(共23张PPT)
第三章 概率的进一步认识
专题五 课标新导向
目录
01
教材母题
02
03
04
05
跨学科融合
数学文化
实践探究
母题变式
教材母题
1. （课本P65第5题改编）如图SZ3－5－1，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子朝下的数字是几，就将骰子前进几格.开始骰子在数字“1”的那一格，小明先掷骰子.请解答下列问题：
图SZ3－5－1
图SZ3－5－1
（2）求小红第一次掷完骰子后，骰子前进到数字“7”那一格的概率.（用列表或画树状图的方法进行解答）
小红 小明
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
解：（2）根据题意列表如下.
2. 小博和小力在玩一个游戏，两人同掷一枚普通正六面体骰子，六面分别标有数字1，2，3，4，5，6，骰子落地后，朝上是几点，就把图SZ3－5－2中棋子顺着标有数字1，2，3，4，5，…的格子前进几格，并获得格子中的相应物品（开始时棋子在图中所示的中心位置）.
母题变式
图SZ3－5－2
（1）如果小博先掷骰子，小博能第一次就得到铅笔吗？为什么？
解：（1）不能第一次就得到铅笔，
因为铅笔需走9格，投掷一次最大点数是6，所以不能第一次就得到铅笔.
图SZ3－5－2
（2）小力在小博掷过骰子后掷，则他得到玩具的概率是多少？（本小题要求用列表法求解）
图SZ3－5－2
小红 小博
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
解：（2）根据题意列表如下.
小红 小博
1 2 3 4 5 6
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
小红 小博
1 2 3 4 5 6
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
跨学科融合
3. （概率与物理）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图SZ3－5－3的电路图（四个开关按键都处于打开状态）.
图SZ3－5－3
（2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率.（用列表或树状图法）
图SZ3－5－3
答图SZ3－5－1
解：（2）根据题意画树状图如答图SZ3－5－1.
图SZ3－5－3
数学文化
4. （概率与数学文化）圆周率π是无限不循环小数.历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究.目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同.
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率.（用画树状图或列表方法求解）
解：（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 — （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） — （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） — （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） —
实践探究
5. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1 000 1 600 2 000
“6个人中有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562
“6个人中有2个人同月过生日”的频率 m 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781
（1）表中m的值为 0.8 ；
（2）通过试验，估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 0.78 ；（精确到0.01）
（3）“13个人中有2个人同月过生日”是 必然 事件.（填“必然”“不可能”或“随机”）
0.8
0.78
必然
谢 谢！(共10张PPT)
第三章 概率的进一步认识
专题四 模型拓展——概率公式、列表法
与树状图法
目录
01
模型解读
02
针对训练
模型解读
1. 概率公式，如果一个试验满足两条：
（1）试验只有有限个基本结果；
（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的.
这样的试验，称为古典试验.
（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球.求两次取出小球的标号和等于5的概率.
解：（2）画出树状图如答图SZ3－4－1.
答图SZ3－4－1
针对训练
（2021湘潭）“共和国勋章”获得者钟南山院士说，按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫.本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗.居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生 服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率.
解：（2）画出树状图如答图SZ3－4－2.
答图SZ3－4－2
谢 谢！(共20张PPT)
第三章 概率的进一步认识
专题二 本章重难点
一、列表法与树状图法
【例1】（2022牡丹江）在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（ D ）
D
【对接中考】
1. （2022邵阳）假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是（ D ）
A. 1
D
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率.
解：（2）画出树状图如答图SZ3－2－1.
答图SZ3－2－1
【对接中考】
3. （2022通辽）如图SZ3－2－1，一个圆环被4条线段分成4个区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内.求：
图SZ3－2－1
（2）吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻两个区域的概率.（用树状图或列表法求解）
解：（2）画出树状图如答图SZ3－2－2.
图SZ3－2－1
答图SZ3－2－2
图SZ3－2－1
答图SZ3－2－2
二、用频率估计概率
【例4】（2022鞍山）一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同.某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验.根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为 20 .
20
摸球的总次数a 100 500 1 000
摸出红球的次数b 19 101 199
摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199
【对接中考】
4. （2022辽宁）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n 100 150 200 250
合格产品数m 89 134 179 226
合格率 0.890 0.893 0.895 0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是 0.9 （结果保留一位小数）.
0.9
0.8a
【对接中考】
5. （2022益阳）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多.为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回.经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 800 只A种候鸟.
800
【例6】（2021长沙）“网红”长沙入选2021年五一假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有
60 000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15 000个.
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少.
【对接中考】
6. （2021嘉峪关）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同.每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定在0.75左右.
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率.（用画树状图或列表的方法）
解：（2）画出树状图如答图SZ3－2－3.
答图SZ3－2－3
谢 谢！(共23张PPT)
第三章 概率的进一步认识
专题三 中考新题型（中考新动向）
【考情讲述与中考真题】近三年广东省中考情况
1. （2022广东）书架上有2本数学书、1本物理书.从中任取1本书是物理书的概率为（ ）
【考点】概率.
【核心能力考查】概率公式、概率及其应用、运算能力.
【答案】B
2. （2019广东）为了解某校九年级全体男生1 000 m跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制成如下不完整的统计图表，根据图表信息解答下列问题：
图SZ3－3－1
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
成绩等级频数分布表
（1）x＝ ，y＝ ，扇形图中表示C的圆心角的度数为 ；
图SZ3－3－1
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率.
【考点】统计图与概率.
【核心能力考查】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；列表法或树状图法求概率；数据观念；运算能力；应用意识.
图SZ3－3－1
（2）画出树状图如图SZ3－3－2.
图SZ3－3－2
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y.请用列表法或画树状图法求出x与y的乘积是有理数的概率.
解：（2）画出树状图如答图SZ3－3－1.
答图SZ3－3－1
【核心能力考查】通过大量的重复试验，用频率来估计概率.
2. 疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表（单位：人）.
参与度 0.2≤x＜0.4 0.4≤x＜0.6 0.6≤x＜0.8 0.8≤x≤1
录播 4 16 12 8
直播 2 10 16 12
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由；
解：（1）我以为“直播”教学方式学生的参与度更高.
理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，所以“直播”教学方式学生的参与度更高.
（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少；
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1∶3，估计参与度在0.4以下的学生共有多少人.
∴20＋30＝50（人）.
∴参与度在0.4以下的学生共有50人.
【中考创新】概率与函数
【例】（创新题）（2022内蒙古）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4.
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率；
思路点拨：（1）直接利用概率公式可得结果；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y.请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）在函数y＝－x＋4的图象上的概率.
思路点拨：（2）画树状图得出所有等可能的结果数和由x，y确定的点（x，y）在函数y＝－x＋4的图象上的结果数，再利用概率公式可得出答案.
解：（2）画出树状图如答图SZ3－3－2.
答图SZ3－3－2
（创新变式）在一次数学活动中，黑板上画着如图SZ3－3－3所示的图形，活动前老师让全班48位同学每人准备了四张卡片，卡片的背面完全相同，正面分别写有如下四个等式中的一个等式：
①AB＝DC；②BO＝CO；③AO＝DO；④∠B＝∠C.
图SZ3－3－3
活动规则：任意摸出两张卡片作为一个命题的题设，剩下两张卡片作为结论，组成一个命题.
则以上活动中：
（1）最多能得到不同的命题多少个？用列表法或画树状图（用序号代替）说明；
解：（1）列表如下.
题设 ①② ①③ ①④ ②③ ②④ ③④
结论 ③④ ②④ ②③ ①④ ①③ ①②
真假性 假 假 真 真 真 真
图SZ3－3－3
∴最多能得到不同的命题6个.
（2）如果你是该班的同学，那么你得到的是真命题的概率是多少？
图SZ3－3－3
谢 谢！(共26张PPT)
第三章 概率的进一步认识
本章知识梳理
专题一 本章易错点例析
目录
01
易错典例
02
过关训练
1. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率.
2. 知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率.
课程标准
知识导航
易错典例
易错点1 因等可能性理解不透而出错
【例1】判断以下各试验的结果哪些拥有等可能性：
（1）投掷一枚质地均匀的正方体骰子，面向上的点数是奇数与面向上的点数是偶数的结果；
（2）投掷一颗图钉，钉尖向上与钉尖向下的结果；
（3）一只不透明的袋中装有 3个红球和5个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中随意摸出一个球，出现红球和蓝球的结果.
错解：（1）（2）（3）的实验结果都拥有等可能性.
错解分析：因为图钉质量不平均，在投掷中钉尖向上与钉尖向下的出现结果不均等，所以试验（2）的结果不拥有等可能性；从一只装有3个红球和5个蓝球的袋子中随意摸出一个球，有8种等可能的结果，而从中摸出红球和蓝球的结果出现的时机不均等，所以这个试验的结果不拥有等可能性.
正解：（1）的实验结果拥有等可能性，投掷一枚质地均匀的正方体骰子，面向上的点数是奇数和偶数各有3种等可能的结果，所以试验（1）的结果拥有等可能性；（2）（3）两个实验结果不拥有等可能性.
过关训练
1. 一只不透明的袋子中装有3个红球、4个黄球和5个蓝球，每个球除颜色外其他都相同，将球摇匀.
（1）如果从中任意摸出1个球，
①你能够事先确定摸到球的颜色吗？
②你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？
③如何改变袋中红球、蓝球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？
解：（1）①不能事先确定摸到球的颜色；
②由于蓝球个数最多，所以摸到蓝球的概率最大；
③将1个蓝球换成红球，这样三种颜色的球的个数相同，就能使摸到这三种颜色的球的概率相等.
（2）从中一次性最少摸出 8 个球，必然会有蓝色的球.
8
易错典例
易错点2 没有搞清树状图应用的条件
【例2】已知甲袋中有1个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和1个白球（两种球只是颜色不同）.从甲、乙两袋中同时摸出红球的概率是多少？
错解：画出树状图如图SZ3－1－1.
图SZ3－1－1
错解分析：因为乙袋中红球和白球的数量不同，所以从乙袋中摸出红球和白球的可能性不同，因此上述解答是错误的.
图SZ3－1－2
过关训练
2. 小明和小颖用如图SZ3－1－3所示的两个转盘（转盘B三等分）做配紫色游戏，游戏规则：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）.
图SZ3－1－3
（1）如果转动转盘A一次，转出红色的概率是多少？
图SZ3－1－3
（2）同时转动两个转盘，若结果能配成紫色则小明赢，否则小颖赢.请你利用所学过的概率相关知识分析这个游戏对双方是否公平，并说明理由.
解：（2）不公平.理由如下：根据题意画出树状图如答图SZ3－1－1.
图SZ3－1－3
答图SZ3－1－1
图SZ3－1－3
答图SZ3－1－1
易错典例
易错点3 没有区分是放回事件还是不放回事件
【例3】已知红色和蓝色在一起可配成紫色，现有三种颜色红、白、蓝，从中任意取出两种颜色来配紫色，问：能配出紫色的概率是多大？
第二次 第一次
白 红 蓝
白 （白，白） （红，白） （蓝，白）
红 （白，红） （红，红） （蓝，红）
蓝 （白，蓝） （红，蓝） （蓝，蓝）
错解：列表如下.
错解分析：取出两种颜色这一过程是不放回事件，错解没有考虑到第二次取时不能取第一次的那种颜色了，这样导致所有可能数搞错而结论错误.
正解：列表如下.
第二次 第一次
白 红 蓝
白 — （红，白） （蓝，白）
红 （白，红） — （蓝，红）
蓝 （白，蓝） （红，蓝） —
过关训练
3. 在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀.
（2）从中随机摸出一个球不放回，再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字之和恰好是奇数的概率.
解：（2）根据题意列表，得
第一次 第二次
1 2 3 4
1 — （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） — （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） — （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） —
谢 谢！
