2023-2024学年江苏省常州市重点中学高一（上）学情检测数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年江苏省常州市重点中学高一（上）学情检测数学试卷（一）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知：，：，则是的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.不等式的解集为( )
A. B.
C. D. ，
6.若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.命题“，”为真命题的一个充要条件是( )
A. B. C. D.
8.函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.使“”成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
10.以下结论正确的是( )
A.
B. 的最小值为
C. 若，则
D. 若，则
11.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的解集为或
12.当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两集合之间构成“偏食”对于集合，，若与构成“全食”或构成“偏食”，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.不等式的解集是______
14.设集合满足，则符合题意的的个数为______．
15.设，，若，则实数的取值范围是______ ．
16.已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知，，求，取值范围；
已知，，求的取值范围．
18.本小题分
设全集，集合，．
若，求，；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
求函数的最小值；
已知，，且，求的最小值．
20.本小题分
已知命题：，，命题：，．
当命题为假命题时，求实数的取值范围；
若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围．
21.本小题分
某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量经测算，企业拟安装一种使用寿命为年的污水净化设备这种净水设备的购置费单位：万元与设备的占地面积单位：平方米成正比，比例系数为预计安装后该企业每年需缴纳的水费单位：万元与设备占地面积之间的函数关系为将该企业的净水设备购置费与安装后年需缴水费之和合计为单位：万元．
要使不超过万元，求设备占地面积的取值范围；
设备占地面积为多少时，的值最小？
22.本小题分
已知二次函数为实数
若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；
若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；
对，时，恒成立，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
因此．
故选：．
求出集合，利用交集的定义可求得集合．
主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由命题“，”是存在量词命题，
则它的否定是全称量词命题：，．
故选：．
存在量词特称命题的否定是全称量词命题．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的定义，属于容易题．
根据充分、必要条件的定义，由命题、对应的范围即可判断．
【解答】
解：因为命题对应的集合是命题对应的集合的真子集，
所以命题能推出命题，命题不能推出命题，
所以命题是命题的充分而不必要条件．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：若，则，故A不正确；
B.，，则，故B不正确；
C.，，则，正确；
D.取，，，，满足条件，，但．
故选：．
利用不等式的性质即可判断出结论．
本题主要考查不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，且，
解可得：，
即不等式的解集为，
故选：．
根据题意，原不等式可以转化为且，解可得的取值范围，即可得答案．
本题考查分式不等式的解法，关键将分式不等式转化为整式不等式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，则，
则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值．
故选：．
由，然后结合基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题中要注意对应用条件的检验，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，得，
函数在上的最小值为．
，成立，可得．
即命题“，”为真命题的一个充要条件是．
故选：．
由，分离参数，求出函数在上的最小值，即可求得的取值范围．
本题考查充要条件的应用，考查恒成立问题的求解方法，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，则，则，
又因为表示不大于的最大整数，
所以不等式的解集为：，
因为所求的时不等式成立的充分不必要条件，
所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可，
选项中只有．
故选：．
先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可．
本题考查集合间的关系，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由可得，解得：，
记，
设所求的充分不必要条件是，则有，
由真子集的性质可知，或都是的一个充分不必要条件．
故选：．
首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可．
本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，当且仅当时等号成立，因此A正确；
对于，，当且仅当时等号成立，但，因此B错误；
对于，，，，
，
当且仅当即即时等号成立，因此C错误；
对于，由，得，
当且仅当，即时取等号，因此D正确．
故选：．
根据基本不等式及不等式求最值的条件即可判断；根据，结合基本不等式即可判断．
本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
由题意知，和是方程的两根，且，再利用韦达定理，得出，，从而判断选项A和；由或，可判断选项B；将，代入不等式，解之，可判断选项D．
【解答】
解：由题意知，和是方程的两根，且，
，，
，，
，，，即选项A和C正确；
或，
，即选项B正确；
不等式可化为，
，，即选项D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，
若，则，满足，此时与构成“全食”．
若，则，
若与构成“全食”，或构成“偏食”，
则或，解得：或．
综上：或或．
故的取值集合为．
故选：．
根据与构成“全食”，或构成“偏食”，即可求出的值．
本题主要考查集合的新定义，利用集合元素之间的关系是解决本题的关键，考查学生的推理能力．
13.【答案】
【解析】解：不等式等价于
由于方程的解为：或
所以
故答案为：
解一元二次不等式即得解集．
本题考查了一元二次不等式的解法．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，集合满足，
则可以为、、、、、、、；有个；
故答案为：．
根据题意，由交集的定义分析集合可能的情况，分析可得答案．
本题考查集合并集的计算，关键是掌握集合并集的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
，利用集合的基本关系转化为元素与集合，元素与元素的关系求解．注意情情形．
本题考查的知识点是交集及其运算及集合的包含关系判断及应用，解答时容易漏掉的情况．
【解答】
解：由，可得，，
满足．
时，需，解得，
综上所述，实数的取值范围是或，即．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：已知正数，满足，
所以，
所以：
则：，
，
，
，
，
，
要使恒成立，只需满足即可，
故．
故答案为：．
首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得，最后利用基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
17.【答案】解：因为，由不等式的性质可得，则，
又，故．
又，，故．
综上，
令，，即，
则，解得．
则，，所以，即．
综上．
【解析】根据不等式的性质，求出和的范围，即可根据性质求得；
令，求出，的值，根据不等式的性质即可得到结果．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：若，则，
由，可得或，
所以，或；
若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，
因此可得或，解得，所以实数的取值范围是．
【解析】将代入，然后根据交集、补集的法则，求，，可得答案；
若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，列不等式求解．
本题主要考查了集合的交集与补集运算法则、不等式的解法、充要条件的判断等知识，属于基础题．
19.【答案】解：由题意令，可得，
所以，
当且仅当，即，时，函数有最小值；
，，且，所以，
，
当且仅当，即时取最小值．
【解析】利用换元法结合基本不等式即可求解；
将变形为，再利用乘法求解即可．
本题考查了利用基本不等式求函数的最值，是基础题．
20.【答案】解：当命题为假命题时，命题为真命题，
：，，
当时，，
，即；
实数的取值范围为．
命题和中有且仅有一个是假命题，
命题和一真一假，
当命题为真命题时，，解得或，
当命题为真，命题为假时，
，解得，
当命题为真，命题为假时，
，解得，
综上，实数的取值范围为．
【解析】根据为真命题，分离参数得到，得到答案；
根据题意得到命题和一真一假，分两种情况为真，为假时和当为真，为假时，求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：复合函数的性质，不等式组的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意得，，
要满足题意，则，
即，解得．
即设备占地面积的取值范围为．
，
当且仅当时，等号成立．
所以设备占地面积为时，的值最小．
【解析】由题意解不等式，即可求得；
利用基本不等式即可求解．
本题考查函数模型的运用，基本均值不等式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：二次函数，当时，，所以，即，
所以函数化为，
因为，恒成立，
所以当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为，
若，则，函数在内有最小值为，解得，所以；
若，则，函数在内单调递增，令，解得，所以；
若，则，函数在内单调递减，令，解得，所以不存在；
当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为，
函数在内单调递减，有最小值为，解得，所以的值不存在；
综上，实数的取值范围是；
时，，二次函数化为，
对，恒成立，即，解得，
所以实数的取值范围是；
对，时，恒成立，所以，解得；
所以，
当且仅当，即时取“”，
所以的最小值为．
【解析】二次函数可化为，讨论、，根据二次函数的图象开口方向，确定对称轴所在的位置，判断函数的单调性，从而求出的取值范围；
二次函数化为，对，恒成立，转化为关于的一次函数，令函数值大于即可求出的取值范围；
利用判别式得出，代入中利用基本不等式求出最小值．
本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，以及基本不等式的应用问题，是难题．
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