江苏省南京市玄武区名校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题（含解析）

南京市玄武区名校2023-2024学年高一上学期10月月考
数学卷
一、单选题
1．若，则下列等式中组成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．满足集合的集合M的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．15
3．已知a，b，c满足且，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．给出函数如表，则的值域为（ ）
x 1 2 3 4
4 3 2 1
x 1 2 3 4
4 3 2 1
A． B． C． D．以上情况都有可能
5．已知函数当时，y取最大值b，则的值为（ ）
A．8 B．﹣4 C．4 D．0
6．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知且，则的最小值是（ ）
A．9 B．10 C． D．
8．函数的图象如图所示，，则（ ）
A． B． C． D．M，N的大小关系不确定
二、多选题
9．下列各组函数表示相同函数的有（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数的零点是0，2 D．若，则m的取值范围是
11．在下列选项中，p是q的必要条件的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．已知，关于x的不等式和的解集分别为M和N，和
12．设函数的定义域为D，，使得成立，则称为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知集合，则______．
14．函数的最大值为______．
15．已知，则______．（用含a，b的代数式表示）
16．设函数满足则的表达式为______．
四、解答题
17．计算：（1）； （2）．
18．已知函数．
（1）画出函数的图象；
（2）写出函数的单调减区间；
（3）用定义证明函数在为增函数．
19．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查可知，A产品的利润与投资额x成正比，其关系如图1．B产品的利润与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资额单位都是万元）．
（1）求函数，的解析式；
（2）该企业已筹集到160万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这160万元投资，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
20．已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
21．已知命题“”为假命题，且命题“函数的零点一个大于-1，一个小于-1”为真命题．满足上面要求的实数a的取值范围为集合M．
（1）求M；
（2）设若的充分不必要条件是，求实数m的取值范围．
22．设函数．
（1）当时，的最大值为8，求实数a的值；
（2）对于给定的负实数a，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式恒成立．问：a为何值时，最大？并求出这个最大的．
答案
一、单选题
1．A 解析 解：，
则
故即．
故选：A．
2．B 解：因为集合，
则集合M可以为共7个．
故选：B．
3．A 解：∵a，b，c满足且，
∴
由此知A选项正确，
由于知B选项不正确，
由于可能为0，故C选项不正确，
由于，，故，所以D不正确
故选：A．
4．A 解：∵当或时，，
∴；
当或时，，
∴．
故的值域为．
故选：A．
5．B 解析 解：因为，所以，
所以
当且仅当即时等号成立，
所以当时，y取最大值﹣3，
即，
所以．
故选：B．
6．B 解析：命题“”的否定是“或”，又由“得”，
故命题“”的否定是“”，
故选：B．
7．D 解析 解：因为且，
则
当且仅当且，即时取等号．
故选：D．
8．C 解：，
根据图象，，所以，
∵图象与y轴交于负半轴，∴．
∵对称轴在1右边，∴，
∴，
所以．
∵，∴，
根据图象，，则，
∴．
，∴．故选：C．
二、多选题
9．AD 解析 解：对于A，，故A正确；
对于B，的定义域为R，的定义域为，故B错误；
对于C，的定义域为，的定义域为，故C错误；
对于D，故D正确．
故选：AD．
10．AC 解析 解：由函数
可得的定义域为R，故A正确；
当时，递增，可得；时，递增，可得，
所以的值域为，故B错误；
由，可得或，故C正确；
等价为或
解得或，故D错误．
故选：AC．
11．ACD
解析：对于A，若则可以推出成立，故p是q的必要条件，Ａ正确；
对于B，若，则或，不能推出，故p不是q的必要条件，B错误；
对于C，当时，两边取以e为底数的对数，可得，故p是q的必要条件，C正确；
对于D，已知，关于x的不等式和的解集分别为M和N，
若Ｍ=Ｎ，则二次函数与有相同的零点，故成立，
因此，p是q的必要条件，D正确．
故选：ACD．
12．ACD
解析 解：根据题意，，使得成立，
说明f（x）的值域关于原点对称，故“美丽函数”就是值域关于原点对称的函数．
对于A，函数的值域为R，关于原点对称，故它是“美丽函数”，A正确；
对于B，函数的值域为，不关于原点对称，故它不是“美丽函数”，Ｂ不正确；
对于C，函数的值域为，关于原点对称，故它是“美丽函数”，C正确；
对于D，函数的值域为R，关于原点对称，故它是“美丽函数”，D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．
解析：解得
∴．
故答案为：．
14．2
解：当时，，
当x=1时，取得等号；
当x<1时，，
当x=0时，取得等号．
即有f（x）的最大值为2．
故答案为：2．
15．
解析 解：．
故答案为：．
16．
解析 解：令则
则，
则
故答案为：．
四、解答题
17．计算：
解：（1）原式
．
（2）原式
18．解析 解：（1）函数的大致图象如图所示：
（2）由（1）图可知函数的单调减区间为和；
（3）证明：设，
则，
∵，
∴，∴，
∴，
∴在上为增函数．
19．解析 解：（1）设投资额为x万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题设得，
由图可知，则，
又，所以，
所以；
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入（160﹣x）万元，设企业的利润为y万元，
则，
令则，故，
所以当t=10时，，此时，
所以当Ａ产品投入60万元，Ｂ产品投入100万元，企业获得最大利润为65万元．
20．解析：（1）当时，，
集合
．
．
求．
（2）若，则．
由于，
若，即，此时，，，满足．
若，即，此时，，
因为，所以或，解得a>2或；
若，即，此时，，
因为，所以或，解得a>0或；应取．
综上，a的取值范围是．
21．解析 解：（1）“”为假命题，说明，在上成立，
故，而当x=1时，的最小值为2，故．
命题“函数的零点一个大于-1，一个小于-1”为真命题，
可得，即，解得．
综上所述，，即集合．
（2）由，得，不等式的解集．
因为的充分不必要条件是，所以，即
可得且，解得，实数m的取值范围是．
22．解析：（1）当a=0时，函数．上的最大值为11，与已知条件不符，所以；
当a>0时，函数的对称轴x<0，当时，的最大值为8，即，
可得，矛盾；所以a<0．
当a<0时，函数的对称轴，
当，即时，，可得，解得，不成立．
当，即时，，可得，解得．
综上，．
（2）．
①当即时，根据题意，在整个区间上，不等式都成立，
所以是的较小根，
故．
②当，即时，
是方程的较大根，故．
所以时，取得最大值．