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第六章 反比例函数
专题四 模型拓展——反比例函数模型
目录
01
模型解读
02
针对训练
模型解读
模型一 定值矩形与定值三角形
图SZ6－4－1
针对训练
图SZ6－4－2
模型二 平行线之间的定值三角形
图SZ6－4－3
模型解读
3
针对训练
图SZ6－4－4
模型三 “重叠型”定值矩形、定值三角形
图SZ6－4－5
模型解读
针对训练
图SZ6－4－6
模型四 “喇叭三角形”
图SZ6－4－7
模型解读
②S△AOE＝S四边形EBDC；
图SZ6－4－8
3
针对训练
模型五 中点模型
图SZ6－4－9
模型解读
④S△OAC∶S四边形ACDB∶S△BDF＝2∶3∶1.
图SZ6－4－10
6
针对训练
模型六 比例模型
图SZ6－4－11
模型解读
结论：作MH⊥x轴于点H，连接OC，如图SZ6－4－11②所示.
图SZ6－4－11
①S△AMC∶S△OMC＝AM∶OM；
图SZ6－4－12
12
针对训练
模型七 相等模型
图SZ6－4－13
模型解读
结论：①AC＝BD；
②S△ODB＝S△OCA；
③如图SZ6－4－13②，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，则OE＝FC.
图SZ6－4－13
【常考点】在实际做题中，经常已知DB∶BA∶AC＝1∶2∶1，
此时又有如下结论可以使用：
①OE∶EF∶FC＝1∶2∶1（斜线段转化为水平线段）；
②S△OBA＝S△ODB＋S△OAC；
③S△OCD＝4S△OAC；
④AB＝BD＋AC.
针对训练
图SZ6－4－14
（1）用含m的代数式表示b；
图SZ6－4－14
解：（2）如答图SZ6－4－1，过点A作AM⊥OD于点M，过点B作BN⊥OC于点N.
图SZ6－4－14
答图SZ6－4－1
答图SZ6－4－1
图SZ6－4－14
答图SZ6－4－1
图SZ6－4－14
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第六章 反比例函数
专题二 本章重难点
一、反比例函数的图象与性质
A. （－2，3） B. （－2，－3）
C. （2，3） D. （3，2）
A
【对接中考】
A. （2，3） B. （－2，3）
C. （3，0） D. （－3，0）
B
A. y1＋y2＜0 B. y1＋y2＞0
C. y1＜y2 D. y1＞y2
C
【对接中考】
A. x1＜x2＜x3 B. x2＜x3＜x1
C. x1＜x3＜x2 D. x2＜x1＜x3
B
A
D
D
图SZ6－2－1
A. －1＜x＜1
B. x＜－1或x＞1
C. x＜－1或0＜x＜1
D. －1＜x＜0或x＞1
D
图SZ6－2－3
A. x＜－2或x＞2
B. －2＜x＜2
C. －2＜x＜0或x＞2
D. x＜－2或0＜x＜2
D
图SZ6－2－2
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
【对接中考】
B
图SZ6－2－4
A. 3 B. －3
图SZ6－2－5
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
图SZ6－2－5
（2）点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接AB，CB，求△ACB的面积.
图SZ6－2－5
答图SZ6－2－1
图SZ6－2－5
图SZ6－2－6
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
图SZ6－2－6
图SZ6－2－6
（2）过O，A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积.
图SZ6－2－6
答图SZ6－2－3
图SZ6－2－7
（1）求反比例函数的解析式；
解：（1）如答图SZ6－2－2，过点B作BF⊥y轴于点F.
设点A的坐标为（0，m）.
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝BC＝AB＝m.
∵点B的坐标为（－4，8），
∴BF＝4，AF＝8－m.
图SZ6－2－7
答图SZ6－2－2
图SZ6－2－7
答图SZ6－2－2
图SZ6－2－7
图SZ6－2－7
答图SZ6－2－2
图SZ6－2－7
答图SZ6－2－2
图SZ6－2－8
（1）求k，p的值；
图SZ6－2－8
图SZ6－2－8
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标.
图SZ6－2－8
图SZ6－2－8
【例8】（2022广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图SZ6－2－9所示.
图SZ6－2－9
（1）求储存室的容积V的值；
解：（1）由题意，得V＝500×20＝10 000（m3）.
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d
≤25，求储存室的底面积S的取值范围.
图SZ6－2－9
【对接中考】
8. （2022吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图SZ6－2－10所示.
图SZ6－2－10
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；
图SZ6－2－10
（2）当V＝10 m3时，求该气体的密度ρ.
图SZ6－2－10
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第六章 反比例函数
专题三 中考新题型（中考新动向）
【考情讲述与中考真题】近三年广东省中考情况
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
【考点】反比例函数的性质.
【核心能力考查】运算能力.
【答案】D
图SZ6－3－1
（1）填空：k＝ ；
（2）求△BDF的面积；
图SZ6－3－1
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形.
【考点】反比例函数综合题.
【核心能力考查】运算能力；几何直观；模型观念.
【答案】（1）2
（2）解：如图SZ6－3－2，连接OD.
由（1）知k＝2，
图SZ6－3－2
①当点B在y轴的正半轴时，b＞0，过点P作PH⊥x轴于点H，如图SZ6－3－3.
∵B1O⊥A1H，∠PA1H＝∠B1A1O，
∴△A1OB1∽△A1HP.
图SZ6－3－3
②当点B在y轴的负半轴时，b＜0，过点P作PQ⊥y轴于点Q，如图SZ6－3－3.
图SZ6－3－3
∴b＝－2.∴k＝6.综上所述，k＝2或k＝6.
【命题趋势分析】
【核心能力考查】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何综合题；推理能力.
（1）求k的值及点B的坐标；
图SZ6－3－4
图SZ6－3－4
（3）已知AB∥x轴，以AB，BC为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积.
x≤－2或0＜x≤2
图SZ6－3－4
解：（3）如答图SZ6－3－1，过点C作CH⊥AB于点H.∵B（2，3），点B和点C关于原点对称，
∴C（－2，－3）.∴CH＝6，BH＝4.
图SZ6－3－4
答图SZ6－3－1
【中考创新】
【例】（创新题）【知识拓展】
如图SZ6－3－5①，由DE∥BC，AD＝DB，可得AE＝EC；
图SZ6－3－5
如图SZ6－3－5②，由AB∥CD∥EF，AE＝EC，可得BF＝FD；
图SZ6－3－5
解：如答图SZ6－3－2，过点C作CE⊥OB于点E，过点D作DF⊥OB于点F.
∴DF∥CE∥OA.
∴AC＝CD＝DB.
∴OE＝EF＝FB.
∵点B（0，n）（n＞0），∴OB＝n.
图SZ6－3－5
答图SZ6－3－2
设直线AB的表达式为y＝kx＋b.
图SZ6－3－5
答图SZ6－3－2
∵直线AB经过点A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0），
图SZ6－3－5
答图SZ6－3－2
（创新变式）如图SZ6－3－6①，木匠陈师傅现有一块五边形ABFED木板，它是矩形ABCD木板用去△CEF后的余料，AD＝4，AB＝5，DE＝1，F是BC边上一点.陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD上.
图SZ6－3－6
【初步探究】
（1）当BF＝2时.
①若截取的矩形有一边是DE，则截取的矩形面积的最大值是 4 ；
②若截取的矩形有一边是BF，则截取的矩形面积的最大值是 10 ；
4
10
图SZ6－3－6
图SZ6－3－6
图SZ6－3－6
图SZ6－3－6
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第六章 反比例函数
专题五 课标新导向
目录
01
教材母题
02
03
04
05
跨学科融合
新定义创新
实践探究
母题变式
教材母题
答图SZ6－5－1
（2）画出函数图象草图，并据此直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围；
解：（2）草图如答图SZ6－5－1所示.根据图象可知，使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是x＜－1或0＜x＜2.
答图SZ6－5－2
（3）连接OA，OB，设直线AB交y轴于点P，求△OAB的面积.
【母题延伸】
答图SZ6－5－2
图SZ6－5－1
母题变式
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
图SZ6－5－1
（2）求△AOB的面积；
图SZ6－5－1
图SZ6－5－1
跨学科融合
3. （跨学科与物理融合）周末，小华与同学一行人去户外露营，前进路上遇到一片十几米宽的湿地，为了节省时间，并安全通过，他们计划根据所学物理知识，当压力不变时，压强与所受力面积成反比例函数关系，在湿地上用一些大小不同的木板铺设了一条临时通道.已知木板所受压力不变时，木板对湿地面的压强p（Pa）与木板面积S（m2）的对应值如表：
木板面积S/m2 1 1.5 2 2.5 3 4
木板对地面的压强p/Pa 600 400 300 240 200 150
（1）求反比例函数的表达式和自变量S的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
图SZ6－5－2
解：（2）描点并画出函数图象如答图SZ6－5－3所示.
答图SZ6－5－3
（3）当木板面积为0.2 m2时，压强是 3 000 Pa；
3 000
（4）结合图形，如果要求压强不超过4 000 Pa，木板的面积要控制在什么范围？
答图SZ6－5－3
4. （跨学科与生物融合）我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治.某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（μg/mL）与注射时间x（天）之间的函数关系如图SZ6－5－3所示（当x≤20时，y与x是正比例函数关系；当x≥20时，y与x是反比例函数关系）.
跨学科融合
图SZ6－5－3
（1）根据图象求当x≥20时，y与x之间的函数关系式；
图SZ6－5－3
（2）当x≥20时，体内抗体浓度不高于140 μg/mL时是从注射药物第多少天开始？
图SZ6－5－3
新定义创新
图SZ6－5－4
图SZ6－5－4
图SZ6－5－4
实践探究
解：Ⅰ.列表、取值（这里自变量x的取值范围是x－1≠0，即x≠1）：
x … －7 －5 －3 －1 0 2 3 5 7 9 …
y … －1 － －2 －4 －8 8 4 2 1 …
Ⅱ.描点连线.
任务：
（1）请在如图SZ6－5－5所示的平面直角坐标系中将函数图象画出；
图SZ6－5－5
解：（1）函数图象如答图SZ6－5－4所示.
答图SZ6－5－4
右
1
解：（2）②观察图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而减小.
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第六章 反比例函数
本章知识梳理
专题一 本章易错点例析
目录
01
易错典例
02
过关训练
课程标准
知识导航
易错典例
易错点1 对反比例函数的定义理解不深刻、不透彻，忽视定义中的系数不为 0的条件
A. －2 B. 1
C. 2或1 D. －2或－1
错解：D
错解分析：错误的原因是未准确地应用反比例函数的定义.根据反比例函数的定义可知，反比例函数中既要满足指数m2＋3m＋1＝－1，又要满足常数m＋1≠0，解得m＝－2.
正解：A
过关训练
A. ±2 B. 2
C. －2 D. ±1
C
易错点2 研究函数的增减性时，忽视了分象限进行讨论
易错典例
A. y2＜y3＜y1 B. y3＜y2＜y1
C.y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜ y3
错解：D
错解分析：错误的原因是只考虑了增减性，而忽视了增减性是在每个象限内进行讲论的.
∵k＝－（a2＋1）＜0，
∴图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大.
∵－3＜－1＜0，∴（－3，y1），（－1，y2）在第二象限.∴0＜y1＜y2.
∵2＞0，∴（2，y3）在第四象限.
∴y3＜0.∴y3＜y1＜y2.
正解：C
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1
C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y2＜y1
C
过关训练
易错点3 解决实际问题时容易忽视自变量的取值范围
【例3】甲、乙两地相距100 km，一辆汽车从甲地开往乙地，将汽车由甲地到乙地所用的时间t（h）表示为汽车平均速度v（km/h）的函数，并画出函数的图象.
易错典例
图SZ6－1－1
错解分析：错解中忽视了自变量v的取值范围，平均速度v不能小于0.
图SZ6－1－2
3. 甲、乙两地相距480 km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车由甲地到乙地所用的时间y（h）表示为汽车平均速度x（km/h）的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
A
B
C
过关训练
C
D
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