2007年高考题

2007年高考“线性规划问题”题
1．(全国Ⅰ) 下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是
A． B． C． D．
解：将四个点的坐标分别代入不等式组，满足条件的是，选C。
2．(全国II)
3．（北京卷）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，
则的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．或
解：如图，不等式组表示的平面区域是一个梯形，
它的一个顶点坐标是(2，7)，用平行于x轴的直线y≥a截
梯形得到三角形，则的取值范围是，选C。
4．（天津卷）设变量满足约束条件
则目标函数的最大值为（　　）
Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14
解：先画出约束条件的可行域:如右图:
得到当时目标函数有
最大 值为：
．选C。
5．(上海卷)
6．（重庆卷）已知的最大值为 。
解：画出可行域，当直线过点（3，0）时，
7．（辽宁卷）已知变量满足约束条件
则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解： 画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（），表示
可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）
时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，选A
8．（江苏卷）在平面直角坐标系，已知平面区域且，
则平面区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：集合B转化为是不等式组的平面区域，
如右图，平面区域的面积为×2×1＝1，故选（B）。
9．(广东卷)
10．(福建卷) 已知实数满足
则的取值范围是________．
解： 画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，
在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7].
11．(安徽卷) 如果点P在平面区域上,点O在曲线
最小值为
(A) (B) (C) (D)
解：点P在平面区域上,画出可行域，
点Q在曲线最小值
圆上的点到直线的距离，即圆心(0，－2)到直线
的距离减去半径1，得，选A。
12．(湖南卷) 设集合，
，
（1）的取值范围是 ；
（2）若，且的最大值为9，
则的值是 ．
解: （1）由图象可知的取值范围是；
（2）若则（x，y）在图中的四边形内，t=在（0，b）
处取得最大值，所以0+2b=9，所以b=.
13．（湖北卷）设变量满足约束条件
则目标函数的最小值为 ．
解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令
，显然当平行直线过
点时，取得最小值为.
14．（江西卷）
15．（山东卷）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，
由题意得
目标函数为．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：
作直线，即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得．点的坐标为．
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，
最大收益是70万元．
16．(陕西卷) 已知实数、满足条件
则的最大值为 .
解：画出可行域知在两直线交点（2，3）处取得最大值8
17．（四川卷）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（　　）
（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元
解：对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对
乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍
时可获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法求解．选B．
18．（浙江卷）中的、满足约束条件 ,
则的最小值是________．
解：将化为，故的几何意义即为直线在y 轴上的
截距，划出点（,）满足的可行域，通过平移直线可知，直线过点
时，直线在y 轴上的截距最小，此时也就有最小值.
19．（宁夏、海南卷）
2
2
b
x
y
o
3
0
100
200
300
100
200
300
400
500
y
x
l
M2007年高考“立体几何”题
1．(全国Ⅰ) 如图，正棱柱中，，
则异面直线与所成角的余弦值为
A． B．
C． D．
解：如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线与
所成的角，设AB=a，则AA1=2a，∴ A1B=C1B=a，
A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，选D。
正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D
都在同一个球面上，则该球的体积为_________。
解：正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同
一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为。
四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，
已知，，
，。(12分)
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小。
解法一：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，
由侧面底面，
得底面．因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依题设，
故，由，
，．
又，作，垂足为，
则平面，连结．为直线与平面所成的角．
所以，直线与平面所成的角为．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，
得平面．因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
因为，
，
又，所以，
，．
，，
，，所以．
（Ⅱ），.
与的夹角记为，与平面所成的角记为，
因为为平面的法向量，所以与互余．
，，
所以，直线与平面所成的角为．
2．(全国II) 已知三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于
A． B． C． D．
解：已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，
连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面
所成角的余弦值等于，选A。
一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm．
解：一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的
长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，
∴ 2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2.
如图，在四棱锥中，
底面为正方形，侧棱底面
分别为的中点．
（1）证明平面；
（2）设，求二面角的大小．
解法一：
（1）作交于点，则为的中点．
连结，又，
故为平行四边形．
，又平面平面．
所以平面．
（2）不妨设，则为等
腰直角三角形．
取中点，连结，则．
又平面，所以，而，
所以面．
取中点，连结，则．
连结，则．
故为二面角的平面角
．
所以二面角的大小为．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，
．
取的中点，则．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设，则．
中点
又，，
所以向量和的夹角等于二面角的平面角．
．
所以二面角的大小为．
3．（北京卷）平面平面的一个充分条件是（　　）
Ａ．存在一条直线
Ｂ．存在一条直线
Ｃ．存在两条平行直线
Ｄ．存在两条异面直线
解：平面平面的一个充分条件是存在两条
异面直线，选Ｄ．
如图，在中，，斜边．
可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角
是直二面角．是的中点．
（I）求证：平面平面；
（II）求异面直线与所成角的大小．
解法一：
（I）由题意，，，
是二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则：
，，，，
，，
．
异面直线与所成角的大小为．
4．（天津卷）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若与所成的角相等，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
解：Ａ项中若与所成的角相等，则可以平行、相交、异面故错；Ｂ项中若，，则可以平行、异面故错；Ｃ项中若则可以平行、相交；而D项是对，因为此时所成的角与所成的角是相等或是互补的，则．
【分析】对于A当与均成时就不一定；对于B只需找个，且
即可满足题设但不一定平行；对于C可参考直三棱柱模型排除，故选D.
一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别
为，，，则此球的表面积为 ．
解：长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径，
设球的直径为则：，由于球的表面积为:.
如图，在四棱锥中，底面，
，，是的中点．
（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．
考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故．
又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小为．
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
由条件，，面．
又面，．
由，，可得．
是的中点，，
．综上得平面．
（Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，
平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，可得．设，可得
，，，．
在中，，，则
．在中，．
所以二面角的大小．
5．(上海卷) 如图，在直三棱柱中，，
，，则异面直线与所成角
的大小是 （结果用反三角函数值表示）．
解： 异面直线与所成角为，易求，
。
如图,在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，
求正四棱锥的体积．
解：作平面，垂足为．连接，
是正方形的中心，是直线与平面
所成的角．
＝，． ．
，，
．
6．（重庆卷）垂直于同一平面的两条直线
（A）平行 （B）垂直 （C）相交 （D）异面
解：垂直于同一平面的两条直线平行. 选A.
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，
AB=1,BC=,AA1=2;点D在棱BB1上，BD＝BB1；
B1E⊥A1D，垂足为E，求：
（Ⅰ）异面直线A1D与B1C1的距离；
（Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积。
解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，又因为∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，从而B1C1⊥平面A1B1D，得B1C1⊥B1E。又B1E⊥A1D，
故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线
由知
在Rt△A1B1D中，A2D＝
又因 故B1E=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1C1⊥平面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，
即BC为四棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为
V＝VC-ABDE＝
其中S为四边形ABDE的面积。如答（19）图1，过E作EF⊥BD，垂足为F。
在Rt△B1ED中，ED=
又因S△B1ED= 故EF=
因△A1AE的边A1A上的高
故S△A1AE＝
又因为S△A1BD＝从而
S＝S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D＝2-
所以
解法二：（Ⅱ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则
A(0,1,0),A1(0,1,2),B(0,0,0).
B1(0,0,2),C1(,0,2),D(0,0, )
因此
设E（，y0，z0），则，
因此
又由题设B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线。
下面求点E的坐标。
因B1E⊥A1D，即
又
联立（1）、（2）,解得,,即，。
所以.
（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高.
下面求四边形ABDE的面积。
因为SABCD＝SABE+ SADE，，而SABE＝
SBDE＝ 故SABCD＝
所以
7．（辽宁卷）若是两条不同的直线，是三个不同的平面，
则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
解：由有关性质排除A、C、D，选B.
若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，
则此球的体积为 ．
解：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由
得R=，球体积为.
如图，在直三棱柱中，，
，分别为棱的中点，
为棱上的点，二面角为．
（I）证明：；
（II）求的长，并求点到平面的距离．
（I）证明：连结， 三棱柱是直三棱柱，
平面，为在平面内的射影．
中，，为中点，
， ．
，．………………………………4分
（II）解法一：过点作的平行线，
交的延长线于，连结．
分别为的中点，
．
又，．
．
平面，
为在平面内的射影．
．
为二面角的平面角，．
在中，，，
． ………………………………8分
作，垂足为，，，
平面，
平面平面，平面．
在中，，，
，即到平面的距离为．
， 平面，
到平面的距离与到平面的距离相等，为．……………………12分
解法二：过点作的平行线，交的延长线于，连接．
分别为的中点，．
又， ．
平面，是在平面内的射影，．
为二面角的平面角，．
在中，，，
． 8分
设到平面的距离为，
．
，，，
，
，即到平面的距离为． ………………………………12分
8．（江苏卷）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
① ②
③ ④
其中正确命题的序号是（ ）
A．①、③ B．②、④ C．①、④ D．②、③
解：②中，有可能是异面直线；③中，有可能在上，都不对，故选（C）。
正三棱锥的高为2，侧棱与底面ABC所成角为，
则点到侧面的距离是　　　　.
解：如图，∠PBO＝45°，PO＝OB＝2，OD＝1，BD＝，
PB＝2，PD＝，AD＝3，，
得AE＝.
如图，已知是棱长为3的正方体，
点在上，点在上，且，
（1）求证：四点共面；（4分）
（2）若点在上，，点在上，
，垂足为，求证：面；（4分）
（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。（4分）
本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分．
解法一：
如图，在上取点，使，连结，，则，
．因为，，
所以四边形，都为平行四边形．
从而，．
又因为，所以，
故四边形是平行四边形，由此推知，从而．
因此，四点共面．
（2）如图，，又，所以，
．
因为，所以为平行四边形，从而．
又平面，所以平面．
（3）如图，连结．
因为，，所以平面，得．
于是是所求的二面角的平面角，即．
因为，所以
，
．
解法二：
（1）建立如图所示的坐标系，则，，，
所以，故，，共面．
又它们有公共点，所以四点共面．
（2）如图，设，则，
而，由题设得，
得．
因为，，有，
又，，所以，，从而，．
故平面．
（3）设向量截面，于是，．
而，，得，，
解得，，所以．
又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．
于是．
故．
9．(广东卷) 若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，
则下列命题中为真命题的是
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则
解：对A，当 ∥ ，?时，只是平行于 中某一直线而非所有，因而
未必能平行于n；对B，只有在垂直与两面的交线才有结论⊥ 成立；
对C，直线和m可以是异面，立方体的棱就能体现这种关系。选D.
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图
(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，
侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、
高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
【命题意图】考查对三视图的理解和椎体体积的求法
解：(1)由题目知道该几何体是一个四棱锥
其体积V=SH=864=64
(2)该几何体的四个侧面是两对全等的三角形
其斜高分别为
故侧面面积S=58+64=40+24
10．(福建卷) 如图，在正方体中，
分别为，，，的中点，
则异面直线与所成的角等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，
且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于.60°，选B.
已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
Ａ．，，，
Ｂ．，，
Ｃ．，
Ｄ．，
解：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条
直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D.
如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等知识，考查空间想象能力、
逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，
作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，
．
所以二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，
平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立
空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
11．(安徽卷) 设均为直线,其中在平面
的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解：若“l⊥α”则“”，反之若“”，当m//n时，
无法判断“l⊥α”，所以“l⊥α”是“”的充分不必要条件，选A。
把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角, 折成直二面角后,
在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为
(A) (B) (C) (D)
解：球的半径为1，B与D两点恰好是两条垂直的半径的端点，
它们之间的球面距离为个大圆周长，即，选C。
如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是
边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，
DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.
（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）
【考点】本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．
【解析】 解法1（向量法）：以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则有
（Ⅰ）证明：
．
．
与平行，与平行，
于是与共面，与共面．
（Ⅱ）证明：，，
，．与是平面内的两条相交直线．
平面．又平面过．平面平面．
（Ⅲ）解：．
设为平面的法向量，，．于是，取，则，．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．．
二面角的大小为．
解法2（综合法）：
（Ⅰ）证明：平面，平面．
，，平面平面．
于是，．
设分别为的中点，连结，
有．
，于是．
由，得，
故，与共面．
过点作平面于点，
则，连结，
于是，，．
，．，．
所以点在上，故与共面．
（Ⅱ）证明：平面，，
又（正方形的对角线互相垂直），与是平面内的两条相交直线，
平面．又平面过，平面平面．
（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，
根据三垂线定理，有．
过点在平面内作于，连结，则平面，
于是，所以，是二面角的一个平面角．
根据勾股定理，有．
，有，，，．
，，
二面角的大小为．
12．(湖南卷) 如图1，在正四棱柱中，
分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与异面 D．与异面
解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，
三角形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，
所以；又AC⊥BD，所以，。
由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1 , 选D.
棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的
表面积是 ；设分别是该正方体的棱，的中点，则直线
被球截得的线段长为 ．
【答案】，
解:正方体对角线为球直径，所以，则球的表面积为；
由已知得d=，，所以EF=2r=。
如图，已知直二面角，，
，，，，
直线和平面所成的角为．
证明；
（II） 求二面角的大小．
解：（I）在平面内过点作于点，连结．
因为，，所以，
又因为，所以．
而，所以，，从而，又，
所以平面．因为平面，故．
（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．
过点作于点，连结，由三垂线定理知，．
故是二面角的平面角．
由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，
不妨设，则，．
在中，，所以，
于是在中，．
故二面角的大小为．
解法二：由（I）知，，，，故可以为原点，分别
以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，所以是和平面所成的角，则．
不妨设，则，．
在中，，
所以．
则相关各点的坐标分别是
，，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，由得
取，得．
易知是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知，．
所以．
故二面角的大小为．
13．（湖北卷）在棱长为1的正方体中，
分别为棱的中点，为棱上的一
点，且．则点到平面的
距离为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解： 因为A1B1∥EF，G在 A1B1上，在所以G到平面D1EF的距离
即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E=，
由三角形面积可得所求距离为，故选D.
如图，在三棱锥中，，，是的中点，
且，．
（I）求证：平面平面；
（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．
本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和
推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．
解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，
，又底面．．于是平面．
又平面，平面平面．
（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．
连接，于是就是直线与平面所成的角．
依题意，所以 ：在中，；
在中，，．，．
故当时，直线与平面所成的角为．
解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，，，．
从而，即．
同理，
即．又，平面．
又平面．
平面平面．
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
则由．
得
可取，又，
于是，
即，．
故交时，直线与平面所成的角为．
解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，于是，，
．从而，即．
同理，即．
又，平面．又平面，平面平面．
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
则由，得
可取，又，
于是，
即．
故交时，
即直线与平面所成角为．
14．（江西卷）四面体的外接球球心在上，且，，
在外接球面上两点间的球面距离是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：由球心在上，且，得球的半径R=1，
选C.
如图，正方体的棱长为1，过点A作平面的垂线，垂足为点．
有下列四个命题
Ａ．点是的垂心
Ｂ．垂直平面
Ｃ．二面角的正切值为
Ｄ．点到平面的距离为
其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
解： 因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B正确；
连接即为二面角的平面角,
C正确; 对于D, 连接面,故点是
的三等分点,故点到平面的距离为从而D错.
则应填A，B，C.
右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
（1）设点是的中点，证明：平面；
（2）求与平面所成的角的大小；
（3）求此几何体的体积．
解法一：
（1）证明：作交于，连．
则，
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有，
平面，且平面
则面．
（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，
作于，
因为平面平面，则面．
连结，则就是与面所成的角．
因为，，所以．
与面所成的角为．
（3）因为，所以．
．．
所求几何体的体积为．
解法二：
（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，，
易知，是平面的一个法向量．
由且平面知平面．
（2）设与面所成的角为．求得，．
设是平面的一个法向量，则由得，
取得：．又因为
所以，，则．
所以与面所成的角为．
（3）同解法一
15．（山东卷）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D。
如图，在直四棱柱中，已知
，．
（1）求证：；
（2）设是上一点，试确定的位置，
使平面，并说明理由．
（1）证明：在直四棱柱中，
连结， ，
四边形是正方形．
．
又，，
平面，
平面，
．
平面，
且，
平面，
又平面，
．
（2）连结，连结，
设，
，连结，
平面平面，
要使平面，须使，
又是的中点．是的中点．
又易知，．即是的中点．
综上所述，当是的中点时，可使平面．
16．(陕西卷) Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，
则球心到平面ABC的距离是
（A）5 （B）6 （C）10 （D）12
解：Rt△ABC的斜边长为10，且斜边是Rt△ABC所在截面的直径，
球心到平面ABC的距离是d=，选D.
已知P为平面a外一点，直线la,点Q∈l,记点P到平面a的距离为a,
点P到直线 l的距离为b，点P、Q之间的距离为c，则
（A） （B）c
(C) (D)
解：由图可知a最小，c最大，选A
如图,在底面为直角梯形的四棱锥
,BC=6.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角的大小.
解法一：（Ⅰ）平面，平面．．
又，．
，，
，即．
又．平面．
（Ⅱ）连接．
平面．，．
为二面角的平面角．
在中，，
，，二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则，，，，，
，，，
，．，，
又，面．
（Ⅱ）设平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，，
解得．
，．二面角的大小为．
17．（四川卷）如图，为正方体，下面结论错误的是（　　）
（A）平面
（B）
（C）平面
（D）异面直线与所成的角为60°
解：异面直线与所成的角为45°，选Ｄ．
设球的半径是1，、、是球面上三点，已知到、
两点的球面距离都是，且二面角的大小是，则从
点沿球面经、两点再回到点的最短距离是（　　）
（A） （B）
（C） （D）
解： ．本题考查球面距离．选C．
如图,在正三棱柱中，侧棱长为，
底面三角形的边长为1，则与侧面
所成的角是____________
解：，点到平面的距离为，
∴，．
如图，平面平面，，
，直线与直线所成的角为60°，
又，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求多面体的体积．
解：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、
棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用
向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．
（Ⅰ）∵平面平面，，平面．
∴平面
又∵平面 ∴
（Ⅱ）取的中点，则．连接、．
∵平面平面，平面平面，．
∴平面．
∵，∴，从而平面．
作于，连结，则由三垂线定理知．
从而为二面角的平面角．
∵直线与直线所成的角为60°，∴ ．
在中，由勾股定理得．
在中，．
在中，．
在中，
故二面角的大小为
（Ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系．
　　　设，有，，．
，
由直线与直线所成的角为60°，得
即，解得．
∴，
设平面的一个法向量为，则
由，取，得
取平面的一个法向量为
则
由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为．
（Ⅲ）多面体就是四棱锥
18．（浙江卷）若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则
(A)过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
(B)过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
(C)过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
(D)过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
解：设过点P的直线为，若与l、m都平行，
则l、m平行，与已知矛盾，故选项A错误。
由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与
公垂线平行的直线只有一条，故B正确。
对于选项C、D可参考右图的正方体，设AD为直线l，为直线m;
若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误。
若P在P2点，则由图中可知直线均与l、m异面，故选项D错误。选B.
已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于
点O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是_________．
【答案】：
解：若二面角α－AB－β为，过点P向平面作垂线,设垂足为H.则
就是OP与所成的角. 根据得：
它满足上述条件。若二面角为不是直角，则不符合上述条件。
在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，
且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
(I)求证：CM ⊥EM：
(Ⅱ)求DE与平面EMC所成角的正切值．
解：(I)证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB．
又EA ⊥平面ABC， ∴ EA ⊥CM，且
∴ ，所以CM⊥EM．
(Ⅱ) 连接MD,设AE=a,则BD=BC=AC=2a,在直角梯形EABD中，
AB=，M是AB中点，
所以DE=3a,，MD=,因此.因为CM⊥平面EMD，
所以CM⊥DM，因此DM⊥平面EMC
故是直线DE与平面EMC所成角。
在中，MD=，，∴
19．（宁夏、海南卷）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），
可得这个几何体的体积是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：如图，
选B.
已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，
球心在上，底面，，
则球的体积与三棱锥体积之比是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：如图，
选D
如图，为空间四点．在中，．
等边三角形以为轴运动．
（Ⅰ）当平面平面时，求；
（Ⅱ）当转动时，是否总有？
证明你的结论．
解：（Ⅰ）取的中点，连结，
因为是等边三角形，所以．
当平面平面时，
因为平面平面，
所以平面，
可知
由已知可得，
在中，．
（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．
证明：
（ⅰ）当在平面内时，因为，
所以都在线段的垂直平分线上，即．
（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．
又因，所以．
又为相交直线，所以平面，
由平面，得．
综上所述，总有．
D
B
C
A
S
E
D
B
C
A
S
A
E
B
C
F
S
D
A
E
B
C
F
S
D
H
G
M
A
A
E
B
C
F
S
D
G
M
y
z
x
A
A
B
D
C
A
B
C
D
O
F
G
A
B
C
D
O
z
x
y
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
F
图1
A
B
C
Q
P
A
B
C
Q
P
O
H
A
B
C
Q
P
O
x
y
z
Ｖ
A
Ｃ
Ｄ
Ｂ
A
D
B
C
V
x
y
z
A
D
B
C
V
x
y
①正方形
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
M
E
A
E
D
P
C
B
A
E
D
P
C
B
y
z
x
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图2007年高考“三角函数”题
1．(全国Ⅰ) 是第四象限角，，则
A． B． C． D．
解：是第四象限角，，则，选B。
函数的一个单调增区间是
A． B． C． D．
解：函数=，它的一个单调增区间是，选D。
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求b. (10分)
解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）根据余弦定理，得．
所以，．
2．(全国II) （ ）
A． B． C． D．
解： ，选C。
函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
解：函数的一个单调增区间是，选C。
3．（北京卷）已知，那么角是（　　）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
解：∵ ，∴ 当cosθ<0，tanθ>0时，θ∈第三象限；
当cosθ>0，tanθ<0时，θ∈第四象限，选C。
函数的最小正周期是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：函数=，它的最小正周期是π，选B。
2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家
赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小
正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，
大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，
那么的值等于 ．
解：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
∴ 每一个直角三角形的面积是6，
设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，则，∴ 两条直角边的长
分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为，cosθ=，cos2θ=2cos2θ－1=。
4．（天津卷） 设函数，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
解： 由函数 的增区间可知：
上是增函数，
当时，其单调增区间为，故选A.
【解析】由函数图象的变换可知:的图象是将的图象轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为,则函数在区间即上为增函数,当时有: ,
故在区间上是增函数.
在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，
考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在中，，
由正弦定理，．
所以．
（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
．
．
5．(上海卷) 函数的最小正周期 ．
解：.
在中，分别是三个内角的对边．若，
，求的面积．
解：由题意，得为锐角，，
，
由正弦定理得 ， ．
6．（重庆卷）下列各式中，值为的是
（A） （B）
（C） （D）
解：选 B.
已知函数
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）若角在第一象限且
解：（Ⅰ）由
故f(x)的定义域为
（Ⅱ）由已知条件得
从而
＝
＝
＝
7．（辽宁卷）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，
求函数的单调增区间．
本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，
考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分．
（I）解：
．………………………5分
由，得，
可知函数的值域为．………………………………………………7分
（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，
得，即得．………………………………………………………9分
于是有，再由，
解得 ．
所以的单调增区间为………………12分
8．（江苏卷）下列函数中，周期为的是（ ）
A． B． C． D．
解：由T＝，得正确答案为（D）。
函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
解：，当－＜＜时，函数单调递增，
即－＜＜，令＝0，且，可知选（D）。
若，.则　　　.
解： ，，
解得：，，故＝。
某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，
当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离
表示成的函数，则　　　　，其中。
解： t秒后转过的弧度为，过O作AB作高，三角形OAB为等腰三角形，
所以d＝2×5sin＝.
9．(广东卷) 已知简谐运动的图象经过点(0，1)，
则该简谐运动的最小正周期和初相分别为
A． B． C． D．
解：T==6，图像过点(0，1)，代入得，2sin=1即sin=，而<，
故=，选A。
10．(福建卷) 等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin215°+cos215°=1，选D.
函数的图象（　　）
Ａ．关于点对称 Ｂ．关于直线对称
Ｃ．关于点对称 Ｄ．关于直线对称
解：由2x+=kπ得x=，对称点为（，0）（），
当k=1时为（，0），选A.
在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若边的长为，求边的长．
解：（Ⅰ），
．
又，．
（Ⅱ）由且，
得．，.
11．(安徽卷) 函数的图象为C, 如下结论中正确的是
(写出所有正确结论的编号).
①图象C关于直线对称;
②图象C关于点对称;
③函数)内是增函数;
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
解：①图象关于直线对称，当k=1时，图象C关于对称；①正确；②图象C关于点对称，当k=1时，恰好为关于点对称;②正确； ③x∈时，∈(－，)，∴ 函数在区间内是增函数；③正确；④由的图象向右平移个单位长度可以得，得不到图象C. ④不正确。所以应填①②③。
12．(湖南卷) 已知函数．求：
（I）函数的最小正周期；
（II）函数的单调增区间．
解：
．
（I）函数的最小正周期是；
（II）当，即（）时，函数 是增函数，故函数的单调递增区间是（）．
13．（湖北卷）的值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：tan690°=tan（720°-30°）=-tan30°=-，故选A.
已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、
三角函数的图象和性质解题的能力．
解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，，即的取值范围是．
14．（江西卷）函数的最小正周期为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：选B.
若，，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解： 所以选D.
如图，函数的图象与轴相交于点，
且该函数的最小正周期为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点
是的中点，当，时，求的值．
解：（1）将，代入函数中得，
因为，所以．
由已知，且，得．
（2）因为点，是的中点，．
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，且，所以，
，从而得或，
即或．
15．（山东卷）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
解： 本题看似简单，必须注意到余弦函数是偶函数。注意题中给出的函数不同名，
而，故应选A。
16．(陕西卷) 已知则的值为
（A） （B） （C） （D）
解：===，选A.
设函数,其中向量.
（Ⅰ）求实数的值;
（Ⅱ）求函数的最小值.
解：（Ⅰ），，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
当时，的最小值为．
17．（四川卷）下面有5个命题：
①函数的最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；
④把函数的图象向右平移得到的图象；
⑤角为第一象限角的充要条件是
其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）
解：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．
已知，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求．
解：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、
已知三角函数值求角以及计算能力．
（Ⅰ）由，，得．
　　　∴．
于是．
（Ⅱ）由，得．
　　　又∵，
∴．
由，得
　∴．
18．（浙江卷） 已知，且，则tan＝
(A)－ (B) (C)　－ (D)
解： 由，得，又，∴
∴tan＝－,选 C.
若sinθ＋cosθ＝，则sin 2θ的值是________．
解： 本题只需将已知式两边平方即可。∵ ∴两边平方得：
，即，∴
19．（宁夏、海南卷）函数在区间的简图是（　　）
解：排除Ｂ、Ｄ，
排除Ｃ。也可由五点法作图验证。选 A.
若，则的值为（　　）
Ａ． Ｂ． 　Ｃ． Ｄ．
解：
　　　　选 C.
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．2007年高考“数列”题
1．(全国Ⅰ) 等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，
则的公比为______。
解：等比数列的公比，已知，，成等差数列，，
，即，解得的公比。
设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，
且，，. (12分)
（Ⅰ）求、的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和。
解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有
且 解得，．
所以，．
（Ⅱ）．
，①
，②
②－①得，
．
2．(全国II) 已知数列的通项，则其前项和 ．
解：已知数列的通项，，则其前项和
=．
设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
解：由题设知，
则 ②
由②得，，，
因为，解得或．
当时，代入①得，通项公式；
当时，代入①得，通项公式．
3．（北京卷）若数列的前项和，
则此数列的通项公式为 ．
解：若数列的前项和，数列为等差数列，
数列的通项公式为=．
数列中，, （是常数，），
且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
解：（I），，，
因为，，成等比数列，
所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，
，
，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，
所以．
4．（天津卷）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，
则（　　）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
解：是与的等比中项可得(*)，由为等差数列，及代入(*)式可得.故选B.
【解析】由等差数列且，得
，又∵是与的等比中项，则有
即：得，解之得（舍去）．
在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及
前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设，得
，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为
．
所以数列的前项和．
（Ⅲ）证明：对任意的，
．
所以不等式，对任意皆成立．
5．(上海卷) 数列中， 则数列的极限值（　　）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于或 Ｄ．不存在
解：，选B。
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到
670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%
（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际
安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为
，，，． 则2006年全球太阳电池的年生产量为
(兆瓦)．
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．
解得．
因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，
即（），我们称其为“对称数列”．
例如，数列与数列都是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．
依次写出的每一项；
（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，
公比为的等比数列，求各项的和；
（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，
公差为的等差数列．求前项的和．
解：（1）设数列的公差为，则，解得 ，
数列为．
（2）
67108861．
（3）．
由题意得 是首项为，公差为的等差数列．
当时，．
当时，
综上所述，
6．（重庆卷）1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，，则公比q为
（A）2 （B）3 （C）4 （D）8
解：由可得选A。
设的等比中项，则a+3b的最大值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解： 的等比中项，则令
则：
选B。
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足
S1＞1，且
（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）设数列｛bn｝满足并记Tn为｛bn｝的前n项和，
求证：
（Ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，
因此a1＝2。
又由an+1＝Sn+1- Sn＝，
得an+1- an-3＝0或an+1＝-an
因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。
因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，
故｛an｝的通项为an＝3n-2。
（Ⅱ）证法一：由可解得
；
从而。
因此。
令,则
。
因，故
.
特别的。从而，
即。
证法二：同证法一求得bn及Tn。
由二项式定理知当c＞0时，不等式
成立。
由此不等式有
＝。
证法三：同证法一求得bn及Tn。
令An＝，Bn＝，Cn＝。
因，因此。
从而
＞。
7．（辽宁卷）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
解：由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，
所以S=45，选B.
已知数列，满足，，且（）
（I）令，求数列的通项公式；
（II）求数列的通项公式及前项和公式．
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ｉ）解：由题设得，即
（）
易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为
． 4分
（II）解：由题设得，令，则
．
易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为
． 8分
由解得
， 10分
求和得． 12分
8．（江苏卷）（本小题满分16分）已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，
（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）
（2）若是某个正整数，求证：是整数，且数列中每一项
都是数列中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，
写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
解：设的公差为，由，知，（）
（1）因为，所以，
，
所以
（2），由，
所以解得，或，
但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，
设数列中任意一项为，
设数列中的某一项=
现在只要证明存在正整数，使得，即在方程
中有正整数解即可，，
所以，若，则，那么，
当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，
因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为
与数列的第项相等，从而结论成立。
（3）设数列中有三项成等差数列，则有
2设，所以2，
令，则，因为，
所以，所以，即存在使得
中有三项成等差数列。
9．(广东卷) 已知数列{}的前项和，则其通项 ；
若它的第项满足，则 ．
解：a1=S1= -8，而当n≥2时，由an=Sn-Sn-1求得an=2n-10，此式对于n=1也成立。
要满足5已知函数，、是方程的两个根()，
是的导数．设，，.
(1)求、的值；
(2)已知对任意的正整数有,记,.
求数列{}的前项和．
解：(1)解方程x2+x-1=0得x=
由>β知?=,β=
(2) f’ (x)=2x+1
∴ = ─ =
= = =
=()2
由题意知an>,那么有an>β，于是对上式两边取对数得
ln=ln()2=2 ln()
即数列{bn}为首项为b1= ln()=2ln( )，公比为2的等比数列。
故其前n项和
Sn=2ln( ) =2ln( )(2n -1)
10．(福建卷) 等比数列中，，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：a2·a6= a42=16，选C.
数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）求数列的前项和．
本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，
考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．满分12分．
解：（Ⅰ），
，
．
又，
数列是首项为，公比为的等比数列，．
当时，，
（Ⅱ），
当时，；
当时，，…………①
，………………………②
得：
．
．
又也满足上式，
．
11．(安徽卷) 等差数列的前项和为若
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
解：=－2，，∴ ，选C。
某国采用养老储备金制度. 公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……，
以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
　（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；
　（Ⅱ）求证：Tn=An+Bn，其中是一个等比数列，是一个等差数列.
解： （Ⅰ）．
（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得
， ①
在①式两端同乘，得
②
②①，得
．
即．
如果记，，则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列；
是以为首项，为公差的等差数列．
12．(湖南卷) 在等比数列（）中，若，，
则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
解：由，所以.选 B。
设是数列（）的前项和，，且，，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的
所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
解：（I）当时，由已知得．
因为，所以． …………………………①
于是． …………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，
而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，，．
由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，
得，此时，由，得，，
从而是数列中的第项．
（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列
中的第项即可）
13．（湖北卷）已知数列和满足：，，，（），
且是以为公比的等比数列．
（I）证明：；
（II）若，证明数列是等比数列；
（III）求和：．
本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，
考查分析问题能力和推理能力．
解法1：（I）证：由，有， ．
（II）证：，
，，
．
是首项为5，以为公比的等比数列．
（III）由（II）得，，于是
．
当时，
．
当时，
．
故
解法2：（I）同解法1（I）．
（II）证：
，又，
是首项为5，以为公比的等比数列．
（III）由（II）的类似方法得，
，
，．
．
下同解法1．
14．（江西卷）已知等差数列的前项和为，若，则__．
解：由题意得
设为等比数列，，．
（1）求最小的自然数，使；
（2）求和：．
解：（1）由已知条件得，
因为，所以，使成立的最小自然数．
（2）因为，…………①
，…………②
得：
。 所以．
15．（山东卷）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，
且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
解：（1）由已知得 解得．
设数列的公比为，由，可得．
又，可知，
即，
解得．
由题意得．
．
故数列的通项为．
（2）由于
由（1）得
又
是等差数列．
故．
16．(陕西卷) 等差数列{an}的前n项和为Sn，若
（A）12 （B）18 （C）24 （D）42
解：S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，即2，8，S6-10成等差数列，S6=24，选C.
给出如下三个命题：
①设a,bR,且>1,则＜1;
②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;
③若 , 则f（|x|）是偶函数.
其中正确命题的序号是
（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）①②③
解：①，所以＜1成立；②ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=-1，b=c=1；③由偶函数定义可得，选C。
已知实数列等比数列,其中成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)数列的前项和记为证明: ＜128…).
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，
由，得，从而，，．
因为成等差数列，所以，
即，．
所以．故．
（Ⅱ）．
17．（四川卷）等差数列中，，，其前项和，则（　　）
（A）9　　　　（B）10　　　　（C）11　　　　（D）12
解：选Ｂ．
已知函数，设曲线在点
处的切线与轴的交点为，其中为正实数．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅲ）若，，是数列的前项和，证明．
解：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、
计算及解决问题的能力．
（Ⅰ）由题可得．
所以曲线在点处的切线方程是：．
即．
令，得．
即．
显然，∴．
（Ⅱ）由，知，同理．
　　　故．
从而，即．所以，数列成等比数列．
故．
即．
从而 所以
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴
∴
当时，显然．
当时，
∴
．
　　　综上，．
18．（浙江卷）已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程
的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．
(I)求及 (n≥4)(不必证明)；
(Ⅱ)求数列{}的前2n项和S2n．
解：(I)易求得方程的两个根为．
当k＝1时，所以；
当k＝2时，，所以；
当k＝3时，，所以；
当k＝4时，，所以；
因为n≥4时，，所以
（Ⅱ）
=
19．（宁夏、海南卷）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
解：曲线的顶点是，则：由
成等比数列知，选Ｂ．
已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　．
解：2007年高考“算法与统计”题
1．(全国Ⅰ)
2．(全国II)
3．（北京卷）
4．（天津卷）
5．(上海卷) 某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天．四道工序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；
完成后，可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是　　．
解： 因为完成后，才可以开工，C完成后，才可以开工，完成A、C、D
需用时间依次为天，且可以同时开工，该工程总时数为9天，
。
6．（重庆卷）
7．（辽宁卷）
8．（江苏卷）
9．(广东卷) 图l是某县参加2007年
高考的学生身高条形统计图，从左
到右的各条形表示的学生人数依
次记为、、…、(如
表示身高(单位：)在
[150，155)内的学生人数)．
图2是统计图l中身高在一定
范围内学生人数的一个算法
流程图．现要统计身高
在160～180(含160，
不含180)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A． B． C． D．
解：现要统计的是身高在160-180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，
故流程图中空白框应是i<8，当i<8时就会返回进行叠加运算，当i8将数据直接输出，
不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据A4、A5、A6、A7叠加起来送到S中输出，故选B。
图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给
A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将
A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、
61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述
调整，最少的调动件次(件配件从一个维修点调整到相邻维
修点的调动件次为)为
A．18 B．17 C．16 D．15
解：若按原定的分配，A点余10件，B点余5件，C点却4件，D点却11件。要使调动
件次最少，须考虑从最近的点调到最多的缺件到所缺处，而D却的最多，与之相邻
的点C也是剩余最多的，应优先考虑由C点的余货全数补给D点，再考虑由B点的
填补临近点C的不足再去填补经C补给后D点的不足，这就能使得调动件次最少。
故选C 。
下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的
生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据。
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
解：(1)如下图
(2)=32.5+43+54+64.5=66.5
==4.5
==3. 5
=+++=86
故线性回归方程为y=0.7x+0.35
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35
故耗能减少了90-70.35=19.65(吨).
10．(福建卷)
11．(安徽卷)
12．(湖南卷)
13．（湖北卷）
14．（江西卷）
15．（山东卷）阅读右边的程序框图，若输入的是100，
则输出的变量和的值依次是（ ）
A．2550，2500
B．2550，2550
C．2500，2500
D．2500，2550
解：依据框图可得，
。
16．(陕西卷)
17．（四川卷）
18．（浙江卷）
19．（宁夏、海南卷） 如果执行右面的程序框图，
那么输出的（　　）
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
解：由程序知，
故选C 。
开始
输入
结束
输出S，T
否
是
开始
是
否
输出
结束2007年高考“概率与统计”题
1．(全国Ⅰ) 从某自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，
测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的
袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________。
解：袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为P==0.25。
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买。根据以往资料统计，
顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，
商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元。 (12分)
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率。
解：（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，
则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
，
．
（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则．，．
．
2．(全国II)一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量
为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．
解：一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为
5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：
“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：
“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．
解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则互斥，且，故
于是．
解得（舍去）．
（2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
则．
若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，
故．
3．（北京卷）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率；
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；
解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为：．
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为：
．
4．（天津卷）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组
频数 1 2 3 10 3 1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％．
解：由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为:
故约占苹果总数的.【分析】70%
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．
现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，
考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出
的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且
，，
故取出的4个球均为红球的概率是
．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的
2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内
取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．
由于事件互斥，且
，．
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
．
5．(上海卷) 在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个
数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．
解： 剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，
所以剩下两个数字都是奇数的概率是。
6．（重庆卷）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，
则所取3张中至少有2张价格相同的概率为
（A） （B） （C） （D）
解：可从对立面考虑，即三张价格均不相同， 选C.
设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立。
（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率。
解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，
且P（A）＝，从而甲命中但乙未命中目标的概率为
（Ⅱ）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B1表示乙有两次射击中恰好命中l次。
依题意有
由独立性知两人命中次数相等的概率为
7．（辽宁卷）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球
是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1
个球的号码是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
解： 从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球
的号码是偶数的取法有种取法，概率为，选D
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命
（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
（I）将各组的频率填入表中；
（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，
试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，
考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力．满分12分．
（I）解：
分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
4分
（II）解：由（I）可得，
所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6．……………………………8分
（III）解：由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率，
根据在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式可得
．
所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648． 12分
8．（江苏卷）某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第次预报准确的概率；（4分）
本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生
的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
解：（1）次预报中恰有次准确的概率为
．
（2）次预报中至少有次准确的概率为
．
（3）“次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确”的概率为
．
9．(广东卷) 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除
标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的
数字之和为3或6的概率是
A． B． C． D．
解：从五个球中任取两个共有=10种，而1+2=3，2+4=6，1+5=6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为,选A.
10．(福建卷) 甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，
且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，
以及推理与运算能力．满分12分．
解：记“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件，依题意得，，且，（）相互独立．
（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立，
．
答：甲第三次试跳才成功的概率为．
（Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件．
解法一：，且，，彼此互斥，
．
解法二：．
答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为．
（Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功次”为事件，
“乙在两次试跳中成功次”为事件，
事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为，
且，为互斥事件，
所求的概率为
答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为．
11．(安徽卷) 在正方体上任意选择两条棱, 则这两条棱相互平行的概率为 .
解: 在正方体上任意选择两条棱,有种可能，
这两条棱相互平行的选法有种，所以概率。
在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎
混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开
一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.
(Ⅰ)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；
　（Ⅱ）求笼内至少剩下5只果蝇的概率.
解: 以表示恰剩下只果蝇的事件．
以表示至少剩下只果蝇的事件．
可以有多种不同的计算的方法．
方法1（组合模式）：当事件发生时，第只飞出的蝇子是苍蝇，且在前只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以．
方法2（排列模式）：当事件发生时，共飞走只蝇子，其中第只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前只飞出的蝇子中有只是果蝇，有种不同的选择可能，还需考虑这只蝇子的排列顺序．所以．由上式立得；
．
12．(湖南卷) 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图
（如图）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水
的最低水位是（ ）
A．48米 B．49米 C．50米 D．51米
解: 由频率分布直方图知水位为50米的频率/组距为1%，
即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米。选C.
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%. 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择
相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．
解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机
培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．
（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是．
所以该人参加过培训的概率是．
（II）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是
．
3人都参加过培训的概率是．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．
解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是
．
3人都没有参加过培训的概率是．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．
13．（湖北卷）为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重
情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，
估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ）
A．300 B．360 C．420 D．450
解：70.5公斤以上的人数的频率为（0.04+0.035+0.018）×2=0.166，70.5公斤以上的人数
为2000×0.166=332，选B（图形数据不太准确）选B
将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：将5本不同的书全发给4名同学共有45种发法，其中每名同学至少有一本书的发法有，故每名同学至少有一本书的概率是P=，选A.
某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，
恰好投进3个球的概率为 ．（用数值作答）
解：由题意知所求概率
14．（江西卷）一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回
地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：从中有放回地取2次，所取号码共有8*8=64种，其中和不小于15的有3种，
分别是（7，8），（8，7），（8，8），故所求概率为选D.
栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗
的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，．
（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．
解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活
为事件，，，，，．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
；
（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，
则，．
恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
．
解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为
．
15．（山东卷）某班50名学生在一次百米测试中，成绩
全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式
分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；
第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒……第六组，
成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述
分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒
的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于
15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方
图中可以分析出和分别为（ ）
A． B．
C． D．
解：从频率分布直方图上可以看出，.
选A.
设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定
平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件
，若事件的概率最大，则的所有可能值为（ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
解：事件的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可。
当n=2时，落在直线上的点为（1，1）；
当n=3时，落在直线上的点为（1,2）、（2,1）；
当n=4时，落在直线上的点为（1,3）、（2,2）；
当n=5时，落在直线上的点为（2,3）；
显然当n=3,4时，事件的概率最大为。选D.
16．(陕西卷) 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
解：共有食品100种，抽取容量为20的样本，各抽取，
故抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为2+4=6，选C.
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则
即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. （注：本小题结果可用分数表示）
解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，，该选手进入第四轮才被淘汰的
概率．
（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率
．
17．（四川卷）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（　　）
（A）150.2克　　（B）149.8克　　（C）149.4克　　（D）147.8克
解：．选Ｂ．
厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4种进行检验，
求至少有1件是合格产品的概率．
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件产品都合格时才接收这批产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这批产品的概率。
解：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，
考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．
（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件．
用对立事件来算，有
（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为件” 为事件．
∴商家拒收这批产品的概率
．
故商家拒收这批产品的概率为．
18．（浙江卷）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．
根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是
(A) 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648
解：甲获胜有两种情况，一是甲以2：0获胜，此时二是甲以2：1获胜，
此时，故甲获胜的概率,选D.
某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，
采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．
则样本中高三学生的人数为___________．
解：分层抽样即是按比例抽样，抽样比例为10：1,故500名高三学生应抽取的人数为50人。
19．（宁夏、海南卷）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，
三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：
选B.
设有关于的一元二次方程．
（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，
求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，
求上述方程有实根的概率．
解：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：
．
其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．
构成事件的区域为．
所以所求的概率为．
0.5%
1%
2%
水位（米）
30 31 32 33
48 49 50 51
图2
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5
体重（kg）
0
13
14
15
16
17
18
19
秒
频率/组距
0.02
0.04
0.06
0.18
0.34
0.362007年高考“排列、组合、二项式”题
1．(全国Ⅰ) 甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各
选修3门，则不同的选修方案共有
A．36种 B．48种 C．96种 D．192种
解：甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，
则不同的选修方案共有种，选C。
2．(全国II) 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，
则不同的报名方法共有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
解： 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，
则不同的报名方法共有25=32种，选D。
的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
解： 的展开式中常数项为．
3．（北京卷）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，
其中4个数字互不相同的牌照号码共有（　　）
Ａ．个 Ｂ．个
Ｃ．个 Ｄ．个
解：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，
其中4个数字互不相同的牌照号码共有个，选A。
4．（天津卷）的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．
解:根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是：
,令得,故有:
如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，
每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色
不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的
涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．
解:分为三类:第一类是只用两种颜色则为: 种,第二类是用三种颜色
则为:种, 第三类是用四种颜色则为:种,故共计为630种.
5．(上海卷)
6．（重庆卷）（2x-1）6展开式中x2的系数为
（A）15 （B）60 （C）120 （D）240
解: 选B
要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，
要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 。
（以数字作答）
解: 先排数学课有种排法，再排最后一节有种排法，剩余的有种排法，
共有种排法。
7．（辽宁卷）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．48
解：分两步：（1）先排，=2，有2种；=3有2种；=4有1种，共有5种；
（2）再排，共有种，故不同的排列方法种数为5×6=30，选B.
展开式中含的整数次幂的项的系数之和为　　　　（用数字作答）．
解： ，当r=0，4，8时为含的整数次幂的项，
所以展开式中含的整数次幂的项的系数之和为，填72
8．（江苏卷）若对于任意实数，有，
则的值为（ ）
A． B． C． D．
解:将等式右边展开，含、的项为，
所以有，解得：＝6，故选Ｂ.
某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，
学校规定，每位同学选修4门，共有　　　　种不同选修方案。（用数值作答）
解: ＋＝75
9．(广东卷)
10．(福建卷) 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，
从“”到“”共个号码．公司规定：
凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码
中“优惠卡”的个数为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中
“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C.
的展开式中常数项是_____．（用数字作答）
解： 法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x2，4个，故常数项为
法二：展开后可得常数项为15.
11．(安徽卷) 已知,
则( 的值等于 .
解: 则(=－256
12．(湖南卷) 在（）的二项展开式中，若只有的系数最大，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
解:只有的系数最大，是展开式的第6项，第6项为中间项，
展开式共有11项，故n=10. 选C.
13．（湖北卷）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（　　）
Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3
解：由展开式通项有由题意得
，故当时，正整数的最小值为5，
故选C.
14．（江西卷）设，
则的值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解： 令=1，右边为；左边把代入
，选A.
15．（山东卷）
16．(陕西卷) 的展开式中项的系数是 .（用数字作答）
解：项为，填40
安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
解： 分2类：（1）每校最多1人：；（2）每校至多2人，把3人分两组，
再分到学校：，共有60种
17．（四川卷）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，
并且比20000大的五位偶数共有（　　）
（A）48个 （B）36个 （C）24个 （D）18个
解：个位是2的有个，个位是4的有个，所以共有36个．选Ｂ．
的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是 ．
解：
18．（浙江卷）展开式中的常数项是
(A)　－36 (B)36 (C)　－84 (D)　84
解：设常数项为第项，则
令，则，故常数项是第四项且；选C.
某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志
(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是__________(用数字作答)．
解：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本共有
②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有
故210+56=266
19．（宁夏、海南卷）2007年高考“直线与圆”题
1．(全国Ⅰ)
2．(全国II) 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，
求的取值范围．
解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得．
设，由成等比数列，得
，
即 ．
由于点在圆内，故 由此得．
所以的取值范围为．
3．（北京卷）如图，矩形的两条对角线相交于点，
边所在直线的方程为, 点
在边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，
求动圆的圆心的轨迹方程．
解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，
所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．．
（II）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以，
即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距．
所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为．
4．（天津卷） “”是“直线平行于直线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解；当则直线平行于直线,则是充分条件; 直线
平行于直线时有: ,则是必要条件,故是充分必要条件. 故选C.
【分析】直线平行于直线.直线平行于
直线 故选C.
已知两圆和相交于两点，
则直线的方程是　　　　　．
解；--------①
-------② 由①-②得到:.
5．(上海卷) 直线的倾斜角 ．
解：.
如图，是直线上的两点，且．两个半径
相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公
共点，则圆弧，与线段围成图形面积的
取值范围是 ．
解： 如图，当外切于点C时，最大，
此时，两圆半径为1，等于矩形ABO2O1的面积
减去两扇形面积，
，
随着圆半径的变化，C可以向直线靠近，
当C到直线的距离。
圆关于直线对称的圆的方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：圆，圆心（1，0），半径，关于直线
对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线
上，C中圆的圆心为（－3，2），验证适合，
故选C。
6．（重庆卷）若直线与圆相交于P、Q两点，
且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为
（A） （B）
（C） （D）
解：如图，直线过定点（0，1），
故选A.
7．（辽宁卷）
8．（江苏卷）
9．(广东卷) (几何证明选讲选做题)如图4所示，圆的直径AB=6，
为圆周上一点，．过作圆的切线，过A作
的垂线AD，垂足为D， 则∠DAC= ．
解: 由RtACB的各边的长度关系知∠CAB= 30, 而弦切角
∠BC =∠CAB= 30。那么在RtADC中∠ACD=60，故∠DAC=30。
10．(福建卷)
11．(安徽卷) 若圆的圆心到直线的距离为,
则a的值为
(A)-2或2 (B) (C)2或0 (D)-2或0
解: 若圆的圆心(1，2)到直线的距离为，
∴ ，∴ a=2或0，选C。
12．(湖南卷) 圆心为且与直线相切的圆的方程是 ．
解:半径R=，所以圆的方程为
13．（湖北卷）由直线上的一点向圆引切线，
则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
解：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到
直线的距离为d=，圆的半径为1，故切线长的最小值
为，选C.
14．（江西卷）
15．（山东卷）函数的图象恒过定点，若点在直线
上，则的最小值为 ．
解：函数的图象恒过定点，
，，，
（方法一）：， .
（方法二）：
与直线和曲线都相切的
半径最小的圆的标准方程是 ．
解：曲线化为，其圆心到直线
的距离为所求的
最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，
圆心坐标为标准方程为。
16．(陕西卷) 如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，
与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，
则⊿的边长是（　　）
（A）2 （B）
（C） （D）
解：过点Ｃ作的垂线，以、为轴、轴建立平面直角坐标系．设、、，由知，检验A：，无解；检验B：，无解；检验D：，正确．选D．
本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，
在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．
17．（四川卷）已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则运点的轨迹方程是______________.
解：：圆心，半径；：圆心，半径．
设，由切线长相等得:，．
18．（浙江卷）直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是
(A)x＋2y－1＝0 (B)2 x＋y－1＝0
（C）2 x＋y－3＝0 (D) x＋2y－3＝0
解：解法一(利用相关点法):
设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x,y)
在直线上,化简得.
故选答案D.
解法二:根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数
得答案A或D,
再根据两直线交点在直线选答案D.
要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个
喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是
(A)　6 (B)　5 (C)　4 (D)　3
解：因为龙头的喷洒面积为36π，
正方形面积为256,故至少三个龙头。
由于，故三个龙头肯定不能
保证整个草坪能喷洒到水。当用四个
龙头时，可将正方形均分四个小正方形，
同时将四个龙头分别放在它们的中心，
由于，故可以保证
整个草坪能喷洒到水。
选C.
19．（宁夏、海南卷）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，
过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；
如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，过
且斜率为的直线方程为．
代入圆方程得，
整理得．　　　①
直线与圆交于两个不同的点等价于
，
解得，即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，
　　　　②
又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数．
(22)．Ａ 选修4－1：几何证明选讲
如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与
交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
（Ⅰ）证明：连结．
因为与相切于点，所以．
因为是的弦的中点，所以．
于是．
由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，
所以四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知．
所以．2007年高考“圆锥曲线”题
1．(全国Ⅰ) 已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则双曲线方程为
A． B． C． D．
解：已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则c=4，a=2，，
双曲线方程为，选A。
抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在
x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，则△AKF的面积是
A．4 B． C． D．8
解：抛物线的焦点F(1，0)，准线为l：，经过F且斜率为的
直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3，2)，，
垂足为K(－1，2)，∴ 正△AKF的面积是4，选C。
已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，
过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P. (12分)
（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。
（Ⅰ）证明: 椭圆的半焦距，
由
知点在以线段为直径的圆上，
故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，
代入椭圆方程，并化简得．
设，，则：，，
；
因为与相交于点，且的斜率为．
所以，．
四边形的面积
．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
2．(全国II) 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
解：椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ ，椭圆的离心率，选D。
设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，
且，则（ ）
A． B． C． D．
解：设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，
且，则=，选B。
3．（北京卷）椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别
为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，
若，，，则，该椭圆离心率e≥，
取值范围是，选D。
已知函数与的图象相交于，，，分别
是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．
（I）求的取值范围；
（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，
并求其定义域和值域；
（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．
解：（I）由方程消得． ①
依题意，该方程有两个正实根，
故 解得．
（II）由，求得切线的方程为，
由，并令，得
，是方程①的两实根，且，故，，
是关于的减函数，所以的取值范围是．
是关于的增函数，定义域为，所以值域为，
（III）当时，由（II）可知．
类似可得．．
由①可知．
从而．
当时，有相同的结果．
所以．
4．（天津卷）设双曲线的离心率为，且它的一条
准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：∵抛物线的准线为,故有------①
又∵双曲线的离心率为,故有:-------②,
①②得到,进而求出,
∴双曲线的方程为故选D.
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点
处的切线交椭圆于，两点，则．
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基
础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中
，由于点在椭圆上，有，
，解得，从而得到，
直线的方程为，整理得
．
由题设，原点到直线的距离为，即
，
将代入原式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为，
过点作，垂足为，易知，
故
由椭圆定义得，又，所以 ，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组
的解．当时，由①式得
代入②式，得，即
，
于是，
．
若，则．
所以，．由，得．
在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出，从而．
综上所述，使得所述命题成立．
5．(上海卷) 以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点
的抛物线方程是 ．
解：双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0），
则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)。
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线
称作“果圆”，其中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”
与，轴的交点，是线段的中点．
若是边长为1的等边三角形，
求该“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当取得
最小值时，在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
解：（1） ，
，于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则
，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．
．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；
若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
6．（重庆卷）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线
有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
（A） （B） （C） （D）
解：设椭圆方程为消x得：
即：
又 联立解得
由焦点在x轴上，故长轴长为选C。
如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，
且与抛物线交于A、B两点。
题（21）图
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，
证明|FP|–|FP|cos2为定值，并求此定值。
（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而
因此焦点的坐标为（2，0）.
又准线方程的一般式为。
从而所求准线l的方程为。
（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，
则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为xxxz，则
|FA|＝|AC|＝解得，
类似地有，解得。
记直线m与AB的交点为E，则
所以。
故。
解法二：设，，直线AB的斜率为，
则直线方程为。
将此式代入,得，故。
记直线m与AB的交点为，则
， ，
故直线m的方程为.
令y=0,得P的横坐标.故。
从而为定值。
7．（辽宁卷）双曲线的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解：因为a=4，b=3，所以c=5，所以焦点坐标为，，选C.
设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，
若点满足，则　　　　．
解：椭圆左准线为，左焦点为（-3，0），P（，
由已知M为PF中点，M（，所以
已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，
设圆是的外接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别
作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，
考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．
（I）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知
．
解得，
所以，或，．
设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为
． 4分
解法二：设两点坐标分别为，，由题设知
．
又因为，，可得．即
．
由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．
设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为． 4分
（II）解：设，则
． 8分
在中，，由圆的几何性质得
，，
所以，由此可得．
则的最大值为，最小值为．……………………………………………14分
8．（江苏卷）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，
一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解:由，得，所以，设，，
则，，故选A.
如图，在平面直角坐标系中，
过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线
相交于两点，一条垂直于轴的直线，
分别与线段和直线交于，
（1）若，求的值；（5分）
（2）若为线段的中点，求证：
为此抛物线的切线；（5分）
试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的
应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分．
解：（1）设过C点的直线为，所以，即，
设A，=，，
因为，所以，
即，
所以，即
所以
（2）设过Q的切线为，，所以，
即，它与的交点为M，
又，所以Q，因为,
所以，所以M,所以点M和点Q重合，
也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，
所以因为，所以P为AB的中点。
9．(广东卷) 在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，
且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．
解：设抛物线的方程为y2=2px，把点(2，4)带入可求得焦参数p=4，
故所求的抛物线的方程为y2=8x。
(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线的方程为，
则点到直线的距离为 ．
解：该直线对应的直角坐标系下的方程为y-3=0，而点对应的直角坐标系下
的坐标为(，1)，进而求得点到直线的距离为2。
在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线
相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
(1)求圆的方程；
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于
线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8
已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2 即=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得
m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为 + =1
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。
要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=，y=
即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。
10．(福建卷) 以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，
半径为1，圆方程为，即x2+y2-4x+3=0，选B.
已知长方形，，，则以为焦点，
且过两点的椭圆的离心率为______．
解 ：由已知C=2，
如图，已知，直线，为平面上的动点，
过点作的垂线，垂足为点，且．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，
交直线于点．
（1）已知，，求的值；
（2）求的最小值．
本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及
研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：
，化简得．
（Ⅱ）（1）设直线的方程为：
．
设，，又，
联立方程组，消去得：，，
由，得：
，，整理得：
，，
．
解法二：（Ⅰ）由得：，
，
，．
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．
（Ⅱ）（1）由已知，，得．
则：．…………①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
则有：．…………②
由①②得：，即．
（Ⅱ）（2）解：由解法一，
．
当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．
11．(安徽卷) 椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
解：椭圆中，，∴，离心率为，选A。
　　　设F是抛物线G: x2=4y的焦点.
　　　（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：
（Ⅱ）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、
BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.
【考点】本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．
解：（I）设切点．由，知抛物线在点处的切线斜率为，
故所求切线方程为．即．
因为点在切线上．所以，，．
所求切线方程为．
（II）设，．由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设．
因直线过焦点，所以直线的方程为．
点的坐标满足方程组 得，
由根与系数的关系知
．
因为，所以的斜率为，从而的方程为．
同理可求得．
．
当时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为．
12．(湖南卷) 设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
解：由已知P（），所以
化简得,选D.
已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，
点的坐标是．
（I）证明为常数；
（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．
解：由条件知，设，．
（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，
此时．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入，有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
综上所述，为常数．
（II）解法一：设，则，，
，，由得：
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时，由（I） 有．…………………②
．………………………③
由①、②、③得．　…………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，，由④、⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
13．（湖北卷）过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，
为其右焦点，则的值为______．
解：根据双曲线定义有|MF2|-|MF|=2a，|NF2|-|NF|=2a，两式相加得|MF2|+|NF2|-|MN|=4a=8
在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）
相交于两点．
（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；
（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？
若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
（此题不要求在答题卡上画图）
本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识
进行推理运算的能力和解决问题的能力．
解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，
直线的方程为，
与联立得
消去得．
由韦达定理得，．
于是．
，
当，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，
设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，
则，点的坐标为．
，
，
，
．
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
，
又由点到直线的距离公式得．
从而，
当时，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，
则以为直径的圆的方程为，
将直线方程代入得，
则．
设直线与以为直径的圆的交点为，
则有．
令，得，此时为定值，
故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．
14．（江西卷）连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，
设点为坐标原点，则三角形的面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：线段所在直线方程与抛物线交于则：
，选B.
设椭圆的离心率为，右焦点为，
方程的两个实根分别为和，则点（　　）
Ａ．必在圆上 Ｂ．必在圆外
Ｃ．必在圆内 Ｄ．以上三种情形都有可能
解 ：由=得a=2c，b=，所以，
所以点到圆心（0，0）的距离为
，
所以点P在圆内，选C.
设动点到点和的距离分别为和，，
且存在常数，使得．
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，
并求出的方程；
（2）如图，过点的直线与双曲线的右支
交于 两点．问：是否存在，使
是以点为直角顶点的等腰直角三角形？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：（1）在中，
, （小于的常数）
故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．
方程为．
（2）方法一：在中，设，，，．
假设为等腰直角三角形，则
由②与③得， 则 由⑤得，
，，
故存在满足题设条件．
方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得
所以，．
则．①
由，可设，
则，．
则．②
由①②得．③
根据双曲线定义可得，．
平方得：．④
由③④消去可解得，
故存在满足题设条件．
15．（山东卷）设是坐标原点，是抛物线的焦点，
是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（ ）
A． B． C． D．
解：（利用圆锥曲线的第二定义）
过A 作轴于D，令，
则，，。
选B。
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上
的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，，，，
( http: / / wxc. )　椭圆的标准方程为 ( http: / / wxc. )　
（Ⅱ）设，，
联立 得，
又，
因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，
，即，
，
， ( http: / / wxc. )　
解得：，，且均满足，
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点 ( http: / / wxc. )　
所以，直线过定点，定点坐标为 ( http: / / wxc. )　
16．(陕西卷) 抛物线的准线方程是
（A） （B）
（C） （D）
解：P=，准线方程为y=，即，选B。
已知双曲线C∶＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且
与C的渐近线相切的圆的半径是
（A）a (B)b (C) (D)
解：圆的半径是（C，0）到渐近线的距离，所以R=，选B
已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，
求△AOB面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，．
（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．
．
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值．
17．（四川卷）如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，
那么点到轴的距离是（　　）
（A）　　　（B） 　　（C）　　　（D）
解：由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上．又由双曲线的
第二定义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，
故点到轴的距离是．选A．
已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，
则等于（　　）
（A）3 （B）4 （C） （D）
解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．
选C．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
设、分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角
（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．
解：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，
以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
（Ⅰ）易知，，．
∴，．设．则
，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立
∴，
由
，，得．①
又为锐角，
∴
又
∴
∴．②
综①②可知，∴的取值范围是．
18．（浙江卷）已知双曲线　的左、右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且P F1⊥P F2，｜P F1｜｜P F2 ｜＝4ab，则双曲线的离心率是
(A) (B) (C)2 (D)3
解：设准线与x轴交于A点. 在中, ,
又 ,
化简得 , 故选答案B
如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，
记△AOB的面积为S．
(I). 求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
解：（Ⅰ）设点的坐标为，点的坐标为，由，
解得，所以．
当且仅当时，取到最大值．
（Ⅱ）解：由得，
，①． ②
设到的距离为，则，
又因为，所以，代入②式并整理，得
，解得，，代入①式检验，，
故直线的方程是
或或，或．
19．（宁夏、海南卷）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：由抛物线定义，即：．
选C．
已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，
则该双曲线的离心率为　　　　　．
解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别
向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，
则：
选修4－4：坐标系与参数方程
和的极坐标方程分别为．
（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，
两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ），，由得．
所以．
即为的直角坐标方程．
同理为的直角坐标方程．
（Ⅱ）由
解得．
即，交于点和．
过交点的直线的直角坐标方程为．
y
O
.
.
.
M
x
.
O
y
x
1
l
F
P
B
Q
M
F
O
A
x
y
A
B
x
y
N
C
O
N
O
A
C
B
y
x
N
O
A
C
B
y
x
l2007年高考“复数”题
1．(全国Ⅰ)
2．(全国II)
3．（北京卷）
4．（天津卷）
5．(上海卷) 对于非零实数，以下四个命题都成立：
① ； ② ；
③ 若，则； ④ 若，则．
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ．
解： 对于①：解方程得 a i，所以非零复数 a i 使得，
①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ，
所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的
所有序号是②④
已知，且（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程
的两个根，那么的值分别是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解： 因为2 a i，b i（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，
所以2 a i与b i互为共轭复数，则 a=－3，b=2。选A。
6．（重庆卷）
7．（辽宁卷）
8．（江苏卷）
9．(广东卷) 若复数是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则
A．-2 B． C. D．2
解：(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i，而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数，
那么由2-b=0且1+2b≠0得b=2，故选D。
10．(福建卷)
11．(安徽卷)
12．(湖南卷)
13．（湖北卷）
14．（江西卷）
15．（山东卷）复数的实部是（ ）
A． B． C．3 D．
解：将原式，所以复数的实部为2。选B.
16．(陕西卷)
17．（四川卷）
18．（浙江卷）
19．（宁夏、海南卷）是虚数单位，　　　　　．
（用的形式表示，）
解：2007年高考“平面向量”题
1．(全国Ⅰ) 已知向量，，则与
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
解：已知向量，，，则与垂直，选A。
2．(全国II) 在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
解：在 ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则
，∴ =，选A。
把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）
A． B． C． D．
解：把函数y=ex的图象按向量=(2,0)平移，即向右平移2个单位，
平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C。
在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由
得．应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
3．（北京卷）已知向量．若向量，
则实数的值是 ．
解：已知向量．向量，，
则2+λ+4+λ=0，实数=－3．
在中，若，，，则 ．
解：在中，若，，∴ A 为锐角，，
，则根据正弦定理=。
4．（天津卷）在中，，，是边的中点，则 ．
解： 所以
5．(上海卷) 若向量的夹角为，，则 ．
解：。
6．（重庆卷）已知向量且则向量等于
（A） （B） （C） （D）
解：设
联立解得选D
在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 。
解：由余弦定理得：
7．（辽宁卷）若向量与不共线，，且，
则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
解：因为，所以向量与垂直，选D.
若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，
则向量（ ）
A． B． C． D．
解：函数为，令得平移公式，
所以向量，选C.
8．（江苏卷）在平面直角坐标系中，已知的顶点和，
顶点在椭圆上，则　　　.
解： 设三角形三边为a，b，c，因为B在椭圆上，长半轴为5，所以，
设，则＝
9．(广东卷)若向量、满足||=||=1，与的夹角为，则+
A． B． C. D．2
解：a﹒a+ a﹒b=12+1×1×=,故选B。
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、(，0)．
(1)若，求的值；
(2)若，求sin∠A的值．
解：(1) ,
由 ，即 -3(c-3)+( -4)2=0。 有c=
(2)当c=5时，
进而
10．(福建卷)对于向量，，和实数，下列命题中真命题是（　　）
Ａ．若，则或 Ｂ．若，则或
Ｃ．若，则或 Ｄ．若，则
解： a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c
得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B.
11．(安徽卷)在四面体O-ABC中，D为BC的中点，
E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）.
解：==
。
12．(湖南卷) 若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解：由向量的减法知 选B.
在中，角所对的边分别为，若，，
，则 ．
解：由正弦定理得，所以A=
13．（湖北卷）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（ ）
A． B． C． D．
解：设a在b的夹角为θ，则有|a|cosθ=，θ=45°，因为b在x轴上的投影为2,
且|b|＜1,结合图形可知选B.
14．（江西卷）在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点
分别为，，则 ．
解：
15．（山东卷）已知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．4
解：，由与垂直可得：
，。选C.
在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．
解：（1）
又
解得．
，是锐角．
．
（2），，．
又
．
．
．
．
16．(陕西卷) 如图，平面内有三个向量、、，其中与的
夹角为120°，与的夹角为30°，且＝＝1，
＝.若＝的值为 .
解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°
角AOC=30°，=得平行四边形的边长为和，
+=.
17．（四川卷）设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，
若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（　　）
（A）　　（B）　　（C）　　（D）
解：由与在方向上的投影相同，可得：,
即 ，．选A．
18．（浙江卷）若非零向量、满足｜一｜＝｜｜，则
(A) ｜2｜＞｜一2｜ (B) ｜2｜＜｜一2｜
(C) ｜2｜＞｜2一｜ (D) ｜2｜＜｜2一｜
解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，
则必有a=2b；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，
注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，
使其满足OB=AB=BC；令a, b,则a-b,
∴a-2b且；
又BA+BC>AC ∴
∴,选A．
已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sin B＝sin C
(I)求边AB的长；
(Ⅱ)若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．
解：(I)由题意及正弦定理，得 AB+BC+AC＝＋1． BC+AC＝AB，
两式相减，得： AB＝1．
(Ⅱ)由△ABC的面积＝BC·ACsinC＝sin C，得
BC·AC＝，∴，
由余弦定理，得，所以C＝600．
19．（宁夏、海南卷）已知平面向量，则向量（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：选D．
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．2007年高考“导数”题
1．(全国Ⅰ) 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
A． B． C． D．
解：曲线在点处的切线方程是，
它与坐标轴的交点是(，0)，(0，－)，围成的三角形面积为，选A。
设函数在及时取得极值。(12分)
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。
解：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即 解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；当时，；当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以　，解得　或，
因此的取值范围为．
2．(全国II) 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：已知曲线的一条切线的斜率为，=，∴ x=1，
则切点的横坐标为1，选A。
已知函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明: ；
（2）求z=a+2b的取值范围。
解：求函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，
知是的两个根．所以
当时，为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于　即．
化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：
．
所围成的的内部，其三个顶点分别为：
．
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
3．（北京卷）是的导函数，则的值是 ．
解：是的导函数，，则=3．
4．（天津卷）设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式
对任意的恒成立．
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式
等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，
整理得．
（Ⅱ）解：
．
令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
（Ⅲ）证明：由，得，当时，
，．
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要
即
　　　　　　　　①
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．
所以，在区间上存在，使得
对任意的恒成立．
5．(上海卷)
6．（重庆卷）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽
之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
7．（辽宁卷）已知函数，，
且对任意的实数均有，．
（I）求函数的解析式；
（II）若对任意的，恒有，求的取值范围．
本小题主要考查函数的性质、导数的应用、不等式的解法等知识，考查
数形结合能力以及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分.
(Ⅰ) 解法一：由题设得………………2分
又由 知
在成立，在成立，
由此易得设的另一根为，由
的图象为开口向上的抛物线得
所以
代入即得……6分
解法二：由题设得………………2分
由 得
即有 ①②
由 ①，②得即故
代入① 即得……6分
(Ⅱ) 解：由题设知，对任意的，恒有
令则有
………………………9分
解得即 …………………………12分
8．（江苏卷）已知二次函数的导数为，，
对于任意实数，都有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：＝，依题意，有：，可得，
＝＝＋1≥2＋1≥2＋1＝2，故选（C）。
已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，
则　　　　.
解：令＝0，得：＝2，＝－2，＝17，（3）＝－1，
（－2）＝24，（2）＝－8，所以，M－＝24－（－8）＝32.
已知是不全为的实数，函数，
，方程有实根，且的实数根
都是的根；反之，的实数根都是的根。
（1）求的值；（3分）
（2）若，求的取值范围；（6分）
（3）若，求的取值范围。（7分）
本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、
等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力．满分16分．
解（1）设是的根，那么，则是的根，
则即，所以。
（2）因为，所以，则
==0的根也是的根。
（a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以，
（b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，
的根为0和，而的根不可能为0和，所以
必无实数根，所以所以，从而
所以当时，；当时，。
（3），所以，即的根为0和1，
所以=0必无实数根，
（a）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，
即所以；
（b）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，
，而，所以，所以不可能小于0，
（c）则这时的根为一切实数，而，
所以符合要求。
所以.综上所述，所求的取值范围为．
9．(广东卷) 函数的单调递增区间是 ．
解： 对f (x)求导，f’ (x)=ln x+1,令f’ (x)>0得x>，
从而知f (x)的单调增区间为(，+)。
10．(福建卷) 已知对任意实数，有，，
且时，，，则时（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
解：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;
g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,
当x<0时, f(x) 递增, f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选B.
设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），
当时，取最小值，
即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
递增 极大值 递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，
所以的取值范围为．
11．(安徽卷) 设函数f（x）= -cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,x∈R,
其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；
(Ⅱ)讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
解：（I）
． 由于，，
故当时，达到其最小值，即．
（II）我们有．
列表如下：
极大值 极小值
由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，
极小值为，极大值为．
12．(湖南卷)已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在
点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，
经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，
所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，
时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近
的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则
所以，又由，得，故．
13．（湖北卷）已知函数的图象在点处的切线方程是，
则＿＿＿＿．
解： 由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，
所以，所以3.
某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，
且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；
（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，
则依题意有，
又由已知条件，，于是有，
所以．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有．
2 12
0 0
极小 极大
故时，达到极大值．因为，，
所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．
14．（江西卷）设在内单调递增，，
则是的（　　）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
解： 在内单调递增，则在上恒成立。
；
反之，，
在内单调递增，选C.
15．（山东卷）设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，
函数有且只有一个极值点，并求出极值．
证明：因为，所以的定义域为．
．
当时，如果在上单调递增；
如果在上单调递减．
所以当，函数没有极值点．
当时，
令，得（舍去），，
当时，随的变化情况如下表：
0
极小值
从上表可看出，
函数有且只有一个极小值点，极小值为．
当时，随的变化情况如下表：
0
极大值
从上表可看出，
函数有且只有一个极大值点，极大值为．
综上所述，
当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．
16．(陕西卷) 已知在区间[0,1]上是增函数,在区间
上是减函数, 又
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.
解：（Ⅰ），由已知，
即解得
，，，．
（Ⅱ）令，即，
，或．
又在区间上恒成立，.
17．（四川卷）设函数为奇函数，其图象在点
处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、
导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．
解：（Ⅰ）∵为奇函数，
∴
即
∴
∵的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此，
∴，，．
（Ⅱ）．
　　　，列表如下：
极大 极小
　　　所以函数的单调增区间是和
∵，，
∴在上的最大值是，最小值是．
18．（浙江卷）曲线在点(1，一3)处的切线方程是___________ ．
解：易判断点(1，-3)在曲线上，故切线的斜率，∴切线方程为，即
19．（宁夏、海南卷）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程
为则切线与坐标轴交点为所以：
　　　　　选D.
设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
解：的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．2007年高考“函数”题
1．(全国Ⅰ) 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则
A． B．2 C． D．4
解：，函数在区间上的最大值与最小值分别为
，它们的差为， ∴ ，4，选D。
，是定义在R上的函数，，
则“，均为偶函数”是“为偶函数”的
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
解：，是定义在R上的函数，，若“，均为
偶函数”，则“为偶函数”，而反之若“为偶函数”，则“，
不一定均为偶函数”，所以“，均为偶函数”，是“为偶
函数”是充分而不必要的条件，选B。
函数的图象与函数的图象关于直线对称，
则____________。
解：函数与函数互为反函数，。
2．(全国II) 下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵ ，∴ ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln=ln2∴ 最大的数是ln2，选D。
3．（北京卷）函数的反函数的定义域为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：函数的反函数的定义域为原函数的值域，
原函数的值域为，∴ 选B。
对于函数①，②，③，
判断如下两个命题的真假：
命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（　　）
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
解：对于函数①，函数不是偶函数，对于
函数③，是一个周期函数，周期是2π，不可能在
上是减函数，在上是增函数；所以函数①③都不符合条件，
只有函数②，能使命题甲、乙均为真，选C。
已知函数，分别由下表给出
1 2 3
2 1 1
1 2 3
3 2 1
则的值为 ；当时， ．
解： =；当时，，1．
4．（天津卷）函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
解：由得,即,故反函数是,再根据原函数
的值域为反函数的定义域则有: ∵,则,∴,
故反函数的定义域为,则有
【分析】原函数过，故反函数过，从而排除A、B，
故选C.
设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的
，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：（排除法）当则得,
即在时恒成立,
而最大值,是当时出现,故的最大值为0,
则恒成立,排除B,C项,同理再验证时, 不成立,故排除D项. 故选A.
【分析】由函数为奇函数，且当时，，可得当时，
再分讨论可得
5．(上海卷) 方程的解是 ．
解：
函数的反函数 ．
解：由
已知函数，常数．
（1）当时，解不等式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．
解：（1），，
． 原不等式的解为．
（2）当时，，对任意，
， 为偶函数．
当时，，
取，得 ，
，
函数既不是奇函数，也不是偶函数．
6．（重庆卷）设P（3，1）为二次函数的图象
与其反函数的图象的一个交点，则
（A） （B）
（C） （D）
解：P（3，1）为二次函数上的点，
又P（3，1）为反函数上的点，则P（1，3）在原函数上，
联立解得故选C.
7．（辽宁卷）若函数的反函数图象过点，
则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
解：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选A
函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
解：定义域为∪，排除A、C，根据复合函数的单调性
知的单调增区间为，选D
已知函数为奇函数，若，则　　　　．
解：由函数为奇函数得，填1
8．（江苏卷）设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，
且当时，，则有（ ）
A． B．
C． D．
解：依题意，有，所以，，
即，当x＜1时，－x＞－1，即2－x＞1，所以，，故（x＜1），，，
所以，选（B）。
设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：依题意，得＝0，即＝0，所以，＝－1， ，
又，所以，，解得：－1＜x＜0，故选（A）。
9．(广东卷) 若函数()，则函数在其定义域上是
A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C．单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函数
解：函数f (x)的图像与函数f (-x)关于y轴对称，由我们熟知的幂函数f (x)=x3 的
奇偶性和单调性我们就很容易能判断出函数f (-x)是单调递减的奇函数，故选B。
客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以
80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后
到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是
解：由题意可知客车在整个过程中的路程函数S(t)的表达式为
0≤t≤1
S(t)= 1≤t≤3/2
3/2≤t≤5/2 对比各选项的曲线知应选C。
已知是实数，函数．如果函数
在区间上有零点．求的取值范围．
解：当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上。
当a≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况：
①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时
或
解得1≤a≤5或a=
②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时
或
解得a5或a<
综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为
(-∞, ]∪[1, +∞).
10．(福建卷) 下列函数中,反函数是其自身的函数为
(A) (B)
(C) (D)
解：下列函数中,反函数是其自身的函数为，选D。
11．(安徽卷) 图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2)
(D) (0≤x≤2)
解：图中的图象所表示的函数当0≤x≤1时，它的解析式为，当1解析式为，∴解析式为(0≤x≤2)，选B。
定义在R上的函数f (x)既是奇函数, 又是周期函数, T是它的一个正周期.
若将方程f (x)=0在闭区[-T,T ]上的根的个数记为n,则n可能为
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5
解： ，，
∴，则可能为5，选D。
12．(湖南卷) 函数的图象和函数
的图象的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由图像可知交点共有3个。选C.
若，，则 ．
解：由得，所以
13．（湖北卷）函数的反函数是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：由y=（x<0）得y<-1且（y<-1），
所以所求的反函数为y=log2(x<-1)，故选A
设二次函数，方程的两根和满足．
（I）求实数的取值范围；
（II）试比较与的大小．并说明理由．
本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（Ⅰ）令，
则由题意可得．
故所求实数的取值范围是．
（II），令．
当时，单调增加，
当时，
，即．
解法2：（I）同解法1．
（II），由（I）知，
．又于是
，
即，故．
解法3：（I）方程，由韦达定理得
，，于是
．
故所求实数的取值范围是．
（II）依题意可设，则由，得
，故．
14．（江西卷）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示. 盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：观察图形可知体积减少一半后，下部越细剩余酒的高度越高，最高为，最低为，
应有. 选A.
已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点 ．
解： 若函数的图象经过点，则有
所以函数的图象必经过点.
15．（山东卷）给出下列三个等式：，
．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
解：依据指、对数函数的性质可以发现A满足，
C满足，而D满足，
B不满足其中任何一个等式. 选C.
设函数与的图象的交点为，
则所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
解：令，可求得：
。易知函数的零点所在区间为。选B。
设函数则 ．
解：。
16．(陕西卷) 函数的定义域为
（A）［0，1］ （B）（-1，1）
（C）［-1，1］ （D）（-∞，-1）∪（1，+∞）
解：由1-x2>0得-1设函数(x∈R)的反函数为f -1 (x),则函数y= f -1(x)的图象是
　Ａ．　　　　　　　　　　Ｂ．　　　　　　　　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．
解：，选A.
某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度
分别为v1，v2,v3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为
（A） （B）
（C） （D）
解：设三个连续时段为t1，t2，t3，各时段的增长量相等，设为M，则
M= v1 t1= v2 t2=v3 t3，整个时段内的平均增长速度为
=，选D
17．（四川卷）函数与在同一直角坐标系
下的图象大致是（　　）
解：。选C．
18．（浙江卷）函数的值域是______________．
解：注意到，故可以先解出，再利用函数的有界性求出函数值域。
由，得，∴，解之得；填
19．（宁夏、海南卷）设函数为偶函数，则　　　　．
解：
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
－12007年高考“集合与简易逻辑”题
1．(全国Ⅰ) 设，，则
A． B． C． D．
解：设={x| x>－}，={x| x<}，
则，选D。
2．(全国II) 设集合，则（ ）
A． B． C． D．
解：设集合，则，选B。
3．（北京卷）
4．（天津卷）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
解：(直接法),,
故.(排除法)由可知 中的元素比0要大, 而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且中含有元素比1，故排除A项.故答案为B.
5．(上海卷)
6．（重庆卷）设全集U＝{a、b、c、d}，A＝{a、c}，B={b}，则A∩（CuB）＝
（A） （B）{a} （C）{c} （D）{a,c}
解：A∩（CuB）＝{a,c}，选D。
“-1＜x＜1”是“x2＜1”的
（A）充分必要条件 （B）充分但不必要条件
（C）必要但不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
解：,反之亦成立！所以选“充分必要条件”。 选A.
7．（辽宁卷）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
解：{1，3}∩{2，3，4}={3}，选C
8．（江苏卷）已知全集，，则为（ ）
A． B． C． D．
解：B＝{0，1}，UB是不含0，1的整数，A∩UB＝，故选（A）.
9．(广东卷) 已知集合M={x|}，N={x|}，则M∩N=
A．{x|-1≤x＜1} B．{x |x>1}
C．{x|-1＜x＜1} D．{x |x≥-1}
解：通过解不等式我们得到M=(-1，+)，N=(-，1)，因而MN=(-1，1)，故选C。
10．(福建卷) 已知全集，且，，
则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：（CUB）={3，4，5}，（CUB）={3，4}，选C.
“”是“”的（　　）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
解：由|x|<2得-2中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．
如果集合中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意，都有～；
（2）对称性：对于，若～，则有～；
（3）传递性：对于，若～，～，则有～．
则称“～”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出两个等价关系：______．
解：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、
“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.
11．(安徽卷) 若，则＝
（A） （B） （C） (D)
解：若，则＝，选D。
12．(湖南卷) 设（），关于的方程（）有实根，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解：判别式大于0，关于 的方程有实根；但关于 的方程
有实根，判别可以等于0. 选A.
设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：
对任意的，（，），
都有（表示两个数中的较小者），
则的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
解：含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；
{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，
故满足条件的两个元素的集合有11个。选B.
13．（湖北卷）如果，，，
那么（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：U={1，2，3，4，5，6，7，8}，CUA={5，6，7，8}，CUB={1，2，7，8}，
所以CUA∩CUB={7，8}，故选D
已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，
是的必要条件，现有下列命题：
①是的充要条件；
②是的充分条件而不是必要条件；
③是的必要条件而不是充分条件；
④是的必要条件而不是充分条件；
⑤是的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是（ ）
A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤
解：由已知有由此得且，①正确，③不正确.
，②正确；④等价于，正确；且，⑤不正确。选B.
14．（江西卷）若集合，，则为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：=，选B.
15．（山东卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
解：求。选C.
命题“对任意的”的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．存在 D．对任意的
解：注意两点：（1）全称命题变为特称命题；（2）只对结论进行否定。选C.
16．(陕西卷) 已知全集，则集合CuA等于
（A）{1，4} （B）{4，5} （C）{1，4，5} （D）{2，3，6}
解：选C
17．（四川卷）设集合，集合，那么（　　）
（A） （B） （C） （D）
解：，选A．
18．（浙江卷）设全集U＝{1，3，5，6，8}，A＝{1，6}，B＝{5，6，8}，则(CUA)∩B＝
(A)｛6｝ (B){5，8} (c){6，8} (D){3，5，6，8}
解：由于U＝{1，3，5，6，8}，A＝{1，6} ∴CUA={3,5,8}∴(CUA)∩B={5，8}.选B.
“x＞1”是“x2＞x”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 　　 (D)既不充分也不必要条件
解：由可得,可得到,但得不到.故选A.
19．（宁夏、海南卷）设集合，则（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：由,可得.选A．
已知命题，，则（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
解：是对的否定，故有：选C.2007年高考“不等式”题
1．(全国Ⅰ)
2．(全国II) 不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
解：不等式的解集是，选C。
3．（北京卷）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（I）若，求；
（II）若，求正数的取值范围．
解：（I）由，得．
（II）．由，得，
又，所以，即的取值范围是．
4．（天津卷）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
解：∵由指、对函数的性质可知：,　　, 　∴有.
【分析】可知<0<<1<, 从而.故选A.
5．(上海卷) 设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，
总可推出成立”． 那么，下列命题总成立的是（　　）
Ａ．若成立，则成立
Ｂ．若成立，则成立
Ｃ．若成立，则当时，均有成立
Ｄ．若成立，则当时，均有成立
解： 对A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若成立，则不一定成立；对B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若成立，则成立，不能得出：．若成立，则成立；对C，当k=1或2时，不一定有成立；对D，对于任意的，均有成立。故选D。
6．（重庆卷）函数的最小值为 。
解：
故最小值为
7．（辽宁卷）设是两个命题：，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解： p：，q：，结合数轴知
是的充分而不必要条件，选A
8．（江苏卷）
9．(广东卷)
10．(福建卷) 已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：由已知得解得或x>1，选D.
11．(安徽卷) 设a＞1,且,
则的大小关系为
(A) n＞m＞p (B) m＞p＞n (C) m＞n＞p (D) p＞m＞n
解：设a＞1,∴ ，，,
∴ 的大小关系为m＞p＞n，选B。
解不等式＞0.
解： 因为对任意，，所以原不等式等价于．
即，，，故解为．
所以原不等式的解集为．
12．(湖南卷) 不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
解：由得x（x-1）>0，所以解集为 ，选D
13．（湖北卷）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．
已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，
与的函数关系式为（为常数），
如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）
与时间（小时）之间的函数关系式为 ．
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以
下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要
经过 小时后，学生才能回到教室．
答案：（I）；（II）0.6
解：（I）由题意和图示，当时，可设（为待定系数），由于点在直线上，；同理，当时，可得
（II）由题意可得，即得或或
，由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
14．（江西卷）函数的定义域为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：选A.
若，则下列命题正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：显然A、C、D不正确，选B.
已知函数满足．
（1）求常数的值；
（2）解不等式．
解：（1）因为，所以；
由，即，．
（2）由（1）得
由得，
当时，解得； 当时，解得，
所以的解集为．
15．（山东卷）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
解：构造函数：。由于当时，
不等式恒成立。则，即
。解得：。
16．(陕西卷)
17．（四川卷）
18．（浙江卷）已知．
(I)若k＝2，求方程的解；
(II)若关于x的方程在(0，2)上有两个解x1，x2，
求k的取值范围，并证明．
（Ⅰ）解：（1）当k＝2时，　
①　当时，即≥1或≤－1时，方程化为
解得，因为，故舍去，所以．
②当时，－1＜＜1时，方程化为
解得
由①②得当k＝2时，方程的解所以或．
(II)解：不妨设0＜x1＜x2＜2，
因为
所以在（0,1］是单调函数，故在（0,1］上至多一个解，
若1＜x1＜x2＜2，则x1x2＝＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．
由得，所以；
由得，　所以；
故当时，方程在(0，2)上有两个解．
当0＜x1≤1＜x2＜2时，，
消去k 得　
即，因为x2＜2，所以．
19．（宁夏、海南卷）
（毫克）
（小时）