1.3 正方形的性质与判定 同步练习（无答案） 北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定
一、选择题
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．菱形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
2. 若正方形的面积为4，则正方形的对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
3. 如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，正方形绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ ）
A． B． C．1 D．2
4. 如图，在正方形平分于点，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
5. 如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E，于F，连接，则的最小值为（ ）

A．2 B．4 C． D．1
6. 如图，是用4块型瓷砖，4块型瓷砖和8块型瓷砖不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，其中型瓷砖形状是一个含角的直角三角形，图案中A型瓷砖的总面积与型瓷砖的总面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7. 如图，E、F分别是正方形的边、上的点，且，和相交于点O，有下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8. 如图，在矩形中，沿对折，点B与点E重合，再沿对折，点A与点F重合，两条折痕交于点O，连接．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，在正方形中，对角线与交于点O，，点E为线段的中点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转，得到线段，连接，，则的面积为（　　）

A． B．3 C． D．
10. 如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M．若，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
11. 由四个全等的直角三角形和一个小的正方形组成的大正方形，过点H，F分别作的平行线和，过点E，G分别作的平行线和．若，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
12. 如图，将边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，分别是正方形的对称中心，则个这样的正方形重叠部分的面积和为_________．
13. 如图，四边形是边长为3的正方形，点E在边上，；作，分别交于点G、F，M、N分别是的中点，则的长是________．
14. 如图，正方形的边长为6，点分别为边，上两点，平分，连接，分别交于点，点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，下列说法：①；②；③；④的最小值为；正确的是_____．（填序号）
15. 如图，在正方形中，．E、F分别为边、的中点，连接、，点N、M分别为、的中点，连接，则的长度为 ___________．
三、解答题
16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

(1)在图①中，以线段为一边，画一个菱形．
(2)在图②中，画一个三角形，使得是这个三角形的中位线．
(3)在图③中，以点E为顶点，画一个面积最大的正方形．
17. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E、F在对角线上，且．

(1)四边形是什么样的特殊四边形？请说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
18. 定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
(1)如图1，四边形是垂美四边形，用等式表示之间的数量关系并证明；
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接分别交D于点，若，，求线段的长．
19. 如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，连接，过点A作交的延长线于点G．

(1)求证；
(2)若，试判断四边形的形状并说明理由；
(3)当与满足_________时，四边形是正方形．
20. 在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称、两点为垂距等点．如图所示、两点即为垂距等点．

(1)已知点的坐标为．
①在点，，中，为点的垂距等点的是__________；
②若点在轴的负半轴上．且、两点为垂距等点，则点的坐标为__________；
(2)直线与轴交于点，与轴交于点．
①当为线段上一点时，若在直线上存在点，使得、两点为垂距等点，求的取值范围．
②已知正方形的边长为，是对角线、的交点，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直．当为直线上一动点时，若该正方形的边上存在点，使得，两点为垂距等点，直接写出的取值范围．