2023-2024学年北京市重点中学高一（上）第一次质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市重点中学高一（上）第一次质检数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如果，那么正确的结论是( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.“成立”是“成立”的( )
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设集合，，若，则等于( )
A. B. C. D.
5.设，，，，且，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
6.方程组的解集是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.已知，，则，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.四个条件：；；；中，能使成立的充分条件的个数是( )
A. B. C. D.
9.已知集合或，，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
11.若方程的解集为，则 ______ ， ______ ．
12.已知全集，，，则如图中阴影部分表示的集合是______．
13.若，，并且，，则，，，由小到大的顺序排列是______．
14.已知满足“如果，则”的自然数构成集合”
若是一个单元素集合，则 ______ ．
满足条件的共有______ 个
三、解答题（本大题共5小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
已知全集，集合，或，
求：；
．
16.本小题分
已知集合．
Ⅰ当时，求；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
17.本小题分
求下列不等式解集．
．
．
18.本小题分
已知，是方程的两个实数根，且．
求的取值．
求的值．
19.本小题分
关于的不等式．
若不等式的解集为，求实数，的值：
若，解此不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，则，，，，错，对．
故选：．
利用元素与集合、集合与集合的关系判断可得出结论．
本题的考查的知识点是集合的包含关系的判断及应用，元素与集合之间的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】
【解析】解：由，解得：．
由，解得：．
“成立”是“成立”的必要不充分条件．
故选：．
分别解出不等式：，，即可判断出结论．
本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，若，则或，
解得或．
当时，不成立．
当，时，，，满足条件．
所以．
故选：．
根据集合相等得到或，然后分别验证是否成立即可．
本题主要考查集合相等的应用，比较基础．
5.【答案】
【解析】解析：对于，若，则不正确；
对于，，，则，所以，故B正确；
对于，若为正数，则，故C不正确；
对于，若，则，故D不正确．
故选：．
由不等式的性质逐一判断即可．
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
运用代入消元法解方程组即可．
本题考查解方程组，运用代入法进行消元是关键，属于基础题．
【解答】
解：记，由得：，将代入得，解得，
当时，，当时，，
故原方程组的解集为，，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，
所以．
故选：．
用作差法比较大小．
本题主要考查了作差法比较大小，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，时，，；
时，，；
时，，；
时，，
从而能使成立的充分条件的个数是个
故选：．
利用不等式的基本性质，分别进行变形，可以得到，即为使成立的充分条件．
本题以不等式为载体，考查充分条件，解题的关键利用不等式的基本性质，分别进行变形．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，或，则，
在数轴上表示如图
若，
必有；
故选：．
根据题意，由集合求出，并在数轴上表示出来，结合数轴分析可得若，必有；即可得答案．
本题考查集合的混合运算，涉及参数的问题，注意借助数轴来分析，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，对于不等式，
当时，不等式为，恒成立；
当时，则有，解可得，
综合可得：，即的取值范围为，
故选：．
根据题意，分种情况讨论：当时，易得不等式成立，当时，结合二次函数的性质分析，求出的取值范围，综合种情况可得答案．
本题考查不等式恒成立问题解法，涉及一元二次不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：方程的解集为，
，是方程的两个实数根．
，，
解得，．
故答案分别为：；．
方程的解集为，可得，是方程的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．
本题考查了集合的运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：全集，，，
，
图中阴影部分表示的集合是：．
故答案为：．
求出，图中阴影部分表示的集合是，由此能求出结果．
本题考查阴影部分表示的集合的求法，考查补集、交集等基础知识，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，或，
又，
，
综上可得：．
故答案为：．
由已知中，，并且，，结合同号两数积为正，异号两数积为负，可得答案．
本题考查的知识点是不等式比较大小，实数的性质，难度不大，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：时，满足条件；
时，；时，；时，；时，，
满足条件的为：，，，，，，，，，，，，，，，共个．
故答案为：；．
根据题意，是单元素集合时，；
根据条件得出时，；时，；时，；时，，然后列出满足条件的即可得出的个数．
本题考查了元素与集合的关系，列举法表示集合的方法，是基础题．
15.【答案】解：，或，
；
全集，，或，
或，，
则．
【解析】本题考查交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，属于基础题．
直接求出与的交集即可；
由全集，以及与，分别求出的补集与的补集，求出两补集的交集即可．
16.【答案】解：Ⅰ当时，，，
；
Ⅱ，是的子集，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上所述，
【解析】Ⅰ解不等式求得集合，，根据并集的运算即可求解；
Ⅱ根据交集的运算列不等式求解即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
17.【答案】解：由，
所以不等式解集为；
由，则或，
所以或，
故不等式解集为．
【解析】将分式不等式化为求解集即可；
由公式法求绝对值不等式的解集．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
18.【答案】解：由题意可得，，，，
所以，
，
所以舍或，
．
【解析】由题意可得，，，，代入到，即可求解；
，代入即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系的简单应用，属于基础试题．
19.【答案】解：由题设，是方程的两个根且，
所以，满足题设，
故，；
由题设，，
当时，，此时解集为；
当时，，此时解集为；
当时，，
若，即时，解集为；
若，即时，解集为，
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为，
【解析】由一元二次不等式的解集，结合对应方程根与系数关系列方程求参数；
讨论参数，利用一元二次不等式的解法求对应解集．
本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了韦达定理的应用，以及含参数的一元二次不等式的解法，属于基础题．
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