安徽省合肥市庐江县2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含解析）

2024届第一学期10月份阶段练习
九年级数学
注意事项：
1.数学练习满分150分，练习时间为120分钟．
2.本练习包括“练习卷”（共6页）和“答题卷”（共6页）两部分．
3.请务必在“答题卷”上答题，在“练习卷”上答题无效．
4.练习结束时，请将“练习卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.将一元二次方程2x2－3x＝1化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A.2，－3，－1 B.2，－3，1 C.－2，3，－1 D.－2，－3，1
2.下列函数解析式中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A.y＝x2－＋1 B. y＝2x2 C.y＝（m－3）x2＋x－1 D.y＝ax2＋bx＋c
3.若关于x的一元二次方程x2－ax＋6＝0的一个根是2，则a的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4.如果关于x的一元二次方程x2－6x＋m＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A.m＞9 B.m9 C. m＜9 D. m≤9
5.把抛物线y＝x2＋1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A.y＝（x＋3）2－1 B.y＝（x＋3）2＋3
C.y＝（x－3）2－1 D.y＝（x－3）2＋3
6.已知关于x的一元二次方程x2－（k＋2）x＋k＝0，下列说法正确的是（ ）
A.有两个相等的实数根 B.有两个负数根
C.可以有一根为0 D.没有实数根
7.对于二次函数y＝－4（x＋6）2－5的图象，下列说法正确的是（ ）
A.图象与y轴交点的坐标是（0，5） B.对称轴是直线x＝6
C.顶点坐标为（－6，5） D.当x＜－6时，y随x的增大而增大
8.南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A.（60－x）x＝864 B.· ＝864
C.（60＋x）x＝864 D.（30＋x）（30－x）＝864
9.如图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）． 现将ΔPCD沿PD翻折，得到ΔPC’D，作∠BPC＇的平分线，交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列符合题意的函数关系式是（ ）
A.y＝－x2 ＋x（0＜x＜4） B.y＝－x2－x（0＜x＜4）
C.y＝－x2 ＋2x（0＜x＜4） D.y＝x2 －2x（0＜x＜4）
10.一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝ax2＋ax＋1的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11.一元二次方程（x－1）2＝x－1的根为 ．
12.用配方法解一元二次方程x2–6x＋5＝0，将它化成（x－p）2＝q的形式，则 p＋q的值为 ．
13.如图，矩形纸片的长为30cm，宽为20cm，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积为原矩形面积的三分之一，则竖彩条的宽度是 cm．
14.已知关于x的二次函数y＝kx2＋（2k＋1）x＋1（k＜0）．
（1）若直线y＝1与此二次函数的图象相交于A，B两点，且AB＝2，则k的值为 ；
（2）当x＜m 时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ；
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.解方程：x2－10x＋22＝0
16.已知二次函数y＝x2＋6x＋k－1（k是常数），如果该二次函数的图象顶点在x轴上，求k的值．
四、（本题共2小题，每题8分，满分16分）
17.二次函数y＝ax2与直线y＝2x－3交于点（1，b）
（1）求a、b的值；
（2）求抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3的两交点与抛物线的顶点构成的三角形的面积S．
18.已知关于x的一元二次方程kx2＋（k－2）x－2＝0（k≠0）
（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）若此方程的两根均为整数，求正整数k的值．
五、（本题共2小题，每题10分，满分20分）
19.已知一条抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －3 k －3 0 …
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）求k的值；
（3）这个抛物线经过两点（－2，n）和（m，n），求m的值．
20.为解方程 （x2－2）2－11（x2－2）＋18＝0，我们可以将x2－2视为一个整体，设x2－2＝y则（x2－2）2＝y2，于是原方程可转化为y2－11y＋18＝0，，解此方程，得y1＝2，y2＝9，当y1＝2时，x2－2＝2x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝9时，x2－2＝9x＝11，∴x＝±．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝－，x4＝．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
（1）运用上述换元法解方程：x4－3x2－4＝0；
（2）已知实数m，n满足（m＋3n）（m＋3n－2）＝2m＋6n－4，求4m＋12n－3的值．
六、（本题满分12分）
21.某景区5月份的游客人数比4月份增加60％，6月份的游客人数比5月份减少了10%．
（1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数／万人 a
（2）求该景区5、6月这两个月份游客人数的月平均增长率；
（3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
七、（本题满分12分）
22.若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“知己方程”．例如x2＝9和（x＋2）（x－3）＝0有且只有一个相同的实数根 x＝3，所以这两个方程为“知己方程”．
（1）下列方程中属于“知己方程”的是： （只填写序号即可）；
①（x－1）2＝9； ②x2＋4x＋4＝0 ③x2＋2x－8＝0；
（2）关于x的一元二次方程x2－2x＝0与x2＋x＋m－1－0为“知己方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）同时满足a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0，且与（x－n）（x＋3）＝0互为“知己方程”，求n的值．
八、（本题满分14分）
23.如图1，两抛物线y＝ax2（a≠0）与 y＝－x2＋bx＋4（b为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为－2和1
图1 图2
（1）求a，b的值．
（2）如图2，过点A作AC//x轴与抛物线y＝ax2交于C，分别以AC，AC的长为边长向AC上方作矩形ACDE．将矩形ACDE先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形A'C'D'E'，点C的对应点C＇在抛物线y＝ax2上．
①求n关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；
②直线A'E'与抛物线y＝ax2和y＝－x2＋bx＋4分别交于点P和点Q，当E＇是线段PQ的中点时，求m的值．
2024届第一学期10月份阶段练习
九年级数学答案
1.A 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.D 8.B 9.A 10.C
11. 12.7 13. 14.（1） （2）m≤－1
15.解：移项，得x2－10x＝－22，
配方，得x2－10x＋25＝－22＋25，
即（x－5）2＝3，
∴x－5＝±，
∴x＝5±，
即．………………8分
16.解：根据题意，得，
解得k＝10……………………8分
17.解：（1）∵直线y＝2x－3经过（1，b）．
∴b＝2－3＝－1，
∴函数y＝ax2与直线y＝2x－3交于（1，－1）．
把（1，－1）代入y＝ax2（a≠0）得，a＝－1；……4分
（2）由解得或，
∴抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3的两交点为（1，－1）和（－3，－9），
把x＝0代入y＝2x－3得，y＝－3，
∴直线y＝2x－3与y轴的交点为（0，－3），
∴S＝×3×（1＋3）＝6………………………8分
18.（1）证明：，
∵（k＋2）2≥0，
∴△≥0，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；…………4分
（2）解：kx2＋（k－2）x－2＝0（k≠0），
（kx－2）（x＋1）＝0，
解得，
∵该方程的两根均为整数，
∴为整数，
∴正整数k的值为1或2………………8分
19.解：（1）设y＝a（x＋l）（x－3），将（0，－3）代入，
得－3a＝－3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x＋l）（x－3），
即y＝x2－2x－3；………………4分
（2）把x＝1代入y＝x2－2x－3，得y＝1－2－3＝－4，
∴k＝－4；…………6分
（3）∵图象经过点（－1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线，
∵二次函数的图象经过点（－2，n）和（m，n）两点，
∴＝1，
∴m＝4………………10分
20.解：（1）设x2＝y，
则原方程可转化为y2－3y－4＝0，
解得y1＝4，y2＝－1，
当y1＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
当y2＝－1，x2＝－1，此方程无解．
∴原方程的解为；……………………5分
（2）∵（m＋3n）（（m＋3n－2）＝2m＋6n－4，
∴（m＋3n）（m＋3n－2）＝2（m＋3n）－4，
设m＋3n＝t，则原方程可化为t（t－2）＝2t－4，
整理，得t2－4t＋4＝（t－2）2＝0，修改为：t2－4t＋4＝0即（t－2）2＝0
解得t＝2，
∴m＋3n＝2，
∴4m＋12n－3＝4（m＋3n）－3＝4×2－3＝5…………………10分
21.解：（1）1.6a，1.44a；………………2分
（2）该景区5、6这两个月游客人数的月平均增长率为x，
根据题意，得a（1＋x）2＝1.44a，
解得（不符合题意，舍去）
答：该景区5、6这两个月游客人数的月平均增长率为20%；……………6分
（3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为（y－40）元，每天可卖出20＋2（60－y）＝（140－2y）件，
根据题意，得（y－40）（140－2y）＝（60－40）×20，
整理，得y2－110y＋3000＝0，
解得y1＝50，y2＝60不符合题意，舍去）
答：每件售价应定为50元．………………12分
22.（1）①②；……………………………………2分
（2）一元二次方程x2－2x＝0的解为，
当相同的根是x＝0时，则m－1＝0，解得m＝1；
当相同的根是x＝2时，则4＋2＋m－1＝0，解得m＝－5；
综上，m的值为1或－5；………………7分
（3）∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是；
∵（x－n）（x＋3）＝0的两个根是，
∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）与（x－n）（x＋3）＝0互为“知己方程”，
∴n＝－1或3……………………12分
23.（1）由题意，得
当x＝－2时，4a＝－4－2b＋4，
当x＝1时，a＝－1＋b＋4，
解方程组
得a＝1，b＝－2；………………4分
（2）①由（1）知两抛物线分别为y＝x2与y＝－x2－2x＋4，
AC＝4，AE＝2，点E（－2，6），点C（2，4），
则平移后点为（2－m，4－n），
将点的坐标代入抛物线y＝x2，得4－n＝（2－m）2，
即n＝－m2＋4m，
自变量m的取值范围：0＜m＜4；………………8分
②由①知，点坐标为（－2－m，4－n）即（－2－m，m2－4m＋4），
点的坐标为（－2－m，m2－4m＋6），
则点P的坐标为（－2－m，m2＋4m＋4），
点Q的坐标为（－2－m，－m2－2m＋4），
则点PQ中点的坐标为（－2－m，m＋4），
当是PQ的中点时，则m2－4m＋6＝m＋4，
解得（由0＜m＜4知，不合题意，舍去），
………14分
注：解答题只要解法合理，均相应给分