《直角三角形三边的关系》说课稿
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文档简介
课题：《直角三角形三边的关系》
说课教师：海口市琼山华侨中学 吴 瑜
一、教材分析
（一）教材所处的地位及作用
勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它将数与形密切联系起来，在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有广泛的应用。 由此可见，探索直角三角形三边的关系，发现并掌握勾股定理，它对学生更好地认识直角三角形和培养逻辑思维能力都是非常重要的,也是今后学生解直角三角形的基础。因此，本节内容在整个知识体系中起着重要的作用。
（二）教学目标
根据《数学课程标准》对这部分内容的要求，结合新课改理念及我班学生的实际情况，本节课我想达到以下三个教学目标：
【知识与技能目标】能说出勾股定理的内容,运用它进行简单的计算和实际应用。
【能力与方法目标】经历探索勾股定理的过程，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”这几个思维阶段，发展数形结合、合情推理的能力和语言表达的能力。
【情感与态度目标】通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值，使学生热爱祖国，热爱科学，同时对学生进行德育及美育；通过探索过程获得成功的经验和克服困难的经历，增强学生学习数学的信心。
（三）教学重点、难点
基于对教材的分析，我认为本节课的教学重点是：探究直角三角形三边的关系，归纳勾股定理及简单应用。
教学难点是：勾股定理的探索过程。
突破重难点的方法是充分运用多媒体教学手段，突出以学生的“数学活动”为主线，层层深入，逐一突破重难点。
二、教学对象分析：
我所教的八年级学生已经具备了一定的学习几何知识的能力，针对他们的知识结构和心理特征，本节课应多为学生提供自主、合作学习的机会，鼓励学生在充分实验、观察、小组讨论的基础上培养动脑、动手、动口能力，从而进一步增强他们主动参与意识，真正成为学习的主人。
三、教法设计与学法指导
1、教学方法
针对教材的知识结构和学生的心理特征，本节课的教学我采用引导探索法为主，并辅以讨论法、演示法，先由浅入深，由特殊到一般地提出问题，接着引导学生通过实验操作，归纳验证，让学生在自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念。
2、学法指导
现代教学理论认为，促进学生学习能力的提高，实施素质教育的关键是教给学生学习的方法。本节课，我注重让学生经历数学知识的形成过程，体验数学家探求新知的乐趣，充分调动学生的学习积极性。“操作＋思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征，通过教师引导，学生自主探索获取新知，并进一步理解和运用，这样可让学生体会到：学习任何知识的最好方法就是自己去探究。
四、教学手段
为了直观、生动地表示图形，增加课堂的容量，提高教学效率，同时有利于突出重点、突破难点，增强教学条理性、形象性，本节课我采用多媒体辅助教学。
五、教学流程
根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：创设情境，引发思考――自主探索，合作交流――归纳概括，发现定理――追溯历史，激发情感――学以致用，体验成功――回顾反思，提炼升华――布置作业，课堂延伸，这一流程体现知识发生、发展和形成的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
六、教学过程
接着我来具体谈一谈这一节课的教学过程：
（一）创设情境，引发思考
如图：受台风利奇马的影响，一棵树在垂直地面4米处断裂，树的顶部落在离树根底部3米处，这棵树折断前有多高？
设计意图：（由学生身边的问题入手，使学生感受到生活中处处有数学，体现数学来源于生活又服务于生活的思想。这时学生可能会凭直觉感知：直角三角形的三边应该有特殊的关系，能激发学生的探究欲望。著名教育家苏霍姆林斯基曾经说过：如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度。）
（二）自主探索，合作交流
请学生观察邮票图案，看有哪些发现？
设计意图：（开放性的问题设置，学生不仅能发现小方
格数量的关系，而且能发现邮票的设计思路，为下面的
动手操作作准备。）
探究活动1：
将邮票中的直角三角形放到方格纸中研究，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，让学生求出这三个正方形的面积。
设计意图：（这样的设计，有利于学生通过正方形面积之间的关系，主动建立由几何图形到代数运算，由代数运算到几何图形的联想，体会数形结合的思想，感受数学学习的过程。）
探究活动2：
提出问题：是否所有的直角三角形都有这个性质呢？
先让学生大胆猜想，再让学生在准备好的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形,进行验证。
有的学生会画等腰直角三角形，教师要注意抓住这个例子，为全面归纳提供基础。教师通过表格的形式展示部分学生的实验结果，学生容易发现对于所有以整数为边长的直角三角形都有两直角边的平方和等于斜边的平方。
计算大正方形的面积利用“补”的方法把它看做边长是整数的大正方形面积的一半容易想到，但“割”的方法会有一定困难，教师利用多媒体动态演示。
设计意图：（此处设计让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，发展学生的合情推理能力。这样设计不仅有利于突出重点，而且让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高。）
探究活动3：
画一画：
在网格纸上画出直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度的直角三角形，上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。
设计意图：（通过上述探究活动，学生已初步探究出直角边为整数的直角三角形三边的关系。设计让学生动手画直角边是小数的情形，将探究活动进一步深化，从而由特殊扩展到一般情况。学生发现任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。）
探究活动4：
议一议：观察并计算，判断锐角三角形，钝角三角形三边的长度是否满足a2 +b2=c2
设计意图：（经过上述探究活动，学生已初步认识到直角三角形的特有性质，但学生已有的认知基础会不断地向学生提问：锐角、钝角三角形是否也具有这样的性质？此环节的设计符合学生的认知特点，通过与锐角三角形、钝角三角形的对比，进一步强调“直角三角形”这个前提条件。）
“自主探索，合作交流”这一环节是本节课的重点，总的设计意图：确保学生主体作用得到充分发挥，让学生从被动学习到主动学习、自主学习，让学生从接受知识到探究知识，从个人学习到合作交流。这样的教学活动将会真正焕发出课堂教学的活力，从而在课堂教学中注入一种新课程理念：给学生一个问题，让他们自己去找答案；给学生一个空间，让他们自己往前走；给学生一个条件，让他们自己去锻炼；给学生一定时间，让他们自己去安排；给学生一个题目，让他们自己去创造。
（三）归纳概括，发现定理
得出结论：勾股定理——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则
AC2+BC2＝ AB2 （或a2＋b2＝c2）
此处教师引导学生用符号语言表示勾股定理。
设计意图：（将文字语言转化为数学语言是数学学习的一项基本能力。尽管学生可能讲的不完全正确，但对于培养学生运用数学语言进行抽象、概括的能力是有益的，让学生在长知识的同时，也长了智慧。）
（四）追溯历史，激发情感
利用多媒体介绍勾股定理的历史，列举东西文化中对勾股定理的发现，介绍一些著名的人物、著作和学派,如商高、《周髀算经》、毕达哥拉斯……，并展示美丽的“勾股树”。
商 高 《周髀算经》 毕达哥拉斯
设计意图：（这一设计让学生体会勾股定理所蕴涵的文化价值。学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣，为下一节的验证打好基础。展示美丽的“勾股树”，体现了数学教学的美育意义）
（五）学以致用，体验成功
1，完成基础练习
2，回到开头的实际问题，前后呼应，体验成功。
3，如图：一块长约8m、宽约6m的长方形草地，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”。请同学们说说：
（1） 走斜“路”的客观原因是什么？为什么？
（2） 斜“路”比正路近多少？这么几步近路，值得吗？
4，在平静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少
设计意图：（练习设计上我立足于巩固，着眼于发展，同时兼顾差异，满足部分同学渴望发展的要求。第1题是基础训练题，第2题与开头首尾呼应，第3、4题是实际应用题，同时通过第3题还可对学生进行社会公德教育，体现了数学教学的德育意义。总之，通过练习，让学生从解决问题中体会到了成功的喜悦，进一步体会了勾股定理的广泛应用，增强了用数学的意识。）
（六）回顾反思，提炼升华
通过本节课的学习，你有哪些收获与感悟？
学生从知识、过程、方法、情感态度等方面发表看法，积极进行自我总结，相互补充，巩固探究成果。
教师语言：牛顿从苹果落地最终确立了万有引力定律,我们从身边的邮票中发现了勾股定理,虽然两者尚不可同日而语。也许就在我们身边,还隐藏着好多的“万有引力定律”和“勾股定理”，等待我们去探索，等待我们去发现……
设计意图：（这一设计让学生对学习内容进行梳理，将知识条理化、系统化，提炼升华。同时可结合此对学生进行励志教育，一举多得。）
（七）布置作业，课堂延伸
1，有关勾股定理的简单计算题
2，选做题 ：勾股定理的灵活应用
做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的长方体木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。
设计意图：（作业布置上体现层次性及开放性，面向全体又考虑个体差异，达到提高和“减负”的目的。选做题让学生进一步体会勾股定理在解决直角三角形边的计算方面的重要作用，提高学生分析问题、解决问题的能力。）
附:板书设计
我本节课的板书设计力求简洁醒目，体现“有序”性，反映整节课的学习过程和重点内容，便于学生课后复习。
直角三角形三边的关系
勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。几何语言:在Rt△ABC中，∠C＝90°，则 AC2+BC2＝ AB2 （或a2＋b2＝c2） 简单的实际应用
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__________ 练习题及其解答
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说课教师：海口市琼山华侨中学 吴 瑜
一、教材分析
（一）教材所处的地位及作用
勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它将数与形密切联系起来，在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有广泛的应用。 由此可见，探索直角三角形三边的关系，发现并掌握勾股定理，它对学生更好地认识直角三角形和培养逻辑思维能力都是非常重要的,也是今后学生解直角三角形的基础。因此，本节内容在整个知识体系中起着重要的作用。
（二）教学目标
根据《数学课程标准》对这部分内容的要求，结合新课改理念及我班学生的实际情况，本节课我想达到以下三个教学目标：
【知识与技能目标】能说出勾股定理的内容,运用它进行简单的计算和实际应用。
【能力与方法目标】经历探索勾股定理的过程，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”这几个思维阶段，发展数形结合、合情推理的能力和语言表达的能力。
【情感与态度目标】通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值，使学生热爱祖国，热爱科学，同时对学生进行德育及美育；通过探索过程获得成功的经验和克服困难的经历，增强学生学习数学的信心。
（三）教学重点、难点
基于对教材的分析，我认为本节课的教学重点是：探究直角三角形三边的关系，归纳勾股定理及简单应用。
教学难点是：勾股定理的探索过程。
突破重难点的方法是充分运用多媒体教学手段，突出以学生的“数学活动”为主线，层层深入，逐一突破重难点。
二、教学对象分析：
我所教的八年级学生已经具备了一定的学习几何知识的能力，针对他们的知识结构和心理特征，本节课应多为学生提供自主、合作学习的机会，鼓励学生在充分实验、观察、小组讨论的基础上培养动脑、动手、动口能力，从而进一步增强他们主动参与意识，真正成为学习的主人。
三、教法设计与学法指导
1、教学方法
针对教材的知识结构和学生的心理特征，本节课的教学我采用引导探索法为主，并辅以讨论法、演示法，先由浅入深，由特殊到一般地提出问题，接着引导学生通过实验操作，归纳验证，让学生在自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念。
2、学法指导
现代教学理论认为，促进学生学习能力的提高，实施素质教育的关键是教给学生学习的方法。本节课，我注重让学生经历数学知识的形成过程，体验数学家探求新知的乐趣，充分调动学生的学习积极性。“操作＋思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征，通过教师引导，学生自主探索获取新知，并进一步理解和运用，这样可让学生体会到：学习任何知识的最好方法就是自己去探究。
四、教学手段
为了直观、生动地表示图形，增加课堂的容量，提高教学效率，同时有利于突出重点、突破难点，增强教学条理性、形象性，本节课我采用多媒体辅助教学。
五、教学流程
根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：创设情境，引发思考――自主探索，合作交流――归纳概括，发现定理――追溯历史，激发情感――学以致用，体验成功――回顾反思，提炼升华――布置作业，课堂延伸，这一流程体现知识发生、发展和形成的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
六、教学过程
接着我来具体谈一谈这一节课的教学过程：
（一）创设情境，引发思考
如图：受台风利奇马的影响，一棵树在垂直地面4米处断裂，树的顶部落在离树根底部3米处，这棵树折断前有多高？
设计意图：（由学生身边的问题入手，使学生感受到生活中处处有数学，体现数学来源于生活又服务于生活的思想。这时学生可能会凭直觉感知：直角三角形的三边应该有特殊的关系，能激发学生的探究欲望。著名教育家苏霍姆林斯基曾经说过：如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度。）
（二）自主探索，合作交流
请学生观察邮票图案，看有哪些发现？
设计意图：（开放性的问题设置，学生不仅能发现小方
格数量的关系，而且能发现邮票的设计思路，为下面的
动手操作作准备。）
探究活动1：
将邮票中的直角三角形放到方格纸中研究，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，让学生求出这三个正方形的面积。
设计意图：（这样的设计，有利于学生通过正方形面积之间的关系，主动建立由几何图形到代数运算，由代数运算到几何图形的联想，体会数形结合的思想，感受数学学习的过程。）
探究活动2：
提出问题：是否所有的直角三角形都有这个性质呢？
先让学生大胆猜想，再让学生在准备好的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形,进行验证。
有的学生会画等腰直角三角形，教师要注意抓住这个例子，为全面归纳提供基础。教师通过表格的形式展示部分学生的实验结果，学生容易发现对于所有以整数为边长的直角三角形都有两直角边的平方和等于斜边的平方。
计算大正方形的面积利用“补”的方法把它看做边长是整数的大正方形面积的一半容易想到，但“割”的方法会有一定困难，教师利用多媒体动态演示。
设计意图：（此处设计让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，发展学生的合情推理能力。这样设计不仅有利于突出重点，而且让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高。）
探究活动3：
画一画：
在网格纸上画出直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度的直角三角形，上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。
设计意图：（通过上述探究活动，学生已初步探究出直角边为整数的直角三角形三边的关系。设计让学生动手画直角边是小数的情形，将探究活动进一步深化，从而由特殊扩展到一般情况。学生发现任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。）
探究活动4：
议一议：观察并计算，判断锐角三角形，钝角三角形三边的长度是否满足a2 +b2=c2
设计意图：（经过上述探究活动，学生已初步认识到直角三角形的特有性质，但学生已有的认知基础会不断地向学生提问：锐角、钝角三角形是否也具有这样的性质？此环节的设计符合学生的认知特点，通过与锐角三角形、钝角三角形的对比，进一步强调“直角三角形”这个前提条件。）
“自主探索，合作交流”这一环节是本节课的重点，总的设计意图：确保学生主体作用得到充分发挥，让学生从被动学习到主动学习、自主学习，让学生从接受知识到探究知识，从个人学习到合作交流。这样的教学活动将会真正焕发出课堂教学的活力，从而在课堂教学中注入一种新课程理念：给学生一个问题，让他们自己去找答案；给学生一个空间，让他们自己往前走；给学生一个条件，让他们自己去锻炼；给学生一定时间，让他们自己去安排；给学生一个题目，让他们自己去创造。
（三）归纳概括，发现定理
得出结论：勾股定理——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则
AC2+BC2＝ AB2 （或a2＋b2＝c2）
此处教师引导学生用符号语言表示勾股定理。
设计意图：（将文字语言转化为数学语言是数学学习的一项基本能力。尽管学生可能讲的不完全正确，但对于培养学生运用数学语言进行抽象、概括的能力是有益的，让学生在长知识的同时，也长了智慧。）
（四）追溯历史，激发情感
利用多媒体介绍勾股定理的历史，列举东西文化中对勾股定理的发现，介绍一些著名的人物、著作和学派,如商高、《周髀算经》、毕达哥拉斯……，并展示美丽的“勾股树”。
商 高 《周髀算经》 毕达哥拉斯
设计意图：（这一设计让学生体会勾股定理所蕴涵的文化价值。学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣，为下一节的验证打好基础。展示美丽的“勾股树”，体现了数学教学的美育意义）
（五）学以致用，体验成功
1，完成基础练习
2，回到开头的实际问题，前后呼应，体验成功。
3，如图：一块长约8m、宽约6m的长方形草地，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”。请同学们说说：
（1） 走斜“路”的客观原因是什么？为什么？
（2） 斜“路”比正路近多少？这么几步近路，值得吗？
4，在平静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少
设计意图：（练习设计上我立足于巩固，着眼于发展，同时兼顾差异，满足部分同学渴望发展的要求。第1题是基础训练题，第2题与开头首尾呼应，第3、4题是实际应用题，同时通过第3题还可对学生进行社会公德教育，体现了数学教学的德育意义。总之，通过练习，让学生从解决问题中体会到了成功的喜悦，进一步体会了勾股定理的广泛应用，增强了用数学的意识。）
（六）回顾反思，提炼升华
通过本节课的学习，你有哪些收获与感悟？
学生从知识、过程、方法、情感态度等方面发表看法，积极进行自我总结，相互补充，巩固探究成果。
教师语言：牛顿从苹果落地最终确立了万有引力定律,我们从身边的邮票中发现了勾股定理,虽然两者尚不可同日而语。也许就在我们身边,还隐藏着好多的“万有引力定律”和“勾股定理”，等待我们去探索，等待我们去发现……
设计意图：（这一设计让学生对学习内容进行梳理，将知识条理化、系统化，提炼升华。同时可结合此对学生进行励志教育，一举多得。）
（七）布置作业，课堂延伸
1，有关勾股定理的简单计算题
2，选做题 ：勾股定理的灵活应用
做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的长方体木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。
设计意图：（作业布置上体现层次性及开放性，面向全体又考虑个体差异，达到提高和“减负”的目的。选做题让学生进一步体会勾股定理在解决直角三角形边的计算方面的重要作用，提高学生分析问题、解决问题的能力。）
附:板书设计
我本节课的板书设计力求简洁醒目，体现“有序”性，反映整节课的学习过程和重点内容，便于学生课后复习。
直角三角形三边的关系
勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。几何语言:在Rt△ABC中，∠C＝90°，则 AC2+BC2＝ AB2 （或a2＋b2＝c2） 简单的实际应用
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__________ 练习题及其解答
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