河北省石家庄市2015届高三复习教学质量检测（二）数学（理）试题

石家庄市2015届高三复习教学质量检测(二)
高三数学（理科）
(时间120分钟，满分150分)
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷(选择题，60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数(为虚数单位)对应的点位于
A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限
2．如果，那么下列不等式成立的是
A．　　B．　　C．　　D．
3．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算，则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过
A．0.1%　　B．1%　　C．99%　　D．99.9%
附：
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
4．已知实数满足条件，则的最小值为
A．3　　B．2　　C．　　D．0
5．运行如图所示的程序框图，如果输出的，则输入的范围是
A．　　B．　　C．　　D．
6．已知等差数列中，，则
A．　　B．　　C．　　D．
7．一排有6个座位，三个同学随机就坐，任何两人不相邻的坐法种数为
A．120　　B．36　　C．24　　D．72
8．若圆上有且仅有两点到直线的距离等于1，则的取值范围为
A．　　B．　　C．　　D．
9．函数，若，则的取值范围是
A．　　B．
C.　　D.
10．某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为1），则该几何体的表面积为
A．　　B．　　C．　　D．
11.已知函数的定义域为，且是偶函数．
又，存在，使得，则满足条件的的个数为
A．3　　B．2　　C．4　　D．1
12．已知定义在上的函数满足：，数列满足
，若其前项和为，则的值为
A．16　　B．17　　C．18　　D．19
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．双曲线的渐近线方程为
14．已知，则实数的取值范围是
15．在中，，，，则________.
16．三棱锥中有四条棱长为4，两条棱长为，则的取值范围为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
在中，分别为内角的对边长，且.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试求的面积．
18.（本小题满分12分）
我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：
空气污染指数
空气质量
空气污染指数
空气质量
0--50
优
201--250
中度污染
51--100
良
251--300
中度重污染
101--150
轻微污染
>300
重污染
151----200
轻度污染
我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天．
下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下：（百位为茎，十、个位为叶）
（Ⅰ）从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；
（Ⅱ）从这18天中任取3天，记X是达到A类或B类天的天数，求X的分布列及数学期望．
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，，，侧面底面．
（I）求证：平面；
（II）若，，，求二面角的余弦值．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆，抛物线．过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，且该抛物线在点处的切线经过坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点、两点，其中点在第一象限，点为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值及此时的方程．
（本小题满分12分）
已知．
(Ⅰ)当时，求函数的所有零点；
(Ⅱ)若有两个极值点，且，求证：(为自然对数的底数).
请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.几何证明选讲（本小题满分10分）
如图：已知与圆相切于点，经过点的割线交圆于点，的平分线分别交于点，.点是线段的中点,的延长线与相交于点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当恰为的中点时，求的值.
23．坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为其中为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为．
(Ⅰ)把曲线的方程化为普通方程，的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线，相交于两点，的中点为，过点做曲线的垂线交曲线于两点，求.
24.不等式选讲（本小题满分10分）
已知.
(Ⅰ)若，求的解集；
（Ⅱ）对任意，任意，恒成立，求实数的最大值.
2014-2015学年度高三数学质检二答案
（理科）
选择题
1-5 DABAD 6-10 CCBCB 11-12 AB
二、填空
13. 14. ［1，3］
15 -10
16. 注意：此题如果写成也可以
三、解答题（解答题如果和标准答案不一样，可依据本标准酌情给分）
17．解：（Ⅰ）∵，
又根据余弦定理，
∴，…………………………2分
化简得，
可得， ……………………………………………………………………4分
∵，∴.……………………………………………………………………5分
（Ⅱ）∵，
∴，
∴，
∴，
∴， ……………………………………………………………………8分
又∵为三角形内角，
故,
所以， ……………………………………………………………………………10分
所以. …………………………………………………………12分
18. 解：（Ⅰ） 从这18天中任取3天，取法种数有 ，
3天中至少有2个A类天的取法种数 ， ..... ....2分
所以这3天至少有2个A类天的概率为； .............................. ..4分
（Ⅱ）X的一切可能的取值是3,2,1,0. ……………… 5分
当X=3时， …………………… 6分
当X=2时， …………………… 7分
当X=1时， ……………… 8分
当X=0时， …………… 9分
X的分布列为
X
3
2
1
0
P
7/102
35/102
15/34
5/34
……………11分
数学期望为 ． ……………12分
19.解：（Ⅰ）证明：在侧面A1ABB1中，因为A1A=AB ，
所以四边形A1ABB1为菱形，所以对角线AB1⊥A1B，…………………………………2分
因为侧面A1ABB1⊥底面ABC，∠ABC=900，所以CB⊥侧面A1ABB1， 因为AB1平面A1ABB1内，所以CB⊥AB1，…………………………4分
又因为A1B∩BC=B，所以AB1⊥平面A1BC． …………………………………6分
（Ⅱ）在Rt△ABC中, AC=5, BC=3, 所以AB=4,
又菱形A1ABB1中,因为∠A1AB=600，所以△A1AB为正三角形,
如图，以菱形A1ABB1的对角线交点O为坐标原点OA1方向为x轴，OA方向为y轴，过O且与BC平行的方向为z 轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，设为平面的法向量，则，所以，令，得为平面的一个法向量，…………………………………9分
又为平面的一个法向量，
，……………………………11分
所以二面角B—A1C—C 1的余弦值为．…………………………………12分
法2：
在平面中过点作⊥于，连接，则⊥平面，所以∠即为二面角B—A1C—A的平面角，……………………………………………………8分
在△中，
又Rt△中，所以，
所以，………………………………………………………………11分
因为二面角B—A1C—C 1与二面角B—A1C—A互补，

所以二面角B—A1C—C 1的余弦值为二面角B—A1C—A的余弦值的相反数，
则二面角B—A1C—C 1的余弦值为．………………………………12分
20.解：（Ⅰ）由得，当得，
点的坐标为，则，，
过点的切线方程为即，………………………2分
令得， 。
即椭圆的方程为。 ……………4分
（Ⅱ）解法一：椭圆的方程为，．
依题意有，设，由得：，………6分
（*）……………………………………8分
令，，，，则
， ……………………………………10分
当且仅当，时，等号成立。
∴ ，
∴ 四边形面积的最大值为，
的方程为.…………………………………12分
解法二：设，则，，
。 ……………………………………6分
点到的距离为，
点到的距离为， …………………………………8分
，
令，，，，则
，当且仅当，时，等号成立。………10分
∴ ，
∴ 四边形面积的最大值为，
的方程为。 …………………………………12分
解法三：设，则， ……………8分
设，，
∴ ，…………………10分
其中，
∵ ，∴ ，，
此时，，。
∴ .
∴ 四边形面积的最大值为，
的方程为. ……………………………12分
21.解：(Ⅰ)当时，， .
设，，则，于是在上为增函数. ………………2分
又，所以，有唯一零点.
从而，函数有唯一零点. ………………4分
(Ⅱ) 欲证，需证
若有两个极值点，即函数有两个零点. 又，所以，是方程的两个不同实根.
于是，有.解之得，.
另一方面，由得，，
从而可得，.………………6分
于是，.
又，设，则.
因此，，.………………8分
要证
即证：，.即：
当时，有.
设函数，.………………10分
则,
所以，为上的增函数.注意到，.因此，.
于是，当时，有.
所以，有成立，即.………………12分
22.选修4-1：几何证明选讲
证明：
（Ⅰ）如图：
直线PA与圆O相切于点A

………………………………………2分
…………………………4分
……………………………5分
（Ⅱ）直线PA与圆O相切于点A
…………………7分
…………………………9分
………………………10分
23.选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）消去参数可得………………2分
…………………4分
（Ⅱ）

……………………6分
AB中垂线的参数方程 (1)
(2) ………………………8分
将（1）带入（2）中
……………………10分
24.选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）
……………………………………………………3分
………………………………5分
（Ⅱ）………………7分
………………9分
…………………10分