高三二轮复习数列的题型和方法(湖北省黄冈市英山县)

2008英山长冲高级中学二轮复习
专题：数列的题型与方法
长冲高级中学 程湛
一.知识网络
二．考点分析
1.判断和证明是等差数列（等比数列）常见三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法：
①若，则为等差数列；
②若，则为等比数列。
(3) 中项公式法：验证都成立。
2.等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当,d＜0时，满足的项数m使得取最大值.
(2)当,d＞0时，满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
3数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。
4.列的综合应用：
⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。
⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。
5.意事项：
⑴证明数列是等差或等比数列常用定义法，即通过证明或而得。
⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。
⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
⑷注意一些特殊数列的求和方法。
⑸注意与之间关系的转化。如：
=，=．
⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力
三.典型例题解析：
考点一：等差、等比数列的概念与性质
例题1.（2007年5月上海市宝山区）已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。
（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；
（3）当a>0时，求数列的最小项。
分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要分类讨论。
解：（1）∵
∴
　　　(n≥2)
由得，，
∵，∴ ，
即从第2项起是以2为公比的等比数列。
（2）
当n≥2时，
∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数，
∴3a+4=0，即 。
（3）由（1）知当时，，
所以，
所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……
显然最小项是前三项中的一项。
当时，最小项为8a-1；
当时，最小项为4a或8a-1；
当时，最小项为4a；
当时，最小项为4a或2a+1；
当时，最小项为2a+1。
点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。
考点二：求数列的通项与求和
例题2.（2007年5月湖北省十一校）.已知数列中各项为：
12、1122、111222、……、 ……
（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.
（2）求这个数列前n项之和Sn
分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。
解：（1）
记：A = , 则A=为整数
= A (A+1) ， 得证
(2)
点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。
例题3.(2007年5月深圳市) 已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．
分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。
解：（Ⅰ），，
又，数列是首项为，公比为的等比数列．
，　即.　　　　　　　　 　　
（Ⅱ）．
．
（Ⅲ），
．
当时，则
．
， 对任意的，．
点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，需要学生有较强的逻辑和推理能力，能够合理把握放缩的尺度。
考点三：数列与不等式的联系
例题4.（2007年5月江苏省淮安市）已知数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；
（Ⅲ）证明：
分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。
解：（1），
故数列是首项为2，公比为2的等比数列。
，
（2），
①
②
②—①得，即③
④
④—③得，即
所以数列是等差数列
（3）
设，则
点评：近几年高考试题中，数列和不等式的综合是考察的热点和重点，数列中的不等式通常都要放缩，如何放缩没有定法一般不容易掌握，对于这种问题要多探索，多摸索，多角度思考问题。
考点四：数列与函数、向量等的联系
例题5.（2007年5月重庆市高三联合诊断）已知，若数列{an}
成等差数列.
（1）求{an}的通项an;
（2）设 若{bn }的前n项和是Sn，且
分析：观察数列特征，利用等差数列基本条件，得出通项公式，进而求解.
解：解：设2，f(a1), f(a2), f(a3),……，f(an),2n+4的公差为d，则
2n+4=2+(n+2－1)dd=2,
（2），
点评：本题考查等差、等比数列的性质，数列的求和，不等式的放缩，有一定的综合性。
例题6. (2007年5月宁波市三中) 已知数列中，，．
（1）求；
（2）求数列的通项；
（3）设数列满足，求证：
分析：条件中有类似于前n项和的形式出现，提示我们应该考虑an＝Sn－Sn－1(n≥2)
解：（1）
（2） ①
②
①—②得
即：，
所以
所以
（3）由（2）得：，
所以是单调递增数列，故要证：只需证
若，则显然成立
若，则
所以
因此：
所以
所以
点评：与数列相关的不等式证明通常需要“放缩”，而放缩的“度”尤为关键，本题中
这种拆分方法是数学中较高要求的变形.
考点五.数列和解析几何
例7．在等差数列中，，，其中是数列的前项之和，曲线的方程是，直线的方程是.
（1）求数列的通项公式；
（2）当直线与曲线相交于不同的两点，时，令，求的最小值；
（3）对于直线和直线外的一点P，用“上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的，若曲线与直线不相交，试以类似的方式给出一条曲线与直线间“距离”的定义，并依照给出的定义，在中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线的“距离”.
思路启迪：求出数列的通行公式，代入曲线方程，利用曲线和直线的关系，求出便可寻利求解此题.
解答过程：（1）∵，∴，又∵，∴，
∵，∴，，∴.
（2），由题意，知，即，
∴或，即或，
即或时，直线与曲线相交于不同的两点.
，
∴时，的最小值为.
（3）若曲线与直线不相交，曲线与直线间“距离”是：曲线上的点到直线距离的最小值.
曲线与直线不相交时，，即，即，∴，
∵时，曲线为圆，∴时，曲线为椭圆.
选，椭圆方程为，设椭圆上任一点，它到直线的距离
，
∴椭圆到直线的距离为. （椭圆到直线的距离为）.
考点六.数列的应用
例题8.(安徽卷) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.
解： （Ⅰ）我们有．
（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得
， ①
在①式两端同乘，得
②
②①，得
．
即．
如果记，，则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列；
是以为首项，为公差的等差数列．
点评：为了迎接新课改，今年高考试题估计更加体现数学作为工具学科的作用，数列的实际应用估计是个热点。处理这类问题关键在于认真审题，在搜集相关信息的基础上，运用数学建模的思想建立相关的模型，一般都是化为等差或者等比数列来处理，最后结果要符合实际的要求。
四．方法点拨和高考预测
（一）方法总结
1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。
2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式；数学归纳法；有的还要用到条件不等式。
3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。
（二）2008年高考预测
1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。
2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。
4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.
5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.
6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。
五．【跟踪练习】
一.选择题
（1） 选择题
1．在等比数列中， 和 是二次方程 的两个根，则
的值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A解析：根据韦达定理，有，又因为，则，所以。
2. 数列的通项公式，
则该数列的前（ ）项之和等于。
A． B． C． D．
【答案】B
3. 已知等差数列项和为
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4. 设函数f（x）满足f（n+1）=（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）为（　　）
A．95 B．97 C．105 D．192
【答案】B
f（n+1）－f（n）=
5 跳棋共有颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它们叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有 （ ）
（A）颗 （B）4颗 （C）颗 （D）颗
【答案】B解析：最上面一层放1个，设最上一层是第一层，由上而下共有层，第层弹子数为，总弹子数为，
由得，故时剩余最小，且剩余颗。
（2） 填空题
6. 已知数列中，，，则数列通项___________。
【答案】 是以为首项，以为
公差的等差数列，
7.设zn=()n，(n∈N*)，记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，则Sn=_________ ( http: / / www. / wxc / )
【答案】1+　　
，
（3） 解答题
8．已知数列{an}满足
（1）求证：{an}为等比数列；
（2）记为数列{bn}的前n项和，那么：
①当a=2时，求Tn；
②当时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】n≥2时，
整理得
所以{an}是公比为a的等比数列.（4分）
（2）
①当a=2时，
两式相减，得
（9分）
②因为－1＜a＜0，所以：当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数.
当
所以
所以当
当
故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有
9.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列
a,a,…,a,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)记Tn=Cb1+Cb2+Cb3+…+Cbn,求.
【答案】.解：(1)由题意知a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2,
∵d≠0,∴a1=2d,数列{}的公比q==3,
∴=a1·3n－1 ①
又=a1+(bn－1)d= ②
由①②得a1·3n－1=·a1.∵a1=2d≠0,∴bn=2·3n－1－1.
(2)Tn=Cb1+Cb2+…+Cbn=C (2·30－1)+C·(2·31－1)+…+C(2·3n－1－1)=(C+C·32+…+C·3n)－(C+C+…+C)=［(1+3)n－1］－(2n－1)= ·4n－2n+,
六．复习建议
1．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 ( http: / / www. / wxc / )，通常在选择和填空题运用性质解题往往效果很好！
2．归纳——猜想——证明体现由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证思想．学习这部分知识，对培养学生的逻辑思维能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重大意义．
3．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．
4．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．
5.数列与函数﹑不等式﹑概率综合问题既是重点也是难点，也是考察的热点。解决此类问题要认真审题，把握“三性”，即明确的目的性﹑ 提高准确性﹑注意隐蔽性。要从题目中提 取多的信息，恰当运用分析和综合的方法，不断地进行划归与转化，尽量消除条件和结论之间的差异，从而使问题得到解决。
个