数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1函数的单调性与最值 课件（共34张ppt）

(共34张PPT)
3.2.1 函数的单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．3．会求一些具体函数的单调区间．
学习目标：
问题1
画出f(x)=x的图像，并观察其图像。
2、在区间 ________上，随着x的增大，f(x)的值随着 ______.
o
5
-5
-5
5
f(x)=x
1、从左至右图象上升还是下降 ____
上升
增大
1、在区间 ________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ______.
问题2
画出 的图像，并观察图像.
o
5
-5
-5
5
2、 在区间 ________ 上，f(x)的值随着x的增大而 _____.
(-∞,0]
(0,+∞)
减小
增大
函数单调性的概念：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x11．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ，当x1f(x2) ，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,如图2.
y
x
0
x1
x2
f(x1)
f(x2)
y=f(x)
图1
y
x
0
x1
x2
f(x1)
f(x2)
y=f(x)
图2
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) 分别是增函数和减函数.
注意
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
函数的单调区间
填表
函数
单调区间
k >0
k <0
k >0
k <0
增函数
减函数
减函数
增函数
单调性
函数
单调区间
单调性
增函数
增函数
减函数
减函数
【典例1】　作出下列函数的图象，并写出单调区间．
(1)单调递减区间为：(－∞，0]，
递增区间为：[0，＋∞)． (2)单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间．
（3）单调递增区间为： ，递减区间为：
如图是函数y=f(x)的图象,则函数f(x)的单调递减区间是 (　　)
A.(-1,0) 　　
B.(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) 　　
D.(-1,0),(1,+∞)
针对性练习
D
例2 、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1由V1，V2∈ (0，+∞)且V10, V2- V1 >0
又k>0,于是
所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
取值
定号
作差变形
结论
用定义证明函数单调性的步骤是：
（1）取值
（2）作差变形
（3）定号
（4）判断
根据单调性的定义得结论
即取 是该区间内的任意两个值且
即求 ，通过因式分解、配方、有理化等方法
即根据给定的区间和 的符号的确定
的符号
M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：
一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M;
（2）存在 ，使得 .
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：
（1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在 ，得 ，
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.
最小值
探究:函数单调性与函数的最值的关系
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (mO
x
y
当x=m时，f (x)有最小值f (m)，当x=n时,f (x)有最大值f (n).
(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？
O
x
y
当x=m时，f (x)有最大值f (m)，当x=n时，f(x)有最小值f (n).
(3)若函数 则函数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？
O
x
y
最大值f (l)=h，有最小值f (m), f (n)中较小者.
例4、求
上的最值。
例5 、已知函数 ，求函数的最大值与最小.
分析：由函数的图象可知道，此函数在[3，5]上递减。所以在区间[3，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值.
解：设 是区间[3，5]上的任意两个实数，且 ，则
由于 得
于是
即
所以，此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值即在x=3时取得最大值是1，在x=5时取得最小值为0.5.
课堂小结
2、函数单调性的定义；
3、证明函数单调性的步骤；
1、单调函数的图象特征；
4、函数的最值：
最大值
最小值