湖南省衡阳市2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题（含答案）

2023年10月九中第一次月考试卷
八年级数学
时量：120分钟 总分：120分
一、选择题（共12小题）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列说法中：①3的平方根是；②是9的一个平方根；③的平方根是；④0.01的算术平方根是0.1；⑤；⑥的立方根是2；其中正觕的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列说法中，正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；（3）无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0利1；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知，则的值为（ ）
A．72 B．54 C．17 D．12
6．在边长为a的正方形中挖去一个边长为6的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．5
8．计算的结果是（ ）
A． B．2 C． D．
9．已知，则的值为是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
10．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如记；
已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：（ ）
A． B． C． D．
12．已知图①是长为，宽为的小长方形纸片，图②是大长方形，且边，将7张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形内，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积差为，若的长度变化时，始终保持不变，则应满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题）
13．的平方根是__________．
14．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________．
15．，则__________．
16．已知的展开式中不含和项，则__________．
17．若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为__________．
18．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如．现对72进行如下操作：72第一次，第二次，第三次，类似地，只需进行3次操作变为1的所有正整数中，最大的是__________．
三、解答题（共8小题）
19．计算：；
20．化简求值：，其中．
21．尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若为正整数，且，求的值．
22．定义一种新运算：观察下列各式：
（Ⅰ）请计算__________；
（Ⅱ）请猜一猜：__________．（用含的代数式表示）；
（Ⅲ）若，请计算的值．
23．上数学课时，老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
，
当时，的值最小，最小值是0，
．
当时，的值最小，最小值是1，
的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当__________时，代数式有最小值是__________；
（2）知识运用：若，求的最大值；
（3）知识拓展：若，求的最小值．
24．如图，边长为的正方形和边长为的正方形拼在一起，三点在同一直线上，设图中阴影部分的面积为．
图① 图② 图③
（1）如图①，的值与的大小有关吗？说明理由；
（2）如图②，若，求的值；
（3）如图③，若，求的值．
25．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为为实数叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：．
（1）填空：__________，__________．
（2）计算：①；②；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：，（为实数），求的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．
26．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
图① 图② 图③
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是__________；
（2）用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1：____________________；方法2：____________________；
并写出二个代数式之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：若，求的值；
（4）根据（2）中的等量关系，直接写出和之间的关系；若，分别求出和的值__________；
（5）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一儿何体的休积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数怛等式：____________________；
（6）已知，利用上面的规律求的值．
八年级数学
参考答案
一、选择题（共12小题）
1．【考点】平方根的概念
【解答】B
2．【考点】无理数的定义
【解答】D
3．【考点】平方根、立方根
【解答】C
4．【考点】实数的概念
【解答】A
5．【考点】幂运算
【解答】A
6．【考点】乘法公式的几何意义
【解答】C
7．【考点】多项式乘多项式
【解答】A
8．【考点】幂运算
【解答】C
9．【考点】整式乘法
【解答】C
10．【考点】乘方
【解答】B
11．【考点】完全平方公式、找规律
【解答】A
12．【考点】整式的混合运算
【解答】D
解：如图，左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，阴影部分面积之差，
则，即．
二、填空题（共6小题）
13．【考点】平方根、算术平方根、
【解答】解：的平方根是，故答案为：
14．【考点】平方根
【解答】解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
，
，
这个正数为，
故答案为：49．
15．【考点】平方差公式
【解答】解：设
则，
．
故答案为：9
16．【考点】多项式乘多项式
【解答】解：，的展开式中不含和项，
则有，
解得：，
故答案为：10．
17．【考点】完全平方式
【解答】解：二次三项式是完全平方式，
或．
故答案为：或．
18．【考点】实数大小比较；算术平方根
【解答】解：，
而：，
即：只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是：255，故答案为：255．
三、解答题（共8小题）
19．【考点】有理数的混合运算
【解答】解：
20．【考点】整式的混合运算-化简求值
【解答】解：原式
，
原式
21．【考点】幂运算
【解答】解：（1）原式
即，则，
即．
（2）．
（3）原式
22．【考点】有理数的混合运算，代数式
【解答】解：（Ⅰ）
故答案为：，
（Ⅱ），
故答案为：．
（Ⅲ）当时，
即：，
23．【考点】配方求最值
【解答】解：（1），当时，代数式有最小值3；故答案为：3，3；
（2），
当时，有最大值．
即有最大值，此时；
（3），
当时，的最小值为．
24．【考点】完全平方公式的几何运用
【解答】解：（1）S的值与a无关，理由如下：
由题意知：，
的值与无关．
（2），
．
（3），
．
，
，
，
，
，
25．【考点】实数的运算；找规律
【解答】解：（1），
，，
（2）①；
②；
（3），
，
；
（4）
26．【考点】完全平方公式的几何应用，化简求值
【解答】解：（1）由题意可得小矩形的长为，宽为，
图2中阴影部分正方形的边长为：，
故答案为：；
（2）阴影部分的面积：
方法一：利用整体思想，边长为的正方形其面积为，
方法二：利用分割思想，阴影部分面积边长为的大正方形面积个长为宽为的矩形面积，
三个代数式之间的数量关系为：，
或：；
（3），且，
，
；
（4）由（2）可得：，
，，
，
，
综上，的值为的值为12．
（5）方法一：正方体棱长为
体积为，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，
故答案为：；
（6），
．