湖南省衡阳市2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（含解析）

2023年10月成章第一次月考试卷
九年级数学
时量：120分钟 总分：120分
一、选择题（共11小题）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A． B． C．2 D．3
3．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，直线AC和DF被所截，如果，那么DE的长是（ ）
A． B． C． D．
5．若点P的坐标满足条件，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．设，是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．已知，用含a，b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A． B．ab C．2a D．2b
8．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点在第一象限角平分线上，则m的值为（ ）
A．6 B． C．2或3 D．或6
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是一元二次方程的根，则；
④若c是方程的一个根，则一定有成立．
其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
二、填空题（共4小题）
11．要使二次根式有意义，则x的取值范围是____________．
12．已知，则的值为____________．
13．已知a是方程的一个实数根，则的值为____________．
14．已知为最简二次根式，且能够与合并，则a的值是____________．
15．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是____________．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，其中m，n满足关系式．若在第二象限内有一点，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积之比为，则点P的坐标为____________．
三、解答题（共10小题）
17．计算：
18．解方程：
19．（1）若，则x的取值范围为____________；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简
20．如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为，宽BC为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽（的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
（1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
21．已知关于x的方程有两个不相等实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程其中一个根为，求方程的另一个根．
22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD，（O是坐标原点）
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
24．若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，和的差构成一个新函数y，即．称y是的“数天数函数”，P为“天数点1”，Q为“天数点2”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）己知“天数点1”为点，“天数点2”为点．点在“数天数函数”图象上，求y的解析式；
（2）已知“天数点1”为点，“天数点2”为点，y是“数天数函数”，求的最小值；
（3）关于x的方程的两个实数根，“数天数函数”．若，，且，求m的值．
25．如图所示，中，．点P从点A开始沿AB边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动时间为t秒
（1）是否存在某一时刻t，使？若存在，请求出此刻t的值，若不存在请说出理由．
（2）当t为何值时，点PQ之间的距离为
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于
参考答案
一、选择题（共11小题）
1．A
【考点】最简二次根式
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：根据最简二次根式的定义可知，是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式；
，因此，不是最简二次根式；
2．D
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解．
【解答】解：一元二次方程一次项系数是：3．
3．C
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C、D选项进行判断．
【解答】解：A．3与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项符合题意；
D，，所以D选项不符合题意；
4．A
【考点】平行线分线段成比例
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可，
【解答】解：直线，
．
5．C
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】根据非负数的性质，可得A点坐标，根据关于y轴对称的点的坐标规律，可得答案．
【解答】解：由点A的坐标满足条件，得
．解得．即．
6．D
【考点】根与系数的关系
【分析】利用根与系数的关系即可求出两根之积
【解答】解：是一元二次方程的两个实数根，．
7．B
【考点】二次根式的乘除法
【分析】通过观察发现正好是和的积，因此．
【解答】解：．
8．A
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据6个矩形小块的面积和为，列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得：，
9．A
【考点】点的坐标
【分析】根据第一象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相等列方程求解，再根据第一象限点的横坐标与纵坐标都是正数作出判断．
【解答】解：点在第一象限角平分线上，
，解得，
当m=-1时，，点在第三象限，不符合题意，
所以，m的值为6．
10．D
【考点】一元二次方程的解：根的判别式
【分析】①说明原方程有根是1，即可判断；
②判断方程的根的情况，根据根的判别式的值的符号即可判断；
③是一元二次方程的根，则，整理变形后即可判断；
④c是方程的一个根，则，整理后即可判断．
【解答】解：①若，则方程必有一个根为1，，正确；
②若，则，可知，方程必有两个不相等的实根，正确；
③若是一元二次方程的根，则，
，即，正确；
④若c是方程的一个根，则，若时，不成立，错误．
二、填空题（共4小题）
11．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，，解得．
12．3
【考点】比例的性质
【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：，
13．2023
【考点】一元二次方程的解
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：是方程的一个实数根，
，即
．
14．8
【考点】最简二次根式：同类二次根式
【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【解答】解：．
15．10
【考点】解一元二次方程-因式分解法：三角形三边关系；等腰三角形的性质
【分析】方程利用因式分解法求出解得到x的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可，
【解答】解：方程分解得：，
可得或，解得：或，
若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去；
若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为，
16．
【考点】二次根式有意义的条件；坐标与图形性质；三角形的面积．
【分析】由，可得，解得，即，，，，，由面积比可得，，计算求解即可．
【解答】解：，，解得，
，即，
，
，
四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积之比为，
，解得，
．
三、解答题（共10小题）
17．
【考点】实数的运算：指数幂
【分析】利用有理数的乘方，算术平方根的定义，绝对值的性质，零指数幂进行计算即可，
【解答】解：原式．
18．
【考点】解一元二次方程-因式分解法：解一元二次方程-直接开平方法
【分析】利用直接开平方法解答，即可求解；
【解答】解，．
19．；
【考点】实数与数轴：二次根式的性质与化简
【分析】（1）利用二次根式的性质化简．（2）先判断各式正负号，再化简：
【解答】（1）．．故答案为：．
（2）由题：．原式．
20．；
【考点】二次根式的应用：最简二次根式
【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解：
（2）长方形ABCD的面积减去种植香菜部分的小长方形的面积即为种植青菜部分的面积．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长．
答：长方形ABCD的周长是；
（2）种植青菜部分的面积为：
答：种植青菜部分的面积为．
21．；0
【考点】根的判别式：根与系数的关系
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）将代入原方程求出k值，再利用两根之积等于即可求出方程的另一个根．
【解答】解：（1）Q关于x的方程有两个不相等实数根，
．
（2）将代入原方程，得：，解得：．
当时，方程的另一个根为；
22．；50
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论：
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
22．或；1或9
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据题意，由待定系数法确定函数关系式直接带点列方程及方程组求解即可得到答案；
（2）根据一次函数值小于反比例函数值，从图象上来说就是一次函数图象在反比例函数图象下方，找出满足这个条件的图象对应的自变量x的范围即可得到答案：
（3）根据函数图象平移，设直线AB向下平移n个单位长度，此时直线AB对应的表达式为，
联立方程组得，得，结合图象只有一个交点，确定只有一个解，即，解一元二次方程即可得到答案．
【解答】解：（1）把代入，得反比例函数的解析式为，
把代入，得，
把坐标分别代入，
得，解得一次函数的解析式为；
（2）由图可知，当一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围为：或；
（3）设直线AB向下平移n个单位长度，此时直线AB对应的表达式为，
联立方程组得，消去y得，整理得，
由于直线与反比例函数图象只有一个交点，
，即，整理得，解得，
将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例图象只有一个交点，
23．；2；
【考点】函数关系式：根与系数的关系
【分析】（1）由“数天数函数”的定义得，，把点C的坐标代入计算即可；
（2）由“数天数函数”的定义得，配方求出的最小值即可；
（3）由一元二次方程的根与系数的关系得，根据，且，用含m的式子表示，再把代入求出，最后将代入解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得，，
点在“数天数函数”图象上，
的解析式为；
（2）根据题意得，，配方得，，
当时，的最小值为2；
（3）方程的两个实数根①，②，，且，
把代入①得，，解得，，
把代入②得，，解得，．
25．；2秒或；
【考点】一元二次方程的应用：勾股定理
【分析】设点P，Q移动的时间为x秒．
（1）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可；
（2）由于点P，Q之间的距离为，根据勾股定理列出方程求解即可；
（3）由于的面积等于，利用三角形面积公式列式求解即可．
【解答】解：设点P，Q移动的时间为x秒，则，
．
（1），即．即后，；
（2），即，
当2秒或时，P，Q之间的距离为；
（3）当时，，即，则，
解得（舍），．
当时，则，
则的面积，解得：或9（均舍去）；
当时，，
，
故方程无实数根．
综上所述，当t为时，的面积等于．