专题26.17反比例函数与一次函数专题 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年九年级数学下册人教版专项讲练

专题26.17 反比例函数与一次函数专题（基础篇）
（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y=kx+k的图象大致是（　　　）
A． B． C． D．
3．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，轴，轴，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
5．小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
6．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（ ）
A． B． C． D．
7．在同一直角坐标系中，函数y＝kx-k与（k≠0）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，反比例函数（x＜0）的图象经过正方形ABCD的顶点A，B，连接AO，BO，作AF⊥y轴于点F，与OB交于点E，E为OB的中点，且，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，若A点的坐标为（1，2），则B点的坐标为（ ）
A．（1，－2） B．（－1，2） C．（－1，－2） D．（2，1）
10．如图，函数与的图像相交于点，直线与和分别交点B，C，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．当时， C．当时，
D．当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．一次函数与反比例函数的图像交于和两点，若，则x的取值范围是 ．
12．如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是x＜﹣2或 ．
13．直线AB：y=－x+4交坐标轴于A、B两点，若P是线段AB的三等分点，且双曲线y=过点P，则k= ．
14．如图，正比例函数y=-x与反比例函数y=的图象交于A， C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，若△ABD的面积为6，则k＝
15．点是一次函数与反比例函裂图像的交点，其 ．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，点P是线段AB上一点，连接OP，且，若双曲线y=过点P，则k= ．
17．已知点P（m，n）在直线y=-x+3上，也在双曲线y=-上，则m2+n2=
18．已知反比例函数与一次函数的图象交于点则的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．

(1)求直线和反比例函数的表达式；
(2)连接OC，在x轴上找一点P，使S△POC＝2S△AOC，请求出点P的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数y=(k≠0)的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为(6， 1) ，DE=3．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于8，求P点的坐标．
21．如图，已知反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，点．
(1)求n和b的值；
(2)求△OAB的面积；
(3)观察图像，不等式的解集为________．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点，点B的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，
(2)若点D是x轴上一点，且，求点D坐标；
(3)当时，直接写出自变量x的取值范围．
23．已知一次的图象与反比例函数的图象相交．
(1)判断是否经过点．
(2)若的图象过点，且．
①求的函数表达式．
②当时，比较，的大小．
24．如图，已知一次函数y＝x﹣2与反比例函数的图象交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，可知一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围是　 　．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【详解】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．
2．C
【分析】直接利用反比例函数的性质得出k的取值范围，进而结合一次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0）图象的两支分别位于第一、三象限，
∴k＞0，
∴一次函数y=kx+k的图象大致是：
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的性质，正确得出k的取值范围是解题关键．
3．C
【分析】设出点坐标，根据题意得出、点的坐标，再根据面积公式刚好消掉未知数求出面积的值；
【详解】解：根据题意设，
正比例函数与函数的图象交于两点，
，
轴，轴，
，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求三角形面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进行求解即可．
【详解】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
5．D
【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：观察函数图像，发现：
当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方，
∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式．
6．A
【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案．
【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，
将（4，8）代入得：8＝4k，
解得：k＝2，
故直线解析式为：y＝2x，
当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝，
将（4，8）代入得：8＝，
解得：a＝32，
故反比例函数解析式为：y＝；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4），
下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）．
当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3，
当y＝6，则6＝，解得：x＝，
∵ 3＝（小时），
∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时
故选A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
7．B
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：当k＞0时，
一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，
函数y=（k≠0）的图象在一、二象限，
观察各选项，没有选项符合要求．
当k＜0时，
一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，
函数y=（k≠0）的图象经过三、四象限，
只有选项B的图象符合要求．
故选：B．
【点睛】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
8．D
【分析】过点B作BG⊥y轴交于点G，得到EF是△BOG的中位线，EF=BG，设A（a，），B（b，），得到E点坐标为（，），设OB的解析式为y=k1x，代入E，B坐标得到a=2b，根据S△AOE=得到S△AOE=，故可求出k的值．
【详解】过点B作BG⊥y轴交于点G，
∵AF⊥y轴，BG⊥y轴，
∴AFBG
∵E点是OB的中点
∴EF是△BOG的中位线
∴EF=BG
设A（a，），B（b，），
∴BG=-b，EF=
则E点坐标为（，），
设OB的解析式为y=k1x，（k1≠0），过E点
∴=k1
∴k1=
∴OB的解析式为y=x，
代入B点，即=×b
∴a=2b
∴S△AOE=
把a=2b代入得S△AOE==3
∴k=-8
故选D．
【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法、三角形中位线的性质．
9．C
【分析】解答这类题一般解这两个函数的解析式组成的方程组即可．
【详解】解：由已知可得，解这个方程组得， ，则得，
则这两个函数的交点为（1，2），（﹣1，﹣2），
因为已知A点的坐标为（1，2），故B点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
【点睛】正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，同学们要熟记才能灵活运用．
10．B
【分析】把代入解得，再代入可解得k的值，把代入两个解析式，分别解得点B,C的坐标，即可求出BC的长，最后根据图像的性质，可判断函数值的大小，及函数的增减性．
【详解】解：由题意，把点代入得，
把代入得，
，故A正确；
由图像可知，当时，，故B错误；
当x=2时，
，故C正确；
由图像可知，在第一象限内，
当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小
故D正确，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点、一元二次方程的根与系数的关系、一次函数的性质、掌握相关知识是解题关键．
11．或
【分析】把（-4，-1）代入得，把代入得n=2，即点A坐标为（2，2），把A、B坐标代入，得，作出，的图像即可得．
【详解】解：把（-4，-1）代入得，，
∴，
把代入得，
解得，n=2，
∴点A坐标为（2，2），
把A、B坐标代入，
解得，，
∴，
如图所示：
∵，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数，解题的关键是掌握一次函数的性质，反比例函数的性质．
12．0＜x＜1
【分析】观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象的下方时对应的x的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，y1＜y2时的x的取值范围为：x＜ 2或0＜x＜1，
故答案为：0＜x＜1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
13．
【分析】根据直线解析式求得点的坐标，根据P是线段AB的三等分点求得P（1, ）或（2，）根据反比例数的的意义即可求解．
【详解】解：∵直线AB：y=－x+4交坐标轴于A、B两点，
∴A（0，4），B（3，0）
∵P是线段AB的三等分点
∴P（1， ）或（2，）
∵双曲线y=过点P，
∴k=1×=或k=2×=，
即k=，
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求得点的坐标是解题的关键．
14．-6
【分析】首先由正比例函数y=-x的图象与反比例函数y=的图象交于A、C两点，可得O为线段AC的中点，O为线段BD的中点，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOB的面积等于|k|，从而求出k的值．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、C两点，
∴A、C两点关于原点对称，
∴OA=OC，
∵AB⊥x轴， CD⊥x轴，
∴△AOB≌△COD(AAS)，
∴OB=OD，即O为线段BD的中点，
∴△AOB的面积=△ABD的面积=3，
∵△AOB的面积=|k|，
∴|k|=3，
∵k<0，
∴k=-6．
故答案为：-6．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法求解析式．做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
15．-4
【分析】把点A（a，b）分别代入一次函数y=x-1与反比例函数，求出a-b与ab的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵点A(a，b)是一次函数y=x+1与反比例函数的交点，
∴b=a+1，，即a b=-1，ab=4，
∴．
故答案为：-4．
【点睛】反比例函数与一次函数的交点问题，对于本题我们可以先分别把点代入两个函数中，在对函数和所求的代数式进行适当变形，然后整体代入即可．
16．
【分析】：设P（m，m+4），然后利用一次函数的性质求出A、B的坐标，进而求出OA，OB的长，再根据，得到，由此利用三角形面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：设P（m，m+4），
∵直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，
∴点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA=4，OB=3，
∵，
∴，
∴×3×（m+4）=××3×4，
解得：m=，即P（，3）
∵双曲线y=过点P，
∴k=×3=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，求出A、B的坐标，进而利用三角形面积公式建立方程求解是解题的关键．
17．11
【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
【详解】解：∵点P（m，n）在直线y=-x+3上，
∴n+m=3，
∵点P（m，n）在双曲线y=-上，
∴mn=-1，
∴m2+n2=（n+m）2-2mn=9+2=11．
故答案为：11．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间关系是解题关键．
18．
【分析】把图象的交点分别代入反比例函数与一次函数，得到和的两个关系式，就可以求出答案．
【详解】解：把分别代入反比例函数与一次函数，得
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了两个函数的交点问题，交点坐标就是两个解析式组成方程组的解，关键是分式是化简和整体思想的应用．
19．(1)；
(2)（8,0）或（-8,0）
【分析】（1）用待定系数法直接求表达式即可．
（2）先求出△AOC的面积，再求出△POC，根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将A（4，0）B（0，﹣2）代入y＝ax＋b得：
解得：
∴直线的表达式为：
点C（6，m）在直线上
∴k=6m=6
∴反比例函数的表达式为：．
（2）解：设P点坐标为：（p，0）
S△AOC= =
∵S△POC＝2S△AOC
∴=
∴=8
∴P点坐标为（8,0）或（-8,0）．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出一次函数与反比例函数的表达式是解题的关键．
20．(1)反比例函数的关系式为y=-；一次函数的关系式为y=-x+2；
(2)点P的坐标是（-，4）或（，-4）．
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；
（2）设点P的坐标是（m，n），根据三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）解：∵点C（6，-1）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，
∴k=6×（-1）=-6，
∴反比例函数的关系式为y=-，
∵点D在反比例函数y=-上，且DE=3，
∴y=3，代入求得：x=-2，
∴点D的坐标为（-2，3）．
∵C、D两点在直线y=ax+b上，则，解得，
∴一次函数的关系式为y=-x+2；
（2）解：设点P的坐标是（m，n）．
把y=0代入y=-x+2，解得x=4，
即A（4，0），则OA=4，
∵△POA的面积等于8，
∴×OA×|n|=8，
解得：|n|=4，
∴n1=4，n2=-4，
∴点P的坐标是（-，4）或（，-4）．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将点代入一次函数的解析式可得的值，从而可得一次函数的解析式，再将点代入求解即可得；
（2）设一次函数与轴的交点为点，先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再根据的面积等于的面积减去的面积即可得；
（3）找出反比例函数的图像位于一次函数的图像的上方时，的取值范围即可得．
【详解】（1）解：由题意，将点代入得：，
解得，
则一次函数的解析式为，
将点代入得：．
（2）解：如图，设一次函数与轴的交点为点，
当时，，解得，即，
，
的面积为．
（3）解：不等式表示的是反比例函数的图像位于一次函数的图像的上方，
则由函数图像得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
22．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)（-2，0）或（6，0）；
(3)或
【分析】（1）把点代入可得反比函数解析式，从而得到点B的坐标为（-2，-2），再把点，B（-2，-2）代入，可求出一次函数解析式，即可求解，
（2）设直线AB交x轴于点E，根据，即可求解；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：把点代入得：，
∴反比例函数解析式为；
∵点B的横坐标为，
∴，
∴点B的坐标为（-2，-2），
把点，B（-2，-2）代入，得：
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解： 如图，设直线AB交x轴于点E，
对于，当y1=0时，x=2，
∴点E（2，0），
设点D的坐标为（a，0），则，
∵，，
∴，
解得：a=-2或6，
∴点D的坐标为（-2，0）或（6，0）；
（3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方或两图象相交，
∴当时，自变量x的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
23．(1)过
(2)①；②当时，，当时，，当时，
【分析】（1）根据，把点代入反比例函数，即可；
（2）把点代入，得，根据，解出和的值，即可得到的表达式；
根据函数图象，即可比较，的大小．
【详解】（1）∵
∴把点代入反比例函数，得
∴经过点．
（2）∵的图象过点
∴把点代入，得
又∵
∴解得，
∴
∴的函数表达式为：
如图所示：
由函数图象得，当时，；当时，；当时，．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的知识，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数图象的性质，交点的综合问题．
24．（1）点A坐标（3，1），点B坐标（﹣1，﹣3）；（2）S△AOB＝4；（3）0＜x＜3或x＜﹣1
【分析】（1）联立一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；
（2）如图，设直线AB与y轴的交点为C，由题意可得点C（0，-2），进而根据割补法求解三角形的面积即可；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
【详解】解：（1）由题意可联立一次函数与反比例函数解析式得：，
解得或，
∴点A坐标（3，1），点B坐标（﹣1，﹣3）．
（2）设直线AB与y轴的交点为C，如图所示：
∵直线AB为y＝x﹣2，
∴令x=0时，则有y=-2，
∴点C（0，﹣2），
∴S△AOB＝S△OCB+S△OCA＝×2×1+×2×3＝4．
（3）由图象可知：0＜x＜3或x＜﹣1时，一次函数值小于反比例函数值．
故答案为0＜x＜3或x＜﹣1．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的有关知识，掌握用方程组求交点坐标，求三角形面积时关键找到特殊点，用分割法解决面积问题，属于中考常考题型．
答案第1页，共2页
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