解即可．
【详解】（1）解：由条件可得：，
∴，
∴，
即，
∵，，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵m>0
∴；
（3）解：设直线AB的解析式为：，
则 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为：，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、k的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，解题的关键是准确理解k的意义．
答案第1页，共2页
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