2023-2024学年江苏省南京重点高中高一（上）学情调研数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京重点高中高一（上）学情调研数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
3.设，，则( )
A. 或 B. 或
C. ， D.
4.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
5.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是，，，，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )
A. B. C. D.
6.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；有一半路程乙以速度行走，另一半路程以速度行走，如果，甲乙两人谁先到达指定地点( )
A. 甲 B. 乙 C. 甲乙同时到达 D. 无法判断
7.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数已知集合，是自恋数，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
8.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法中正确的有( )
A. 命题，则命题的否定是，
B. “”是“”的必要条件
C. 命题“，”的是真命题
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
10.已知：或，：，若是的充分不必要条件，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知关于的不等式的解集是，则( )
A. B. C. D.
12.下列说法正确的有( )
A. 已知，则的最小值为
B. 的最小值为
C. 若正数，满足，则的最小值为
D. 设，为正实数，若，则的最小值是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知集合，则 ______ ．
14.满足的集合的个数是______ ．
15.已知关于的不等式的解集中最多有个整数，则实数的取值范围是______ ．
16.设集合，，若集合中所有元素之和为，则实数的值可以为______ 写出两个符合条件的值，只写一个或有错误的均不得分
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，集合．
求，；
设，求A.
18.本小题分
已知集合，或．
当时，求；
在，，这三个条件中任选一个，补充在问中的横线上，并求解，若_____，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
19.本小题分
设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立．
若为真命题，求实数的取值范围；
若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
20.本小题分
某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两侧墙的长度均为米．
当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功，试求的取值范围．
21.本小题分
已知函数．
若，恒成立，求的取值范围；
已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知不等式的解集为．
若，且不等式有且仅有个整数解，求的取值范围？
解关于的不等式：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以．
故选：．
由已知结合集合的补集及并集运算即可求解．
本题主要考查了集合的补集及并集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：解一元二次不等式得：或，
又“或”是“”的必要不充分条件，
即“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
由一元二次不等式的解法及充分必要条件得：解不等式得：或，又“或”是“”的必要不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件，得解．
本题考查了一元二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题．
3.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
根据题意，集合，分别为两个函数的值域，分别求出这两个函数的值域，再求交集即可．
本题考查了函数值域的求法，以及集合交集的求法，做题时要细心，值域和定义域要区分清．
4.【答案】
【解析】【分析】
先根据图形得到图中的阴影部分是的子集，但不属于集合，属于集合的补集，然后用关系式表示出来即可．
本题主要考查了图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．
【解答】
解：图中的阴影部分是的子集，且不属于集合，属于集合的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题．
，，相加可得进而得到利用，可得，即可得出答案．
【解答】
解：，，
，即．
因此．
，
，
综上可得：．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：设从出发点到指定地点的路是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，，
依题意有：，，故，，
，即，
故甲先到达
故选A
由题意知，可分别根据两人的运动情况表示出两人走完全程所用的时间，再对两人所胡的时间用作差法比较大小即可得出谁先到达．
本题主要考查应用类问题中一个不等式的实际应用题，根据实际情况建立起函数模型，再利用不等式的性质比较大小是解决问题的关键，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：，所以是自恋数；
，所以不是自恋数；
，所以不是自恋数；
，所以是自恋数；
，所以不是自恋数；
，所以是自恋数．
所以集合．
所以真子集个数：个．
故选：．
根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合，进而即得．
本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，．
．
，当且仅当时取等号．
．
故选：．
，可得代入，利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了秦九韶与海伦公式计算三角形面积公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，命题的否定是，，故A正确；
对于，不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于，当时，，故C错误；
对于，关于的方程有一正一负根，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确．
故选：．
根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件等逐项判断即可．
本题主要考查了命题的否定，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．
由是的充分不必要条件，可求得的取值范围，即可求解．
【解答】
解：：或，：，是的充分不必要条件，
故，对比选项知满足条件．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：因为的解集是，
所以，且和是方程等于的两个解，
所以，即，，
所以，，，
所以AC正确，BD错误．
故选：．
由题可得，利用根与系数的关系可得，，然后逐项判断即得．
本题考查了根与系数的关系应用问题，也考查了不等式与方程的应用问题，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于项，因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故A项成立；
对于项，当时，，故B项错误；
对于项，正数，满足，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故C项成立；
对于项，因为，为正实数，所以，当且仅当时等号成立，
又因为，所以，
所以由得，即，
即，
又因为，，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，故D项成立．
故选：．
对于项，配凑后使用基本不等式判断即可，对于项，当时不成立即可判断，对于项，运用“”的代换及基本不等式即可判断，对于项，运用，结合已知条件转化为解关于的一元二次不等式即可．
本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
13.【答案】或．
【解析】解：由得，方程只有一个解，
当时，，即，；
当时，，，此时，即，，故．
综上所述，或．
故答案为：或．
求出、的值，再代入计算．
本题主要考查集合的相等，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
集合一定要含有元素，且不能由个元素，
即，或．
共有个，
故答案为：．
集合一定要含有元素，且不能由个元素，列举即可．
子集包括真子集和它本身，集合的子集个数问题，对于集合的子集问题一般来说，若中有个元素，则集合的子集共有个，真子集个．
15.【答案】
【解析】解：不妨设，
因为关于的不等式的解集中最多有个整数，
所以有，即，
解得，所以实数的取值范围是．
故答案为：．
构造二次函数，由题意有，由此即可求解．
本题考查讨论一元二次不等式有整数解的情况，属于中档题．
16.【答案】，从，，，中任选两个即可
【解析】解：集合，，
，
当时，，，，符合题意；
当时，，，，符合题意；
当时，，，，符合题意；
当时，，，，符合题意．
故答案为：，从，，，中任选两个即可．
分别化简集合，，分，，，四种情况讨论，验证即可．
本题考查集合间的运算，考查分类讨论思想，属于基础题．
17.【答案】解：，
或或，
或，
．
，
或．
【解析】本题主要考查集合的基本运算，一元二次不等式，绝对值不等式的解法，属于中档题．
先解一元二次不等式，绝对值不等式求出，，再根据集合的基本运算即可求解．
18.【答案】解：当时，，或，
所以，因此，．
若选，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由，可得，解得，此时．
综上，，即实数的取值范围是．
若选，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由，可得，解得，此时．
综上，，即实数的取值范围是．
若选，由可得，
当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由，可得，解得，此时．
综上，，即实数的取值范围是．
【解析】当时，利用补集和并集可求得集合；
若选，分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
若选，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
若选，分析可得，同．
本题主要考查集合的基本关系及基本运算，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：对于命题：对任意，不等式恒成立，
而，有的最小值为，
，即，得，
所以为真时，实数的取值范围是；
命题：存在，使得不等式成立，
只需的最小值小于等于即可，
而，
则当时，最小值为，
则由，得，
即命题为真时，实数的取值范围是，
依题意命题，一真一假，
若为假命题，为真命题，则，得；
若为假命题，为真命题，则，得，
综上，或．
【解析】根据不等式恒成立，转化为求函数的最值即可．
根据命题、有且只有一个是真命题，得到，一真一假，然后进行求解即可．
本题主要考查命题的真假判断，结合复合命题真假关系求出命题的等价条件是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：因为屋子的左右两侧墙的长度均为米，底面积为平方米，
所以屋子的前面墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以元，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元．
根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功．
【解析】由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可；
由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解．
本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意得，对于恒成立，
，
即在恒成立．
当时，，恒成立；
当时，此时，
则，在恒成立，
，当且仅当，即的时候取等号，
，的取值范围是；
当时，，
当时，，
则值域为，
，总存在，使，
的值域为值域的子集．
，
当时，，
则；
当时，，
则；
当时，，不符合题意．
综上所述，的取值范围是或
【解析】把恒成立问题通过参数分离转化为求最值问题；
把任意及存在问题转化为的值域为值域的子集，再根据集合间关系分类列不等式求解即可．
此题考查了函数恒成立问题，考查了转化思想，属于难题．
22.【答案】解：因为，不等式的解集为，
故的解集为且的解集为，
所以的根为，，
故，即，，
所以的解集为，
即恒成立，
所以，
解得，
不等式等价于，即，
所以，
由题意得，
解得，
综上，的取值范围为；
若，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
若，原不等式等价于的解集为且的解集为，
则，，
所以，，
不等式恒成立，
故，
解得，
不等式，
解得或，
当，时，，，
故，，
则不等式无解，
当，时，，，
故，，
则不等式，
解得，
综上，，解集为或；
当，时，不等式的解集；
当，时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
【解析】本题主要考查了含参数二次不等式的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
由已知结合二次函数的性质及二次不等式的恒成立可求；
结合含参二次不等式的求法对，进行分类讨论即可求解．
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