山东省德州市临邑县万力学校2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷
1．（2023八上·临邑开学考） 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·临邑开学考）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·临邑开学考）如图，小明从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米，又向左转照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程为米．（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·临邑开学考）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
5．（2023八上·临邑开学考）如果一个多边形的内角和等于，则它的边数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·临邑开学考）在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023八上·临邑开学考）如图，平分，于点，，点是射线上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2023八上·临邑开学考）如图，在 和 中，已知 ，在不添加任何辅助线的前提下，要使 ，只需再添加的一个条件不可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八上·临邑开学考）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023八上·临邑开学考）把不等式组，的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023八上·临邑开学考）如图，图中直角三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2023八上·临邑开学考）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（ ）
A．2或4 B．2或 C．2或 D．2或
13．（2023八上·临邑开学考）如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第 块去．（填序号）
14．（2023八上·临邑开学考）如图，在中，，，将与点分别沿和折叠，使点、与点重合，则的度数为 ．
15．（2023八上·临邑开学考）如图，已知，是的中点，平分，，则等于 ．
16．（2023八上·临邑开学考）三角形三边长分别为3， ， 则a的取值范围是 ．
17．（2023八上·临邑开学考）一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为 .
18．（2023八上·临邑开学考）若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是
19．（2023八上·临邑开学考）
（1）计算：；
（2）解方程组：；
（3）解不等式组：．
20．（2023八上·临邑开学考）如图，已知 中， ， ，求证： .
21．（2023八上·临邑开学考）如图，已知点、、、在同一直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2），，求的度数．
22．（2023八上·临邑开学考）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点
求证：
（1）是等腰三角形；
（2）若，的周长为，求的周长．
23．（2023八上·临邑开学考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，将先向下平移个单位长度，然后向右平移个单位长度，再作关于轴对称的图形，得到．
（1）写出点，，的坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出；
（3）求的面积．
24．（2023八上·临邑开学考）某学校准备一次性购买若干个足球和篮球每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同若购买个足球和个篮球共需元；购买个足球和个篮球共需元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据该学校的实际情况，需要一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，则该学校最多可以购买多少个篮球？
25．（2023八上·临邑开学考）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】
A：不是轴对称图形，不合题意；
B：不是轴对称图形，不合题意；
C：不是轴对称图形，不合题意；
D：是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查轴对称图形的定义。 平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形。
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：，则，A正确，符合题意；
B：，则，B错误，不符合题意；
C：时，则，时，则，C错误，不符合题意；
D：当m=0时，，D错误，不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得：
小明走了一个正多边形，则正多边形边数为：
则共走路程为：8×6=48米
故答案为：C
【分析】根据正多边形的外角和定理可求出小明走了一个正8边形，再根据多边形周长公式即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设正多边形边数为n，由题意可得：
（n-2）×180°=720°
解得：n=6
故答案为：C
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，所以画法正确的是B．
故选B．
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
7．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据角平分线的性质定理可知，
当DF垂直OB时，DF的值最小，
最小值为DF=DE=4，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质可得DF=DE=4。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；
B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由于题干中已经给出了∠CAB=∠DAB，AB=AB，要证△ABC≌△ABD，可以添加夹相等角的另一条边相等，也可以添加任意一组角相等，据此一一判断得出答案.
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：添加，不能判定 ≌ ，符合题意；
B：添加，根据SAS，可以判定 ≌ ，不符合题意；
C：添加，根据HL，可以判定 ≌ ，不符合题意；
D：添加，根据SSS，可以判定 ≌ ，不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：解，得
故不等式组的解集为：
故答案为：B
【分析】先分别求出两不等式的解集，则不等式组的解集为：，在数轴表示出即可.
11．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，直角三角形有：
△ABC、△ABD、△ACD.
故答案为：C.
【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，根据直角三角形的定义可作判断。
12．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动t秒后与全等，则
∵四边形ABCD为矩形，
∴
①当时，
即
解得：，
②当时，
即
解得：，
综上所述，a的值为：或，
故答案为：D.
【分析】设运动t秒后与全等，用含t的式子，表示根据"HL"证明与全等，分两种情况：①②分别列二元一次方程组，解方程组即可求解.
13．【答案】③
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵将与点分别沿和折叠，使点、与点重合
∴∠ACN=∠A=30°，∠FCB=∠B=50°
故答案为：
【分析】根据三角形内角和定理，折叠性质即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点M作ME⊥AD于E，由题意可得：
ME=MC
∵MC=ME
∴ME=MB
∴AM平分∠DAB
∵∠DAM=35°
∴∠MAB=∠DAM=35°
故答案为：
【分析】过点M作ME⊥AD于E，根据角平分线的判定定理及性质即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：依题可得：
，
解得：1＜a＜4.
∴a的取值范围为：1＜a＜4.
故答案为：1＜a＜4.
【分析】根据三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出不等式组，解之即可得出答案.
17．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】因为正多边形的每个内角都相等，每个外角都相等，根据相邻两个内角和外角关系互补，可以求出这个多边形的每个外角等于36°，因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的边数等于360°÷36°=10，故答案为：10.
【分析】由题意可得多边形的每一个外角为36°，根据任意多边形的外角和都为360°可得边数n=360°÷36°。
18．【答案】19cm
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜8，不符合三角形三边关系，故舍去；
当8cm是腰时，周长=8+8+3=19cm．
故它的周长为19cm．
故答案为：19cm．
【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
得，，
得，，
解得，
将代入中，，
，
原方程组的解是
（3）解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
原不等式组的解集为．
【知识点】立方根及开立方；最简二次根式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据立方根，二次根式，幂的性质即可求出答案.
（2）根据加减消元法即可求出答案.
（3）分别求出不等式①和②的解集，再求出不等式组的解集即可.
20．【答案】证明：在 和 中，
，
≌ ，
，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
≌ ，
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据“AAS”可证△ABE≌△ACD，利用全等三角形的对应边相等可得AB=AC，利用等式性质可得BD=CE，根据“AAS”可证△BDF≌△CEF，从而可得DF=EF.
21．【答案】（1）证明：，
，
，
，即．
在和中，
，
≌．
（2）解：≌，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质及全等三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形的性质及三角形外角性质即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：的垂直平分线交于点，
，
是等腰三角形；
（2）解：的垂直平分线交于点，，
，
的周长为，
，
的周长．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据线段垂直平分线性质，三角形周长定理即可求出答案.
23．【答案】（1）解：，，
（2）解：如图即为所求
（3）解：
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据点的平移的性质即可求出答案.
（2）根据平移性质，依次连接，，即可求出答案.
（3）根据三角形面积公式即可求出答案.
24．【答案】（1）解：设购买一个足球需要元，一个篮球需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一个足球需要元，一个篮球需要元；
（2）解：设该学校可以购买个篮球，则购买个足球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：该学校最多可以购买个篮球
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1） 设购买一个足球需要元，一个篮球需要元， 根据题意列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2） 设该学校可以购买个篮球，则购买个足球， 根据题意列出不等式，解不等式即可求出答案.
25．【答案】（1）证明：≌，
．
，
是等边三角形．
（2）解：是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
≌，，
，
，
是直角三角形．
（3）解：是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角的性质及全等三角形性质即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质，四边形内角和定理分，，时，根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
1 / 1山东省德州市临邑县万力学校2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷
1．（2023八上·临邑开学考） 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】
A：不是轴对称图形，不合题意；
B：不是轴对称图形，不合题意；
C：不是轴对称图形，不合题意；
D：是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查轴对称图形的定义。 平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形。
2．（2023八上·临邑开学考）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：，则，A正确，符合题意；
B：，则，B错误，不符合题意；
C：时，则，时，则，C错误，不符合题意；
D：当m=0时，，D错误，不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
3．（2023八上·临邑开学考）如图，小明从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米，又向左转照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程为米．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得：
小明走了一个正多边形，则正多边形边数为：
则共走路程为：8×6=48米
故答案为：C
【分析】根据正多边形的外角和定理可求出小明走了一个正8边形，再根据多边形周长公式即可求出答案.
4．（2023八上·临邑开学考）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2023八上·临邑开学考）如果一个多边形的内角和等于，则它的边数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设正多边形边数为n，由题意可得：
（n-2）×180°=720°
解得：n=6
故答案为：C
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
6．（2023八上·临邑开学考）在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，所以画法正确的是B．
故选B．
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
7．（2023八上·临邑开学考）如图，平分，于点，，点是射线上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据角平分线的性质定理可知，
当DF垂直OB时，DF的值最小，
最小值为DF=DE=4，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质可得DF=DE=4。
8．（2023八上·临邑开学考）如图，在 和 中，已知 ，在不添加任何辅助线的前提下，要使 ，只需再添加的一个条件不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；
B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由于题干中已经给出了∠CAB=∠DAB，AB=AB，要证△ABC≌△ABD，可以添加夹相等角的另一条边相等，也可以添加任意一组角相等，据此一一判断得出答案.
9．（2023八上·临邑开学考）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：添加，不能判定 ≌ ，符合题意；
B：添加，根据SAS，可以判定 ≌ ，不符合题意；
C：添加，根据HL，可以判定 ≌ ，不符合题意；
D：添加，根据SSS，可以判定 ≌ ，不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
10．（2023八上·临邑开学考）把不等式组，的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：解，得
故不等式组的解集为：
故答案为：B
【分析】先分别求出两不等式的解集，则不等式组的解集为：，在数轴表示出即可.
11．（2023八上·临邑开学考）如图，图中直角三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，直角三角形有：
△ABC、△ABD、△ACD.
故答案为：C.
【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，根据直角三角形的定义可作判断。
12．（2023八上·临邑开学考）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（ ）
A．2或4 B．2或 C．2或 D．2或
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动t秒后与全等，则
∵四边形ABCD为矩形，
∴
①当时，
即
解得：，
②当时，
即
解得：，
综上所述，a的值为：或，
故答案为：D.
【分析】设运动t秒后与全等，用含t的式子，表示根据"HL"证明与全等，分两种情况：①②分别列二元一次方程组，解方程组即可求解.
13．（2023八上·临邑开学考）如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第 块去．（填序号）
【答案】③
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
14．（2023八上·临邑开学考）如图，在中，，，将与点分别沿和折叠，使点、与点重合，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵将与点分别沿和折叠，使点、与点重合
∴∠ACN=∠A=30°，∠FCB=∠B=50°
故答案为：
【分析】根据三角形内角和定理，折叠性质即可求出答案.
15．（2023八上·临邑开学考）如图，已知，是的中点，平分，，则等于 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点M作ME⊥AD于E，由题意可得：
ME=MC
∵MC=ME
∴ME=MB
∴AM平分∠DAB
∵∠DAM=35°
∴∠MAB=∠DAM=35°
故答案为：
【分析】过点M作ME⊥AD于E，根据角平分线的判定定理及性质即可求出答案.
16．（2023八上·临邑开学考）三角形三边长分别为3， ， 则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：依题可得：
，
解得：1＜a＜4.
∴a的取值范围为：1＜a＜4.
故答案为：1＜a＜4.
【分析】根据三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出不等式组，解之即可得出答案.
17．（2023八上·临邑开学考）一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为 .
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】因为正多边形的每个内角都相等，每个外角都相等，根据相邻两个内角和外角关系互补，可以求出这个多边形的每个外角等于36°，因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的边数等于360°÷36°=10，故答案为：10.
【分析】由题意可得多边形的每一个外角为36°，根据任意多边形的外角和都为360°可得边数n=360°÷36°。
18．（2023八上·临邑开学考）若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是
【答案】19cm
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜8，不符合三角形三边关系，故舍去；
当8cm是腰时，周长=8+8+3=19cm．
故它的周长为19cm．
故答案为：19cm．
【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
19．（2023八上·临邑开学考）
（1）计算：；
（2）解方程组：；
（3）解不等式组：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
得，，
得，，
解得，
将代入中，，
，
原方程组的解是
（3）解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
原不等式组的解集为．
【知识点】立方根及开立方；最简二次根式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据立方根，二次根式，幂的性质即可求出答案.
（2）根据加减消元法即可求出答案.
（3）分别求出不等式①和②的解集，再求出不等式组的解集即可.
20．（2023八上·临邑开学考）如图，已知 中， ， ，求证： .
【答案】证明：在 和 中，
，
≌ ，
，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
≌ ，
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据“AAS”可证△ABE≌△ACD，利用全等三角形的对应边相等可得AB=AC，利用等式性质可得BD=CE，根据“AAS”可证△BDF≌△CEF，从而可得DF=EF.
21．（2023八上·临邑开学考）如图，已知点、、、在同一直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2），，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，即．
在和中，
，
≌．
（2）解：≌，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质及全等三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形的性质及三角形外角性质即可求出答案.
22．（2023八上·临邑开学考）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点
求证：
（1）是等腰三角形；
（2）若，的周长为，求的周长．
【答案】（1）证明：的垂直平分线交于点，
，
是等腰三角形；
（2）解：的垂直平分线交于点，，
，
的周长为，
，
的周长．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据线段垂直平分线性质，三角形周长定理即可求出答案.
23．（2023八上·临邑开学考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，将先向下平移个单位长度，然后向右平移个单位长度，再作关于轴对称的图形，得到．
（1）写出点，，的坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：，，
（2）解：如图即为所求
（3）解：
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据点的平移的性质即可求出答案.
（2）根据平移性质，依次连接，，即可求出答案.
（3）根据三角形面积公式即可求出答案.
24．（2023八上·临邑开学考）某学校准备一次性购买若干个足球和篮球每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同若购买个足球和个篮球共需元；购买个足球和个篮球共需元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据该学校的实际情况，需要一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，则该学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设购买一个足球需要元，一个篮球需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一个足球需要元，一个篮球需要元；
（2）解：设该学校可以购买个篮球，则购买个足球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：该学校最多可以购买个篮球
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1） 设购买一个足球需要元，一个篮球需要元， 根据题意列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2） 设该学校可以购买个篮球，则购买个足球， 根据题意列出不等式，解不等式即可求出答案.
25．（2023八上·临邑开学考）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】（1）证明：≌，
．
，
是等边三角形．
（2）解：是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
≌，，
，
，
是直角三角形．
（3）解：是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角的性质及全等三角形性质即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质，四边形内角和定理分，，时，根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
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