22.3实际问题与二次函数教案
教学任务分析
教
学
目
标
知识技能
生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用．
数学思考
在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
解决问题
1．通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维．
2．在转化、建模中，学会合作、交流.
情感态度
1．通过对拱桥图片的欣赏，感受数学在生活中的应用，激发学习热情．
2．在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神．
重点
利用二次函数解决有关拱桥问题．
难点
建立二次函数数学模型．
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1 欣赏图片
活动2 探索拱桥问题
活动3 解决拱桥问题
活动4 类比例题，巩固知识
活动5 小结、布置作业
通过对石拱桥图片的欣赏，激发学生对函数实际应用的探索兴趣．
观察、分析桥拱的形状，由生活实际抽象为数学问题，发展学生分析问题的能力．
通过建模，解决实际问题，体会数形结合思想，激发探索精神．
通过对例题的类比模仿，建立数学模型，巩固二次函数的实际应用．
回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高．
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动1]
欣赏一组石拱桥的图片，观察桥拱的形状．
问： 你见过石拱桥吗？你观察过桥拱的形状吗？
教师出示图片．
学生观察图片发表见解．
教师作补充说明：
这组石拱桥图案中，桥拱的形状都可以近似地看成抛物线，因此很多有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决．
教师关注：
学生通过观察、分析，把生活实际与数学知识相联系．
在生活实际中提出桥拱问题，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情，同时为探索二次函数的实际应用提供背景材料．
[活动2]
展示问题
一抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水面下降1米，水面宽度增加多少？
教师展示图片并提出问题；
学生观察图片，自主分析，得出结论：
设二次函数，用抛物线知识解决．
由拱桥和水位变化问题激发学生探究和学习的欲望．
[活动3]
1．分析问题
（1）如何设抛物线表示的二次函数？
（2）水面下降1米的含义是什么？
（3）如何求宽度增加多少？
师生共同分析：
（1）设二次函数为，其中 ；
（2）自变量变化；
（3）函数值变化,寻找增量．
教师关注：
（1）学生能否用函数的观点来认识问题；
通过对实际问题转化为数学问题，让学生体会数学建模思想．
问题与情境
师生行为
设计意图
2．解决问题
解：设抛物线表示的二次函数为．
y
1
0 1 x
（2）学生能否建立函数模型；
（3）学生能否找到两个变量之间
的关系；
（4）学生能否从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．
师生共同得到：
由题意知抛物线经过点，
可得 ，．
这条抛物线表示的二次函数为
．
又知水面下降1米时，水面的纵坐标为，则对应的横坐标是和
所以水面增加的宽度是米．
教师关注：
（1）二次函数是生活中实际问题的
模型，可以解决现实问题；
（2）通过数学模型的使用，感受数
学的应用价值．
通过实际问题的解决，并对解决方法进行反思，获得解决问题的经验，感受数学的价值．
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动4]
练习：
有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽度是米，水位上升4米就达到警戒线CD，这时水面宽是米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M处．
y
M
C D
A 0 B x
学生独立完成．
教师关注：
学生能否独立建立数学模型；
学生能否独立找到两个变量之间的关系；
由已给抛物线如何求解析式；
（4） 如果题中不给图象，关注学生抛物线模型的建立情况．
通过对例题的类比模仿，学生独立完成数学模型的建立，巩固二次函数的实际应用．
本题的设计，是让学生体会数学模型的建立，在同一个问题中可以是不同的，培养学生的建模能力．
[活动5]
小结：
作业：
学生谈体会．
教师进行补充、总结．
教师关注：
（1）从实际问题中抽象出数学问题；
（2）建立数学模型，解决实际问题；
（3）掌握数形结合思想；
（4）感受数学在生活实际中使用价值．
布置作业，学生结合例题完成．
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对数形结合思想的理解，培养学生的数学应用意识．
教学设计说明
本节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的一节应用课．主要内容包括：实际问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值．
学习数学的目的就是为现实生活服务．二次函数与现实生活联系紧密，运用函数知识解决生活实际问题是数学的实际应用价值的体现，其中的关键是帮助学生将实际问题转化为数学问题，建立数学模型．本节课的设计就是从现实生活入手，通过对图形的理解和分析，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，让学生在解题的过程中体会数学的应用价值，培养学生的数学实践能力．
教学从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，让学生体会解决现实生活问题的快乐．
课件17张PPT。---二次函数的应用22.3 实际问题与二次函数
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。解这类题目的一般步骤最大利润问题，面积问题．一座拱桥的示意图如图，当水面在 时，拱顶离水面2m，水面宽度4m，已知桥洞的拱形是抛物线，当水面下降1m时，水面宽度增加多少？0(2,-2)
●(-2,-2)
●来到小桥旁 抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2m，水面宽度4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？0(2,-2)
●(-2,-2)
●来到小桥旁例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
分析：
如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是 ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．AB解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。
由题意，得点B的坐标为（0.8，-2.4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
，
所以 ，
因此，函数关系式是
BA问题2
一个涵洞成抛物线形，它的截面如图.现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？ 分 析
根据已知条件，要求ED宽，只要求出FD的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D的横坐标．
因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．你会求吗？
D （1）河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为 y= - x2 ， 当水位线在AB位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ ）
A、5米 B、6米； C、8米； D、9米练习解:建立如图所示的坐标系 （2）一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).●A(2,-2)●B(X,-3)练习 练习 （3）某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4.4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
今天,你学会了什么?实际问题抽象转化数学问题运用数学知识问题的解返回解释检验解二次函数应用题的一般步骤：
1 . 审题,弄清已知和未知。
2 . 将实际问题转化为数学问题。建立适当的平面直角坐标系小结反思3 .根据题意找出点的坐标，求出抛物线的 解析式。分析图象(并注意变量的取值范围), 解决实际问题。4 .返回实际背景检验。结束寄语生活是数学的源泉.
