16.3.4分式方程的应用
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题）
1．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
2．市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（ ）
A．甲先做了4天 B．甲乙合做了4天 C．甲先做了工程的 D．甲乙合做了工程的
3．父子两人沿周长为a的圆周骑自 ( http: / / www.21cnjy.com )行车匀速行驶．同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍．已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（ ）
A．1.1v B．1.2v C．1.3v D．1.4v
4．甲志愿者计划用若干个工作日完 ( http: / / www.21cnjy.com )成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．某乡镇决定对一段长6 ( http: / / www.21cnjy.com ) 000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修健的公路比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（ ）
A．+4= B．=﹣4
C．﹣4= D．=+4
6．甲、乙两个清洁队参加了某社 ( http: / / www.21cnjy.com )区“城乡清洁工程”，甲队单独做2天完成了工程的三分之一，这时乙队加入，两队又共同做了1天，完成了全部工程．则乙队单独完成此项工程需要（ ）
A．6天 B．4天 C．2天 D．3天
7．某人承包1125平方米的铺 ( http: / / www.21cnjy.com )地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺（ ）
A．70平方米 B．65平方米 C．75平方米 D．85平方米
8．初三（1）班在今年的植树节领有 ( http: / / www.21cnjy.com )平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树的棵数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
二．填空题（共7小题）
9．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产 _________ 个零件．
10．小红到离家2100米的学校参加联欢 ( http: / / www.21cnjy.com )会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校，已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．设小红步行的平均速度为x米/分，根据题意可得方程 _________ ．
11．学校计划将120名学生平均 ( http: / / www.21cnjy.com )分成若干个读书小组，若每个小组比原计划多1人，则要比原计划少分出6个小组，那么原计划要分成的小组数是 _________ ．
12．某工厂现在平均每天比原计划多生产 ( http: / / www.21cnjy.com )50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 _________ 台机器．
13．某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工a件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，则手工每小时加工产品的数量为 _________ 件．
14．某市从今年1月1日起调整居民天然气 ( http: / / www.21cnjy.com )价格，每立方米天然气价格上涨25%，小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m3，5月份燃气费是90元，则该市今年居民用天然气的价格是每立方米 _________ 元．
15．货车行驶30km与小汽 ( http: / / www.21cnjy.com )车行驶40km所用的时间相同．若小汽车每小时比货车多行驶20km，则货车的速度为 _________ km/h．
三．解答题（共8小题）
16．某文具厂计划加工3 ( http: / / www.21cnjy.com )000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量．
17．国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购买一台可获得补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
18．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两 ( http: / / www.21cnjy.com )站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
19．“母亲节”前夕，某商店根据市场调 ( http: / / www.21cnjy.com )查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
20．马小虎的家距离学校1800米，一 ( http: / / www.21cnjy.com )天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
21．某超市用3000元购进某种 ( http: / / www.21cnjy.com )干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
22．为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？
23．某市修通一条与省会城 ( http: / / www.21cnjy.com )市相连接的高速铁路，动车走高速铁路线到省会城市路程是500千米，普通列车走原铁路线路程是560千米．已知普通列车与动车的速度比是2：5，从该市到省会城市所用时间动车比普通列车少用4.5小时，求普通列车、动车的速度．
16.3.4分式方程的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A． 每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B． 每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C． 每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D． 每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
考点： 分式方程的应用．
分析： 工作时间=工作总量÷工作效 ( http: / / www.21cnjy.com )率．那么3000÷x表示实际的工作时间，那么3000÷（x﹣10）就表示原计划的工作时间，15就代表现在比原计划少的时间．
解答： 解：设实际每天铺设管道x米，原计划每天铺设管道（x﹣10）米，方程，则表示实际用的时间﹣原计划用的时间=15天，
那么就说明实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成任务．
故选C．
点评： 本题主要考查了根据方程来判断缺失的条件，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．
2．开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（ ）
A． 甲先做了4天 B． 甲乙合做了4天 C． 甲先做了工程的 D． 甲乙合做了工程的
考点： 分式方程的应用．
专题： 工程问题．
分析： 方程左边的代数式表示的是甲乙合作的工效，所以相对应的是时间．
解答： 解：由方程：，可知甲做了4天，乙做了x天．
故条件③是甲乙合做了4天．
故选B．
点评： 本题考查了分式方程的应用，用到的等量关系为：工效×工作时间=工作总量．
3．父子两人沿周长为a的圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )骑自行车匀速行驶．同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍．已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（ ）
A． 1.1v B．1.2v C．1.3v D． 1.4v
考点： 分式方程的应用．
分析： 根据“同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍”得出等式方程，求出即可．
解答： 解：设父亲的速度为x，
根据题意得出：=，
解得：x=1.2V．
故选：B．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，根据同向与逆向行驶所用时间得出等式是解题关键．
4．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区 ( http: / / www.21cnjy.com )的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）
A． 8 B．7 C．6 D． 5
考点： 分式方程的应用．
专题： 工程问题．
分析： 工效常用的等量关系是：工效×时间= ( http: / / www.21cnjy.com )工作总量，本题的等量关系为：甲工作量+乙工作量=1，根据从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，本题需注意甲比乙多做2天．
解答： 解：设甲志愿者计划完成此项工作需x天，故甲、乙的工效都为：，
甲前两个工作日完成了，剩余的工作日完成了，，
则+=1，
解得x=8，
经检验，x=8是原方程的解．
故选：A．
点评： 本题主要考查分式方程的应用，还考查了工效×时间=工作总量这个等量关系．
5．某乡镇决定对一段长6 ( http: / / www.21cnjy.com ) 000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修健的公路比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（ ）
A． +4= B． =﹣4
C． ﹣4= D． =+4
考点： 分式方程的应用．
专题： 压轴题．
分析： 求的是工作效率，工作总量是6000， ( http: / / www.21cnjy.com )则是根据工作时间来列等量关系．关键描述语是提前4天完成，等量关系为：原计划时间﹣实际用时=4，根据等量关系列出方程．
解答： 解：设原计划每天修建x米，因为每天修健的公路比原计划增加了50% 所以现在每天修健x（1+50%）m，
﹣=4，
即：﹣4=，
故选：C．
点评： 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．
6．甲、乙两个清洁队参加了某社 ( http: / / www.21cnjy.com )区“城乡清洁工程”，甲队单独做2天完成了工程的三分之一，这时乙队加入，两队又共同做了1天，完成了全部工程．则乙队单独完成此项工程需要（ ）
A． 6天 B．4天 C．2天 D． 3天
考点： 分式方程的应用．
分析： 设乙队单独完成此项工程需要的时间为x天由甲完成的工作量+乙完成的工作量=工作总量建立方程就可以求出其解．
解答： 解：设乙队单独完成此项工程需要的时间为x天，由题意，得
×1+×1=1﹣，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的根．
∴x=2．
故选C．
点评： 本题是一道工程问题的运用题，考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了工作总量=工作效率×工作时间的运用，列分式方程解实际问题的运用，解答时根据两次完成的工作量之和等于1建立方程是关键．
7．某人承包1125平方米的铺地 ( http: / / www.21cnjy.com )砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺（ ）
A． 70平方米 B．65平方米 C．75平方米 D． 85平方米
考点： 分式方程的应用．
分析： 设原计划每天铺x米 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，可列方程求解．
解答： 解：设原计划每天铺x米，
=3++4
x=75．
经检验x=75是方程的解．
故原计划铺75平方米．
故选C．
点评： 本题考查理解题意的能力，设出计划铺多少，以时间做为等量关系列方程求解．
8．初三（1）班在今年的植树节领有平 ( http: / / www.21cnjy.com )均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树的棵数为（ ）
A． 9 B．10 C．12 D． 14
考点： 分式方程的应用．
专题： 工程问题．
分析： 要求单独由男生完成，每人应植树多少棵，就要先设出未知数，根据题中的等量关系，列方程求解．
解答： 解：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程：
，
解得：x=10．
检验得x=10是方程的解．
因此单独由男生完成，每人应植树10棵．
故选B．
点评： 考查了分式方程的应用，本题为工作效率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
二．填空题（共7小题）
9．某工厂一台机器的工作效率 ( http: / / www.21cnjy.com )相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产 15 个零件．
考点： 分式方程的应用．
分析： 设一个工人每小时生产零件x个，则机 ( http: / / www.21cnjy.com )器一个小时生产零件12x个，根据这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，列方程求解，继而可求得机器每小时生产的零件．
解答： 解：设一个工人每小时生产零件x个，则机器一个小时生产零件12x个，
由题意得，﹣=2，
解得：x=1.25，
经检验：x=1.25是原分式方程的解，且符合题意，
则12x=12×1.25=15．
即这台机器每小时生产15个零件．
故答案为：15．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
10．小红到离家2100米的学校参加联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校，已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．设小红步行的平均速度为x米/分，根据题意可得方程 =+20 ．
考点： 分式方程的应用．
分析： 设小红步行的平均速度 ( http: / / www.21cnjy.com )为x米/分，则骑自行车的平均速度为3x米/分．由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程．
解答： 解：设小红步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为3x米/分，根据题意得：=+20．
故答案是：=+20．
点评： 本题是一道行程问题的运用题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程是关键．
11．学校计划将120名学生平 ( http: / / www.21cnjy.com )均分成若干个读书小组，若每个小组比原计划多1人，则要比原计划少分出6个小组，那么原计划要分成的小组数是 30 ．
考点： 分式方程的应用．
分析： 设原计划要分成的小组数是x个，则实际分成（x﹣6）个小组，根据实际每个小组比原计划多1人，列方程求解．
解答： 解：设原计划要分成的小组数是x个，则实际分成（x﹣6）个小组，
由题意得，﹣=1，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意．
故答案为：30．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
12．某工厂现在平均每天比原计划多生 ( http: / / www.21cnjy.com )产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 200 台机器．
考点： 分式方程的应用．
分析： 根据现在生产600台机器的 ( http: / / www.21cnjy.com )时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
解答： 解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．
依题意得：=．
解得：x=200．
检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．
∴x=200是原分式方程的解．
∴现在平均每天生产200台机器．
故答案为：200．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，重点 ( http: / / www.21cnjy.com )在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．
13．某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工a件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，则手工每小时加工产品的数量为 27 件．
考点： 分式方程的应用．
分析： 先设手工每小时加工产品x件，根据机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，可以得到机器每小时加工产品（2x+9）件，然后根据加工a件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．
解答： 解：设手工每小时加工产品的数量为x件，则机器每小时加工产品的数量为（2x+9）件，根据题意可得：
×=，
解得：x=27，
经检验，x=27是原方程的解，
答：手工每小时加工产品27件．
故答案为：27．
点评： 本题考查了列分式方程解应用 ( http: / / www.21cnjy.com )题，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数，注意分式方程要检验．
14．某市从今年1月1日起调整居民天然气价格，每立方米天然气价格上涨25%，小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m3，5月份燃气费是90元，则该市今年居民用天然气的价格是每立方米 3 元．
考点： 分式方程的应用．
专题： 应用题．
分析： 有总费用，求的是单价，那么一定 ( http: / / www.21cnjy.com )是根据数量来列等量关系的．关键描述语是：“5月份的用气量比去年12月份少10m3”．等量关系为：去年12月份的用气量﹣今年5月份的用气量=10．
解答： 解：设该市去年居民用气的价格为x元/m3，则今年的价格为（1+25%）x元/m3．
根据题意，得﹣=10，
解这个方程，得x=2.4，
经检验，x=2.4是所列方程的根，
∴2.4×（1+25%）=3（元）．
故答案为：3．
点评： 考查了分式方程的应用，应 ( http: / / www.21cnjy.com )用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．货车行驶30km与小汽车行驶40km所用的时间相同．若小汽车每小时比货车多行驶20km，则货车的速度为 60 km/h．
考点： 分式方程的应用．
分析： 先设货车的速度为xkm/h，根据小汽车每小时比货车多行驶20千米，所以小车的速度为（x+20）km/h，再根据时间=及货车行驶30千米与小车行驶40千米所用时间相同，列出方程，求出x的值，再进行检验，即可得出答案．
解答： 解：设货车的速度为km/h，根据题意得：
=，
解得：x=60．
经检验：x=60是原方程的解．
答：货车的速度为60km/h．
故答案为：60．
点评： 本题考查了分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．某文具厂计划加工3000套画图 ( http: / / www.21cnjy.com )工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量．
考点： 分式方程的应用．
专题： 工程问题．
分析： 根据题意设出该文具厂原计划每天加工x套这种画图工具，再根据已知条件列出方程即可求出答案．
解答： 解：设文具厂原计划每天加工x套这种画图工具．
根据题意，得﹣=4．
解得 x=125．
经检验，x=125是原方程的解，且符合题意．
答：文具厂原计划每天加工125套这种画图工具．
点评： 本题主要考查了如何由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出等量关系列出方程是本题的关键．
17．国家实施高效节能电器 ( http: / / www.21cnjy.com )的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购买一台可获得补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
考点： 分式方程的应用．
专题： 应用题．
分析： 设该款空调补贴前的售价为每台x元，根据补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，可建立方程，解出即可．
解答： 解：设该款空调补贴前的售价为每台x元，
由题意，得：×（1+20%）=，
解得：x=3000．
经检验得：x=3000是原方程的根．
答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．
点评： 本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相 ( http: / / www.21cnjy.com )距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
考点： 分式方程的应用．
专题： 应用题．
分析： 设特快列车的平均速度为xkm/ ( http: / / www.21cnjy.com )h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解．
解答： 解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，
由题意，得：=，
解得：x=90，
经检验得：x=90是这个分式方程的解．
x+54=144．
答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的速度为144km/h．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题 ( http: / / www.21cnjy.com )的关键是仔细审题，得到等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同．
19．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用 ( http: / / www.21cnjy.com )3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
考点： 分式方程的应用．
专题： 应用题．
分析： 设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．
解答： 解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2×=，
解得 x=30
经检验，x=30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
点评： 本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．
20．马小虎的家距离学校1800米，一 ( http: / / www.21cnjy.com )天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
考点： 分式方程的应用．
专题： 行程问题．
分析： 设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：马小虎走1600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟．
解答： 解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得
=+10，
解得 x=80．
经检验，x=80是原方程的根．
答：马小虎的速度是80米/分．
点评： 本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21．某超市用3000元 ( http: / / www.21cnjy.com )购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
考点： 分式方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： （1）设该种干果的第一次进价是 ( http: / / www.21cnjy.com )每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；
（2）根据利润=售价﹣进价，可求出结果．
解答： 解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得=2×+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
（2）[+﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000
=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
点评： 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．为了进一步落实“节能减 ( http: / / www.21cnjy.com )排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？
考点： 分式方程的应用．
专题： 工程问题．
分析： 设甲队每天完成x米2，乙队每天完成1.5x米2．则依据“乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务”列出方程．
解答： 解：设甲队每天完成x米2，乙队每天完成1.5 x米2，根据题意得．
﹣=15，
解得x=160，
经检验，x=160，是所列方程的解．
答：甲队每天完成160米2．
点评： 本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23．某市修通一条与省会 ( http: / / www.21cnjy.com )城市相连接的高速铁路，动车走高速铁路线到省会城市路程是500千米，普通列车走原铁路线路程是560千米．已知普通列车与动车的速度比是2：5，从该市到省会城市所用时间动车比普通列车少用4.5小时，求普通列车、动车的速度．
考点： 分式方程的应用．
分析： 首先设普通列车的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度2x千米/小时，则动车的速度是5x千米/小时，根据题意可得等量关系：动车比普通列车少用4.5小时，根据时间关系列出方程即可．
解答： 解：设普通列车的速度2x千米/小时，则动车的速度是5x千米/小时，
由题意有：
解得：x=40，
经检验：x=40是分式方程的解，
∴2x=80，5x=200．
答：普通列车的速度80千米/小时，动车的速度是200千米/小时．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出动车和普通列车从该市到省会城市所用时间．16.3.3由实际问题抽象出分式方程
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题）
1．货车行驶25千米与小车行驶35千米 ( http: / / www.21cnjy.com )所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．某工厂现在平均每天比原计划多生 ( http: / / www.21cnjy.com )产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
3．某小区为了排污，需铺设一段全长为 ( http: / / www.21cnjy.com )720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x米，下面所列方程正确的是（ ）
A．﹣=2 B．﹣=2 C．﹣=2 D．=
4．已知A、C两地相距40千米，B、C ( http: / / www.21cnjy.com )两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．某工厂计划生产210 ( http: / / www.21cnjy.com )个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（ ）
A．﹣=5 B．﹣=5 C．﹣=5 D．
6．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
7．北海到南宁的铁路长210千米， ( http: / / www.21cnjy.com )动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A．+1. 8= B．﹣1.8= C．+1.5= D．﹣1.5=
8．小军家距学校5千米， ( http: / / www.21cnjy.com )原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A．+= B．﹣= C．+10= D．﹣10=
二．填空题（共6小题）
9．有两块面积相同的蔬菜试验田，第 ( http: / / www.21cnjy.com )一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是 _________ ．
10．小明上周三在超市恰好用10 ( http: / / www.21cnjy.com )元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为 _________ ．
11．A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为 _________ ．
12．某园林队计划由6名工人对18 ( http: / / www.21cnjy.com )0平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方米，请列出满足题意的方程是 _________ ．
13．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 _________ ．
14．新兴文具店现要用10000元资金购进一批计算器，有两种款式可供选择．甲种款式每台比乙种款式的每台贵10元，用4000元所购甲种款式的数量是用4000元购买乙种款式数量的．甲种款式计算器和乙种款式计算器每台进价分别为多少元？若设乙种款式计算器每台进价x元，那么根据题意，可得方程 _________ ．
三．解答题（共8小题）
15．有两块面积相同的小麦 ( http: / / www.21cnjy.com )试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，请列出关于x的分式方程．
16．某市今年1月1日起调整居民用天然气价格，每立方米天然气费上涨25%．小明家去年12月份的天然气费是96元，而今年5月份的天然气费是90元．已知小明家今年5月份的用天然气量比去年12月份少10m3，求该市今年居民用天然气的价格．如果设去年用气价为x元，怎么列方程？
17．解方程：．
18．为了帮助遭受自然灾害的地 ( http: / / www.21cnjy.com )区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数x人，那么x应满足怎样的方程？
19．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用 ( http: / / www.21cnjy.com )一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？（只需列式表示，不必化简）
20．一条小船顺流航行50km后，又 ( http: / / www.21cnjy.com )立即返回原地．如果船在静水中的速度为akm/h，水流的速度为8km/h，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？
21．一项工作由甲单独做需a天完成；如果甲、乙合做，则可提前b天完成．问乙每天可完成这项工作的几分之几？
22．一船在河流上游A港 ( http: / / www.21cnjy.com )顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，A、B两地距离为150千米，则该船从A港出发到返回A港共用了7.25小时，如果设水流速度是x千米/时，那么x应满足怎样的方程？
16.3.3由实际问题抽象出分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．货车行驶25千米与小 ( http: / / www.21cnjy.com )车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．
解答： 解：根据题意，得
．
故选：C．
点评： 理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．
2．某工厂现在平均每天比原计划多生产 ( http: / / www.21cnjy.com )50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． = B．= C．= D． =
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 根据现在生产600台机器的时间 ( http: / / www.21cnjy.com )与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
解答： 解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．
依题意得：=．
故选：A．
点评： 此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
3．某小区为了排污，需铺设一段全长为72 ( http: / / www.21cnjy.com )0米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x米，下面所列方程正确的是（ ）
A ﹣=2 B． ﹣=2 C﹣=2 D． =
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（1+20%）x米，根据实际施工比原计划提前2天完成，列出方程即可．
解答： 解：设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（1+20%）x米，
由题意得，﹣=2．
故选：A．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
4．已知A、C两地相距40千米，B、C ( http: / / www.21cnjy.com )两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
专题： 行程问题．
分析： 设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程．
解答： 解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，
由题意得，=．
故选：B．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
5．某工厂计划生产210个零件，由于采用新技 ( http: / / www.21cnjy.com )术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（ ）
A． ﹣=5 B．﹣=5 C．﹣=5 D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可．
解答： 解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意得，﹣=5．
故选：A．
点评： 本题考查了由实际问题抽 ( http: / / www.21cnjy.com )象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
6．某校为了丰富学生的校园生活，准 ( http: / / www.21cnjy.com )备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． = B．= C．= D． =
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
专题： 销售问题．
分析： 设A型陶笛的单价为x ( http: / / www.21cnjy.com )元，则B型陶笛的单价为（x+20）元，根据用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，列方程即可．
解答： 解：设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元，
由题意得，=．
故选：D．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7．北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后 ( http: / / www.21cnjy.com )的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． +1.8= B． ﹣1.8=
C． +1.5= D． ﹣1.5=
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设原来火车的平均速度为x千米/时， ( http: / / www.21cnjy.com )则动车运行后的平均速度为1.8x，根据题意可得：由北海到南宁的行驶时间动车比原来的火车少用1.5小时，列方程即可．
解答： 解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，
由题意得，﹣1.5=．
故选：D．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
8．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学， ( http: / / www.21cnjy.com )学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A． += B．﹣= C．+10= D． ﹣10=
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
专题： 行程问题．
分析： 设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，根据“小军乘小车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程解决问题．
解答： 解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题意得，
﹣=．
故选：B．
点评： 此题考查列分式方程解应用题，找出题中蕴含的等量关系是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是 = ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设第一块试验田每亩的产量为x千克，则第二块试验田每亩的产量为（x+200）千克，根据两块地的面积相同，列出分式方程．
解答： 解：设第一块试验田每亩的产量为x千克，则第二块试验田每亩的产量为（x+200）千克，
由题意得，=．
故答案为；=．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程．
10．小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为 （x+2）（﹣0.5）=12 ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 关键描述语为：“每袋比周三便宜0.5元”；等量关系为：周日买的奶粉的单价×周日买的奶粉的总数=总钱数．
解答： 解：设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为：
（x+2）（﹣0.5）=12．
故答案为：（x+2）（﹣0.5）=12．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．
11．A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为 ﹣= ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设骑自行车的速度为x千米/时，则摩托车的速度为2x千米/小时，根据骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，列方程即可．
解答： 解：设骑自行车的速度为x千米/时，则摩托车的速度为2x千米/小时，
由题意得，﹣=．
故答案为：﹣=．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
12．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方米，请列出满足题意的方程是 ﹣=3 ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设每人每小时的绿化面积为x平方米，等量关系为：6名工人比8名工人完成任务多余3小时，据此列方程即可．
解答： 解：设每人每小时的绿化面积为x平方米，
由题意得，﹣=3．
故答案为：﹣=3．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
13．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 ﹣=24 ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米，根据提前24小时完成任务，列出方程即可．
解答： 解：设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米，
由题意得，﹣=24．
故答案为：﹣=24．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是设出未知数，找出合适的等量关系列方程．
14．新兴文具店现要用10000元资金购进一批计算器，有两种款式可供选择．甲种款式每台比乙种款式的每台贵10元，用4000元所购甲种款式的数量是用4000元购买乙种款式数量的．甲种款式计算器和乙种款式计算器每台进价分别为多少元？若设乙种款式计算器每台进价x元，那么根据题意，可得方程 =× ．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 乙种款式计算器每台进价x元，则甲种计算器每台（x+10）元．依据题中的等量关系列出方程．
解答： 解：若设乙种款式计算器每台进价x元，则甲种计算器每台（x+10）元．
依题意得 =×．
故答案是：=×．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题）
15．有两块面积相同的小麦试验 ( http: / / www.21cnjy.com )田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，请列出关于x的分式方程．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．
解答： 解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：．
由题意得：=．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
16．某市今年1月1日起调整居民用天然气价格 ( http: / / www.21cnjy.com )，每立方米天然气费上涨25%．小明家去年12月份的天然气费是96元，而今年5月份的天然气费是90元．已知小明家今年5月份的用天然气量比去年12月份少10m3，求该市今年居民用天然气的价格．如果设去年用气价为x元，怎么列方程？
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设去年用气价为x元，则今年用气价为（1+25%）x元，根据小明家今年5月份的用天然气量比去年12月份少10m3，列方程即可．
解答： 解：设去年用气价为x元，则今年用气价为（1+25%）x元，
由题意得，﹣=10．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
17．解方程：．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 去分母，将分式方程转化为整式方程，即可解决问题．
解答： 解：∵，
∴1440﹣1260=6x，
即180=6x，
解得：x=30．
经检验：x=30是原方程的解．
点评： 该题主要考查了解分式方程的问题；按照解分式方程的一般思路逐一解析，是解题的关键．
18．为了帮助遭受自然灾害 ( http: / / www.21cnjy.com )的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数x人，那么x应满足怎样的方程？
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
专题： 应用题．
分析： 要求的未知量是人数 ( http: / / www.21cnjy.com )，有捐款总额，一定是根据人均捐款额来列等量关系的．关键描述语是：两次人均捐款额相等．等量关系为：第一次人均捐款额=第二次两次人均捐款额，也就是：第一次的捐款总额÷第一次的捐款人数=第二次的捐款总额÷第二次的捐款人数．
解答： 解：设第一次捐款人数x人，第二次捐款人数（x+20）人，
由第一次人均捐款额=第二次两次人均捐款额，
故可得：．
点评： 题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．根据关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
19．一船在河流上游A港顺流而下直达 ( http: / / www.21cnjy.com )B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？（只需列式表示，不必化简）
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
专题： 行程问题．
分析： 从A港出发到返回A港共用的时间=顺流时间+逆流时间=顺流路程÷顺流速度+逆流路程÷逆流速度．
解答： 解：船从A到B所需时间为，逆流而上从B返回A所需时间为，
∴船从A港出发到返回A港共用时间为+1．
点评： 找到所求量的等量关系是解决问题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键．本题需注意时间等于相应的路程÷相应的速度；顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度﹣水流速度．
20．一条小船顺流航行50km后， ( http: / / www.21cnjy.com )又立即返回原地．如果船在静水中的速度为akm/h，水流的速度为8km/h，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
专题： 应用题．
分析： 先求出顺流速度，再求出逆流速度，根据时间=路程÷速度，分别求出逆流航行时间，顺流航行时间，相减即可得出顺流航行比逆流航行少用时间．
解答： 解：依题意有﹣==小时．
答：顺流航行比逆流航行少用小时．
点评： 本题考查了顺流航行与逆流航行问题，注意顺流速度=静水中的速度+水流的速度，逆流速度=静水中的速度﹣水流的速度．
21．一项工作由甲单独做需a天完成；如果甲、乙合做，则可提前b天完成．问乙每天可完成这项工作的几分之几？
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
专题： 应用题．
分析： 甲乙合作需（a﹣b）天，那么甲乙合作的工效为；
甲单独做需a天完成，甲的工效是，那么乙的工效=甲乙合作的工效﹣甲的工效=﹣．
解答： 解：根据分析可以得到：﹣=．故答案为．
点评： 找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意：问乙每天可完成这项工作的几分之几实际是求乙的工效．
22．一船在河流上游A港顺流而下直 ( http: / / www.21cnjy.com )达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，A、B两地距离为150千米，则该船从A港出发到返回A港共用了7.25小时，如果设水流速度是x千米/时，那么x应满足怎样的方程？
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 题中等量关系为：从A港顺流而下直达B港所用的时间+1小时+从B港出发逆流返回到A港共用的时间=7.25小时，据此列出方程即可．
解答： 解：设水流速度是x千米/时，由题意，得
+1+=7.25．
点评： 本题考查了由实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com )抽象出分式方程，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意时间等于相应的路程÷相应的速度；顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度﹣水流速度．16.3.1分式方程的定义
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题）
1．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（ ）
①；②；③；④．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
2．在下列各式中，是关于x的分式方程的是（ ）
A．2x﹣3y=0 B．﹣3= C．= D．+3
3．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程=0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+=1+是分式方程．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．方程的解为（ ）
A．x= B．x= C．x=﹣2 D．无解
5．若x=﹣1是方程﹣=0的根，则（ ）
A．a=6 B．a=﹣6 C．a=3 D．a=﹣3
6．若关于x的分式方程=1的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≠﹣2 C．m＞﹣3且m≠1 D．m＞﹣3且m≠﹣2
7．下列各式中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
9．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 _________ ．
10．分母中含有 _________ 的方程，叫做分式方程．
11．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 _________ ．
12．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为 _________ ．
13．分式方程的解为 _________ ．
14．关于x的分式方程无解，则m的值是 _________ ．
三．解答题（共6小题）
15．若关于x的方程+1=无解，则m= _________ ．
16．若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
17．已知x=5是方程=的解，求a的值．
18．关于x的方程﹣=﹣1无解，求m的值．
19．当a为何值时，关于x的方程的根是1？
20．当m为何值时，分式方程=无解？
16.3.1分式方程的定义
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（ ）
①；②；③；④．
A． 2个 B．3个 C．4个 D． 1个
考点： 分式方程的定义．
分析： 根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
解答： 解：①方程分母中不含未知数，故①不是分式方程；
②方程分母中含未知数，故②是分式方程；
③方程分母中含表示未知数的字母，故③是分式方程；
④方程分母中含未知数x，故④是分式方程；
故选：B．
点评： 本题考查了分式方程，判断一个方程 ( http: / / www.21cnjy.com )是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
2．在下列各式中，是关于x的分式方程的是（ ）
A． 2x﹣3y=0 B．﹣3= C．= D． +3
考点： 分式方程的定义．
分析： 根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、2x﹣3y=0是整式方程，故本选项错误；
B、﹣3=是整式方程，故本选项错误；
C、=是分式方程，故本选项正确；
D、+3不是方程，故本选项错误．
故选C．
点评： 本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
3．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程=0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+=1+是分式方程．
其中正确的个数是（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
考点： 分式方程的定义；分式方程的解；解分式方程；分式方程的增根．
分析： 根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答．
解答： 解：①解分式方程不一定会产生增根；
②方程=0的根为2，分母为0，所以是增根；
③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；
所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．
故选：A．
点评： 判断一个方程是否为分式方程，主要是 ( http: / / www.21cnjy.com )依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
4．方程的解为（ ）
A． x= B．x= C．x=﹣2 D． 无解
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 可以解方程：先去分母得到3（x+1）=x+2，解得x=﹣，然后经验确定分式方程的解；也可以把x=、﹣、﹣2分别代入方程，计算方程左右两边，根据分式方程的解进行判断．
解答： 解：去分母得，3（x+1）=x+2，
解得x=﹣，
经经验x=﹣是原方程的根，
所以原方程的解为x=﹣．
故选B．
点评： 本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解．也考查了解分式方程．
5．若x=﹣1是方程﹣=0的根，则（ ）
A． a=6 B．a=﹣6 C．a=3 D． a=﹣3
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，将x=﹣1代入计算即可求出a的值．
解答： 解：去分母得：ax﹣3x+3=0，
将x=﹣1代入得：﹣a+3+3=0，
解得：a=6，
故选A
点评： 此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
6．若关于x的分式方程=1的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． m＞3 B．m≠﹣2 C．m＞﹣3且m≠1 D． m＞﹣3且m≠﹣2
考点： 分式方程的解．
分析： 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
解答： 解：去分母得，m+2=x﹣1，
解得，x=m+3，
∵方程的解是正数，
∴m+3＞0，
解这个不等式得，m＞﹣3，
∵m+3﹣1≠0，
∴m≠﹣2，
则m的取值范围是m＞﹣3且m≠﹣2．
故选D．
点评： 考查了分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．注意分式方程分母不等于0．
7．下列各式中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C. D．
考点： 分式方程的定义．
分析： 根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
解答： 解：A、B、C方程中分母中都含有字母，都是分式方程，
D、方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选D．
点评： 判断一个方程是否为分式方程，主要是 ( http: / / www.21cnjy.com )依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
8．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 分式方程的定义．
分析： 根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
解答： 解：A、方程分母中含未知数x，故是分式方程；
B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
D、方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选A．
点评： 判断一个方程是否为 ( http: / / www.21cnjy.com )分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
二．填空题（共6小题）
9．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 3 ．
考点： 分式方程的定义．
分析： 根据分式方程的概念，直接得出结果即可．
解答： 解：分式方程有：③④⑤，
故答案为3．
点评： 本题考查了分式方程的概念，分母中含有未知数的方程叫分式方程．
10．分母中含有 未知数 的方程，叫做分式方程．
考点： 分式方程的定义．
分析： 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
解答： 解：分母中含有字母的方程叫做分式方程．
故答案是：未知数．
点评： 本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
11．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 m＞﹣1且m≠1 ．
考点： 分式方程的解．
分析： 先解关于x的分式方程，它的解x用含有m的代数式表示，然后再依据“原方程有解”和“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
解答： 解：原方程整理得：m﹣1=2x﹣2，
解得：x=，
∵原方程有解，
∴x﹣1≠0，
即，
解得m≠1，
∵方程的解是正数，
∴＞0，
解得m＞﹣1，
∴m＞﹣1且m≠1，
故应填：m＞﹣1且m≠1．
点评： 本题主要考查分式程的解，根据“原方程有解”和“解是正数”这两点建立不等式求m的取值范围．
12．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为 m＞﹣8且m≠﹣4 ．
考点： 分式方程的解．
分析： 求出分式方程的解x=﹣，得出﹣＜0，求出m的范围，根据分式方程得出﹣≠﹣2，求出m，即可得出答案．
解答： 解：，
2x﹣m=4x+8，
﹣2x=8+m，
x=﹣，
∵关于x的方程的解是负数，
∴﹣＜0，
解得：m＞﹣8，
∵方程，
∴x+2≠0，
即﹣≠﹣2，
∴m≠﹣4，
故答案为：m＞﹣8且m≠﹣4．
点评： 本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出﹣＜0和﹣≠﹣2，题目具有一定的代表性，但是有一定的难度．
13．分式方程的解为 x= ．
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 去分母后即可化为整式方程，即可求得x的值，再检验一下即可．
解答： 解：去分母得：1=2（x﹣1），
解得x=，
经检验得；x=是原方程的解．
点评： 解分式方程的基本思想是转化为整式方程，解分式方程时一定要注意检验．
14．关于x的分式方程无解，则m的值是 1 ．
考点： 分式方程的解．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x﹣1=0，求出x=1，代入整式方程即可求出m的值．
解答： 解：分式方程去分母得：x﹣2（x﹣1）=m，
由分式方程无解得到x﹣1=0，即x=1，
代入整式方程得：m=1．
故答案为：1．
点评： 此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
三．解答题（共6小题）
15．若关于x的方程+1=无解，则m= ﹣4 ．
考点： 分式方程的解．
分析： 方程无解，说明方程有增根x=2，只要把增根代入方程然后解出m的值即可．
解答： 解：∵+1=，
∴5+m+x﹣2=1，
∵关于x的方程无解，
∴x=2，
∴5+m+2﹣2=1，
∴m=﹣4．
故答案为：﹣4．
点评： 此题主要考查方程的增根问题，计算时要小心，是一道基础题．
16．若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．
解答： 解：去分母，得2x+a=2﹣x
解得：x=，∴＞0
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，且x≠2，
∴a≠﹣4
∴a＜2且a≠﹣4．
点评： 由于我们的目的是求a的取值范围，因此也没有必要求得x的值，求得3x=2﹣a即可列出关于a的不等式了，另外，解答本题时，易漏掉a≠﹣4，这是因为忽略了x﹣2≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
17．已知x=5是方程=的解，求a的值．
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，把x=5代入整式方程求出a的值即可．
解答： 解：分式方程去分母得：3=2（x﹣a）（2x+a），
把x=5代入得：3=2（5﹣a）（10+a）=2（50+5a﹣10a﹣a2）=100﹣10a﹣2a2，
整理得：2a2+10a﹣97=0，即a2+5a=，
配方得：a2+5a+=+，即（a+）2=，
开方得：a+=±，
解得：a=．
点评： 此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
18．关于x的方程﹣=﹣1无解，求m的值．
考点： 分式方程的解．
分析： 先化简方程，再把x的值代入即可求出m的值．
解答： 解：∵化简x的方程﹣=﹣1，得2m﹣3=﹣（2x+2）
∵x的方程﹣=﹣1无解，
∴方程的解为x=﹣1，
∴2m﹣3=﹣（﹣2+2），解得m=．
点评： 本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是化简方程，再把x的值代入．
19．当a为何值时，关于x的方程的根是1？
考点： 分式方程的解．
分析： 先把分式方程转化为整式方程，然后把x=1代入方程求解即可．
解答： 解：方程两边都乘以4（a﹣x）得，
4（2ax+3）=5（a﹣x），
∵方程的根是1，
∴4（2a+3）=5（a﹣1），
解得a=﹣．
点评： 本题考查了分式方程的解，熟练掌握方程的解的定义把方程的解代入方程，然后准确计算是解题的关键．
20．当m为何值时，分式方程=无解？
考点： 分式方程的解．
分析： 首先去分母，进而利用分式方程=无解，得出x=3进而得出即可．
解答： 解：去分母得：
x﹣1=m，
x=1+m，
∵分式方程=无解，
∴x﹣3=0，
∴x=3，
1+m=3，
解得；m=2．
点评： 此题主要考查了分式方程的解，根据分式方程无解得出x=3是解题关键．16.3.2解分式方程
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题）
1．分式方程的解是（ ）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=2
2．分式方程的解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．分式方程=的解是（ ）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．无解
4．将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是（ ）
A．1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D．x﹣1+2x=3
5． 分式方程的解为（ ）
A．x=﹣ B．x= C．x= D．
6． 将分式方程=去分母后得到的整式方程，正确的是（ ）
A．x﹣2=2x B．x2﹣2x=2x C．x﹣2=x D．x=2x﹣4
7． 如果方程+1=有增根，那么m的值等于（ ）
A．﹣5 B．4 C．﹣3 D．2
8． 若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
二．填空题（共6小题）
9．方程的解是 _________ ．
10．分式方程=0的解是 _________ ．
11．分式方程=的解为 _________ ．
12．若分式方程有增根，则a的值为 _________ ．
13．若解分式方程产生增根，则m的值为 _________ ．
14．关于x的方程=0有增根，则m= _________ ．
三．解答题（共8小题）
15．解方程：．
16．解方程：．
17．解分式方程：+=1．
18．解方程：﹣=．
19．若关于x的方程+=有增根，求增根和m的值．
20．（1）若分式方程=2﹣有增根，试求m的值．
（2）当x为何值时，分式的值比分式的值大3．
21．当m为何值时，=有增根．
22．若关于x的方程+=有增根，试求k的值．
16.3.2解分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．分式方程的解是（ ）
A． x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D． x=1或x=2
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答： 解：方程的两边同乘（x﹣2），得
2x﹣5=﹣3，
解得x=1．
检验：当x=1时，（x﹣2）=﹣1≠0．
∴原方程的解为：x=1．
故选：C．
点评： 考查了解分式方程，注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
2．分式方程的解为（ ）
A． 1 B．2 C．3 D． 4
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：5x=3x+6，
移项合并得：2x=6，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
故选：C．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
3．分式方程=的解是（ ）
A． x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D． 无解
考点： 解分式方程．
专题： 转化思想．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x+1=3，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故选：C
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4．将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是（ ）
A． 1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D． x﹣1+2x=3
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程两边乘以最简公分母x﹣1，即可得到结果．
解答： 解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x=3，
故选：B．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．分式方程的解为（ ）
A． x=﹣ B．x= C．x= D．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：3x=2，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
故选：B
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6．将分式方程=去分母后得到的整式方程，正确的是（ ）
A． x﹣2=2x B．x2﹣2x=2x C．x﹣2=x D． x=2x﹣4
考点： 解分式方程．
专题： 常规题型．
分析： 分式方程两边乘以最简公分母x（x﹣2）即可得到结果．
解答： 解：去分母得：x﹣2=2x，
故选：A．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．如果方程+1=有增根，那么m的值等于（ ）
A． ﹣5 B．4 C．﹣3 D． 2
考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 增根是化为整式方程后产生的不适 ( http: / / www.21cnjy.com )合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣4）=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
解答： 解：方程两边都乘（x﹣4），
得x+1+（x﹣4）=﹣m
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣4）=0，
解得x=4，
当x=4时，m=﹣5．
故选A．
点评： 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A． 3 B．2 C 1 D． ﹣1
考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 有增根是化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是1，然后代入化成整式方程的方程中，求得m的值．
解答： 解：方程两边都乘（x﹣1），得
m﹣1﹣x=0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=2．
故选：B．
点评： 增根问题可按如下步骤进行：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
二．填空题（共6小题）
9．方程的解是 x=2 ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 观察可得最简公分母是x（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答： 解：方程的两边同乘x（x+2），得
2x=x+2，
解得x=2．
检验：把x=2代入x（x+2）=8≠0．
∴原方程的解为：x=2．
故答案为：x=2．
点评： 本题考查了分式方程的解法，注：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
10．分式方程=0的解是 x=﹣3 ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x+1+2=0，
解得：x=﹣3
经检验x=﹣3是分式方程的解．
故答案为：x=﹣3
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
11．分式方程=的解为 x=1 ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：3x﹣6=﹣x﹣2，
移项合并得： 4x=4，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：x=1．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12．若分式方程有增根，则a的值为 4 ．
考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 增根是化为整式方程后产生的不适 ( http: / / www.21cnjy.com )合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣4）=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．
解答： 解：方程两边都乘（x﹣4），
得x=2（x﹣4）+a
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣4=0，
解得x=4，
当x=4时，a=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．若解分式方程产生增根，则m的值为 3 ．
考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 方程两边都乘以最简公分母（x﹣3），化为整式方程，进而把增根x=3代入可得m的值．
解答： 解：去分母得：x=2（x﹣3）+m，
当x=3时，m=3，
故答案为3．
点评： 考查增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．关于x的方程=0有增根，则m= 9 ．
考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 首先将方程化为整式方程，求出方程的根，若方程有增根，则方程的根满足分母x2﹣m=0，由此求得m的值．
解答： 解：方程两边都乘以（x2﹣m），得：x﹣3=0，即x=3；
由于方程有增根，故当x=3时，x2﹣m=0，即9﹣m=0，解得m=9；
故答案为：m=9．
点评： 解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三．解答题（共8小题）
15．解方程：．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
解答： 解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x﹣2x=3（x+1），
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是方程的解，
∴原方程的解为x=﹣．
点评： 当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
16．解方程：．
考点： 解分式方程．
分析： 首先找出最简公分母，进而去分母求出方程的根即可．
解答： 解：
方程两边同乘以x﹣2得：
1=x﹣1﹣3（x﹣2）
整理得出：
2x=4，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的根，故此方程无解．
点评： 此题主要考查了解分式方程，正确去分母得出是解题关键．
17．解分式方程：+=1．
考点： 解分式方程．
分析： 根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．
解答： 解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得
3+x（x+3）=x2﹣9
3+x2+3x=x2﹣9
解得x=﹣4
检验：把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，
∴x=﹣4是原分式方程的解．
点评： 本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．
18．解方程：﹣=．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题；转化思想．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：（x+1）2﹣2=x﹣1，
整理得：x2+x=0，即x（x+1）=0，
解得：x=0或x=﹣1，
经检验x=﹣1是增根，分式方程的解为x=0．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．若关于x的方程+=有增根，求增根和m的值．
考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
解答： 解：去分母得：﹣3（x+1）=m，
由分式方程有增根，得到x2﹣1=0，即x=1或x=﹣1，
把x=1代入整式方程得：m=﹣6；
把x=﹣1代入整式方程得：m=0．
点评： 此题考查了分式方程的增根，增根问 ( http: / / www.21cnjy.com )题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．（1）若分式方程=2﹣有增根，试求m的值．
（2）当x为何值时，分式的值比分式的值大3．
考点： 分式方程的增根；解分式方程．
分析： （1）根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据两个分式值的关系，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．
解答： 解：（1）方程两边都乘以（x﹣5），得
x=2（x﹣5）+m．
化简，得m=﹣x+10．
分式方程的增根是x=5，
把x=5代入方程得m=﹣5+10=5；
（2）分式的值比分式的值大3，得
﹣=3．
方程得两边都乘以（x﹣2），得
x﹣3﹣1=3（x﹣2）．
解得x=1，
检验：把x=1代入x﹣5≠0，
x=1是原分式方程的解，
当x=1时，分式的值比分式的值大3．
点评： 本题考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程得出关于m的方程是解题关键．
21．当m为何值时，=有增根．
考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
解答： 解：去分母得：（m﹣1）x﹣（x+1）=（m﹣5）（x﹣1），
去括号得：（m﹣2）x﹣1=（m﹣5）x﹣m+5，
移项合并得：3x=﹣m+6，
解得：x=，
由分式方程有增根，得到x（x+1）（x﹣1）=0，
即x=0或1或﹣1，
当x=0时，m=6；当x=1时，m=3；当x=﹣1时，m=9．
点评： 此题考查了分式方程的增根，增根问题可 ( http: / / www.21cnjy.com )按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
22．若关于x的方程+=有增根，试求k的值．
考点： 分式方程的增根．
分析： 根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于k的一元一次方程，根据解方程，可得答案．
解答： 解：去分母，得
（x+1）+（k﹣5）（x﹣1）=（k﹣1）x．
化简，得
3x+6﹣k=0．
当x=1时，3+6﹣k=0，解得k=﹣9；
当x=0时，6﹣k=0，解得k=6；
当x=﹣1时，﹣3+6﹣k=0，解得k=3．
点评： 本题考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程是解题关键．
