21.2 解一元二次方程 （降次）解一元二次方程说课课件（1-4课时） 63张PPT

(共63张PPT)
§21.2降次—解一元二次
方程
一、说 教 材
二、说 目 标
三、说 方 法
四、说 过 程
五、说 评 价
降
次
解
一
元
二
次
方
程
一、说教材 内容简介
《降次—解一元二次方程》的说课内容包括直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等常用的一元二次方程的求解方法。这些方法之间既相互联系又各有特点，针对具体的一元二次方程可以选择最简便的求解方法，使方程的求解过程得到简化。
本节课是在学习了二次根式及一元二次方程概念的基础上学习的。在学习本节课之前，学生已经掌握了非负数平方根的求法，具备了继续学习降次—— 解一元二次方程的知识基础和思想准备。
另外在《实数》一章中，学生掌握了被开平方数的非负性、开平方运算的条件，为学生理解方程根存在的条件打下基础。
一、说教材 前提分析
一元二次方程的解法是承接一元一次方程的解法之后的进一步学习，它是中学阶段的学习基础、中考必备知识，也是后续学习的基础和重要依据。
学习该部分内容，在处理一元二次方程的根时，就会多一些思考问题的思想和方法。教科书安排的引导学生实践、交流、探究问题的学习方式会使学生终身受益。
一、说教材 地位与作用
（1）掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程根的实质是：“降次”——把一元二次方程“降次”为一元一次方程进行求解。
（一）认知目标
（2）通过本节课的学习，
学生对于形如x2=p(p≥0）及(mx+n)2=p (p≥0）的一元二次方程，首选应用直接开平方法降次解方程；
形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程采用配方法或者公式法进行求解；
而对于形如(x+p)(x-q)=0或者易于化成因式积的一元二次方程首先想到应用因式分解法进行降次求解。
二、说目标 认知目标
（二）技能目标
（1）了解解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，在解方程的过程中体会化归的思想。
（2）结合一元二次方程的不同形式选择最优的求解方法，有利于培养学生的直觉思维能力和创造性思维的能力。
二、说目标 技能目标
（三）情感目标
（1）学生学习解一元二次方程的过程,经历由具体问题抽象出方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一种有效数学模型，强化方程思想，从中感受数学的技术价值和数学学习的意义，从而产生良好的数学学习态度。
（2）在学习的过程中，学生经历合作交流活动解决实际问题，根据问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生用数学分析问题、解决问题的数学意识、进一步发展学生合作交流的意识和数学能力。
二、说目标 情感目标
重点：
(1)掌握各种常用解一元二次方程的方法；
(2)根据一元二次方程的不同特点熟练的选择最优的求解方法，正确、快速的解一元二次方程。
强化措施：
（1）让学生参与各种一元二次方程解法的推导过程；
（2）让学生用自己的语言叙述各种解法的关键步骤；
（3）通过尝试巩固练习及时反馈矫正；
（4）对比分析各种解法的区别与联系，针对不同形式 的方程进行练习巩固。
二、说目标 重点难点
难点：
理解配方法与公式法的推导过程及判别式与方程根的关系。
突破措施：
（1）通过特殊例子引导学生归纳总结出一般规律；
（2）指导学生完成配方和公式法的推导过程加深
知识的联系；
（3）教会学生分析方程中各项系数与根的联系。
二、说目标 技能目标
本单元采用了引导发现式和自主探究式与交流讨论相结合的教学方式 。
通过学习使学生理解数学来源于生活，又应用于生活，进一步认识数学的工具性，激发学生学习的目的性。
在教学中由旧知识引导探究一般化问题的形式展开，利用学生已有的知识，让学生多交流，主动参与到教学活动中来。
三、说方法 教法分析
根据《新课程标准》：从学生已有的生活经验和知识出发。教学中密切联系学生的生活实际，从学生的实际出发，创设学生熟悉的生活问题情境，使他们感到生活中处处有数学。使学生懂得数学来源于生活，数学就在我们身边，发现身边的数学问题并为自己会解决数学问题感到自豪。
在数学课上，引导学生将数学与生活联系在一起，对课堂中提出的问题，鼓励学生通过观察、比较、思考交流等活动，学生各抒己见处理不同的数学问题。灵活地应用旧知识去研究新问题，在潜移默化中领会学习方法，使学生从“学会”到“会学”最后到“乐学”。
三、说方法 学法指导
运用多媒体教学，使学生乐意投入到现实的探究性数学活动当中去。同时借助于现代化的教学设备增大课时容量、激发学生学习兴趣、提高学习效率。
三、说方法 教学手段
说 过 程
直接开平方法和配方法
公 式 法
因式分解法
四、说过程
直接开平方法解一元二次方程
1
y
b
z
x2
x
a
x3
90
x
x
y2
x
x
x
（一）创设情境、提出问题
(二) 问题拓展、发展思维
(三) 共性探究、抽象概括
（四）实践新知、反馈调控
（五）反思评价、发展提高
（六）分层作业，拓展提高
说课流程
　 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面。你能算出盒子的棱长吗？
（一）创设情境、提出问题
问题1：如何设未知数？并根据问题的等量
关系列出方程？
设正方体的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为
6x2dm2,根据一桶油漆的可刷面积列出方程:
问题2：如何解这个方程呢？
化简整理，得 x2 = 25 ……… ①
由平方根的意义，可知 x1 = 5, x2= -5
即 x= ±5
∵x﹥0 ∴x= 5 即：正方形的边长为5dm.
设计意图：通过创设问题情境，激发学生学习兴趣；让学生感受直接开平方法应用必要性，从而引入新课。
解：由方程②得
所以 或
解得
思考：解方程 …②
…③
(二) 问题拓展、发展思维
问题3：方程②与方程①在形式上有何联系？
可否借鉴方程①的解法，求解方程②.
整体思想
x2 = 25 … ①
实质是降次
问题4：方程③与方程②、①在形式上有何异同？
能否将方程③转化为方程②的形式？怎样求解？
解：
变形，得
由此可得
即
转化思想
设计意图：三道例题的设置，体现了从特殊到一般；求解过程中用到了“整体思想”和“转化的思想”。充分体现了“化归思想”的应用，让学生在应用的过程中感受直接开平方法的本质------“降次”.
(三)共性探究、抽象概括
问题5：以上三个方程在形式上有什么共同点？
结论（1）方程等号的左边是一个完全平方式，
右边是一个非负常数;
…① …② …③
（2）这类方程都可以表示为
或 的形式.
(三)共性探究、抽象概括
问题6：由问题5的结论，谈谈此类方程解法的特点.
这种直接开平方法解一元二次方程的本质都是“降次”.
交流得出:
如果方程能化 或 的形式，那么可得 或 .
返回
设计意图：通过学生自己的观察、思考、归纳；从而发现问题，有助于学生对直接开平方法应用的理解。
…① …② …③
思想渗透：
把一个一元二次方程，通过直接开平方法“降次”转化为两个一元一次方程，这是“降次转化”思想.
重点关注：
①给学生思考、发现的时间；
②大力鼓励学生去观察、去发现、去表达；
③因势利导、适时点拨.
解下列方程
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ .
（四）实践新知、反馈调控.
设计意图：通过这一组练习，加深学生对直接开平方法的应用和掌握，同时深化对直接开平方解法方程的理解。
学生谈本课的学习感受和收获；
（五）反思评价、发展提高
我学会了……
我体会到……
我感到困难的是……
通过及时反思，给学生创设展示平台，让学生谈体验、讲收获，建构知识体系，获取数学方法，并逐步培养学生语言表达能力和交流评价能力。
（六）分层作业，拓展提高
1、解下列方程
① ; ② ；
③ ; ④ .
2、选做题
①若 ，则x的值是 .
②如果方程 ，那么这个一元二次方程的两根是 .
③解关于x的方程 .
设计意图：分层布置作业，既巩固本节主要内容，又有让学有余力的学生有思考和提升的空间。选作题③需要分类讨论求解，完善学生对直接开平方法的认识。
配方法解一元二次方程
（一）创设情境，提出问题
（二）对比探究，解决问题
（三）应用所学，巩固深化
（四）继续探究，拓展提升
（五）小结梳理，深化认识
（六）分层作业，延展提高
说课流程
（一）创设情境，提出问题
问题1:
要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且
面积为16m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据题意,列方程
X(x+6)=16
怎样解
设计意图：怎样把它转化为我们已经会解的方程？引导学生初步思考、回顾已有的知识，主动参与到本节课的研究中来。
（二）对比探究，解决问题
问题2: (1)我们会解什么样的一元二次方程？
举例说明。
设计意图：用问题唤起学生的记忆，明确用直接开平方可以求解 的方程特点。
（二）对比探究，解决问题
（2）把方程 化为一般形式，并把
两个方程进行对比，你能得到什么启发？
设计意图：通过对方程形式的变换，启发学生逆向思维，从而为发现解决方程 x2+6x-16=0 的方法奠定基础。
（3）探索 的求解过程和方法。
归纳：通过配成完全平方形式来解一元二次
方程的方法，叫做配方法。
小组合作，交流讨论；
发现问题，获得方法；
归纳总结，经验升华。
设计意图：通过学生之间的合作学习，既获得了解决问题的方法，又培养了学生的合作精神，特别是学生在自我探究的过程中获得学习经验，体现了学习作为学习的主体地位，并从中提升了学习的能力.
移项
两边都加上32,使左边配成x2+2bx+b2的形式
左边写成平方形式
降次
方程x2+6x-16=0的求解流程.
x2+6x-16 = 0
x2+6x = 16
x2+6x+32 = 16+32
（x+3）2 = 25
x+3 = ±5
x+3 = 5,x+3 = -5.
x = 2,x = -8.
解一次方程
问题4：
（1）配方的目的是什么？
（2）配方时应注意什么？
设计意图:
在完成这一系列探究活动后，教师提出问题引导学生回顾探究过程，进行阶段性小结。
（三）应用所学，巩固深化
例1：用配方法解方程：
设计意图：通过这一组练习，巩固利用配方法解方程的基本技能，深化对“配方”的理解。同时为活动四的探究奠定基础。
① ②
③ ④
2、解下列方程：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
（四）练习拓展，巩固提高
1、填空：
设计意图：通过这一组练习，检测和巩固学生对配方法解方程的掌握，深化对“配方”的理解。
学生谈本课的学习感受和收获；
我学会了……
我体会到……
我感到困难的是……
通过及时反思，给学生创设展示平台，让学生谈体验、讲收获，建构知识体系，获取数学方法，并逐步培养学生语言表达能力和交流评价能力。
（五）小结梳理，深化认识
（六）分层作业，延展提高
基础题：习题22.2 复习巩固2、3；
选做题：用配方法解方程。
设计意图：分层布置作业，既巩固本节主要内容，又有让学有余力的学生有思考和提升的空间。思考题把研究的对象从具体数字抽象到字母表示的数字，体现“从特殊到一般”，从具体到抽象的思维过程，巩固对配方的认识，同时，为后续学习中用配方法推导求根公式做铺垫。
公式法解一元二次方程
教学过程
复习回顾
问题导入
新知探究
新知应用
新知巩固
知识小结
一、用配方法解一元二次方程
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
设计意图：（1）利用“配方法”解一元二次方程，达 到“温故
而知新”的目的
（2）复习配方法的一般步骤，为下一步 解一般形
式的一元二次方程做准备
教学过程 复习回顾
你能用配方法解ax2+bx+c=0(a≠0)吗
教学过程 问题导入
设计意图：学会由特殊到一般的思想。
1.化1:把二次项系数化为1;
3.配方:方程两边都加上
一次项系数一半的平方;
4.变形:方程左分解,右合并;
5.开方:方程两边开平方(降次）;
6.求解:解一元一次方程;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
7.定解:写出原方程的解.
教学过程 新知探究
设计意图：培养学生思维的严谨性，通过小组的讨论有利于发挥学生的互帮互助；有利于突破难点。
小结：（1）一元二次方程 的根由a、b、c的值确定
当 时，原方程无实数解。
当 时， 原方程有实数解
（2）当 时，式子 叫做求根公式
利用 解一元二次方程的方法叫做公式法。
（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根。
教学过程 新知探究
例 用公式法解下列方程:
（1）
（2）
（3）
设计意图：规范解题格式；体验用公式法解一元二次方程的步骤。
教学过程 新知应用
（4）
1、写出a，b，c的值（切记：方程化成一般形式）。
2、计算b2-4ac的值并判号。
3、代入求根公式 :
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1= , x2=
设计意图：明确解题步骤，规范解题格式,让学生体会数学学科的条理性和严谨性。
教学过程 步骤总结
解下列一元二次方程：
（1） ；
（2） ；
（3） .
设计意图:(1)熟悉公式法，强化解题格式;
(2)总结一元二次方程根的规律和 b2-4ac 的关系 。
教学过程 巩固练习
回顾与思考
教学过程 知识小结
设计意图：以“回顾与思考” 的方式让学生总结本节课的收获，增强学生归纳总结能力。
1.本节课你学了哪些知识？
2.本节课你掌握了哪些数学方法？
3.本节课你最大的体验是什么？
本节课你学会了哪些知识？
　（1）学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．
（2）我扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式
教学过程 课时小结
本节课内容较为单一，通过“层层设疑”、“复习回顾”等环节促进学生的思考和探究。
通过比较合理的问题设计巩固练习、小组讨论等形式给学生提供了充分的展示机会，强化了学生的运算能力，有利于学生掌握基本技能。
教学评价
复习导入
讲解新知
新知应用
布置作业
因
式
分
解
法
解
方
程
教
学
过
程
小结扩展
巩固练习
归纳新知
1. 把下列各式分解因式
设计意图：用问题唤起学生的记忆，为下面用因式分解法解方程做铺垫
(1)
(2)
(4)
(3)
2.
（不能用配方法 公式法）
问题1 先对 因式分解，再使原式等于0，求x的值？
为什么
设计意图：通过实例，讲解新法，并鼓励学生独立思考，相互交流。从而激发了学生的兴趣.
一.因式分解法的定义
1.条件：方程左边易于分解,而右边等于零;
2.关键：熟练掌握因式分解的知识;
3.依据：如果a·b=0,那么a=0或b=0。
思想渗透： 把一个一元二次方程通过分解因式法“降次”转化为两个一元一次方程求解，这是“降次转化”思想。
二.使用因式分解法的条件 关键和依据
用分解因式法解方程
设计意图：通过这一组练习，巩固利用“分解因式”解方程的基本技能，深化对“分解因式”的理解。同时为总结分解因式法解一元二次方程的步骤奠定基础。
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.（实现降次）
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
1. 方程化为右边为0;
设计意图:在完成这一系列学习后，教师提出问题引导学生回顾学习过程，进行阶段性小结。
思考：分解因式法解一元二次方程的步骤是什么？
用因式分解法解下列方程吗？
设计意图：通过这一组练习，巩固利用“因式分解”解方程的基本技能.
1.以上的解一元二次方程与我们所学解方程方法有什么相同点和不同点
设计意图：给学生思考、发现的时间；鼓励学生去观察、去发现、去表达；
2.以上解方程的方法是如何使二次方程降为
一次方程的
你能用合适的方法解下列方程吗？
设计意图：通过这一组练习，强调配方法和公式
法是解一元二次方程基本方法，要作为一种基本
技能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快
捷地求解.
1.因式分解法的定义、条件和依据
2.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)右化零 (2) 左分解
(3) 两因式（降次） (4) 各求解
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
本节课你学会了哪些知识？
设计目的：用提问的方式让学生总结本节课的收
获，增强学生归纳总结能力。
解下列方程
设计意图：分层布置作业，既巩固本节主要内容，又有让学有余力的学生有思考和提升的空间。
五、说 评 价
本节课在设计的过程中考虑到列方程、解方程、方程的应用这几个环节不是截然割裂的，应该是同一个问题解决过程中的几个步骤。所以在说课设计上有意加强几者之间的联系。将解方程的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题解决的过程中，自然地提高学生的解题技能。
解方程的过程，本质是沟通“未知”与“已知”的过程，本质思想是化归。在方程解法探索的过程中，力图通过“未知”与“已知”转化；复杂问题与简单问题转化;特殊与一般的转化，渗透转化，化归的数学思想方法，并在教学活动中指导学生学习。