【名校精品解析系列】数学文卷·2015届河北省保定市高三上学期期末考试

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2014—2015学年度第一学期高三期末考研考试
数学试题（文科）
【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础 ( http: / / www.21cnjy.com )知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数、圆锥曲线、程序框图、概率、集合、复数等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.21世纪教育网版权所有
第Ⅰ卷
【题文】一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）21·cn·jy·com
【题文】1、若复数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【知识点】复数的运算L4
【答案】【解析】C
解析：，,所以，则选C.
【思路点拨】掌握复数的除法运算是解答的关键.
【题文】2、已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【知识点】集合的运算A1
【答案】【解析】B
解析：因为，所以，所以选B.
【思路点拨】可先求出集合M,N，再求两个集合的并集即可.
【题文】3、已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．1 B． C．-1 D．
【知识点】三角函数的性质C3
【答案】【解析】A
解析：因为函数的最小正周期为，所以，则，所以选A.
【思路点拨】可先由最小正周期求函数解析式，再代入求所求函数值.
【题文】4、在区间内随机取出一个实数，则的概率为（ ）
A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【知识点】几何概型K3
【答案】【解析】D
解析：因为所求事件对应的区间长度为1，所以的概率为，则选D.
【思路点拨】由已知条件可知所求概率为几何概型，分别求出所求事件对应的长度区间与总体对应的长度区间，代入公式求值即可.2·1·c·n·j·y
【题文】5、运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）
A．2014 B．2013 C．1008 D．1007
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【知识点】程序框图L1
【答案】【解析】D
解析：由程序框图可知，所以选D.
【思路点拨】遇到循环结构程序框图问题，可依次执行循环体发现所求值的规律，再进行解答.
【题文】6、已知实数满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．2 B．0 C．-10 D．-1 5
【知识点】简单的线性规划E5
【答案】【解析】B
解析：实数满足约束条件对应的平面区域如图为ABO对应的三角形区域，当动直线经过原点时，目标函数取得最大值为z=0，所以选B.
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【思路点拨】由x,y满足的约束条件求最值问题，通常结合目标函数的几何意义数形结合寻求取得最值的点，再代入目标函数求最值.21cnjy.com
【题文】7、如图为互相垂直的两个单位向量，则（ ）
A．20 B． C． D．
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【知识点】向量的坐标运算F2
【答案】【解析】C
解析：分别以的方向为x,y轴方向建立直角坐标系，则，，所以选C.
【思路点拨】遇到向量的运算时，若直接计算不方便，可建立直角坐标系转化为坐标运算进行解答.
【题文】8、湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【知识点】球的截面性质G8
【答案】【解析】B
解析：设球半径为R，则有,解得R=10，所以球面上的点到冰面的最大距离为R+R－2=18cm，则选B.21·世纪*教育网
【思路点拨】一般遇到球的截面问题，通常利用球的截面性质寻求截面圆的半径与球半径的关系进行解答.
【题文】9、已知等比数列中，若成等差数列，则公比（ ）
A．1 B．1或2 C．2或-1 D．-1
【知识点】等比数列 等差数列D2 D3
【答案】【解析】C
解析：因为，则有，解得q=1或q=－2，则选C.
【思路点拨】可利用等比数列的通项公式及成等差数列得到关于q的方程，解答即可.
【题文】10、已知函数，则它们的图象可能是（ ）
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【知识点】函数与导数的关系B11
【答案】【解析】B
解析：因为二次函数g(x)的对称轴为x= ( http: / / www.21cnjy.com )－1,所以排除A,D，又因为函数g(x)为函数f(x)的导数，由函数单调性与其导数的关系可排除C，所以选B.　　21*cnjy*com
【思路点拨】发现函数g(x)与f(x)的导数关系是本题解题的关键.
【题文】11、已知函数，且，若函数在区间上的最大值为2，则（ ）
A． B． C． D．
【知识点】对数的图象与性质B7
【答案】【解析】A
解析：因为，且，所以0＜m＜1＜n，且，则函数在区间上的最大值为或,又，则有，所以选A.
【思路点拨】可结合对数函数的图象得到函数的图象，再结合函数图象进行解答.
【题文】12、在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则取得最大值时，内角的值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【知识点】解三角形C8
【答案】【解析】D
解析：因为，得，则，所以当时取得最大值，则选D.
【思路点拨】结合已知条件利用三角形面积公式及余弦定理把转化为关于角A的三角函数问题，再进行解答即可.www-2-1-cnjy-com
第Ⅱ卷
【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
【题文】13、若时，，则的取值范围是
【知识点】指数函数B6
【答案】【解析】α＜1
解析：因为，所以α-1＜0，得α＜1.
【思路点拨】可直接利用底大于1时指数函数的单调性进行解答.
【题文】14、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为
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【知识点】三视图G2
【答案】【解析】
解析：由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥构成，所以其体积为圆柱的体积减去圆锥的体积为:.2-1-c-n-j-y
【思路点拨】由三视图求几何体的体积，可先分析原几何体的特征再进行求值.
【题文】15、已知圆与直线
相切，则
【知识点】直线与圆位置关系H4
【答案】【解析】3
解析：因为圆的方程为，则有，解得a=3.
【思路点拨】可利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到关于a的方程，求解即可.
【题文】16、设互不相等的平面向量组，满足：①；
②，若，则的取值集合为
【知识点】向量的加法 向量的模F1
【答案】【解析】{0,2,}
解析：由题意知m最大值为4，当m=2时，为以OA,OB为邻边的正方形的对角线对应的向量，其模为，当m=3时，，其模为2，当m=4时，，其模为0，所以的取值集合为{0,2,}.【出处：21教育名师】
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【思路点拨】可先结合条件由m=2开始逐步分析所求向量的和向量，再求其模即可.
【题文】三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
【题文】17、（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为，且。
（1）求；
（2）若，求的周长的最大值。
【知识点】解三角形C8
【答案】【解析】(1)；(2)21
解析: （1） 因为…………2分
………………………………………………………4分
（2）由（1）知，
由,得，……………7分
所以
所以，
所以周长的最大值为21……………………………………10分.
【思路点拨】在解三角形时，若遇到边角混合条件，通常利用正弦定理或余弦定理先转化为角的关系或转化为边的关系再进行解答.【版权所有：21教育】
【题文】18、（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，为等比数列，且，。
（1）求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和.
【知识点】等差数列 等比数列 数列求和D2 D3 D4
【答案】【解析】(1) an=2n+1，,． ;(2) Tn=，
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题意可得： ………………3分
解得q=2或q=(舍)，d=2．
∴ 数列{an}的通项公式是an=2n+1，……………………6分
数列{bn}的通项公式是． ……………………7分
（2）Tn=
∴2Tn=……………………9分
∴-Tn=
∴Tn=，…………………………………………12分.
【思路点拨】在解答等差数列与等比数列时，可 ( http: / / www.21cnjy.com )利用其通项公式与前n项和公式得到首项与公差和公比的方程组，通过解方程组求解，遇到数列求和问题，可先确定其通项公式，再结合通项公式特征确定求和思路.21教育名师原创作品
【题文】19、（本小题满分12分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如下：21*cnjy*com
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规定:当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品。
（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；
（2）现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件，求至少抽到一件该元素含量为10毫克或13毫克的产品的概率。
【知识点】茎叶图 古典概型K2 I2
【答案】【解析】(1) 甲厂平均值大于乙厂平均值；(2)
解析：（1）甲厂平均值为…2分
乙厂平均值为…………4分
所以甲厂平均值大于乙厂平均值………………………………5分
（2）记含量为10和13毫克的两件为，其他非优质品分别为则“从六件非优质品中随机抽取两件”，基本事件有：
共15个.………………………………8分
“至少抽到一件含量为10毫克或13毫克的产品”所组成的基本事件有：共9个，………10分
故所求概率……………………………12分.
【思路点拨】求古典概型的概率问题，可用列举法列出所有基本事件，再利用公式计算概率即可.
【题文】20、（本小题满分12分）
在棱锥中，平面平面，是的中点，.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的高。
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【知识点】线线垂直 三棱锥G5 G7
【答案】【解析】(1)略；(2) 1
解析：(1)证明：∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF，
又∵AB=AC ，F是BC的中点，所以AF⊥BC，[来源:21世纪教育网]
∴AF⊥平面BCD
所以AF⊥FE…………………………………………………2分
在△DEF中，
，所以DF⊥EF，……………………5分
∴EF⊥平面AFD，故FE⊥AD………………………………………6分
(2) 解：由（1）知DF⊥EF，所以S△DEF=DF×EF=……7分
（或：又DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，所以DC∥EB
因为S△DEF=S梯形BCDE-S△DCF- S△BEF=……7分）
在△DEF中，
所以，由余弦定理得……9分
所以S△DEA=
设三棱锥F—ADE的高h，则S△DEF×AF=
所以h=1，即三棱锥F—ADE的高为1……………………12分.
【思路点拨】证明线线垂直通常利用线面垂直进行证明，求三棱锥的高可利用等体积法进行转化求解.
【题文】21、（本小题满分13分）
已知函数，其中。
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。
【知识点】导数的应用B12
【答案】【解析】(1) 当时，在定义域上单调递增；当时，单调递增区间：，单调递减区间：；(2) 21教育网
解析：（1）定义域为，……………………2分
①当时，，
在定义域上单调递增；……………………4分
②当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减。
函数的单调递增区间：，单调递减区间：………………7分
（2）对任意恒成立
令，所以………………10分
在上单调递增，在上单调递减
，……………………12分.
【思路点拨】可通过判断导数的符号求函数的单调区间，遇到不等式恒成立求参数范围问题，可先分离参数转化为求函数的最值问题进行解答.www.21-cn-jy.com
【题文】22、（本小题满分13分）
已知：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两个不同的点，过分别作抛物线的切线，且二者相交于点【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：；
（2）求的面积的最小值。
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【知识点】抛物线 直线与抛物线的位置关系 导数的应用H7 H8 B12
【答案】【解析】(1)略；(2)4
解析：（1）证明：设LAB：,代入得
……………………2分
所以……………………………………………6分
②若k=0，显然…………………………………7分
（或
…………………………7分）
（2）解由（1）知，点C到AB的距离…………………8分
.
【思路点拨】一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程，结合韦达定理寻求系数关系进行解答.
y
x
A
B
O
C
F
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