2023-2024学年陕西省西安重点大学附中高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安重点大学附中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列四组对象中能构成集合的是( )
A. 本校学习好的学生 B. 在数轴上与原点非常近的点
C. 很小的实数 D. 倒数等于本身的数
2.设集合，集合，且，则( )
A. B. C. D.
3.下列命题中，真命题的个数是( )
命题“，”的否定为“，”；
“”是“”的充要条件；
集合，表示同一集合；
“”是“”的必要不充分条件．
A. B. C. D.
4.若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知，且中至少有一个奇数，则这样的集合共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知集合，，若，则实数的取值的集合为( )
A. B. C. D.
7.若，，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
8.已知实数，满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题中，是真命题的有( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知集合，，则是的真子集的充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
11.下列结论正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，的最小值是
C. 当时，的最大值为
D. 当，时，
12.已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是( )
A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则
三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润单位：万元与机器运转时间单位：年之间满足，则当每台机器运转______ 年时，年平均利润最大，为______ 万元．
14.已知方程的两个根分别为，，则的最小值为______ ．
15.若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为______ ．
16.关于的不等式的解集中恰有个整数解，则的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共4小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知全集，集合，集合求：
；
；
．
18.本小题分
已知集合，，且．
若命题：，是真命题，求实数的取值范围；
若命题：，是真命题，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知命题：实数满足，命题：实数满足．
若，且假真，求实数的取值范围；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知不等式的解集为或．
求的值；
解关于的不等式其中．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合中的元素具有确定性，
而对于，，，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
所以，，C错误，
对于，符合集合的定义，D正确，
故选：．
根据集合中元素的特征即可判断选项是否正确．
本题考查了集合的定义以及集合的元素的特征，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，集合，
，
，
．
故选：．
先求出集合，，再利用集合的交集运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定为“，”，正确；
等价于且，而等价于或，
故“”是“”的充分不必要条件，错误；
集合，是函数的值域，
而集合，是函数的定义域，
故集合与集合不表示同一集合，错误；
若，可能、均为负数，不能得出，
反之若，可能为正数，为负数，且的绝对值较大．
因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，错误．
综上所述，其中的真命题只有．
故选：．
根据含有量词的命题的概念，判断的正误；根据等式的性质与平方非负的性质，判断的正误；根据函数的定义域与值域及其表示，判断的正误；根据不等式的基本性质，判断的正误，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的性质、充要条件的判断及其应用、含有量词的命题及其否定等知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：命题“，都有”为假命题，
故：，为真命题，
当时，解得，满足条件；
当时，一元二次方程有解，即，解得．
综上所述：实数的取值范围为：．
故选：．
直接利用一元一次方程和一元二次方程的有解求出结果．
本题考查的知识要点：恒成立问题和存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，中至少有一个奇数，包含两种情况，中有个奇数或个奇数，
若中含个奇数，有，
中含个奇数：，
由分类计数原理可得．共有种情况；
故选B．
根据题意，分中有个奇数或个奇数两种情况讨论，由排列组合知识易得每种情况下的集合数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的运用，解题的关键在于对“中至少有一个奇数”的理解，进而分“中有个奇数或个奇数”两种情况讨论．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的运算及元素与集合间关系的判断，属于基础题．
由题意得，再分类讨论并检验即可．
【解答】
解：，，
若，则；
则，
，满足，成立；
若，则或；
当时，，，不满足，不成立；
当时，，根据集合中的元素互异性，不成立；
综上所述，，
即实数的取值的集合为，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，，且，
，当且仅当时，取等号，
，故A不成立；
，故B不成立；
，故C不成立；
，，，
，故D成立．
故选：．
本题主要考查基本不等式，是中档题．
由题设知，所以，，，，由此可解．
8.【答案】
【解析】解：设，，，，
，
当且仅当，即，时，取等号，
又恒成立，
．
的最大值为．
故选：．
令，，则，，将原式转化为关于，的不等式，两次使用基本不等式得
的最小值，再解二次不等式得到结论．
本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A，若，，
不妨取，，
因为，
此时，
即选项A为假命题；
对于选项B，若，
显然，
则，
即选项B为真命题；
对于选项C，若，
不妨取，，
此时，
即选项C为假命题；
对于选项D，若，
则，
则，
即选项D为真命题．
故选：．
结合不等式的性质逐一判断命题的真假即可．
本题考查了不等式的性质，重点考查了命题的真假，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：，
若，则，满足是的真子集，
当时，，
若是的真子集，则或，
得或，
综上若是的真子集，则或或，
则是的真子集的充分不必要条件，则对应集合是的真子集，
则，满足条件．
故选：．
求出集合的等价条件，根据是的真子集求出满足条件的的取值范围，利用充分不必要条件的定义与集合关系进行转化求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的定义与集合关系进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：当时，，当且仅当，即时取等号，A正确；
当时单调递增，，B错误；
当时，，当且仅当，即时取等号，此时函数取得最大值，C正确；
，时，，当且仅当时取等号，D正确．
故选：．
由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，要注意应用条件的检验，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：集合有且仅有两个子集，则，所以，
对于，因为，所以，选项A正确；
对于，因为，当且仅当时取等号，所以，选项B正确；
对于，因为不等式的解集为，所以，选项C错误；
对于，因为不等式的解集为，且，
所以，即，化简得，解得，选项D正确．
故选：．
由集合有且仅有两个子集，得到判别式，由此利用作差法判断，利用基本不等式判断，利用根与系数的关系判断与．
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系应用问题，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：每台机器运转年的年平均利润为，，
故，当且仅当时等号成立，
故答案为：；．
先根据题意得到年平均利润为，，再根据基本不等式求解即可．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得：，
所以，
当且仅当时“”成立．
故答案为．
先求出，再利用基本不等式求得结果．
本题主要考查基本不等式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：不等式在内有解，
即，使得不等式成立，
，
设，，
当时，，
，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
由题意可知，使得不等式成立，所以，再结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了不等式有解问题，考查了二次函数的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由，
得，
若，则不等式无解．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，，，则．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，，，则．
综上，满足条件的的取值范围是．
故答案为：．
利用一元二次不等式的解法，解不等式，根据不等式的解集中恰有个整数解，确定解集的取值范围，即可求解．
本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，考查学生分析问题，解决问题的能力．
17.【答案】解：，
，．
；
；
．
【解析】求解不等式结合列举法化简与．
由并集运算的定义求解；由补集与交集的运算求解；由补集与并集的运算求解．
本题考查交、并、补集的混合运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
18.【答案】解：由已知可得，则，解得，
即实数的范围为；
因为，是真命题，
由已知可得，且，即，
当时，或，
解得，
则当时，实数的范围为
【解析】由已知可得，然后根据子集的定义建立不等式关系，由此即可求解；
由已知可得，先求出的的范围，然后根据补集的定义即可求解．
本题考查了集合的包含关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：当为真命题时：；
当为真命题时：．
若，则有：，
由假真，得，解得．
故实数的取值范围是；
若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，
则，，可得，即．
故实数的取值范围是．
【解析】先分别求出命题和命题为真命题时的取值范围．
当时，求出命题，由题意列关于的不等式组，从而得到的取值范围；
将是的必要不充分条件，转化为两集合间的关系，然后列出不等式组，求解即可．
本题考查命题真假的应用，复合命题真假的判断法则，充分条件与必要条件的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，是基础题．
20.【答案】解：不等式的解集为，或，
和是方程的解，
由韦达定理可得，解得，
即，，
；
，，
不等式化为，即，
当时，不等式化为，解得，
当时，解不等式得，
当时，若，即时，解不等式得或；若，即时，解不等式得；若，即时，解不等式得或，
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或．
【解析】利用韦达定理求解．
不等式化为，即，再对分情况讨论求解集即可．
本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，属于中档题．
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