2023-2024学年人教版数学九年级上册 24.4弧长和扇形面积 课时练习（含解析）

弧长和扇形面积
一．选择题
1．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为　　
A． B． C． D．
2．如图，以等边 的边为直径的分别交，于点，，，则阴影部分的面积是　　
A． B． C． D．
3．如图，正方形的边长为4，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积　　
A．6 B．12 C． D．
4．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为　　
A． B． C． D．
5．若扇形的半径是弧长是，则扇形的面积为　　
A． B． C． D．
6．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画：先画正三角形，然后分别以点，，为圆心，长为半径画弧．若一个弧三角形的周长为，则此弧三角形的面积是　　
A． B． C． D．
7．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是　　
A． B． C． D．
8．如图，四边形内接于，若，的半径为3，则的长为　　
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，若，则的长为　　
A． B． C． D．
10．如图，在中，，点为边的中点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点；以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点．若，，则图中阴影部分的面积为　　
A． B． C． D．
11．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若，，，则阴影部分面积为　　
A． B． C． D．
12．如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，的圆心依次按，，，循环，当时，点的坐标是　　
A． B． C． D．
二．填空题
13．如图，弧与的一边切于点，与另一边交于点，，，，则弧的长是 　　．（结果保留．
14．如图，在扇形中，，为上一点，且，点为扇形区域内（不包含边界）一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 　　．
15．如图，在扇形中，已知，，过弧的中点作，，垂足分别为点、，则图中阴影部分的面积为 　　．
16．如图，在扇形中，，，将扇形沿射线方向平移得到对应的扇形，交于点，若点恰好为弧的中点，则图中阴影部分的面积为 　　．
17．如图，边长为12的正方形的对角线交于点，以为半径的扇形的圆心角，则图中阴影部分面积是 　　．
三．解答题
18．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，图中的阴影部分图案分别是以格点为圆心，1和2为半径的圆弧及小正方形的边围成的，则阴影部分的周长和面积分别是多少？取
19．如图，在中，，，，将绕逆时针方向旋转得到，点经过的路径为弧，求图中阴影部分的面积．
20．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．如图，是的直径，点是的中点，于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
22．如图，已知是的直径，弦，垂足为，，．
（1）求和的长；
（2）求图中两阴影部分的面积各是多少？
23．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
（1）若，，求的半径；
（2）若，，求的长．
24．如图，已知是的直径，点是弧上的一点，于，点是弧的中点，交于点，交于点．
（1）判断的形状，并证明；
（2）若，．
①求的长；
②求阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题
1．
解：连接、、，
，．
，，
，
．
故选：．
2．
解：为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
．
故选：．
3．
解：取中点，连接，
正方形的边长为4，
，
，
扇形的面积，的面积，
弓形的面积扇形的面积的面积，
的面积，半圆的面积，，
阴影的面积的面积半圆的面积弓形的面积．
故选：．
4．
解：绿化园地为四边形，四边形的内角和为，阴影部分的面积和为一个圆面积，
故这四个喷水池占去的绿化园地的面积为．
故选：．
5．
解：该扇形的面积为：．
故选：．
6．
解：是正三角形，
，
一个弧三角形的周长为，
，
，
此弧三角形的面积；
故选：．
7．
解：根据题意，圆锥的侧面积，
即蛋筒圆锥部分包装纸的面积为．
故选：．
8．
解：，
，
，
的长为，
故选：．
9．
解：如图，连接，，
，，
，
，
的长为．
故选：．
10．
解：，，，
，，
点为边的中点，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
11．
解：
，
故选：．
12．
解：由图得，，，，，，，
点的位置每4个一循环，
，
在第三象限，与，，，
符合规律，
坐标为．
故选：．
二．填空题
13．．
解：设所在圆的圆心为点，连接、，过点作于点，如图，设的半径为，
与相切，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
在中，，
解得：，
，，
，
，
，
的长．
故答案为：．
14．．
解：如图，连接，由于阴影部分的周长等于的长与、的长度和，要使周长最小，则最小，
而的最小值是，
，，
，
，
是等边三角形，
，
的长为，
阴影部分的最小值为，
故答案为：．
15．．
解：连接，则：，
为弧的中点，
，
，
，
，，
，
四边形为矩形，，
，
四边形为正方形，
由勾股定理，得：，即：，
，
即：正方形的面积为4，
阴影部分的面积；
故答案为：．
16．．
解：如图，连接，过点作于点，由平移可知，四边形是平行四边形，
点是弧的中点，，
，，
，
，
在中，，，
，，
在中，，，
，
，
故答案为：．
17．．
解：如图，四边形是正方形，
，，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
故答案为：．
三．解答题
18．阴影部分的周长是7.14，面积是1.29．
解：周长：
；
面积：
；
答：阴影部分的周长是7.14，面积是1.29．
19．．
解：将绕逆时针方向旋转得到，
，，
，，
，
．
20．（1）证明见解析；
（2）．
（1）证明：如图，连接．
是圆的直径，
，即．
又，
是边上的中线，
；
（2）解：连接，
，
．
又，，
，
，
的长为：．
21．（1）证明见解答；
（2）．
（1）证明：是的直径，
，
又，
，
，
点是的中点，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
的长度．
22．（1）；（2），．
解：（1）在中，
，，
，
又，
，
．
，
．
．
（2）．
．
23．（1）的半径为5；
（2）．
解：（1）设的半径为，
，
，
在中，，，
，
，
解得，
的半径为5；
（2）如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为．
24．（1）是等腰三角形，证明见解答过程；
（2）①；
②．
（1）是等腰三角形，证明过程如下：
证明：是的直径，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：①，
，
，
，
，
，
；
②如图，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．