专题26.10反比例函数解析式 专项练习（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题26.10 反比例函数解析式（专项练习）
一、单选题
1．已知点A（1，-3）关于x轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数k的值为（ ）
A．3 B． C．-3 D．
2．已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是(　　　)
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
3．反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．36 B．48 C．49 D．64
5．点A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣ C．﹣1 D．6
6．将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为( )
A． B． C． D．
7．反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第二、三象限 D．第一、二象限
8．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(　　)
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
9．如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作⊥轴于点，的面积为2，则反比例函数的解析式为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
11．正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若A点坐标为，则 ．
12．如图，点A是y轴正半轴上一点，过点A作y轴的垂线交反比例函数y＝的图象于点B，交反比例函数y＝的图象于点C，若AB＝2AC，则m的值是 ．
13．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k= ．
15．如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则 ．
16．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图像经过点B，则k的值是 ．
17．如图，矩形的两边，的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F．若，则反比例函数的表达式为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．
20．如图，在直角坐标系平面内，函数y=（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4）、B（a，b），其中a＞1，过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连接AD，AB，DC，CB．
(1)求反比例函数解析式；
(2)当△ABD的面积为S，试用a的代数式表示求S．
(3)当△ABD的面积为2时，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
21．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（3）若点在线段上，且，求点的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2＝0的两个根（OA＞OC）．
(1)求点A，C的坐标；
(2)直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】先求出坐标，代入函数解析式即可求出k．
【详解】解：点A（1，-3）关于x轴的对称点的坐标为：（1，3），
将（1，3）代入反比例函数，
可得：k=1×3=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出的坐标是解题关键．
2．D
【分析】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为y=，
将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，
所以这个反比例函数解析式为y=-．
故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
3．C
【分析】把点B坐标代入一次函数解析式，求出m的值，可得出B点坐标，把 B点的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值．
【详解】解：由题意，把B（，m）代入，得m=
∴B（，）
∵点B为反比例函数与一次函数的交点，
∴k=x·y
∴k=×=．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟知一次函数反比例函数图像的交点坐标都适合两个函数解析式是解题关键．
4．A
【详解】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝中求出k的值．
【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，
∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，PD＝PC，
∴PE＝PC＝PD，
设P（t，t），则PC＝t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，
∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，
解得t＝6，∴P（6，6），
把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
5．A
【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【详解】解：∵A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，
∴k=（﹣3）×2=﹣6，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数的解析式．
6．C
【分析】直接根据函数图象的变换规律进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，
的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：；
由“上加下减”的原则可知，
函数的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：．
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7．B
【分析】先把点（ 2，3）代入反比例函数y＝(k≠0)得到k＝ 6＜0，根据反比例函数的性质即可得到反比例函数y＝(k≠0)的图象在第二、四象限．
【详解】∵反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点（ 2，3），
∴k＝ 2×3＝ 6，
∴k＜0，
∴反比例函数y＝(k≠0)的图象在第二、四象限．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象上点的横纵坐标之积为常数k；当k＞0时，图象分布在第一、第三象限；当k＜0时，图象分布在第二、第四象限．
8．C
【详解】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．
∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=16，∴2≤k≤16．故选C．
9．B
【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．
【详解】解：如图，
设OD=m，
∵
∴OC=
∵轴于点，轴于点，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为，
∴k=m×1=m
设AC=n
∵轴
∴A（，n）
∴，解得，n=，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt△AEF中，，
由勾股定理得，
解得，（负值舍去）
∴
故选：B
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
10．A
【分析】对于反比例函数问题，关注的焦点就是反比例函数图象上的点，按照题意，设，根据的面积为2列出关于的方程求解即可得出反比例函数解析式．
【详解】解：∵直线与轴交于点，
∴ （0，），即，
直线与反比例函数的图象交于点，则设，
∵的面积为2，
∴，
∴或（根据图象在第一象限，舍），
，即，
∴反比例函数的解析式为：，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，求反比例函数解析式的关键是找到反比例函数图象上一点的坐标．
11．
【分析】将A点坐标为分别代入正比例函数与反比例函数的解析式中即可求解．
【详解】和过点A
故答案为．
【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，有理数的加法运算，正确的实用待定系数法求解析式是解题的关键．
12．
【分析】首先根据BC∥x轴，可设B（x，y），C（a，y），根据B在反比例函数y＝的图象上，可得xy＝m﹣3，再根据AB＝2AC可得，再把，代入xy＝m﹣3中求得ay＝，根据C在反比例函数y＝的图象上，得ay＝m+6，得到＝m+6，解方程即可．
【详解】解：∵BC∥x轴，
∴设B（x，y），C（a，y），
∵B在反比例函数y＝的图象上，
∴xy＝m﹣3，
∵AB＝2AC，
∴|x|＝2a，
∵x＜0，
∴，
∴﹣2ay＝m﹣3，
∴ay＝，
∵C在反比例函数y＝的图象上，
∴ay＝m+6，
∴＝m+6，
∴m＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数图像上点的坐标特点是解题的关键．
13．．
【详解】由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k=0.5×200=100，∴．
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：．
14．-2
【分析】连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．
【详解】解：连接OB，AC，交点为P，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（1，2），
∴P的坐标，
∵A（3，1），
∴C的坐标为（-2，1），
∵反比例函数（k≠0）的图象经过点C，
∴k=-2×1=-2，
故答案为-2．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键．
15．1
【分析】由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得．
【详解】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上，
∵，，
∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，
∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是，
∵A点的坐标是，代入反比例函数，得
则反比例函数关系式为
又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点，
则有，解之得：（D点在第三象限），
∴D点的坐标是（-2，-2），
∴，
∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，
∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），
将P（1，1）代入反比例函数，得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．
16．
【分析】已知△ABO是等边三角形，通过作高BC，利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于Rt△OBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长度，进而确定点B的坐标；将点B的坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出k的值.
【详解】解：过点B作BC垂直OA于C，
∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OC=1，BC=，
∴点B的坐标是
把代入，得
故答案为：．
【点睛】考查求反比例函数的解析式也考查了等边三角形的性质和勾股定理，解题本题的关键是求出反比例函数图像上点B的坐标；
17．
【分析】利用勾股定理计算出，则，设，则，，，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得，所以，即可求出的值，从而得到反比例函数的表达式．
【详解】解：如图连接AE，
∵矩形的两边，的长分别为3、8，E是的中点，
，
，
，
设，则，
是的中点，
，，
，在反比例函数的图象上，
，解得，
，
，
反比例函数的表达式是．
故答案为．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理的应用，表示出点的坐标是解题的关键．
18．12
【分析】根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数y=中，即可求出k的值．
【详解】∵OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（2，4），∴OB=2,AB=4
∵将△AOB绕点A逆时针旋转90°，∴AD=4,CD=2,且AD//x轴
∴点C的坐标为（6，2），
∵点O的对应点C恰好落在反比例函数y=的图象上，
∴k=2，
故答案为12．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（1）8；（2）10．
【分析】（1）将点的坐标为代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【详解】解：（1）将点的坐标为代入，
可得，
的值为8；
（2）的值为8，
函数的解析式为，
为中点，，
，
点的横坐标为4，将代入，
可得，
点的坐标为，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
20．(1)反比例函数解析式为y=；
(2)S=2a﹣2；
(3)四边形ABCD为菱形，理由见解析．
【分析】（1）把A（1，4）代入y=，用待定系数法求解即可；
（2）把B（a，b）代入（1）中求得解析式中，求出b与a的关系，根据三角形的面积公式列式即可；
（3）把S=2代入（2）中的解析式中，求出a的值，可知四边形ABCD的对角线互相垂直平分，从而可证明四边形ABCD为菱形．
【详解】（1）解：把A（1，4）代入y=得m=1×4=4，
所以反比例函数解析式为y=；
（2）解：把B（a，b）代入y=得b=，
所以S= a （4﹣）=2a﹣2；
（3）解：四边形ABCD为菱形．理由如下：
当S=2时，2a﹣2=2，解得a=2，
∴b=2，
∴B（2，2）
∵A（1，4）、
∴AC与BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像及性质、菱形的判定，熟练掌握反比例函数的图像及性质是解题的关键．
21．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案；
（2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案.
【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上，
则
设直线为：
则
所以直线为：
（2） 轴， ．
所以反比例函数为：
（3）设 而为的中点，
【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.
22．（1）；（2）b的值为1或9．
【分析】（1）先将点A的坐标代入一次函数的表达式可求出m的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的表达式即可得；
（2）先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得．
【详解】（1）由题意，将点代入一次函数得：
将点代入得：，解得
则反比例函数的表达式为；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为
联立
整理得：
一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点
关于x的一元二次方程只有一个实数根
此方程的根的判别式
解得
则b的值为1或9．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等知识点，较难的是题（2），将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键．
23．（1）一次函数的解析式为；反比例函数为；（2）或；（3），．
【分析】(1) 将A点坐标代入反比例函数求得，再将B点代入反比例函数求得n，再把A 、B两点坐标代入一次函数求得从而得出两函数解析式；
(2)观察图案结合（1）题求得A、B两点坐标即可求出所求x的范围；
(3)连接BO、AO，则△AOP和△BOP高相同，面积之比就是底边长度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之间横坐标差值按比例分配求得P点横坐标，再把横坐标代入一次函数求得纵坐标从而求出P点坐标.
【详解】解：（1）反比例函数经过，
，
反比例函数为，
在比例函数的图象上，
，
，
直线经过，，
，解得，
一次函数的解析式为；
（2）观察图象，的的取值范围是或；
（3）设，
，
，
即，
，
解得，（舍去），
点坐标为(，)．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
24．(1)A（﹣2，0），C（1，0）
(2)k=﹣2
(3)存在，点N的坐标为（﹣，4+）、（，4﹣）或（ ， ）(-3,1)．
【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x -3x+2=0即可得出OA、OC的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标；
（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段AB的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线CD的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出k值；
（3）假设存在，设点M的坐标为（m，-m+1），分别以BE为边、BE为对角线来考虑，根据菱形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出点N的坐标.
【详解】（1）x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，
∴x1=1，x2=2，
∵OA＞OC，
∴OA=2，OC=1，
∴A（﹣2，0），C（1，0）．
（2）将C（1，0）代入y=﹣x+b中，
得：0=﹣1+b，
解得：b=1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．
∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为﹣1．
∵点E为直线CD上一点，
∴E（﹣1，2）．
将点E（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，
得：2=，解得：k=﹣2．
（3）假设存在，
设点M的坐标为（m，﹣m+1），
以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：
①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，
∴B（0，4），
∴BE=AB= ．
∵四边形BEMN为菱形，
当EM= =BE=，
解得：m1=，m2=
∴M（，2+）或（，2﹣），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（﹣，4+）或（，4﹣）；
当BE=BM时有
=
解得m=-1(舍)或m=-2
∴M（-2，3）则N(-3,1)
②以线段BE为对角线时，MB=ME，
∴，
解得：m3=﹣ ，
∴M（﹣， ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（ ， ）．
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣，4+）、（，4﹣）或（ ， ）(-3,1)．
【点睛】本题考查了一元二次方程、待定系数法求函数解析式、菱形的性质，本题难度不大，解决这类题型时，要充分理解题意，根据菱形的性质找出关于点M坐标的方程是关键，注意分类讨论的思想．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页