(共24张PPT)
专题三 中考新题型
【考情讲述】
往年广东中考一般是考查特殊角的三角函数值与“仰角、俯角、方向角或坡度”有关的实际应用，而近两年的中考题除了考查特殊角的三角函数值，还重点考查了根据三角函数的定义解简单的直角三角形.2022年广东中考只有一道涉及30°角正弦值的填空题，从近三年的命题趋势看，弱化了本章知识的考查.
解：（1）如答图Z28－3－1，
连接BD.∴BD＝CD.
∵AB＝CE，
∴△ABD的周长为AB＋AD＋
BD＝CE＋AD＋DC＝AE＝1.
3. (2020·湘潭)计算：sin 45°＝______.
4. (2022·广东)sin 30°＝______.
5. （2021·深圳）如图Z28－3－3，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15 m到达点E（即EF＝15 m），在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为( )
A．15sin 32°
B．15tan 64°
C．15sin 64°
D．15tan 32°
C
C
7. (2022·广州)如图Z28－3－5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6.
(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图形中，求点O
到AC的距离及sin∠ACD的值.
解：(1)如答图Z28－3－2.
8. (创新变式)如图Z28－3－6，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°.
(1)在AB边上求作点D，连接CD，使得∠CDB＝2∠A(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图形中，当AB＝10，BC＝6时，求sin∠CDB的值.
9. （2020·广东）如图Z28－3－7①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如图Z28－3－7②，记（1）中的切点为E，P为ABE上一点，AD＝1，
BC＝2．求tan∠APE的值．
（2）解：如答图Z28－3－6，过点D作DF⊥BC于点F，连接BE，则四边形ABFD是矩形.
∴AB＝DF，BF＝AD＝1.∴CF＝BC－BF＝2－1＝1.
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴AD⊥AB，BC⊥AB.
∴AD，BC是⊙O的切线.
由（1）得,CD是⊙O的切线.
∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2.
∴CD＝ED＋EC＝3.
10. （中考改编）如图Z28－3－8，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，以AB为直径的⊙O交AC于点E，延长DE交BC于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OA＝4，CF＝3，
求cos∠DAE的值．
（1）证明：如答图Z28－3－7，连接OE.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAE＝∠OAE.
∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE.
∴∠DAE＝∠OEA.∴AD∥OE.
∴∠ADE＋∠DEO＝180°.
∵∠ADE＝90°，∴∠DEO＝90°，
即OE⊥DF.
∵OE过圆心O，∴DF是⊙O的切线.
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第二十八章 锐角三角函数
第72课时 特殊角的三角函数值
1.如图28－72－1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD的长为______．
3
2.如图28－72－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝17，BC＝8，则cos A＝______.
知识点一：特殊角的三角函数值
∠A 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
3. 计算：sin 30°＋tan 45°－2cos 60°＝
______．
锐角三角函数值是_________时，可以根据特殊角的锐角三角函数值来求角的度数，所以，一要牢记或正确推导特殊角的锐角三角函数值，二要细心，勿混淆特殊角的锐角三角函数值.
知识点二：根据特殊角的三角函数值求角度
特殊值
45°
(1)分清锐角所在的______三角形，掌握好锐角三角函数的概念及特殊角的_______________，可以快速求出线段的长或角的度数；
(2)对于含特殊角的非直角三角形，要根据题意添加辅助线(如作三角形的高、作坐标轴的垂线等)，构造______三角形；也可以利用等角进行角的转化，将所求角转化到易求的直角三角形中去解决问题.
知识点三：特殊角三角函数值的综合运用
直角
三角函数值
直角
2
【例1】（RJ九下P66例3改编）计算：
6tan2 30°－sin 60°－2sin 45°．
思路点拨：把特殊角的三角函数值代入原式计算即可．
6. 计算：2cos 60°＋4sin 60°·tan 30°－6cos2 45°.
C
A
【例3】数学拓展课程《玩转学具》课堂中，甲同学发现：一副三角尺中，含45°的三角尺的斜边与含30°的三角尺的长直角边相等.于是，甲同学提出一个问题：如图28－72－3，将一副
三角尺的直角顶点重合拼放在一起，
点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，
求AF的长.
思路点拨：根据正切函数的定义求出AC的长,再根据正弦函数的定义求出FC的长,进而得出AF的长.
8. (原创题)如图28－72－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至点D，使AD＝AB．
（1）求∠D的度数；
（2）求tan D的值.
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第二十八章 锐角三角函数
第74课时 解直角三角形的应用(一)
60°
4
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：(1)建立______：将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)解__________________；
(3)得到数学问题的答案；
知识点一：“一个仰角或俯角”的类型
模型
直角三角形
(4)得到实际问题的答案.解决只有一个仰角(视线在水平线______方的角)或俯角(视线在水平线______方的角)的问题，可以利用锐角三角函数的定义和勾股定理求解，若无直角三角形，则可以作辅助线构造直角三角形.
上
下
B
解决含有两个仰角或俯角的问题，一般可建立“双直角三角形(两个直角三角形在公共直角边的同侧或异侧，而另外两条直角边在同一条直线上)”模型，可设公共直角边为x，将另外两条直角边分别用x表示出来，并利用它们的________建立方程求解.
知识点二：“两个仰角或俯角”的类型
和、差
C
【例1】为了测量某建筑物BE的高度(如图28－74－3)，小明在离建筑物15 m(即DE＝15 m)的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高1.8 m（即AD＝1.8 m），求建筑物BE的高度.
思路点拨：过点A作AC⊥BE于点C，
则AC＝DE，在Rt△ABC中，可以用正
切求BC的长，再计算BE＝BC＋CE即可.
解：如答图28－74－1，过点A作AC⊥BE于点C，
则AC＝DE＝15 m，CE＝AD＝1.8 m.
在Rt△ABC中，BC＝AC·tan 45°＝15(m)，
则BE＝BC＋CE＝16.8(m).
答：建筑物BE的高度是16.8 m.
5. 如图28－74－4，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5 m，求这棵树的高度.
(结果保留一位小数，参考数据：
sin 54°≈0.809 0，
cos 54°≈0.587 8，
tan 54°≈1.376 4)
思路点拨：过点A作AD⊥BC于点D，
用正切函数分别求得BD和CD的长即可．
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专题一 本章易错点例析
C
2.如图Z28－1－2，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，求sin B的值.
①如答图Z28－1－2①,∠BAC＝∠BAD ＋∠CAD ＝45°＋30°＝75°；
②如答图Z28－1－2②,∠BAC＝∠BAD －∠CAD ＝45°－30°＝15°.
综上所述,∠BAC的度数为75°或15°.
易错点4.对仰角、俯角、方向角、坡比等概念理解不透彻导致错误
【例4】如图Z28－1－3是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12 m，斜面
坡度为1∶2，求斜坡AB的长.
4. 如图Z28－1－4，某水库大坝的横截面是梯形，其迎水坡AD的坡比为4∶3，背水坡BC的坡比为1∶2，大坝的高为20 m，坝顶CD的宽为10 m.求大坝横截面的周长.
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易错点1.混淆特殊角的三角函数值
【例1】
错解：
2
60°
1
)30°
3
图Z28-1-1
错解分析：由于特殊角的三角函数值较多，在记
忆时，有的同学没有准确记清或记混sin30°与
sin60°的三角函数值，从而导致解题出错.用数
形结合的思想可防止此类错误.此题可借助如图
Z28一1一1所示，运用正弦的定义，直接得到sin
60
正解
1.在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，sinB=
V3
cosA=2,则△ABC的形状是(
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等边三角形
D.直角三角形
易错点2.忽视“在直角三角形”这个前提条件
【例2】
错解：
错解分析：题目没有说明∠C=90°，推理过程缺
少了依据.因此，应先判断三角形的形状是直角三
角形，后利用正、余弦函数的定义进行证明.
正解：由题意，设a=3k,b=4k,c=5k,
(3k)2+(4k)2=(5k)
即a2+b2=c2.'。∠C=90°
3k
°.sin
y
5k
.sinA+sin
解：如答图Z28一1一1
过点A作AD LBC于点D
。∠ADB=90°
°AB=AC=3,BC=4,
..BD=CD=2.
在Rt△ABD中，AD=VAB2
BD2=V32一22
v5.
5
.si
A
个
1
1
1
I
I
I
1
口
B
D
C
易错点3。因忽略分类讨论而导致漏解
【例3】
错解：
错解分析：由于题目中既没有指明哪个角是直角，也
没有指明哪条边是斜边，错解没有分类讨论导致出现
漏解
①
当3为直角边长时，tanA=
当3为斜边长时，另一直角边长为√32-12=22，
tan A
2V2
正解：(共17张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第71课时 锐角三角函数(二)
1.如图28－71－1，CD为Rt△ABC斜边上的高，若AD＝6，BD＝2，则CD的值为______．
2.在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝13，BC＝12，则sin A＝______，sin C＝______．
知识点一：余弦和正切的定义
余弦
正切
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，则cos A＝______，tan A＝______.
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数，我们可以把∠A看作自变量，其取值范围是______°＜∠A＜______°，sin A(或cos A或tan A)随着∠A的变化而变化，但当∠A确定时，sin A(或cos A或tan A)也就有唯一确定的值与∠A对应，所以我们说sin A，cos A，tan A都是∠A的三角函数.
知识点二：锐角三角函数
0
90
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，则sin A＝______，tan A＝______，cos A＝______.
在直角三角形中，已知某锐角的函数值和一条边长，我们可以利用三角函数的定义和____________求出另外两边，但要注意边角的______关系，灵活地进行等式的变形.
知识点三：根据锐角三角函数求边长
勾股定理
对应
6
【例1】 如图28－71－3，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则cos B的值是( )
思路点拨：根据余弦函数的定义即可求解.
A
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝2，则tan A的值是( )
B
【例2】（RJ九下P65例2改编）如图28－71－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sin A，cos A和tan A的值．
思路点拨：根据勾股定理求出斜边，
再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
7. （原创题）如图28－71－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sin A·cos A·tan B的值．
思路点拨：先根据正切函数的定义得到AC的长，再根据勾股定理求出AB的长.
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专题四 课标新导向
1. (RJ九下P76练习1)如图Z28－4－1，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度.
(结果精确到0.1 m，参考数据：
sin 50°≈0.766，
cos 50°≈0.643，
tan 50°≈1.192）
2. (母题变式)(2022·大连)如图Z28－4－2，莲花山是大连著名的景点之一.游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1 m/s.小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5 min.
300
3. (跨学科与物理融合)(2022·泰州)小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图Z28－4－3，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到
他的距离CD是多少？(结果精确
到0.1 m，参考数据：sin 34°
≈0.56，tan 34°≈0.67，
tan 56°≈1.48)
解：如答图Z28－4－1，连接MC，过点M作HM⊥NM.
由题意，得∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8 m，AB∥MC，
∴∠CMN＝180°－∠MNB＝180°－118°＝62°.
∴∠CMH＝∠HMN－∠CMN＝28°.
∴∠DMC＝2∠CMH＝56°.
在Rt△CMD中，CD＝CM·tan 56°≈8×1.48≈11.8(m).
∴能看到的水平地面上最远
处D到他的距离CD约为11.8 m.
4. (跨学科与化学融合)在一次化学实验课上，甲杯装满Ca(OH)2溶液，乙杯空着.现在老师把甲杯中的溶液全部倒入乙杯中，如图Z28－4－4所示.已知这两个圆柱形杯高度相等且底面直径之比为1∶2，请你求出图中点P与
乙杯中液面之间的距离.
5. (几何与传统文化)(2022·绍兴)圭表(如图Z28－4－5①)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图Z28－4－5②是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，
解：(1)∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC＝47°.
6. (几何与传统文化)桔棉，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图Z28－4－6是《天工开物·水利》中的桔棉图，若竹竿A，B两处的距离为12 m，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿AB与绳子的夹角为53°，
求绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离.(忽略提水时竹竿产生的形变)(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)
7. (实践探究)共享单车为大众出行提供了方便，图Z28－4－7①为单车实物图，图Z28－4－7②为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为0.3 m，BE＝0.4 m．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9 m时骑着比较舒适，求此时CE的长．
8. (实践探究)（中考改编）如图Z28－4－8①是某车站的一组智能通道闸机，图Z28－4－8②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝20°，半径BA＝ED＝60 cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10 cm．
求闸机通道的宽度，
即BC与EF之间的距离.
（参考数据：sin 20°
≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36）
解：如答图Z28－4－5，连接AD，并向两方延长，
分别交BC，EF于点M，N.
由点A，D在同一条水平线上，BC，EF 均垂
直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，
∴MN的长度就是BC与EF之间的距离.
由两圆弧翼成轴对称，得AM＝DN.
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，∠ABM＝20°，AB＝60 cm,
∴AM＝AB·sin∠ABM＝60·sin 20°≈60×0.34＝20.4（cm）.
∴MN＝AM＋DN＋AD＝2AM＋AD＝2×20.4＋10＝50.8（cm）.
答：BC与EF之间的距离约为50.8 cm．
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第二十八章 锐角三角函数
第73课时 解直角三角形
1.计算：sin2 30°＋tan 45°－2cos 60°＝
______.
2.如果tan α＝1，那么锐角α的度数是______.
45°
一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做_______________.
若已知一边一角，则可以先根据两锐角______求出另一个锐角，再利用锐角三角函数的定义求其余边长(一般用未知边比已知边或用已知边比未知边).
知识点一：已知一边一角，解直角三角形
解直角三角形
互余
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则∠B＝______，AB＝______，AC＝______.
60°
4
若已知两边，则可以先根据_________求出第三边，再利用锐角三角函数的定义求两个锐角(一般用已知边比已知边).
知识点二：已知两边，解直角三角形
勾股定理
4. 如图28－73－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，则AC＝______，∠A＝______，∠B＝______.
30°
60°
(1)当题目中给出角的三角函数值时，要注意在直角三角形中应用，若没有直角三角形，则要构造______三角形；
(2)求某些未知量的途径往往不唯一，选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选择可以直接应用__________的关系式，二是尽量选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用______计算，即“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”；
知识点三：解直角三角形的综合运用
直角
原始数据
除法
(3)通过设参数，利用______求解也是解直角三角形的重要方法.
方程
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,c＝10，∠B＝45°，解这个直角三角形.
【例2】(RJ九下P73例1改编)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝36，BC＝33，解这个直角三角形.
思路点拨：先根据勾股定理求出AC，从而发现AC＝BC，即可推出∠A＝∠B.
【例3】如图28－73－3，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠A＝120°，求BC的长.
思路点拨：作辅助线CD⊥AB,交BA
的延长线于点D,求出AD和CD的长,
进而利用勾股定理求得BC的长.
谢 谢(共16张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第76课时 解直角三角形的应用(三)
60°
知识点一：根据坡度求坡长或高度
铅直高度
水平宽度
tan α
B
在坡度问题中，常见的几何模型是梯形，我们一般过上底的两个端点分别作下底的两条______，将梯形予以分割，分割成矩形和两个直角三角形，再由直角三角形的边角关系和锐角三角函数的定义求解.
知识点二：坡度问题
高
40
30°
C
D
(1)坡角α和β的度数；
(2)拦水坝横断面的面积.(结果保留根号)
思路点拨：（1）根据坡度概念，求出β的度数；过点B作BE⊥AD于点E，可用α的正弦值求出α的度数；（2）过点C作CF⊥AD于点F，分别求得DF，AE，EF，AD的长，根据梯形的面积公式求出拦水坝横断面的面积．
谢 谢
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1.在△ABC中，tanB=V3,则∠B
2.如图28一76一1，在平面直角坐标系中，点A在x
轴的正半轴上，点B坐标为(4,3)，
则tan∠AOB的值为
y
B
产
0
A
图28-76-1
如图28一76一2，坡面AB与水平线AC的夹角a叫做坡
角；坡面的
BC和
AC的比叫做坡
度，坡度也可以写成i=BC:AC=1:x的形式，实际
上，
即知道
AC
坡度就知道坡角的正切值，因此
可用来求坡角及相应的边长，
3.如图28一76一3，河坝横断面迎水坡AB的坡比为
1:√3，坝高BC为4m,则AC的长度为
A.8 m
B.43m
C.8V3 m
D.
4.如图28一76一4，水库大坝横断面为梯形，坝顶
BC宽为6m,坝高为20m,斜坡AB的坡度i=1:√3，
斜坡CD的坡度i=1：1,则斜坡AB=
m,
坡角
坡底宽AD=
【例1】如图28一76一5，传送带和地面所成斜坡AB
的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了
10m,那么物体离地面的高度为(
思路点拨：作BC⊥地面于点C,根据
坡度的概念，设BC=xm,AC=2x
由勾股定理列出方程求解即可，
B
传送带
图28-76-5
5.如图28一76一6，河堤横断面迎水坡AB的坡比是
1:√5，堤高BC=4m,则坡面AB的长度是(
A.V5 m
B.
4v5 m
C.
26
D.
B
图28-76-6
【例2】(RJ九下P77练习2改编)如图28一76一7，某
一拦水坝的横断面为梯形ABCD,AD∥BC,斜坡AB的
长10v2m,坝顶宽16m,坝高10m,斜面CD的坡
比i=1:V3.求(共8张PPT)
章节复习课
本章知识梳理
目录
01
课程标准
02
知识导航
1. 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A， cos A， tan A)，知道30°， 45°， 60°角的三角函数值.
2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
课程标准
知识导航
谢 谢
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正弦：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的
比叫做∠A的正弦，记作sinA
余弦：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的邻边与斜边的
比叫做∠A的余弦，记作cosA
锐角三角函数的定义
正切：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与邻边的
比叫做∠A的正切，记作tanA
sn30=分，sm45=是，m60-2
-经ss-子6
tan30°=3
，tan45°=l,tan60°=3
特殊角的三角函数值
解直角三角形的定义：由直角三角形中的已知元素，求出其余未
知元素的过程，叫做解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；
解直角三角形
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
(3)边角之间的关系：sinA=8,sinB=总，cosA=名，cosB=&,
lanA=分，tanB=名
解直角三角形的应用问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直
角三角形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据题目已知条件，选用适当锐角三角函数或边角关系
去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实
际问题的答案
解直角三角形的应用(共16张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第75课时 解直角三角形的应用(二)
1.如图28－75－1，OA是北偏东30°的一条射线，若∠AOB＝90°，则OB的方向角是______________.
北偏西60°
60°
解决只有一个方向角的问题，可利用正南、______、正西、______方向构造______三角形，画出这个几何图形，将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，进而根据条件选择适当的方法求解.
知识点一：“一个方向角”的类型
正东
正北
直角
3. 如图28－75－2，海面上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，A岛与C岛之间的距离约为36 n mile，B岛在C岛的南偏东43°方向，则A，B两岛之间的距离约为______n mile.(结果精确到0.1 n mile，参考数据：
sin 43°≈0.68，
cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93)
33.5
解决含有两个方向角的问题，一般可以通过作航线的垂线或作三角形的______，建立“双直角三角形”模型，利用锐角三角函数的定义或结合方程思想求解.
知识点二：“两个方向角”的类型
高
4. 如图28－75－3，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向、距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B
与小岛A的距离是
____________n mile.
【例1】小亮为测量如图28－75－4所示的淡水湖湖面的宽度BC，他在与淡水湖的同一水平面上取一点A，测得湖的一端C在A处的正北方向，
另一端B在A处的北偏东60°的方向，
并测得A,C间的距离AC＝10 m，
求湖面宽度BC.
5. 如图28－75－5，东、西两炮台A,B相距2 000 m，它们同时发现入侵舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰C与两炮台A，B的距离.
(结果精确到1 m，参考数据：
sin 40°≈0.64，
cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
思路点拨：过点A作AE⊥BC交BC于点E，设DE＝x，利用等腰直角△ABE用x表示出AE，BE，根据60°角的三角函数值列方程求解即可.
6. 如图28－75－7，海中有一个小岛A，它的周围15 n mile内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20 n mile后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船在航行途中有没有触礁的危险？
谢 谢(共18张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第70课时 锐角三角函数(一)
1.如图28－70－1，在2×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，顶点称为格点，点A，B，P均在格点上，则AB＝______，AP＝______，BP＝______.
5
2.如图28－70－2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则边AC的长为______．
知识点一：正弦的定义
正弦
3. 如图28－70－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则sin A＝______，sin B＝______.
结合网格的特征，观察角所在方格中的位置，构造__________________，运用勾股定理计算出相关边的长度，再运用正弦的定义便可求解.
知识点二：在网格中求正弦值
直角三角形
4. 三角形在正方形网格纸中的位置如图28－70－5
所示，则sin α＝______ .
在一个直角三角形中，若知道锐角的正弦值，还知道其中一条边的长，我们可以根据正弦的定义得到一个比例式，计算出另一条边的长，再运用
______________可求出第三边的长度.
知识点三：利用正弦值求边长
勾股定理
4
【例1】（RJ九下P63例1改编）如图28－70－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sin A和sin B的值．
思路点拨：利用勾股定理得出AB的
长，根据正弦的定义得出答案．
6. （原创题）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝15，b＝8，求 sin A＋sin B．
7．【例2】如图28－70－8，在4×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1.若△ABC的三个顶点在
图中相应的格点上，则sin A＝______.
思路点拨：根据勾股定理求出
△ABC的各边长，根据勾股定理
的逆定理判断△ABC是直角三角形，
根据正弦的定义计算即可.
7. 如图28－70－9，△ABC的顶点是正方形网格的
格点，则sin B＝______.
谢 谢(共27张PPT)
专题二 本章重难点
解：原式＝1－2×1＋2＋3
＝1－2＋2＋3
＝4.
解：原式＝3－2×1＋1－1
＝3－2＋1－1
＝1.
(1)证明：在平行四边形ABCD中，
AD＝BC，AE∥FC，∵ED＝BF，
∴AD－ED＝BC－BF，即AE＝FC.
∴四边形AFCE是平行四边形.
(1)证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD.
∵DF＝DE，
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形.
(1)证明：如答图Z28－2－1，连接OE.
∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC＝2∠OAE.
∵∠FOE＝2∠OAE，∴∠FOE＝∠BAC.
∴OE∥AB.∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC.又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线.
(1)证明：如答图Z28－2－2，连接OD.
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝∠BDE.∵∠AOB＝90°，
∴∠A＋∠ABO＝90°.又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB.
∴∠ODB＋∠BDE＝90°，即OD⊥EC.
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线.
谢 谢
