16.1.4通分
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题）
1．把，，通分过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B．=
C．= D．=
2．分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（ ）
A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
3．从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（ ）
A． B． C． D．
4．若=﹣，则a﹣2b的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2
5．在下列分式中，表示最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
6．分式：①，②，③，④中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列分式是最简分式的（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
9．在分式，，，中，最简分式有 _________ 个．
10．分式，，，中，最简分式的个数是 _________ 个．
11．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 _________ ．
12．的最简公分母是 _________ ，通分的结果为 _________ ．
13．将通分后，它们分别是 _________ ， _________ ， _________ ．
14．与通分后的结果是 _________ ．
三．解答题（共8小题）
15．通分：和．
16．通分：和．
17．通分：
（1）与
（2）与．
18．把下列各组分式通分：
（1），；
（2），，；
（3），
（4），．
19．通分：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与．
20．通分：、．
21．通分：，，．
22．通分：，，．
16.1.4通分
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．把，，通分过程中，不正确的是（ ）
A． 最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． =
C． = D． =
考点： 通分．
分析： 按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案．
解答： 解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确；
B、=，通分正确；
C、=，通分正确；
D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）=2x﹣4；
故选D．
点评： 根据分数的基本性质，把几 ( http: / / www.21cnjy.com )个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．
2．分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（ ）
A． 6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C． 6a（a﹣b） D． 6a（a+b）
考点： 通分．
分析： 分式的分母a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解．
解答： 解：==．
故选C．
点评： 本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握．
3．从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（ ）
A． B． C． D．
考点： 通分．
专题： 计算题．
分析： 先求出这几个分数的和，看比1大多少，再看大的数是哪两个分数的和，这两个分数即为删去的数．
解答： 解：由，而，故删去后，可使剩下的数之和为1．
故选C．
点评： 本题考查了分数的通分和有理数的加法，是基础知识要熟练掌握．
4．若=﹣，则a﹣2b的值是（ ）
A． ﹣6 B．6 C．﹣2 D． 2
考点： 通分．
专题： 计算题．
分析： 先去分母，得4x=（a﹣b）x+（﹣2a﹣2b），再根据对应相等求出a、b的值，代入计算即可．
解答： 解：化简得，4x=（a﹣b）x+（﹣2a﹣2b），
∴a﹣b=4，﹣2a﹣2b=0，
解得a=2，b=﹣2，
∴a﹣2b=2﹣2×（﹣2）=6，
故选B．
点评： 本题考查了通分以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．
5．在下列分式中，表示最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简分式．
分析： 根据最简分式的定义：分子与分母不能约分的分式叫最简分式，选择答案．
解答： 解：A、=，可以约分，不是最简分式；
B、=，可以约分，不是最简分式；
C、=，不可以约分，是最简分式；
D、=，可以约分，不是最简分式；
故选C．
点评： 考查了最简分式的定义，比较简单．
6．分式：①，②，③，④中，最简分式有（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
考点： 最简分式．
分析： 最简分式的标准是分子，分母中不含有 ( http: / / www.21cnjy.com )公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解答： 解：①④中分子分母没有公因式，是最简分式；
②中有公因式（a﹣b）；
③中有公约数4；
故①和④是最简分式．
故选B．
点评： 最简分式就是分式的分子和分母没 ( http: / / www.21cnjy.com )有公因式，也可理解为分式的分子和分母的最大公因式为1．所以判断一个分式是否为最简分式，关键是要看分式的分子和分母的最大公因式是否为1．
7．下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简分式．
分析： 最简分式的标准是分子，分母 ( http: / / www.21cnjy.com )中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解答： 解：A、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
B、；
C、=；
D、；
故选A．
点评： 分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
8．下列分式是最简分式的（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简分式；分式的基本性质；约分．
专题： 计算题．
分析： 根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．
解答： 解：A、=，故本选项错误；
B、=，故本选项错误；
C、，不能约分，故本选项正确；
D、==，故本选项错误；
故选C．
点评： 本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解此题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．在分式，，，中，最简分式有 3 个．
考点： 最简分式．
分析： 最简分式的标准是分子，分 ( http: / / www.21cnjy.com )母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解答： 解：其中的=，故最简分式有3个．
故答案为3．
点评： 此题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
10．分式，，，中，最简分式的个数是 3 个．
考点： 最简分式．
分析： 最简分式的标准是分子，分母中不 ( http: / / www.21cnjy.com )含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解答： 解：分式==，
因此最简分式只有，，，
故答案为：3．
点评： 此题主要考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
11．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 6y2，4x，3y ．
考点： 通分．
分析： 解题关键是找到最简公分母，然后再用最简公分母除以原分母，得出结果．
解答： 解：2x、3y2、4xy的最小公倍数为12xy2，12xy2÷2x=6y2，12xy2÷3y2=4x，12xy2÷4xy=3y，
故依次填6y2，4x，3y．
点评： 最简公分母实际上就是求几个分母的最小公倍数．
12．的最简公分母是 （m﹣1）（m+2） ，通分的结果为 ， ．
考点： 通分；最简公分母．
分析： 观察两个分式的分母，不难得出最简公分母是（m﹣1）（m+2），再用最简公分母通分．
解答： 解：∵公分母是能使几个分式同时去掉分母的式子，
∴的最简公分母是（m﹣1）（m+2），
∴通分的结果为，．
点评： 公分母是能使几个分式同时去掉分母的式子，几个含分母的式子系数取其最小公倍数，字母取其最高次数即得公分母．
13．将通分后，它们分别是 ， ， ．
考点： 通分．
分析： 先确定三个分式的最简公分母是3ab，可得通分后的结果．
解答： 解：由三个分式的最简公分母是3ab，故通分后它们分别是：．
点评： 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
14．与通分后的结果是 =；= ．
考点： 通分．
分析： 首先找出两个分式的最简公分母是（1﹣a）（a+1）2，由此根据分式的基本性质化为同分母分式即可．
解答： 解：=；
=．
故答案为：=；=．
点评： 此题主要考查分式的通分，关键是找出最简公分母．
三．解答题（共8小题）
15．通分：和．
考点： 通分．
分析： 将两式系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂．
解答： 解：和的分母分别是（x+y）2、x2﹣y2，它们的最小公倍数是（x+y）2（x﹣y），则
和通分可得：、．
点评： 本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：
（1）系数取各系数的最小公倍数；
（2）凡出现的因式都要取；
（3）相同因式的次数取最高次幂．
16．通分：和．
考点： 通分．
专题： 计算题．
分析： 先确定最简公分母为10a2b3c，然后根据分式的基本性质把两个分式的分母都化为10a2b3c即可．
解答： 解：最简公分母为10a2b3c，
==；
==．
点评： 本题考查了通分：把几个异分 ( http: / / www.21cnjy.com )母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母．
17．通分：
（1）与
（2）与．
考点： 通分．
专题： 计算题．
分析： （1）找出两式的最简公分母，通分即可；
（2）找出两式的最简公分母，通分即可．
解答： 解：（1）最简公分母为6y，
通分为：，；
（2）最简公分母为3a2b2，
通分为：，．
点评： 此题考查了通分，通分的关键是找出最简公分母．
18．把下列各组分式通分：
（1），；
（2），，；
（3），
（4），．
考点： 通分．
分析： （1）根据公分母为母为12a2b2，直接通分，即可解决问题．
（2）根据公分母为母为abc，直接通分，即可解决问题．
（3）先将分式的分母变形，找出最简公分母2x（x﹣1），通分即可解决问题．
（4）先找出公分母x（x﹣1），通分，即可解决问题．
解答： 解：（1）∵，的最简公分母为12a2b2，
∴，．
（2）∵，，的最简公分母为abc，
∴．
（3）∵，
∴，的最简公分母为2x（x﹣1），
∴，．
（4）∵=，
∴，的最简公分母为x（x﹣1），
∴=，．
点评： 该题主要考查了分式的通分问题；解题的关键是运用因式分解法，正确找出每个分式分母中的公因式，准确找出公分母．
19．通分：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与．
考点： 通分．
专题： 计算题．
分析： 找出各项中两式的最简公分母，通分即可．
解答： 解：（1）最简公分母为6y2，
通分为：，；
（2）最简公分母为3a2b2，
通分为：，；
（3）最简公分母为2（x+y）2，
通分为：，；
（4）最简公分母为（2m+3）（2m﹣3），
通分为：，．
点评： 此题考查了通分，通分的关键是找出最简公分母．
20．通分：、．
考点： 通分．
分析： 将两式系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂．
解答： 解：∵=，=，
∴最简公分母是（x+1）（x﹣1）2，
则将、通分可得：，．
点评： 本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：
（1）系数取各系数的最小公倍数；
（2）凡出现的因式都要取；
（3）相同因式的次数取最高次幂．
21．通分：，，．
考点： 通分．
分析： 确定最简公分母，通分即可．
解答： 解：=，
=，
=﹣=．
点评： 本题主要考查了通分，解题的关键是确定最简公分母．
22．通分：，，．
考点： 通分．
专题： 计算题．
分析： 找出三式子的最简公分母，通分即可．
解答： 解：最简公分母为：y（y﹣2）2，
通分为：，﹣，．
点评： 此题考查了通分，通分的关键是找出最简公分母．16.1.2分式的基本性质
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题）
1．分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．已知a﹣b≠0，且2a﹣3b=0，则代数式的值是（ ）
A．﹣12 B．0 C．4 D．4或﹣12
3．下列变形正确的是（ ）
A．=x3 B．= C．=x+y D．=﹣1
4．下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B．= C．= D．=
5．如果=3，则=（ ）
A． B．xy C．4 D．
6．如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的
7．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的 D．不变
8．如果，则=（ ）
A． B．1 C． D．2
二．填空题（共6小题）
9已知a：b：c=2：3：5，则的值为 _________ ．
10．若实数x，y满足，则分式的值等于 _________ ．
11．若代数式的值为零，则x的值为 _________ ；若，则= _________ ．
12．如果：，那么：= _________ ．
13．如果，那么= _________ ．
14．如果=，那么= _________ ．
三．解答题（共6小题）
15．请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式：
x2﹣4xy+4y2，x2﹣4y2，x﹣2y．
16．在括号里填上适当的式子或数字，使等式成立：．
17．不改变分式的值，把分式的分子、分母中含x的项的系数都化为正数．
18．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数，且使分子和分母不含公因式．
（1）；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )．
19．不改变分式的值，使分式的分子与分母中最高次项的系数都是正的．
（1）= _________ ；
（2）= _________ ；
（3）= _________ ；
（4）= _________ ．
20．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数．
（1）；
（2）．
16.1.2分式的基本性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D． ﹣
考点： 分式的基本性质．
分析： 根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案．
解答： 解：分式的分子分母都乘以﹣1，
得﹣，
故选：D．
点评： 本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．已知a﹣b≠0，且2a﹣3b=0，则代数式的值是（ ）
A． ﹣12 B．0 C．4 D． 4或﹣12
考点： 分式的基本性质．
专题： 计算题．
分析： 由2a﹣3b=0，得a=，代入所求的式子化简即可．
解答： 解：由2a﹣3b=0，得a=，
∴=．
故选C．
点评： 解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
3．下列变形正确的是（ ）
A． =x3 B．= C．=x+y D． =﹣1
考点： 分式的基本性质．
分析： 根据分式的基本性质进行约分即可．
解答： 解：A、结果为x4，故本选项错误；
B、不能约分，故本选项错误；
C、不能约分，故本选项错误；
D、结果是﹣1，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生对分式的基本性质的理解能力和应用能力．
4．下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B．= C．= D． =
考点： 分式的基本性质．
分析： 分式的基本性质是分式的分子 ( http: / / www.21cnjy.com )、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．而如果分式的分子、分母同时加上或减去同一个非0的数或式子，分式的值改变．
解答： 解：A、在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的基本性质，故A错误；
B、当c=0时，不成立，故B错误；
C、分式的分子与分母上同时乘以3，分式的值不变，故C正确；
D、分式的分子与分母分别乘方不符合分式的基本性质，故D错误；
故选C．
点评： 本题主要考查了分式的性质．注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分结果应是1，而不是0．
5．如果=3，则=（ ）
A． B．xy C．4 D．
考点： 分式的基本性质．
专题： 计算题．
分析： 由=3，得x=3y，再代入所求的式子化简即可．
解答： 解：由=3，得x=3y，
把x=3y代入==4，
故选C．
点评： 找出x、y的关系，代入所求式进行约分．
6．如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）
A． 不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D． 缩小到原来的
考点： 分式的基本性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 依题意分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
解答： 解：分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，得
==，可见新分式与原分式的值相等；
故选A．
点评： 本题考查了分式的基本性质．解题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
7．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A． 是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的 D． 不变
考点： 分式的基本性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 依题意分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．
解答： 解：分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，得
==，
可见新分式与原分式相等．
故选：D．
点评： 本题主要考查了分式的基本性质 ( http: / / www.21cnjy.com )．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
8．如果，则=（ ）
A． B．1 C． D． 2
考点： 分式的基本性质．
分析： 已知，就可以变形为a=2b，把它代入所要求的式子就可以求出式子的值．
解答： 解：∵，
∴a=2b，
∴=．
故选C．
点评： 把已知中的，变形成a=2b，是解决本题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．（2011 黄浦区一模）已知a：b：c=2：3：5，则的值为 ．
考点： 分式的基本性质．
专题： 计算题．
分析： 根据分式的性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）解答．
解答： 解：∵a：b：c=2：3：5，
∴可设a=2k、b=3k、c=5k，
∴，
=，
=．
故答案为：．
点评： 本题是基础题，考查了分式的基本性质，比较简单．
10．若实数x，y满足，则分式的值等于 ．
考点： 分式的基本性质．
专题： 整体思想．
分析： 由，得y﹣x=5xy，∴x﹣y=﹣5xy．代入所求的式子化简即可．
解答： 解：由，得y﹣x=5xy，
∴x﹣y=﹣5xy，
∴原式==．
故答案为．
点评： 解题关键是用到了整体代入的思想．
规律总结：（1）利用分式的性质变形时必须注意所乘的（或所除的）整式不为零．
（2）同时在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变．
11．若代数式的值为零，则x的值为 x=1 ；若，则= ．
考点： 分式的基本性质；分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： （1）若分式的值为0，那么分子必为0，且分母不等于0，根据这两个条件来进行判断．
（2）根据分式的基本性质，可将已知的等式两边都乘以y（y≠0），得到x的表达式，然后代入所求分式中进行计算即可．
解答： 解：若代数式的值为零，则x﹣1=0，且x+2≠0；
解得x=1，且x≠﹣2；
故x的值为x=1．
根据分式的基本性质知：
x=y；
∴==．
故答案为x=1、．
点评： 此题主要考查了分式的基本性质以及分式的值为零的条件，需要注意的是若分式的值为零，那么①分子为0，②分母不为0，两个条件必须同时成立，缺一不可．
12．如果：，那么：= ．
考点： 分式的基本性质．
专题： 计算题．
分析： 由已知可知，2a=3b，再代入所求式进行化简．
解答： 解：∵，
∴2a=3b，
∴===．
故答案为．
点评： 本题的关键是找到a，b的关系．
13．如果，那么= ．
考点： 分式的基本性质．
专题： 计算题．
分析： 由可知：若设a=2x，则b=3x．代入所求式子就可求出．
解答： 解：∵，
∴设a=2x，则b=3x，
∴．
故答案为．
点评： 解决这类题目的关键是正确的代入，并根据分式的性质进行分式的化简．
14．如果=，那么= ．
考点： 分式的基本性质．
专题： 计算题．
分析： 由已知可得出，3x=2y，让等式两边都加上3y，那么3x+3y=5y即3（x+y）=5y，那么=．
解答： 解：∵=
∴3x=2y
∴3（x+y）=5y
∴=．
故答案为．
点评： 本题主要考查分式的基本性质，比较简单．
三．解答题（共6小题）
15．请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式：
x2﹣4xy+4y2，x2﹣4y2，x﹣2y．
考点： 分式的基本性质．
专题： 开放型．
分析： 根据分式的定义和概念进行作答．
解答： 解：（4分）
=（6分）
=．（8分）
点评： 本题是一道开放型题目，但所求的结果一定要符合题目的限制条件．
16．在括号里填上适当的式子或数字，使等式成立：．
考点： 分式的基本性质．
分析： 根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
解答： 解：，
故答案为：2x2．
点评： 本题考查了分式的基本性质，根据分母的变化，可知分母乘以﹣x，分子也乘以﹣x．
17．不改变分式的值，把分式的分子、分母中含x的项的系数都化为正数．
考点： 分式的基本性质．
分析： 根据分式的基本性质，分子、分母、分式中有两个改变符号，分式的值不变进行变形即可．
解答： 解：=．
点评： 本题考查了分式的基本性质，解题的关键是利用分式的变号不变大小的性质．
18．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数，且使分子和分母不含公因式．
（1）；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点： 分式的基本性质．
分析： （1）分式的分子分母都乘以12，可得答案；
（2）分式的分子分母都乘以20，可得答案．
解答： 解：（1）原式=；
（2）原式=．
点评： 本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
19．不改变分式的值，使分式的分子与分母中最高次项的系数都是正的．
（1）= ﹣ ；
（2）= ；
（3）= ﹣ ；
（4）= ．
考点： 分式的基本性质．
分析： （1）、（3）分式分子提取﹣1变形即可得到结果；
（2）、（4）分式的分子与分母同时乘以﹣1即可得出结论．
解答： 解：（1）原式==﹣．
故答案为：﹣；
（2）原式=
=．
故答案为：；
（3）原式=
=﹣．
故答案为：﹣；
（4）原式=
=．
故答案为：．
点评： 本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键．
20．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数．
（1）；
（2）．
考点： 分式的基本性质．
分析： （1）先找出各式分子与分母的分母的公因式，再根据分式的基本性质进行解答即可；
（2）把分子与分母同时乘以100即可得出结论．
解答： 解：（1）分式的分子与分母同时乘以6得，
原式=．
（2）分式的分子与分母同时乘以100得，
原式=．
点评： 本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数（或整式），分式的值不变．16.1.1分式的概念
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题）
1．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．5x B． C． D．
2．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥1
4．下列说法正确的是（ ）
A．﹣3的倒数是 B．﹣2的绝对值是﹣2
C．﹣（﹣5）的相反数是﹣5 D．x取任意实数时，都有意义
5．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
6．分式的值为0，则（ ）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x=±2 D．x=0
7．若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜ B．x＞0 C．0＜x＜ D．x＜且x≠0
8．分式的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．±1 D．1
二．填空题（共6小题）
9．一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（a≠0），其中第10个式子是 _________ ．
10．一组按规律排列的式子：（xy≠0），第n个式子是 _________ （n为正整数）．
11．若分式有意义，则实数x的取值范围是 _________ ．
12．当分式有意义时，x的取值范围是 _________ ．
13．已知=1，则+x﹣1的值为 _________ ．
14．请你写出一个值永远不为0的分式 _________ ．
三．解答题（共8小题）
15．观察下面一列分式：，﹣，，﹣，…（其中x≠0）．
（1）根据上述分式的规律写出第6个分式；
（2）根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．
16．已知当x=2时，分式无意义，那么x取何值时，分式的值为0？
17．若的值为0，试求x的值．
18．已知的值为正整数，求整数a的值．
19．当x=0，﹣2，时，求分式的值．
20．已知，求的值．
21．若==，试求的值．
22．已知y=，当x取何值时．
（1）y的值是正数；
（2）y的值是负数；
（3）y的值是零；
（4）分式无意义．
16.1.1分式的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A． 5x B． C． D．
考点： 分式的定义．
分析： 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案．
解答： 解：根据分式的定义
A．是整式，答案错误；
B．是整式，答案错误；
C．是分式，答案正确；
D．是根式，答案错误；
故答案选C．
点评： 本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 分式的定义．
分析： 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答： 解：A、是整式，故选项错误；
B、是整式，故选项错误；
C、正确；
D、是整式，故选项错误．
故选C．
点评： 本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
3．使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x≠1 B．x=1 C．x≤1 D． x≥1
考点： 分式有意义的条件．
分析： 根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．
解答： 解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：A．
点评： 本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．
4．下列说法正确的是（ ）
A． ﹣3的倒数是 B． ﹣2的绝对值是﹣2
C． ﹣（﹣5）的相反数是﹣5 D． x取任意实数时，都有意义
考点： 分式有意义的条件；相反数；倒数．
分析： 根据倒数的定义，相反数的定义以及分式有意义的条件对各选项分析判断利用排除法求解．
解答： 解：A、﹣3的倒数是﹣，故A选项错误；
B、﹣2的绝对值是2，故B选项错误；
C、﹣（﹣5）的相反数是﹣5，故C选项正确；
D、应为x取任意不等于0的实数时，都有意义，故D选项错误．
故选：C．
点评： 本题考查了分式有意义，分母不等于0，相反数的定义以及倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
5．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x≠1 B． x＞1 C． x＜1 D． x≠﹣1
考点： 分式有意义的条件．
专题： 常规题型．
分析： 根据分母不等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
点评： 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义 分母不为零；
（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
6．分式的值为0，则（ ）
A． x=2 B．x=﹣2 C．x=±2 D． x=0
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据分式的值为零的条件得到x2﹣4=0且x+2≠0，然后分别解方程与不等式易得x=2．
解答： 解：∵分式的值为0，
∴x2﹣4=0且x+2≠0，
解x2﹣4=0得x=±2，而x≠﹣2，
∴x=2．
故选A．
点评： 本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分子为零并且分母不为零时，分式的值为零．
7．若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A． x＜ B．x＞0 C．0＜x＜ D． x＜且x≠0
考点： 分式的值．
分析： 根据平方数非负数判断出分子小于等于0，然后根据分母小于0，则分式的值是正数列式进行计算即可得解．
解答： 解：∵﹣2x2≤0，且x≠0
∴3x﹣1＜0，分式的值为正数，
解得x＜，且x≠0．
故选：D．
点评： 此题考查了根据分式的值的求解，利用非负数的性质判断出分子小于0是解题的关键．
8．分式的值为零，则x的值为（ ）
A． ﹣1 B．0 C．±1 D． 1
考点： 分式的值为零的条件．
分析： 分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．
解答： 解：由题意，得
x2﹣1=0，且x+1≠0，
解得，x=1．
故选D．
点评： 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
二．填空题（共6小题）
9．一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（a≠0），其中第10个式子是 ．
考点： 分式的定义．
专题： 规律型．
分析： 式子的符号：第奇数个是正号．偶数个是负号，分子等于序号的平方，分母中a的指数是：序号的平方再加上1，据此即可求解．
解答： 解：∵=（﹣1）1+1 ，
﹣=（﹣1）2+1 ，
=（﹣1）3+1 ，
…
第10个式子是（﹣1）10+1 =，
故答案是：．
点评： 本题主要考查了式子的特征，正确理解式子的规律是解题的关键．
10．一组按规律排列的式子：（xy≠0），第n个式子是 （n为正整数）．
考点： 分式的定义．
专题： 规律型．
分析： 根据已知的式子可以得到规律：第奇数个式子的符号是正，偶数个的符号是负；第n个分式的分子中x的次数是：2n+1，分母中y的次数是n．
解答： 解：第n个式子是 ．
点评： 本题主要考查了列代数式，正确总结式子的规律是解题的关键．
11．若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠5 ．
考点： 分式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．
解答： 解：∵分式有意义，
∴x﹣5≠0，即x≠5．
故答案为：x≠5．
点评： 本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．
12．当分式有意义时，x的取值范围是 x≠2 ．
考点： 分式有意义的条件．
分析： 分式有意义，则分母x﹣2≠0，由此易求x的取值范围．
解答： 解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义．
故答案为：x≠2．
点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义 分母不为零；
（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
13．已知=1，则+x﹣1的值为 2 ．
考点： 分式的值．
分析： 由求得x的值，代入后面的代数式即可得到答案．
解答： 解：由=1，得：x=2，
经检验x=2是原方程的解．
将x=2代入+x﹣1得：原式=1+2﹣1=2．
故答案为2．
点评： 本题考查了分式方程的解法，在解方程中要注意对根进行检验．
14．请你写出一个值永远不为0的分式 ．
考点： 分式的值．
专题： 开放型．
分析： 写出满足题意的分式即可．
解答： 解：根据题意得：．
故答案为：
点评： 此题考查了分式的值，弄清题意是解本题的关键．
三．解答题（共8小题）
15．观察下面一列分式：，﹣，，﹣，…（其中x≠0）．
（1）根据上述分式的规律写出第6个分式；
（2）根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．
考点： 分式的定义．
专题： 规律型．
分析： （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案；
（2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案．
解答： 解：（1）∵，﹣，，﹣，…
∴第6个分式为：﹣；
（2）由已知可得：第n（n为正整数）个分式为：（﹣1）n+1×，
理由：∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子底数是x，次数是连续的奇数，且偶数个为负，
∴第n（n为正整数）个分式为：（﹣1）n+1×．
点评： 此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．
16．已知当x=2时，分式无意义，那么x取何值时，分式的值为0？
考点： 分式有意义的条件；分式的值为零的条件．
分析： 先把x=2代入分式，根据分式无意义的条件求出y的值，再把的值代入原式，根据分式的值为0的条件求出x的值即可．
解答： 解：∵当x=2时，分式无意义，
∴2x﹣3y=0，即4﹣3y=0，解得y=，
∴当y=时，原分式可化为，
∵分式的值为0，
∴2x+4=0，解得x=﹣2．
点评： 本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
17．若的值为0，试求x的值．
考点： 分式的值为零的条件．
分析： 根据分式的值为零的条件得到：分子等于0，分母不等于0．
解答： 解：依题意，得
，
解得 x=2．
点评： 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
18．已知的值为正整数，求整数a的值．
考点： 分式的值．
分析： 根据分式的值是正整数，可得分子分母同号，分子是分母的倍数，可得答案．
解答： 解：的值为正整数，
∴2﹣a＞0，
2﹣a是2的约数，
当a=1时，=2；
当a=0时，=1；
综上所述，a=1或a=0时，的值为正整数．
点评： 本题考查了分式的值，利用分子分母同号，分子是分母的倍数解题是解题关键．
19．当x=0，﹣2，时，求分式的值．
考点： 分式的值．
分析： 根据分式求值的方法，可得答案．
解答： 解：当x=0时，==﹣1；
当x=﹣2时，==﹣1；
当x=时，= ( http: / / www.21cnjy.com )==﹣．
点评： 本题考查了分式的值，把x的值代入是解题关键．
20．已知，求的值．
考点： 分式的值．
分析： 由，可得a=b，代入求值即可．
解答： 解：∵，
∴a=b，
∴===5．
点评： 本题主要考查了分式的值，解题的关键是求出a与b的关系．
21．若==，试求的值．
考点： 分式的值；比例的性质．
分析： 根据比例的性质，可用x表示y，可用x表示z，根据分式的性质，可得答案．
解答： 解：由==，得
y=，z=．
= ( http: / / www.21cnjy.com )==．
点评： 本题考查了分式的值，利用了比例的性质，分式的性质．
22．已知y=，当x取何值时．
（1）y的值是正数；
（2）y的值是负数；
（3）y的值是零；
（4）分式无意义．
考点： 分式的值；分式有意义的条件；分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： （1）根据y为正数求出x的范围即可；
（2）根据y为负数求出x的范围即可；
（3）根据y为零求出x的值即可；
（4）根据分式无意义求出x的取值即可．
解答： 解：（1）根据题意得：＞0，即（2x﹣1）（3x﹣4）＜0，
解得：＜x＜；
（2）根据题意得：＜0，即（2x﹣1）（3x﹣4）＞0，
解得：x＜或x＞；
（3）根据题意得：=0，解得：x=；
（4）根据题意得：4﹣3x=0，解得：x=．
点评： 此题考查了分式的值，分式有意义的条件，以及分式值为0的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.1.3约分
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共9小题）
1．化简结果正确的是（ ）
A．ab B．﹣ab C．a2﹣b2 D．b2﹣a2
2．计算，结果是（ ）
A．x﹣2 B．x+2 C． D．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．化简的结果（ ）
A．x﹣y B．y﹣x C．x+y D．﹣x﹣y
6．下面化简正确的是（ ）
A．=0 B．=﹣1 C．=2 D．=x+y
7．化简的结果是（ ）
A．x+3 B．x﹣9 C．x﹣3 D．x+9
8．化简，正确结果为（ ）
A．a B．a2 C．a﹣1 D．a﹣2
9．下列等式成立的是（ ）
A． B．（3﹣a）2=﹣（a﹣3）2 C．a﹣（b+c）=a﹣b+c D．（a+b）（b﹣a）=a2﹣b2
二．填空题（共6小题）
10．化简：=． _________ ．
11．化简：的结果是 _________ ．
12．化简：= _________ ．
13．化简：= _________ ．
14．化简：= _________ ．
15．化简的结果是 _________ ．
三．解答题（共7小题）
16．在给出的三个多项式：x2+4xy+4y2、x2﹣4y2、x2+2xy中，请你任选出两个分别作为分子和分母组成分式，并进行化简运算．
17．计算：．
18．化简：
19．化简：．
20．化简：
（1）；
（2）．
21．化简：．
22．计算：．
16.1.3约分
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．化简结果正确的是（ ）
A． ab B．﹣ab C．a2﹣b2 D． b2﹣a2
考点： 约分．
专题： 计算题．
分析： 首先将分式的分子因式分解，进而约分求出即可．
解答： 解：==﹣ab．
故选：B．
点评： 此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．
2．计算，结果是（ ）
A． x﹣2 B．x+2 C． D．
考点： 约分；因式分解-提公因式法．
专题： 计算题；因式分解．
分析： 首先利用平方差公式分解分子，再约去分子分母中得公因式．
解答： 解：==x+2，
故选：B．
点评： 此题主要考查了约分，关键是正确把分子分解因式．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点： 约分．
分析： 先把分子提取公因式，再把分母根据平方差公式进行因式分解，然后再分子与分母约分即可．
解答： 解：==．
故选B．
点评： 此题考查了约分，把要求的式子进行变形，再分子与分母进行约分是解题的关键，注意约分时一定约到最简．
4．化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点： 约分．
专题： 计算题．
分析： 原式分子分母提取公因式变形后，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣
=﹣
=．
故选C．
点评： 此题考查了约分，找出分子分母的公因式是解本题的关键．
5．化简的结果（ ）
A． x﹣y B．y﹣x C．x+y D． ﹣x﹣y
考点： 约分．
分析： 利用平方差公式对分子进行因式分解，然后约分．
解答： 解：==x+y．
故选：C．
点评： 本题考查了分式的约分．规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
6．下面化简正确的是（ ）
A． =0 B．=﹣1 C．=2 D． =x+y
考点： 约分．
分析： 分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．据此作答．
解答： 解：A、分子分母中同时除以2a+1，分子、分母都变成1，故式子的值是1．错误；
B、（a﹣b）2=（b﹣a）2，因而分式的值是1．错误；
C、分子、分母同时除以﹣x+3，正确；
D、x2+y2≠（x+y）2，错误．
故选C
点评： 解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
7．化简的结果是（ ）
A． x+3 B．x﹣9 C．x﹣3 D． x+9
考点： 约分．
分析： 首先利用平方差公式把分子分解因式，再分子分母同时约去x+3即可．
解答： 解：==x﹣3，
故选：C．
点评： 此题主要考查了分式的约分，关键是首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
8．化简，正确结果为（ ）
A． a B．a2 C a﹣1 D． a﹣2
考点： 约分．
分析： 把分式中的分子与分母分别约去a，即可求出答案．
解答： 解：=a2；
故选B．
点评： 此题考查了约分，解题的关键是把分式中的分子与分母分别进行约分即可．
9．下列等式成立的是（ ）
A． B．（3﹣a）2=﹣（a﹣3）2 C．a﹣（b+c）=a﹣b+c D． （a+b）（b﹣a）=a2﹣b2
考点： 约分；去括号与添括号；完全平方公式；平方差公式．
分析： A、运用分式的基本性质约分即可；
B、利用完全平方公式展开就可以求出结果；
C、运用去括号的法则展开就可以；
D、利用平方差公式计算就可以求出结果．
解答： 解：A、=，故本答案正确．
B、∵（3﹣a）2=9﹣6a+a2，﹣（a﹣3）2=﹣9+6a﹣a2．
∴9﹣6a+a2≠﹣9+6a﹣a2．
∴（3﹣a）2=﹣（a﹣3）2不成立，故本答案错误．
C、∵a﹣（b+c）=a﹣b﹣c≠a﹣b+c，
∴本答案错误．
D、∵（a+b）（b﹣a）=b2﹣a2≠a2﹣b2，∴本答案错误．
故选A．
点评： 本题考查了约分的运用，去括号的法则，完全平方公式和平方差公式的运用．
二．填空题（共6小题）
10．化简：=． a+b ．
考点： 约分．
分析： 先将分式的分子因式分解，再约分，即可求解．
解答： 解：==．
故答案为：a+b．
点评： 本题考查了约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
11．化简： 的结果是 ．
考点： 约分．
分析： 首先分解因式并提取公因式（a+b），然后约分．
解答： 解：=．
点评： 本题主要考查分式的乘除法这一知识点，比较简单．
12．化简：= ．
考点： 约分．
专题： 计算题．
分析： 找出分式分子分母的公因式，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=
=．
故答案为：．
点评： 此题考查了约分，找出分子分母的公因式是约分的关键．
13．化简：= ．
考点： 约分．
分析： 分子分母同时约去公因式2即可．
解答： 解：原式=
=，
故答案为：．
点评： 此题主要考查了分式的约分，关键是找出分子分母的公因式．
14．化简：= ．
考点： 约分．
分析： 先利用“十字相乘法”对分母进行因式分解，然后通过约分进行化简．
解答： 解：
=
=．
故答案是：．
点评： 本题考查了约分．规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
15．化简的结果是 x+1 ．
考点： 约分．
分析： 将分式分子因式分解，再约分，即可求解．
解答： 解：原式=
=x+1．
故答案为x+1．
点评： 本题考查约分，涉及到因式分解，平方差公式，是基础知识要熟练掌握．
三．解答题（共7小题）
16．在给出的三个多项式：x2+4xy+4y2、x2﹣4y2、x2+2xy中，请你任选出两个分别作为分子和分母组成分式，并进行化简运算．
考点： 约分；分式的定义．
专题： 开放型．
分析： 任意选择出两个多项式，一个作为分子，另一个作为分母，再进行因式分解，约分即可．
解答： 解：选择x2+4xy+4y2、x2﹣4y2，
则=
=．
点评： 本题考查了分式的定义，以及分式的约分，是基础知识要熟练掌握．
17．计算：．
考点： 约分；分式的加减法．
专题： 计算题．
分析： 先把分式的分子和分母分解因式后约分，再根据同分母的分式相加减分子进行计算即可．
解答： 解：原式=
=
=
=
=1．
点评： 本题考查了对分式的加减法则和约分的理解和运用，检查学生对分式的加减法则的掌握程度．题目比较典型．
18．化简：
考点： 约分．
分析： 首先给分子、分母进行分解因式，然后进行约分．
解答： 解：原式==．
点评： 解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
19．化简：．
考点： 约分．
专题： 计算题．
分析： 先把分子分母因式分解，再进行约分即可将原分式化简．
解答： 解：原式=，
=．
点评： 本题考查了分式的化简，在化简时要注意运算的顺序和约分以及因式分解的应用．
20．化简：
（1）；
（2）．
考点： 约分．
分析： （1）先把分式的分子和分母分解因式，再约去公因式即可．
（2）先把分式的分子和分母分解因式，再约去公因式即可．
解答： 解：（1）原式=
=
=
=；
（2）原式=
=．
点评： 本题考查了分式的除法、因式分解和约分的应用，解此题的关键是找出分子和分母的公因式．
21．化简：．
考点： 约分．
分析： 先根据平方差公式和完全平方公式把分子与分母进行整理，然后进行约分即可．
解答： 解：==．
点评： 此题考查了约分，用到的知识点是平方差公式和完全平方公式，关键是把要求的式子进行变形．
22．计算：．
考点： 约分．
分析： 对分子、分母因式分解，再约分即可．
解答： 解：原式=
=．
点评： 本题考查了分式的约分，是基础知识要熟练掌握．
