学案1 磁与人类文明 怎样描述磁场
[学习目标定位] 1.知道地磁场的特点，了解磁性材料.2.理解磁感线的概念并熟悉几种典型磁场的磁感线分布规律.3.理解磁通量和磁感应强度的概念，并会用磁通量和磁感应强度描述磁场．
一、我们生活在天然磁场——地磁场中
1．地球本身是一个磁体，其周围存在着磁场，地磁场的磁南极(S极)在地球的北端，磁北极(N极)在地球的南端．地磁场很弱，自由转动的小磁针能显示出地磁场的作用，这也是指南针的原理．
2．磁偏角：地磁的两极跟地理的两极并不重合，地磁轴和地球自转轴两者的夹角约为11°，因而水平放置的磁针的指向跟地理子午线之间有一个交角，这个交角叫做磁偏角．
二、形形色色的磁性材料
1．通过人工方法使磁性材料获得磁性，这个过程叫做磁化．磁性材料被磁化后，在一定条件下会失去磁性，这个过程叫做退磁或去磁．
2．磁化后容易退掉磁性的物质叫做软磁性材料，不容易退掉磁性的物质叫做硬磁性材料．软磁性材料适用于需要反复磁化的场合，硬磁性材料适合制造永磁铁．
三、磁场的形象描述
1．磁感线：在磁场中人为地画出的一些有方向的曲线，在这些曲线上，每一点的切线方向都与该点磁场方向相间．磁感线越密的地方，表示磁场越强；磁感线稀疏的地方，表示磁场弱．
2．匀强磁场： 磁感线的间距相等、相互平行且指向相同的磁场．
四、磁场的定量描述
1．磁通量
(1)定义：磁场中穿过平面的磁感线的条数叫穿过这个平面的磁通量，用字母Φ表示．
(2)单位：国际制单位为韦伯，简称韦，符号是Wb.
1 Wb＝1 T·m2.
2．磁感应强度：垂直穿过某单位面积上的磁通量叫做磁感应强度．用公式表示为B＝.磁感应强度的方向与该点处磁感线的切线方向一致.
一、地磁场
[问题设计]
指南针是我国古代四大发明之一，它对人类航海事业的发展产生了巨大的影响，但在古代指南针为什么指南曾是一个不解之谜，你知道为什么吗？
答案 因为地球是个大磁体，它对指南针有影响．
图1
[要点提炼]
1．地磁场
地球是一个大磁体，其周围存在的磁场叫地磁场．如图1所示，地球磁体的N极(北极)位于地理南极附近，地球磁体的S极(南极)位于地理北极附近．
2．磁偏角
地磁的两极跟地理的两极并不重合，水平放置的磁针的指向跟地理子午线之间有一个交角，这个交角叫做磁偏角．
[延伸思考] 宇宙中的其他天体是否有磁场？
答案 有些有磁场，有些没有磁场．
二、磁场的形象描述
[问题设计]
在磁场中放一块玻璃板，玻璃板上均匀地撒一层细铁屑，轻敲玻璃板，铁屑就会有规则地排列起来，模拟出磁感线的形状，由实验得到条形磁铁和蹄形磁铁的磁场的磁感线是如何分布的？磁感线有什么特点？磁感线是磁场中真实存在的吗？
答案 见要点提炼．
[要点提炼]
1．磁感线的特点
(1)磁感线上某点的切线方向表示该点的磁场方向．磁感线的疏密程度表示磁场的强弱．
(2)磁感线不相交、不相切、不中断、是闭合曲线；在磁体外部，其方向从N极指向S极；在磁体内部，由S极指向N极．(3)磁感线是为了形象描述磁场而假想的物理模型，在磁场中并不真实存在，不可认为有磁感线的地方有磁场，没有磁感线的地方没有磁场．
2．匀强磁场
磁感线的间距相等、相互平行且指向相同的磁场叫匀强磁场．
距离很近的两个异名磁极的中间区域的磁场为匀强磁场．
3．磁感线和电场线的比较
相同点：都是疏密程度表示场的强弱，切线方向表示场的方向；都不能相交．
不同点：电场线起于正电荷，终止于负电荷，不闭合；但磁感线是闭合曲线．
三、磁场的定量描述
[问题设计]
若在磁场中垂直于磁场方向有一个面积为S＝1 m2的平面，在磁场强弱不同的情况下，穿过这个平面的磁感线的条数是否相同？该结论说明了什么问题？
答案 不相同．磁场强时磁感线密，穿过的磁感线的条数多．这说明穿过这个平面的磁感线的条数多少能反映磁场强弱．
[要点提炼]
1．磁通量是指穿过某一平面的磁感线的条数．
一匝线圈和n匝同样大小的线圈，当放置方式相同时，磁通量相同．
2．磁通量是标量，但有正负，其正负表示磁感线穿过某一面积的方向与规定的正方向是相同还是相反．若有两个相反方向的磁场穿过某一面积时，则穿过这一面积的磁通量为合磁场的磁感线穿过这一面积的“净”条数．
图2
3．当线圈平面与磁场垂直时，磁通量Φ＝BS；当线圈平面与垂直于磁场的方向有一夹角θ时，穿过线圈的磁通量为Φ＝BScos_θ.(如图2)
4．磁感应强度：(1)垂直穿过某单位面积的磁通量．公式：B＝，其中S为垂直于磁感线的平面的面积．如果平面跟磁场方向不垂直，则S为垂直于磁场方向的投影面积．
(2)磁感应强度的方向为该点处磁感线的切线方向，也是小磁针静止时N极的指向．
一、对地磁场的认识
例1 关于地磁场，下列叙述正确的是( )
A．地球的地磁两极和地理两极重合
B．我们用指南针确定方向，指南针指南的一极是指南针的北极
C．地磁的北极与地理的南极重合
D．地磁的北极在地理的南极附近
解析 地球是一个大磁体，地球的地磁两极与地理两极并不重合，且相对位置在极其缓慢地变化，因此A、C错误；因为地磁北极在地理南极附近，因此，指南针指南的一极应是指南针的南极，其实指南针的南北极就是按其指向来命名的，故B错误，D正确．
答案 D
二、对磁场及磁感线的认识
例2 下列关于磁场和磁感线的描述，正确的有( )
A．磁极之间的相互作用是通过磁场发生的，磁场和电场一样，也是一种物质
B．磁感线可以形象地表现磁场的强弱与方向
C．磁感线总是从磁铁的北极出发，到南极终止
D．磁感线就是细铁屑在磁铁周围排列出的曲线，没有细铁屑的地方就没有磁感线
解析 磁场具有能量，所以是一种物质，A正确；磁感线的疏密程度可表示磁场的强弱，磁感线的方向可表示磁场的方向，B正确；磁感线是闭合曲线，在磁体外部，从磁铁的北极出发，进入南极；在磁体内部，从南极指向北极，C错误；用细铁屑在磁铁周围排列出的曲线可以模拟磁感线，但并不是磁感线．没有细铁屑的地方同样可以画出磁感线．故D错误．故选A、B.
答案 AB
三、对磁通量的认识及计算
例3 如图3所示，框架面积为S，框架平面与磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直，则穿过平面的磁通量为__________．若使框架绕OO′转过60°角，则穿过框架平面的磁通量为________；若从初始位置转过90°角，则穿过框架平面的磁通量为__________；若从初始位置转过180°角，则穿过框架平面的磁通量的变化量是__________．
图3
解析 初始位置Φ1＝BS；框架转过60°角时Φ2＝BS⊥＝BScos 60°＝BS；框架转过90°角时Φ3＝BS⊥＝BScos 90°＝0；若规定初始位置磁通量为“正”，则框架转过180°角时磁感线从反面穿出，故末态磁通量为“负”，即Φ4＝－BS，所以ΔΦ＝Φ4－Φ1＝(－BS)－BS＝－2BS.
答案 BS BS 0 －2BS
1．(对地磁场的认识)地球是一个大磁体：①在地面上放置一个小磁针，小磁针的南极指向地磁场的南极；②地磁场的北极在地理南极附近；③赤道附近地磁场的方向和地面平行；④北半球地磁场方向相对地面是斜向上的；⑤地球上任何地方的地磁场方向都是和地面平行的．以上关于地磁场的描述正确的是( )
A．①②④ B．②③④
C．①⑤ D．②③
答案 D
解析 地面上小磁针静止时，南极应指向地磁场的北极，①错；地磁场的南极在地理北极附近，地磁场的北极在地理南极附近，②对；只有在赤道附近地磁场的方向和地面才平行，③对，⑤错；地磁场方向在北半球斜向下方，南半球斜向上方，④错．故正确答案为D.
2．(对磁场及磁感线的认识)关于磁感线和电场线，下列说法正确的是( )
A．磁感线不是闭合曲线，起始于N极，终止于S极
B．电场线起始于负电荷，终止于正电荷
C．电场线和磁感线都是电场或磁场中实际存在的线
D．空间某处磁感线、电场线分布越密集，表示该处磁感应强度、电场强度越大
答案 D
解析 磁感线是闭合曲线，A错；电场线起始于正电荷，终止于负电荷，B错；电场线和磁感线都不是电场和磁场中实际存在的线，C错；故选D.
3．(对磁通量的认识及计算)下列关于磁通量和磁感应强度的说法正确的是( )
A．磁感应强度的大小与磁通量成正比
B．磁感应强度的大小取决于磁场本身
C．穿过垂直于磁感应强度方向某面积的磁感线条数等于磁感应强度
D．当平面跟磁场方向平行时，穿过这个平面的磁通量必为零
答案 BD
4．(对磁通量的认识及计算)如图4所示，半径为R的圆形线圈共有n匝，其中心位置处半径为r的虚线范围内有匀强磁场，磁场方向垂直线圈平面．若磁感应强度为B，则穿过线圈的磁通量为( )
图4
A．πBR2 B．πBr2
C．nπBR2 D．nπBr2
答案 B
解析 磁通量与线圈匝数无关，且磁感线穿过的面积为πr2，并非πR2，故B项对．
题组一 对磁现象及地磁场的认识
1．磁性水雷是用一个可以绕轴转动的小磁针来控制起爆电路的，军舰被地磁场磁化后变成了一个浮动的磁体，当军舰接近磁性水雷时，就会引起水雷的爆炸，其依据是( )
A．磁体的吸铁性
B．磁极间的相互作用规律
C．电荷间的相互作用规律
D．磁场对电流的作用原理
答案 B
解析 军舰被地磁场磁化后变成了磁体，当军舰靠近水雷时，对控制引爆电路的小磁针有力的作用，使小磁针转动引爆水雷．B项正确．
2．以下关于地磁场的说法中正确的是( )
A．地磁场是地球的盾牌，起着保护地球上生命的作用
B．地磁场的N极在地理位置的南极附近，但不与南极重合
C．地磁场的方向会随时间的流逝而缓慢变化
D．在行星中，只有地球有磁场
答案 ABC
解析 宇宙中射向地球的高能粒子流如果不受阻碍地射到地球上，会杀死地球上的生命体，正是由于地磁场的保护，使得大量的粒子被偏转，人类和其他生命才得以延续，故A项正确．地磁场的N极在地理南极附近，但不与南极重合，有磁偏角，B项正确．地磁场的N、S极的位置会缓慢移动，故C项正确．在行星中，并不是只有地球有磁场，故D项错误．
3．下列说法中与实际情况相符的是( )
A．地球的磁偏角是一个定值
B．地磁场的北极在地理位置的北极附近
C．除了地球外，到目前为止其他星球上还没有发现磁现象
D．郑和出海远航比哥伦布的远洋探险先使用指南针
答案 D
解析 磁偏角随地理位置变化而变化，A错误；地磁场的北极在地理南极附近，B错误；其他星球上也有磁场存在，C错误；我国是最早利用指南针航海的国家，D正确．
题组二 对磁场及磁感线的认识
4．关于磁感线的描述，下列说法中正确的是( )
A．磁感线可以形象地描述各点磁场的强弱和方向，它每一点的切线方向都和小磁针放在该点静止时北极所指的方向一致
B．磁感线可以用细铁屑来显示，因而是真实存在的
C．两条磁感线的空隙处一定不存在磁场
D．两个磁场叠加的区域，磁感线就一定相交
答案 A
解析 磁感线上每一点的切线方向表示磁场方向，即小磁针静止时北极所指的方向，所以A正确；磁感线是为了形象地描述磁场而假想的一组有方向的闭合曲线，实际上并不存在，细铁屑可以显示出其形状，但那并不是磁感线，B错；磁感线的疏密反映磁场的强弱，磁感线是假想的人为画出的曲线，两条磁感线的空隙处也存在磁场，C错；磁感线不相交，D错．
5．下列关于磁场的说法中，正确的是( )
A．磁场和电场一样，是客观存在的特殊物质
B．磁场是为了解释磁极间相互作用而人为规定的
C．磁体与磁体之间是直接发生作用的
D．磁场只有在磁体与磁体、磁体与电流发生作用时才产生
答案 A
解析 磁场是一种客观存在的物质，磁体与磁体、磁体与电流、电流与电流间相互作用时都是通过磁场而发生，故B、C、D错误，A正确．
6．关于磁通量，下列说法中正确的是( )
A．磁通量不仅有大小而且有方向，所以是矢量
B．磁通量越大，磁感应强度越大
C．穿过某一面积的磁通量为零，该处磁感应强度不一定为零
D．磁通量就是磁感应强度
答案 C
7．关于磁通量，下列叙述正确的是( )
A．在匀强磁场中，穿过一个平面的磁通量等于磁感应强度与该平面面积的乘积
B．在匀强磁场中，a线圈的面积比b线圈大，则穿过a线圈的磁通量一定比穿过b线圈的磁通量大
C．把一个线圈放在M、N两处，若放在M处时穿过线圈的磁通量比放在N处时大，则M处的磁感应强度一定比N处大
D．同一线圈放在磁感应强度大处，穿过线圈的磁通量不一定大
答案 D
解析 在匀强磁场中，穿过一个平面的磁通量等于磁感应强度与该平面在垂直于磁场方向的投影面积的乘积，线圈的面积大，投影面积不一定大，磁通量不一定大，故A、B错；磁感应强度的大小取决于磁场本身，与线圈在此处的磁通量的大小无关，C错；同一线圈放在磁感应强度大处，磁通量可能是零，D对．
8．如图1所示，一水平放置的矩形闭合线圈abcd在细长磁体N极附近下落，保持bc边在纸外，ad边在纸内，由图中的位置Ⅰ经过位置Ⅱ下落到位置Ⅲ，且位置Ⅰ和位置Ⅲ都很靠近位置Ⅱ，在这个过程中，线圈中的磁通量( )
图1
A．是增加的 B．是减少的
C．先增加，后减少 D．先减少，后增加
答案 D
学案2 探究电流周围的磁场
[学习目标定位] 1.了解直线电流、环形电流、通电线圈的磁感线分布，并会运用安培定则判定电流的磁场方向.2.知道磁现象的电本质，了解安培分子电流假说．
1820年，丹麦物理学家奥斯特发现通电导线也能使小磁针偏转，揭示了电与磁的联系．
一、电流的磁场
电流的磁场可以用安培定则(右手螺旋定则)来判定
1．直线电流的磁场：用右手握住导线，让大拇指指向电流的方向，则弯曲的四指所指的方向就是磁感线的环绕方向．
2．环形电流的磁场：环形电流磁场的磁感线是一些围绕环形导线的闭合曲线．在环形导线的中心轴线上，磁感线和环形导线的平面垂直．
3．通电螺线管的磁场：通电螺线管外部磁感线和条形磁铁外部的磁感线相似，也是从北极出来，进入南极．螺线管
内中间部分的磁感线跟螺线管的轴线平行，方向由南极指向北极，并和外部磁感线连接，形成闭合曲线．长直通电螺线管内中间部分的磁场近似为匀强磁场 .
二、探究磁现象的本质
1821年，安培提出了安培分子电流假说，他认为，在原子、分子等物质微粒的内部存在着一种环形电流——分子电流，分子电流使每个物质微粒都成为微小的磁体，分子电流的两侧相当于两个磁极．
安培的分子电流假设揭示了磁性的起源，即磁铁的磁场和电流的磁场一样，都是由电荷的运动产生的．
一、电流的磁场
[问题设计]
1820年，丹麦物理学家奥斯特发现了电流周围存在磁场，电流周围的磁场具有什么特征？仔细观察实验，说明电流的磁场的特点．
(1)让一直导线垂直穿过一块水平硬纸板，将小磁针放置在水平硬纸板各处，接通电源．观察小磁针在各处的指向，分析直线电流的磁感线的特点．
(2)用相同的方法研究环形电流磁场的磁感线的分布，也可用细铁屑模拟磁感线的分布，分析其磁感线的特点．
(3)用细铁屑模拟通电螺线管的磁感线分布，分析其磁感线的特点．
答案 见要点提炼．
[要点提炼]
电流周围的磁感线方向可根据安培定则判断．
1．直线电流的磁场：以导线上任意点为圆心的同心圆，越向外越疏．(如图1所示)
图1
2．环形电流的磁场：内部比外部强，磁感线越向外越疏．(如图2所示)
图2
3．通电螺线管的磁场：内部为匀强磁场，且内部比外部强．内部磁感线方向由S极指向N极，外部由N极指向S极．(如图3所示)
图3
二、探究磁现象的本质
[问题设计]
磁铁和电流都能产生磁场，而且通电螺线管外部的磁场与条形磁铁的磁场十分相似，它们的磁场有什么联系？
答案 它们的磁场都是由电荷的运动产生的．
[要点提炼]
1．安培分子电流假说
安培认为，物质微粒内的分子电流使它们相当于一个个的小磁体(如图4)．
图4
2．当铁棒中分子电流的取向大致相同时，铁棒对外显磁性(如图5甲)；当铁棒中分子电流的取向变得杂乱无章时，铁棒对外不显磁性(如图乙)．
图5
3．安培分子电流假说说明一切磁现象都是由电荷的运动产生的．
一、对安培定则的理解与应用
例1 如图6所示，a是直线电流的磁场，b是环形电流的磁场，c是通电螺线管电流的磁场，试在各图中补画出电流方向或磁感线方向．
图6
解析 根据安培定则，可以确定a中电流方向垂直纸面向里，b中电流方向为逆时针方向，c中螺线管内部磁感线方向向左．
答案 见解析
针对训练 如图所示，当开关S闭合后，小磁针处在通电电流的磁场中的位置正确的是( )
答案 D
解析 依据安培定则，判断出电流的磁场方向；再根据小磁针静止时N极的指向为磁场的方向，判知D正确．
二、磁感应强度矢量的叠加
例2 如图7所示，两个完全相同的通电圆环A、B圆心O重合、圆面相互垂直的放置，通电电流相同，电流方向如图所示，设每个圆环在其圆心O处独立产生的磁感应强度都为B0，则O处的磁感应强度大小为( )
图7
A．0 B．2B0
C.B0 D．无法确定
解析 A通电圆环在O点处产生的磁场由安培定则可知垂直纸面向里，大小为B0，同理由安培定则知B圆环在O点处产生的磁场方向竖直向下，大小也为B0.所以O点合磁场的磁感应强度大小为B0，选项C正确．
答案 C
三、对磁现象的本质的认识
例3 关于磁现象的电本质，下列说法正确的是( )
A．除永久磁铁外，一切磁场都是由运动电荷或电流产生的
B．根据安培的分子电流假说，在外磁场作用下，物体内部分子电流取向变得大致相同时，物体就被磁化了，两端形成磁极
C．一切磁现象都起源于电流或运动电荷，一切磁作用都是电流或运动电荷之间通过磁场而发生的相互作用
D．磁就是电，电就是磁；有磁必有电，有电必有磁
解析 永久磁铁的磁场也是由运动的电荷产生的．故A错误．没有磁性的物体内部分子电流的取向是杂乱无章的，分子电流产生的磁场相互抵消，但当受到外界磁场的作用力时分子电流的取向变得大致相同时分子电流产生的磁场相互加强，物体就被磁化了，两端形成磁极．故B正确．由安培分子电流假说知C正确．磁和电是两种不同的物质，故磁是磁，电是电．有变化的电场或运动的电荷就能产生磁场，但静止的电荷不能产生磁场，恒定的电场不能产生磁场，同样恒定磁场也不能产生电场，故D错误．
答案 BC
1．(安培定则的理解与应用)如图8所示为电流产生磁场的分布图，正确的分布图是( )
图8
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
答案 C
解析 由安培定则可以判断出直线电流产生的磁场方向，①正确，②错误．③和④为环形电流，注意让弯曲的四指指向电流的方向，可判断出③错误，④正确．故正确选项为C.
2．(安培定则的理解与应用)如图9所示，a、b、c三枚小磁针分别在通电螺线管的正上方、管内和右侧，当这些小磁针静止时，小磁针N极的指向是( )
图9
A．a、b、c均向左
B．a、b、c均向右
C．a向左，b向右，c向右
D．a向右，b向左，c向右
答案 C
解析 小磁针静止时N极的指向与该点磁感线方向相同，如果a、b、c三处磁感线方向确定，那么三枚磁针静止时N极的指向也就确定．所以，只要画出通电螺线管的
磁感线如图所示，即可知a磁针的N极在左边，b磁针的N极在右边，c磁针的N极在右边．
3．(磁感应强度矢量的叠加)如图10所示，a、b两根垂直纸面的直导体通有大小相等的电流，两导线旁有一点P，P点到a、b距离相等，要使P点的磁场方向向右，则a、b中电流的方向为( )
图10
A．都垂直于纸面向纸里
B．都垂直于纸面向纸外
C．a中电流垂直于纸面向外，b中电流垂直于纸面向里
D．a中电流垂直于纸面向里，b中电流垂直于纸面向外
答案 C
解析 根据矢量合成可知，a在P点的磁场方向沿aP连线的垂线向上，b在P点的磁场方向沿bP连线的垂线向下，再由安培定则判断得：a中电流垂直于纸面向外，b中电流垂直于纸面向里，C正确．
4．(对磁现象的本质的认识)用安培提出的分子电流假说可以解释的现象是( )
A．永久磁铁的磁场 B．直线电流的磁场
C．环形电流的磁场 D．软铁棒被磁化的现象
答案 AD
解析 安培分子电流假说是安培为解释磁体的磁现象而提出来的，所以选项A、D是正确的；而通电导线周围的磁场是由其内部自由电荷定向移动产生的宏观电流而产生的．分子电流和宏观电流虽然都是运动电荷引起的，但产生的原因是不同的，故正确答案为A、D.
题组一 对安培定则的理解与应用
1．如图1所示，小磁针正上方的直导线与小磁针平行，当导线中有电流时，小磁针会发生偏转．首先观察到这个实验现象的物理学家和观察到的现象是( )
图1
A．物理学家伽利略，小磁针的N极垂直转向纸内
B．天文学家开普勒，小磁针的S极垂直转向纸内
C．物理学家牛顿，但小磁针静止不动
D．物理学家奥斯特，小磁针的N极垂直转向纸内
答案 D
解析 发现电流的磁效应的科学家是奥斯特，根据右手螺旋定则和小磁针N极所指的方向为该点磁场方向可知D对；故选D.
2．下列各图中，已标出电流及电流磁场的方向，其中正确的是( )
答案 D
解析 电流与电流磁场的分布，利用的是右手螺旋定则判断，大拇指指向直导线电流方向，四指指向磁感线方向，因此A、B错；对于螺线管和环形电流中，四指弯曲方向为电流方向，大拇指指向内部磁场方向，故选D.
3．如图2所示的螺线管内放置一小磁针，下列判断正确的是( )
图2
A．电源A端为正、B端为负，线圈右端为S极，左端为N极
B．电源A端为负、B端为正，线圈右端为S极，左端为N极
C．电源A端为负、B端为正，线圈右端为N极，左端为S极
D．电源A端为正、B端为负，线圈右端为N极，左端为S极
答案 B
解析 由小磁针N极的指向确定通电螺线管内磁感线的方向为从右向左，再根据安培定则，确定在电源外部电流方向由B指向A，电源B端为正，线圈左端为N极，故B正确．
题组二 对磁现象的本质的认识
4．关于安培分子电流假说的说法正确的是( )
A．安培观察到物质内部有分子电流存在就提出了假说
B．为了解释磁铁产生磁场的原因，安培提出了假说
C．事实上物质内部并不存在类似的分子电流
D．根据后来科学家研究，原子内电子绕核旋转形成环形电流与安培分子电流假说相符
答案 BD
5．磁铁在高温下或者受到敲击时会失去磁性，根据安培的分子电流假说，其原因是( )
A．分子电流消失
B．分子电流的取向变得大致相同
C．分子电流的取向变得杂乱
D．分子电流的强度减弱
答案 C
解析 由于高温或猛烈的敲击，会使原来取向一致的分子电流变得杂乱，从而失去磁性，故C选项正确．
题组三 磁感应强度矢量的叠加
6．取两个完全相同的长导线，用其中一根绕成如图3甲所示的螺线管，当该螺线管中通以电流强度为I的电流时，测得螺线管内中部的磁感应强度大小为B，若将另一根长导线对折后绕成如图乙所示的螺旋管，并通以电流强度也为I的电流时，则在螺线管内中部的磁感应强度大小为( )
图3
A．0 B．0.5B C．B D．2B
答案 A
解析 用双线绕成的螺丝管，双线中的电流刚好相反，其在周围空间产生的磁场相互抵消，所以螺线管内中部磁感应强度为零．
7．分别置于a、b两处的长直导线垂直纸面放置，通有大小相等的恒定电流，方向如图4所示，a、b、c、d在一条直线上，且ac＝cb＝bd.已知c点的磁感应强度大小为B1，d点的磁感应强度大小为B2.若将b处导线的电流切断，则( )
图4
A．c点的磁感应强度大小变为B1，d点的磁感应强度大小变为B1－B2
B．c点的磁感应强度大小变为B1，d点的磁感应强度大小变为B2－B1
C．c点的磁感应强度大小变为B1－B2，d点的磁感应强度大小变为B1－B2
D．c点的磁感应强度大小变为B1－B2，d点的磁感应强度大小变为B2－B1
答案 A
解析 设a导线在c点的磁感应强度大小为B，在d点的磁感应强度大小为B′.
根据右手螺旋定则有：B1＝2B
B2＝B－B′
联立两式解得B＝B1，B′＝B1－B2.故A正确，B、C、D错误．
8.如图5所示，两根相互平行的长直导线过纸面上的M、N两点，且与纸面垂直，导线中通有大小相等、方向相反的电流．a、O、b在M、N的连线上，O为MN的中点，c、d位于MN的中垂线上，且a、b、c、d到O点的距离均相等．关于以上几点处的磁场，下列说法正确的是( )
图5
A．O点处的磁感应强度为零
B．a、b两点处的磁感应强度大小相等，方向相反
C．c、d两点处的磁感应强度大小相等，方向相同
D．a、c两点处磁感应强度的方向不同
答案 C
解析 根据安培定则判断磁场方向，再结合矢量的合成知识求解．根据安培定则判断：两直线电流在O点产生的磁场方向均垂直于MN向下，O点的磁感应强度不为零，故A选项错误；a、b两点的磁感应强度大小相等，方向相同，故B选项错误；根据对称性，c、d两点处的磁感应强度大小相等，方向相同，故C选项正确；a、c两点的磁感应强度方向相同，故D选项错误．
学案3 探究安培力
[学习目标定位] 1.知道什么是安培力，了解安培力的应用.2.了解电流天平的原理并学会使用它探究安培力的大小.3.掌握左手定则，会用它判断安培力的方向；会计算安培力的大小．
安培力：磁场对电流的作用力称为安培力．
一、安培力的方向
判断安培力方向的方法是左手定则．其内容是：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，且都跟手掌在同一个平面内，让磁感线穿入手心，使四指指向电流方向，则大拇指所指的方向就是安培力的方向．
二、安培力的大小
安培力的大小跟导体长度L、导体中的电流I、磁感应强度B都成正比，用公式表示为F＝BILsin_θ，当电流方向与磁场方向垂直时，F＝BIL，当电流方向与磁场方向平行时，F＝0.
一、安培力的方向
[问题设计]
按照如图1所示进行实验．
图1
(1)上下交换磁极的位置以改变磁场方向，导线受力的方向是否改变？
(2)改变导线中电流的方向，导线受力的方向是否改变？
仔细分析实验结果，说明安培力的方向与磁场方向、电流方向有怎样的关系？
答案 (1)导线受力的方向改变；(2)导线受力的方向改变；安培力的方向与磁场方向、电流方向的关系满足左手定则．
[要点提炼]
1．安培力方向、磁场方向、电流方向三者之间满足左手定则．
(1)F⊥B，F⊥I，即F垂直于B、I决定的平面．
(2)磁场方向和电流方向不一定垂直．用左手定则判断安培力方向时，磁感线只要从掌心进入即可，不一定垂直穿过掌心．
2．判断电流磁场方向用安培定则(右手螺旋定则)，确定通电导体在磁场中的受力方向用左手定则．
二、安培力的大小
[问题设计]
阅读教材，了解电流天平的结构、原理和使用方法，制订实验方案，进行实验，注意体会控制变量法的运用，分析
实验所测数据，回答下列问题：
(1)保持导线通电部分的长度不变，改变电流大小，导线受力情况如何变化？
(2)保持电流不变，改变导线通电部分的长度，导线受力情况如何变化？
(3)通电导线受力与哪些因素有关？
答案 (1)电流越大，导线受力越大．
(2)通电导线越长，导线受力越大．
(3)通电导线在磁场中受到的力的大小，既与导线的长度L成正比，又与导线中的电流I成正比，即与I和L的乘积成正比，用公式表示为F＝kBIL，式中k为比例系数，国际单位制中，k＝1，F＝BIL.
[要点提炼]
1．安培力大小的计算公式F＝ILBsin_θ，θ为磁感应强度方向与导线方向的夹角．
(1)当θ＝90°，即B与I垂直时，F＝ILB；
(2)当θ＝0°即B与I平行时，F＝0.
2．当导线与磁场垂直时，弯曲导线的有效长度L，等于连接两端点直线的长度(如图2所示)；相应的电流沿L由始端流向末端．
图2
3．磁感应强度的另一种定义方法：在磁场中垂直于磁场方向放置一小段通电导线，导线所受安培力F跟电流I和导线长度L的乘积IL的比值叫做导线所在处的磁感应强度，即：
B＝.
一、对安培力方向的判定
例1 画出图3中通电导体棒ab所受的安培力的方向(图中箭头方向为磁感线的方向)．
图3
解析 题目所给的图是立体图，如果直接把ab棒受到的安培力画在立体图上则较为抽象．为了直观，一般画成平面图，图中的各个图从外向内看的正视平面图如图所示(此时导体ab是一个横截面图，○×表示电流向里，○·表示电流向外)，题图甲中，I与B决定的平面是与纸面垂直的竖直面，安培力方向与这个平面垂直，由左手定则知，安培力的方向为水平向右；题图乙中，I与B决定的平面是与水平方向成θ角的垂直纸面的平面，安培力方向与这个平面垂直，指向右下方；题图丙中，I和B决定的平面是垂直斜面的平面，安培力方向与斜面平行，指向右上方．
甲 乙 丙
答案 见解析
规律总结 1.判断安培力的方向，要先明确磁场的方向和电流的方向，用左手定则判断，不要“习惯性”地用错右手．实际上左手定则揭示了磁感应强度、电流、安培力这三个物理量方向之间的关系，知道其中任意两个方向，可以由安培定则判断第三个方向．
2．分析安培力方向时，左手定则和安培定则往往同时使用，要特别注意它们的不同：安培定则用来判断电流的磁场方向，用右手；左手定则用来判断电流的受力方向，用左手．
二、对安培力大小的计算
例2 如图，在匀强磁场中放有下列各种形状的通电导线，电流为I，磁感应强度为B，求各导线所受到的安培力．
解析 A图中导线中的电流方向与磁感线的方向平行，所以安培力为0；B图是两根导线组成的折线，整体受力实质上是两部分直导线分别受力的矢量和，其有效长度为L，故FB＝IBL；同理，C图是半圆形电流，分析圆弧上对称的每一小段电流，受力抵消合并后，其有效长度为2R，FC＝2BIR；D图中，将导线接通形成闭合线圈，则ab和bc两段导线受力与ac导线受力方向刚好相反，故合力为零，所以，闭合的通电线圈安培力为零，FD＝0.
答案 FA＝0，FB＝IBL，FC＝2BIR，FD＝0.
规律总结 (1)当磁场方向与电流方向垂直时安培力F＝IBL，如果磁场方向和电流方向不垂直，公式应变为F＝ILB⊥，B⊥是B在垂直于电流方向的分量．
(2)如果通电导线是弯曲的，则要用其等效长度代入公式计算．
(3)如果是非匀强磁场，原则上把通电导线分为很短的电流元，对电流元用安培力公式，然后求矢量和．
三、导线在安培力作用下的运动问题
例3 如图4所示，两条导线相互垂直，但相隔一段距离．其中AB固定，CD能自由活动，当直线电流按图示方向通入两条导线时，导线CD将(从纸外向纸内看)( )
图4
A．顺时针方向转动同时靠近导线AB
B．逆时针方向转动同时离开导线AB
C．顺时针方向转动同时离开导线AB
D．逆时针方向转动同时靠近导线AB
解析 根据电流元分析法，把CD的电流等效成CO、OD两段电流．由安培定则画出CO、OD所在位置的AB电流的磁场，由左手定则可判断CO、OD受力如图甲所示，可见导线CD逆时针转动．
由特殊位置分析法，让CD逆时针转动90°，如图乙，并画出CD此时位置，AB电流的磁感线分布，据左手定则可判断CD受力垂直于纸面向里，可见导线CD靠近导线AB，D正确．
答案 D
规律总结 判定安培力作用下物体的运动方向有以下几种方法：
(1)电流元法
即把整段电流等效为多段直线电流元，运用左手定则判断出每小段电流元所受安培力的方向，从而判断出整段电流所受合力的方向，最后确定运动方向．
(2)特殊位置法
把电流或磁铁转到一个便于分析的特殊位置后再判断所受安培力的方向，从而确定运动方向．
(3)等效法
环形电流和通电螺线管都可以等效成条形磁铁．条形磁铁也可等效成环形电流或通电螺线管．通电螺线管也可以等效成很多匝的环形电流来分析．
(4)利用结论法
①两电流相互平行时无转动趋势，同向电流相互吸引，反向电流相互排斥；
②两电流不平行时，有转动到相互平行且方向相同的趋势．利用这些结论分析，可事半功倍．
1．(对安培力方向的判定)把一小段通电直导线放入磁场中，导线受到安培力的作用，关于安培力的方向，下列说法中正确的是( )
A．安培力的方向一定跟磁感应强度的方向相同
B．安培力的方向一定跟磁感应强度的方向垂直，但不一定跟电流方向垂直
C．安培力的方向一定跟电流方向垂直，但不一定跟磁感应强度方向垂直
D．安培力的方向既跟磁感应强度方向垂直，又跟电流方向垂直
答案 D
解析 安培力的方向既垂直于磁场方向，又垂直于电流方向，即垂直于磁场与电流所决定的平面，但电流方向与磁场方向不一定垂直．
2．(导体在安培力作用下的运动)如图5所示，把一重力不计的通电直导线水平放在蹄形磁铁两极的正上方，导线可以自由转动，当导线通入图示方向电流I时，导线的运动情况是(从上往下看)( )
图5
A．顺时针转动，同时下降
B．顺时针转动，同时上升
C．逆时针转动，同时下降
D．逆时针转动，同时上升
答案 A
解析 画出蹄形磁铁的两条磁感线，在磁感线与电流相交处分别取一小段电流，如图中的BC、AD两段，由左手定则可知，AD段受的安培力垂直纸面向外，BC段受的安培力垂直纸面向里，故导线将绕轴线OO′顺时针旋转(俯视)，当导线转动90°时(特殊位置法)，由左手定则可知，导线受向下的安培力作用，所以导线在顺时针转动的同时还向下运动，即答案为A.
3．(安培力的大小计算及方向的判定)将长度为20 cm、通有0.1 A电流的直导线放入一匀强磁场中，电流与磁场的方
向如图6所示，已知磁感应强度为1 T．试求出各图中导线所受安培力的大小和方向．
图6
答案 (1)图中安培力大小为0 (2)图中安培力大小为0.02 N 安培力方向垂直导线水平向右 (3)图中安培力大小为0.02 N 安培力方向在纸面内垂直导线斜向上
解析 由左手定则和安培力的计算公式得：(1)因导线与磁感线平行，所以安培力为零；(2)由左手定则知：安培力方向垂直导线水平向右，大小F＝ILB＝0.1×0.2×1 N＝0.02 N；(3)安培力方向在纸面内垂直导线斜向上，大小F＝BIL＝0.02 N.
4.(通电导体的综合受力分析问题)一根长L＝0.2 m的金属棒放在倾角θ＝37°的光滑斜面上，并通过I＝5 A的电流，方向如图7所示，整个装置放在磁感应强度B＝0.6 T竖直向上的匀强磁场中，金属棒恰能静止在斜面上，则该棒的重力为多少？(sin 37°＝0.6)
图7
答案 0.8 N
解析 从侧面对棒受力分析如图，安培力的方向由左手定则判断为水平向右，
F＝ILB＝5×0.2×0.6 N＝0.6 N.
由平衡条件得重力
mg＝＝0.8 N.
题组一 对安培力方向的判定
1．下面的四个图显示了磁场对通电直导线的作用力，其中正确的是( )
答案 C
2．关于通电导线所受安培力F的方向、磁感应强度B的方向和电流I的方向之间的关系，下列说法正确的是( )
A．F、B、I三者必须保持相互垂直
B．F必须垂直B、I，但B、I可以不相互垂直
C．B必须垂直F、I，但F、I可以不相互垂直
D．I必须垂直F、B，但F、B可以不相互垂直
答案 B
解析 安培力F总是与磁感应强度B和电流I决定的平面垂直，但B与I(即导线)可以垂直，也可以不垂直，通电导线受安培力时，力F与磁场及导线都是垂直的，故A、C、D均错，B正确．
3．如图1所示，电磁炮是由电源、金属轨道、炮弹和电磁铁组成的．当电源接通后，磁场对流过炮弹的电流产生力的作用，使炮弹获得极大的发射速度．下列各俯视图中正确表示磁场B方向的是( )
图1
答案 B
题组二 导线在安培力作用下的运动问题
4.如图2所示，固定不动的绝缘直导线mn和可以自由移动的矩形线框abcd位于同一平面内，mn与ad、bc边平行且离ad边较近．当导线mn中通以向上的电流，线框中通以顺时针方向的电流时，线框的运动情况是( )
图2
A．向左运动
B．向右运动
C．以mn为轴转动
D．静止不动
答案 B
解析 线框中通有电流，ad和bc两导线同时受到通电导线mn的作用力，故可知B选项正确．
5.通有电流的导线L1、L2处在同一平面(纸面)内，L1是固定的，L2可绕垂直纸面的固定转轴O转动(O为L2的中心)，各自的电流方向如图3所示．下列哪种情况将会发生( )
图3
A．因L2不受磁场力的作用，故L2不动
B．因L2上、下两部分所受的磁场力平衡，故L2不动
C．L2绕轴O按顺时针方向转动
D．L2绕轴O按逆时针方向转动
答案 D
解析 由右手螺旋定则可知导线L1的上方的磁场的方向为垂直纸面向外，且离导线L1的距离越远的地方，磁场越弱，导线L2上的每一小部分受到的安培力方向水平向右，由于O点的下方磁场较强，则安培力较大，因此L2绕轴O按逆时针方向转动，D选项对．
6.如图4所示，一条形磁铁放在水平桌面上，在条形磁铁的左上方固定一根与磁铁垂直的长直导线，当导线中通以图示方向的电流时(磁铁始终未动)( )
图4
A．磁铁对桌面的压力减小，且受到向左的摩擦力作用
B．磁铁对桌面的压力减小，且受到向右的摩擦力作用
C．磁铁对桌面的压力增大，且受到向左的摩擦力作用
D．磁铁对桌面的压力增大，且受到向右的摩擦力作用
答案 C
解析 根据左手定则知导线受磁铁的作用力斜向左上方，故由牛顿第三定律知，导线对磁铁的反作用力应斜向右下方，则一方面使磁铁对桌面的压力增大，一方面使磁铁产生向右的运动趋势，从而受到向左的摩擦力作用．
题组三 对安培力公式F＝BILsin θ的理解应用
7．如图5所示，一根有质量的金属棒MN，两端用细软导线连接后悬于a、b两点，棒的中部处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中，棒中通有电流，方向从M流向N，此时悬线上有拉力，为了使拉力等于零，可以( )
图5
A．适当减小磁感应强度 B．使磁场反向
C．适当增大电流 D．使电流反向
答案 C
解析 首先对MN进行受力分析：其受竖直向下的重力G、受两根软导线的竖直向上的拉力和安培力．当其处于平衡状态时：2F＋BIL＝mg，重力mg恒定不变，欲使拉力F减小到0，应增大安培力BIL，所以可增大磁场的磁感应强度B或增加通过金属棒中的电流I，或二者同时增大，只有C项正确．
8.如图6所示，磁场方向竖直向下，通电直导线ab由水平位置1绕a点在竖直平面内转到位置2，通电导线所受安培力是( )
图6
A．数值变大，方向不变
B．数值变小，方向不变
C．数值不变，方向改变
D．数值、方向均改变
答案 B
解析 安培力F＝BIL，电流不变，垂直直导线的有效长度减小，安培力减小，安培力的方向总是垂直B、I所构成的平面，所以安培力的方向不变，B对，故选B.
9．一根长为0.2 m、电流为2 A的通电导线，放在B＝0.5 T的匀强磁场中，受到磁场力的大小可能是( )
A．0.4 N B．0.3 N C．0.1 N D．0 N
答案 CD
解析 据安培力的定义，当磁场方向与通电电流I的方向垂直时，磁场力有最大值，Fmax＝BIL＝0.5×2×0.2 N＝0.2 N．当两方向平行时，磁场力有最小值为0 N．随着二者方向夹角的不同，磁场力大小在0.2 N与0 N之间取值．
10．如图7，一段导线abcd位于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，且与磁场方向(垂直于纸面向里)垂直．线段ab、bc和cd的长度均为L，且∠abc＝∠bcd＝135°.流经导线的电流为I，方向如图中箭头所示．导线段abcd所受到的磁场的作用力的合力( )
图7
A．方向沿纸面向上，大小为(＋1)ILB
B．方向沿纸面向上，大小为(－1)ILB
C．方向沿纸面向下，大小为(＋1)ILB
D．方向沿纸面向下，大小为(－1)ILB
答案 A
解析 将导线分为三段直导线，根据左手定则分别判断出各段导线所受安培力的方向，根据F＝BIL计算出安培力的大小，再求合力．导线所受合力F合＝BIL＋2BILsin 45°＝(＋1)ILB，方向沿纸面向上．
11．如图8所示，倾斜导轨宽为L，与水平面成α角，处在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，金属杆ab水平放在导轨上．当回路电流强度为I时，金属杆ab所受安培力F( )
图8
A．方向垂直ab杆沿斜面向上
B．方向垂直ab杆水平向右
C．F＝BILcos α
D．F＝BILsin α
答案 B
解析 由题图知电流方向由b→a且与磁场方向垂直，根据左手定则可知安培力水平向右，由安培力计算公式可得F＝BIL，故选B.
题组四 导线在安培力作用下的平衡问题
12.如图9所示，用两根轻细悬线将质量为m、长为l的金属棒ab悬挂在c、d两处，置于匀强磁场内．当棒中通以从a到b的电流I后，两悬线偏离竖直方向θ角而处于平衡状态．为了使棒平衡在该位置上，所需的磁场的最小磁感应强度的大小、方向为( )
图9
A.tan θ，竖直向上 B.tan θ，竖直向下
C.sin θ，平行悬线向下 D.sin θ，平行悬线向上
答案 D
解析 要求所加磁场的磁感应强度最小，应使棒平衡时所受的安培力有最小值．由于棒的重力恒定，悬线拉力的方向不变，由画出的力的三角形可知，安培力的最小值为Fmin＝mgsin θ，即IlBmin＝mgsin θ，得Bmin＝sin θ，方向应平行于悬线向上．故选D.
13．质量为m的金属细杆置于倾角为θ的导轨上，导轨的宽度为d，杆与导轨间的动摩擦因数为μ，有电流通过杆，杆恰好静止于导轨上，在如图所示的A、B、C、D四个选项中，杆与导轨的摩擦力一定不为零的是( )
答案 CD
解析 选项A中，通电细杆可能受重力、安培力、导轨的弹力作用处于静止状态，如图所示，所以杆与导轨间的摩擦力可能为零．当安培力变大或变小时，细杆有上滑或下滑的趋势，于是有静摩擦力产生．
选项B中，通电细杆可能受重力、安培力作用处于静止状态，如图所示，所以杆与导轨间的摩擦力可能为零．当安培力减小时，细杆受到导轨的弹力和沿导轨向上的静摩擦力，也可能处于静止状态．
选项C和D中，通电细杆受重力、安培力、导轨弹力作用具有下滑趋势，故一定受到沿导轨向上的静摩擦力，如图所示，所以杆与导轨间的摩擦力一定不为零．
14.水平面上有电阻不计的U形导轨NMPQ，它们之间的宽度为L，M和P之间接入电动势为E的电源(不计内阻)．现垂直于导轨搁一根质量为m、电阻为R的金属棒ab，并加一个范围较大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向与水平面夹角为θ且指向右上方，如图10所示，问：
图10
(1)当ab棒静止时，受到的支持力和摩擦力各为多少？
(2)若B的大小和方向均能改变，则要使ab棒所受支持力为零，B的大小至少为多少？此时B的方向如何？
答案 (1)mg－ (2) 方向水平向右
解析 从b向a看侧视图如图所示．
(1)水平方向：f＝Fsin θ①
竖直方向：N＋Fcos θ＝mg②
又F＝BIL＝BL③
联立①②③得：
N＝mg－，f＝.
(2)要使ab棒受到的支持力为零，且让磁场最小，可知安培力竖直向上，则有F′＝mg
Bmin＝，根据左手定则判定磁场方向水平向右．
15.如图11所示，在与水平方向夹角为60°的光滑金属导轨间有一电源，在相距1 m的平行导轨上放一质量为0.3 kg的金属棒ab，ab中有从b→a、I＝3 A的电流，磁场方向竖直向上，这时金属棒恰好静止．求：
图11
(1)匀强磁场磁感应强度的大小；
(2)ab棒对导轨的压力．(g＝10 m/s2)
答案 (1)1.73 T (2)6 N，方向垂直斜面向下
解析 金属棒ab中电流方向由b→a，它所受安培力方向水平向右，它还受竖直向下的重力，垂直斜面斜向上的支持力，三力合力为零，由此可以求出安培力和ab棒对导轨的压力，从而求出磁感应强度B的大小．
(1)ab棒静止，受力情况如图所示，沿斜面方向受力平衡，则
mgsin 60°＝BILcos 60°
B＝
＝ T≈1.73 T.
(2)ab棒对导轨的压力为：
N′＝N＝＝ N＝6 N，方向垂直斜面向下．
学案4 探究洛伦兹力
[学习目标定位] 1.通过实验，观察阴极射线在磁场中的偏转，认识洛伦兹力.2.会判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小.3.知道带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，并会推导其运动半径公式和周期公式．
一、洛伦兹力的方向
1．磁场对通电导体有安培力的作用，而电流是由电荷的定向移动形成的．由此推断：磁场对通电导体的安培力，是由作用在运动电荷上的力引起的．磁场对运动电荷的作用力称为洛伦兹力．
2．安培力的方向是跟电流方向和磁场方向垂直的．由此推断，洛伦兹力的方向也应跟电荷运动方向和磁场方向垂直．判断洛伦兹力的方向应该根据左手定则．
二、洛伦兹力的大小
电荷量为q的粒子以速度v运动时，如果速度方向与磁感应强度方向垂直，那么粒子所受的洛伦兹力为f＝qvB.
三、带电粒子的轨道半径和周期
1．当一个带电粒子垂直射入匀强磁场中时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，将做匀速圆周运动．
2．由qvB＝得，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r＝，进一步得周期T＝.
一、洛伦兹力的方向
[问题设计]
如图1所示，我们用阴极射线管研究磁场对运动电荷的作用，不同方向的磁场对电子束径迹有不同影响．那么电荷偏转方向与磁场方向、电子运动方向的关系满足怎样的规律？
图1
答案 左手定则．
[要点提炼]
1．洛伦兹力的方向可以根据左手定则来判断，四指所指的方向为正电荷的运动方向(或为负电荷运动的反方向)，拇指所指的方向就是运动的正电荷(负电荷)在磁场中所受洛伦兹力的方向．负电荷受力的方向与同方向运动的正电荷受力的方向相反．
2．洛伦兹力的方向与电荷运动方向和磁场方向都垂直，即洛伦兹力的方向总是垂直于v和B所决定的平面(但v和B的方向不一定垂直)．
由于洛伦兹力方向始终与电荷运动方向垂直，因此洛伦兹力对电荷不做功(填“做功”或“不做功”)，洛伦兹力只改变电荷速度的方向而不改变其速度的大小．
二、洛伦兹力的大小
[问题设计]
如图2所示，将直导线垂直放入磁场中，直导线中自由电荷的电荷量为q，定向移动的速度为v，单位体积的自由电荷数为n，导线长度为L，横截面积为S，磁场的磁感应强度为B.
图2
(1)导线中的电流是多少？导线在磁场中所受安培力多大？
(2)长为L的导线中含有的自由电荷数为多少？如果把安培力看成是每个自由电荷所受洛伦兹力的合力，则每个自由电荷所受洛伦兹力是多少？
答案 (1)I＝nqvS F＝BIL＝BnqvSL
(2)N＝nSL f＝＝qvB
[要点提炼]
1．洛伦兹力与安培力的关系
(1)安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现．而洛伦兹力是安培力的微观本质．
(2)洛伦兹力对电荷不做功，但安培力却可以对导体做功．
2．洛伦兹力的大小：f＝qvBsin θ，θ为电荷运动的方向与磁感应强度方向的夹角．
(1)当电荷运动方向与磁场方向垂直时：f＝qvB；
(2)当电荷运动方向与磁场方向平行时：f＝0；
(3)当电荷在磁场中静止时：f＝0.
电荷在磁场中是否受洛伦兹力及洛伦兹力的大小与电荷的运动情况有关．
三、研究带电粒子在磁场中的运动
[问题设计]
如图3所示的装置是用来演示电子在匀强磁场中运动轨迹的装置．
图3
(1)当不加磁场时，电子的运动轨迹如何？当加上磁场时，电子的运动轨迹如何？
(2)如果保持电子的速度不变，加大磁场的磁感应强度，圆半径如何变化？如果保持磁场的强弱不变，增大电子的速度，圆半径如何变化？
答案 (1)是一条直线 是一个圆周
(2)半径减小 半径增大
[要点提炼]
1．带电粒子所受洛伦兹力与速度方向垂直，只改变速度方向，不改变速度大小，对运动电荷不做功．
2．沿着与磁场垂直的方向射入磁场中的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动．向心力为洛伦兹力f＝qvB，由qvB＝可知半径r＝，又T＝，所以T＝.
[延伸思考]
由r＝知同一带电粒子，在同一匀强磁场中，半径r会随着速度的增大而增大，它的周期也会随着速度的增大而增大吗？
答案 不会．由T＝，得出T＝与速度无关．
一、对洛伦兹力方向的判定
例1 下列关于图中各带电粒子所受洛伦兹力的方向或带电粒子的带电性的判断错误的是( )
A．洛伦兹力方向竖直向上
B．洛伦兹力方向垂直纸面向里
C．粒子带负电
D．洛伦兹力方向垂直纸面向外
解析 根据左手定则可知A图中洛伦兹力方向应该竖直向上，B图中洛伦兹力方向垂直纸面向里，C图中粒子带正电，D图中洛伦兹力方向垂直纸面向外，故A、B、D正确，C错误．
答案 C
二、对洛伦兹力公式的理解
例2 如图4所示，各图中的匀强磁场的磁感应强度均为B，带电粒子的速率均为v，带电荷量均为q.试求出图中带电粒子所受洛伦兹力的大小，并指出洛伦兹力的方向．
图4
解析 (1)因v⊥B，所以F＝qvB，方向垂直v指向左上方．
(2)v与B的夹角为30°，将v分解成垂直磁场的分量和平行磁场的分量，v⊥＝vsin 30°，F＝qvBsin 30°＝qvB.方向垂直纸面向里．
(3)由于v与B平行，所以不受洛伦兹力．
(4)v与B垂直，F＝qvB，方向垂直v指向左上方．
答案 (1)qvB 垂直v指向左上方 (2)qvB 垂直纸面向里 (3)不受洛伦兹力 (4)qvB 垂直v指向左上方
三、带电粒子在磁场中的圆周运动
例3 质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图5中虚线所示，下列表述正确的是( )
图5
A．M带负电，N带正电
B．M的速率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N做正功
D．M的运行时间大于N的运行时间
解析 根据左手定则可知N带正电，M带负电，A正确；因为r＝，而M的半径大于N的半径，所以M的速率大于N的速率，B错误；洛伦兹力不做功，C错误；M和N的运行时间都为t＝，D错误．故选A.
答案 A
四、带电物体在匀强磁场中的运动问题
例4 一个质量为m＝0.1 g的小滑块，带有q＝5×10－4C的电荷量，放置在倾角α＝30°的光滑斜面上(绝缘)，斜面固定且置于B＝0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图6所示，小滑块由静止开始沿斜面滑下，斜面足够长，小滑块滑至某一位置时，要离开斜面(g取10 m/s2)．求：
图6
(1)小滑块带何种电荷？
(2)小滑块离开斜面时的瞬时速度多大？
(3)该斜面长度至少多长？
解析 (1)小滑块在沿斜面下滑的过程中，受重力mg、斜面支持力N和洛伦兹力f作用，如图所示，若要使小滑块离开斜面，则洛伦兹力f应垂直斜面向上，根据左手定则可知，小滑块应带负电荷．
(2)小滑块沿斜面下滑的过程中，由平衡条件得f＋N＝mgcos α，当支持力N＝0时，小滑块脱离斜面．设此时小滑块速度为vmax，则此时小滑块所受洛伦兹力f＝qvmaxB，
所以vmax＝＝m/s≈3.5 m/s
(3)设该斜面长度至少为l，则小滑块离开斜面的临界情况为小滑块刚滑到斜面底端时．因为下滑过程中只有重力做功，由动能定理得mglsin α＝mv－0，所以斜面长至少为l＝＝ m≈1.2 m
答案 (1)负电荷 (2)3.5 m/s (3)1.2 m
规律总结 1.带电物体在磁场或电场中运动的分析方法和分析力学的方法一样，只是比力学多了洛伦兹力和电场力．
2．对带电粒子受力分析求合力，若合力为零，粒子做匀速直线运动或静止；若合力不为零，粒子做变速直线运动，再根据牛顿第二定律分析粒子速度变化情况．
1．(对洛伦兹力公式的理解)一带电粒子在匀强磁场中沿着磁感线方向运动，现将该磁场的磁感应强度增大一倍，则带电粒子受到的洛伦兹力( )
A．增大两倍
B．增大一倍
C．减小一半
D．依然为零
答案 D
解析 本题考查了洛伦兹力的计算公式F＝qvB，注意公式的适用条件．若粒子速度方向与磁场方向平行，洛伦兹力为零，故A、B、C错误，D正确．
2．(带电粒子在磁场中的圆周运动)在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又垂直进入另一磁感应强度是原来的磁感应强度2倍的匀强磁场，则( )
A．粒子的速率加倍，周期减半
B．粒子的速率不变，轨道半径减半
C．粒子的速率减半，轨道半径为原来的四分之一
D．粒子的速率不变，周期减半
答案 BD
解析 洛伦兹力不改变带电粒子的速率，A、C错．由r＝，T＝知：磁感应强度加倍时，轨道半径减半、周期减半，故B、D正确．
3．(带电物体在匀强磁场中的运动)光滑绝缘杆与水平面保持θ角，磁感应强度为B的匀强磁场充满整个空间，一个带正电q、质量为m、可以自由滑动的小环套在杆上，如图7所示，小环下滑过程中对杆的压力为零时，小环的速度为________．
图7
答案
解析 以带电小环为研究对象，受力如图．
F＝mgcos θ，F＝qvB，
解得v＝.
题组一 对洛伦兹力方向的判定
1．在以下几幅图中，对洛伦兹力的方向判断正确的是( )
答案 ABD
2.一束混合粒子流从一发射源射出后，进入如图1所示的磁场，分离为1、2、3三束，则下列判断正确的是( )
图1
A．1带正电 B．1带负电
C．2不带电 D．3带负电
答案 ACD
解析 根据左手定则，带正电的粒子左偏，即1；不偏转说明不带电，即2；带负电的粒子向右偏，即3，因此答案为A、C、D.
3．一长方形金属块放在匀强磁场中，将金属块通以电流，磁场方向和电流方向如图2所示，则金属块两表面M、N的电势高低情况是( )
图2
A．φM＝φN B．φM＞φN
C．φM＜φN D．无法比较
答案 C
解析 金属导体导电时是自由电子定向移动，导体处于磁场中，定向移动的自由电子受到洛伦兹力向M表面偏转，则在N表面积累正电荷，故φM<φN，故C正确．
题组二 对洛伦兹力特点及公式的应用
4．一个运动电荷在某个空间里没有受到洛伦兹力的作用，那么( )
A．这个空间一定没有磁场
B．这个空间不一定没有磁场
C．这个空间可能有方向与电荷运动方向平行的磁场
D．这个空间可能有方向与电荷运动方向垂直的磁场
答案 BC
解析 由题意，运动电荷在某个空间里没有受到洛伦兹力，可能空间没有磁场，也可能存在磁场，磁场方向与电荷运动方向平行．故A错误，B、C正确．若磁场方向与电荷运动方向垂直，电荷一定受到洛伦兹力，不符合题意，故D错误．故选B、C.
5．关于带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动，下列说法中正确的是( )
A．带电粒子沿电场线方向射入，则电场力对带电粒子做正功，粒子动能一定增加
B．带电粒子垂直于电场线方向射入，则电场力对带电粒子不做功，粒子动能不变
C．带电粒子沿磁感线方向射入，洛伦兹力对带电粒子做正功，粒子动能一定增加
D．不管带电粒子怎样射入磁场，洛伦兹力对带电粒子都不做功，粒子动能不变
答案 D
解析 带电粒子在电场中受到的电场力F＝qE，只与电场有关，与粒子的运动状态无关，做功的正负由θ角(力与位移方向的夹角)决定．对选项A，只有粒子带正电时才成立；垂直射入匀强电场的带电粒子，不管带电性质如何，电场力都会做正功，动能增加．带电粒子在磁场中的受力——洛伦兹力F′＝qvBsin θ，其大小除与运动状态有关，还与θ角(磁场方向与速度方向之间的夹角)有关，带电粒子沿平行磁感线方向射入，不受洛伦兹力作用，粒子做匀速直线运动．在其他方向上由于洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，故洛伦兹力对带电粒子始终不做功．综上所述，正确选项为D.
6.有一个带正电荷的离子，沿垂直于电场的方向射入带电平行板的匀强电场，离子飞出电场后的动能为Ek.当在带电平行板间再加入一个垂直纸面向里的如图3所示的匀强磁场后，离子飞出电场后的动能为Ek′，磁场力做功为W，则下列判断正确的是( )
图3
A．EkEk′，W＝0
C．Ek＝Ek′，W＝0 D．Ek>Ek′，W>0
答案 B
解析 磁场力即洛伦兹力，不做功，故W＝0，D错误；有磁场时，带正电的粒子受到洛伦兹力的作用使其所受的电场力做功减少，故B选项正确．
题组三 带电粒子在磁场中的圆周运动
7．质子(p)和α粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα.则下列选项正确的是( )
A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2
B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1
C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2
D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1
答案 A
解析 由qvB＝，有R＝，而mα＝4mp，qα＝2qp，故Rp∶Rα＝1∶2，又T＝，故Tp∶Tα＝1∶2.故A正确．
8．处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动．将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值( )
A．与粒子电荷量成正比 B．与粒子速率成正比
C．与粒子质量成正比 D．与磁感应强度成正比
答案 D
解析 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，与该粒子运动等效的环形电流I＝＝，由此可知，I∝q2，故选项A错误；I与粒子速率无关，选项B错误；I∝，即I与m成反比，故选项C错误；I∝B，选项D正确．
9．如图4所示是在匀强磁场中观察到的粒子的轨迹，a和b是轨迹上的两点，匀强磁场B垂直于纸面向里．该粒子在运动时，其质量和电荷量不变，而动能逐渐减少，下列说法正确的是( )
图4
A．粒子先经过a点，再经过b点
B．粒子先经过b点，再经过a点
C．粒子带负电
D．粒子带正电
答案 AC
解析 由于粒子的速率减小，由r＝知，轨道半径不断减小，所以A对，B错；由左手定则得粒子应带负电，C对，D错．
题组四 带电物体在磁场中的运动问题
10．带电油滴以水平速度v0垂直进入磁场，恰做匀速直线运动，如图5所示，若油滴质量为m，磁感应强度为B，则下述说法正确的是( )
图5
A．油滴必带正电荷，电荷量为
B．油滴必带正电荷，比荷＝
C．油滴必带负电荷，电荷量为
D．油滴带什么电荷都可以，只要满足q＝
答案 A
解析 油滴水平向右匀速运动，其所受洛伦兹力必向上，且与重力平衡，故带正电，其电荷量q＝，A正确．
11.如图6所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直．一个带负电荷的小滑块由静止开始从半圆轨道的最高点M下滑到最右端，则下列说法中正确的是( )
图6
A．滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大
B．滑块从M点到最低点的加速度比磁场不存在时小
C．滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小
D．滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等
答案 D
解析 由于洛伦兹力不做功，故与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的速度不变，选项A错误；由a＝，与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的加速度不变，选项B错误；由左手定则，滑块经最低点时受的洛伦兹力向下，而滑块所需的向心力不变，故滑块经最低点时对轨道的压力比磁场不存在时大，选项C错误；由于洛伦兹力始终与运动方向垂直，在任意一点，滑块经过时的速度均与不加磁场时相同，选项D正确．
12.如图7所示，套在足够长的绝缘粗糙直棒上的带正电小球，其质量为m，带电荷量为q，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放入沿水平方向且相互垂直的匀强磁场和匀强电场中，设小球的电荷量不变，小球由静止下滑的过程中( )
图7
A．小球加速度一直增大
B．小球速度一直增大，直到最后匀速
C．棒对小球的弹力一直减小
D．小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变
答案 BD
解析 小球由静止开始下滑，受到向左的洛伦兹力不断增大．在开始阶段，洛伦兹力小于向右的电场力，棒对小球有向左的弹力，随着洛伦兹力的增大，棒对小球的弹力减小，小球受到的摩擦力减小，所以在竖直方向的重力和摩擦力作用下加速运动的加速度增加．
当洛伦兹力等于电场力时，棒对小球没有弹力，摩擦力随之消失，小球受到的合力最大，加速度最大．
随着速度继续增大，洛伦兹力大于电场力，棒对小球又产生向右的弹力，随着速度增大，洛伦兹力增大，棒对小球的弹力增大，小球受到的摩擦力增大，于是小球在竖直方向受到的合力减小，加速度减小，小球做加速度减小的加速运动，当加速度减小为零时，小球的速度不再增大，以此时的速度做匀速运动．综上所述，选项B、D正确．
13.如图8所示，质量为m的带正电小球能沿着竖直的绝缘墙竖直下滑，磁感应强度为B的匀强磁场方向水平，并与小球运动方向垂直．若小球电荷量为q，球与墙间的动摩擦因数为μ.则小球下滑的最大速度为__________，最大加速度为__________．
图8
答案 g
解析 当小球刚开始下滑时有最大加速度，即a＝g，
当小球的加速度为零时有最大速度，即mg＝μF，
F＝qvB.解得v＝.
14.质量为m、带电荷量为＋q的小球，用一长为l的绝缘细线悬挂在方向垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图9所示，用绝缘的方法使小球位于使悬线呈水平的位置A，然后静止释放，小球运动的平面与B的方向垂直，求小球第一次和第二次经过最低点C时悬线的拉力T1和T2.
图9
答案 3mg－qB 3mg＋qB
解析 小球由A运动到C的过程中，洛伦兹力始终与v的方向垂直，对小球不做功，只有重力做功，由动能定理有mgl＝mv，
解得vC＝.
在C点，由左手定则可知洛伦兹力向上，其受力情况如图①所示．
由牛顿第二定律，有T1＋f－mg＝m.
又f＝qvCB，
所以T1＝3mg－qB.
同理可得小球第二次经过C点时，受力情况如图②所示，所以T2＝3mg＋qB.
15．如图10所示，质量为m＝1 kg、电荷量为q＝5×10－2 C的带正电的小滑块，从半径为R＝0.4 m的光滑绝缘圆弧轨道上由静止自A端滑下．整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中．已知E＝100 V/m，方向水平向右，B＝1 T，方向垂直纸面向里，g＝10 m/s2.
图10
求：(1)滑块到达C点时的速度；
(2)在C点时滑块所受洛伦兹力．
答案 (1)2 m/s，方向水平向左 (2)0.1 N，方向竖直向下
解析 以滑块为研究对象，自轨道上A点滑到C点的过程中，受重力mg，方向竖直向下；静电力qE，方向水平向右；洛伦兹力f＝qvB，方向始终垂直于速度方向．
(1)滑块从A到C过程中洛伦兹力不做功，由动能定理得
mgR－qER＝mv
得vC＝ ＝2 m/s.方向水平向左．
(2)根据洛伦兹力公式得：f＝qvCB＝5×10－2×2×1 N＝0.1 N，方向竖直向下．
学案5 洛伦兹力与现代科技
[学习目标定位] 1.了解回旋加速器的构造及工作原理，并会应用其原理解决相关问题.2.了解质谱仪的构造及工作原理.3.会分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题．
一、回旋加速器
1．使带电粒子获得较高的能量的基本原理是让带电粒子在电场中受力被加速．
图1
2．回旋加速器的核心部件是两个D形金属扁盒，它们之间有一间隙(如图1)．两个D形盒分别与高频电源的两极相连，使间隙中产生交变电场，加速带电粒子．磁场方向垂直于D形盒的底面．当带电粒子垂直于磁场方向进入D形盒中，粒子受到洛伦兹力的作用而做匀速圆周运动，经过半个周期回到D形盒的边缘．间隙中的电场使它获得一次加速．
二、质谱仪
1．质谱仪是科学研究中用来分析同位素和测量带电粒子质量的精密仪器．
2．质谱仪的原理示意图如图2所示．
图2
从离子源S产生的离子经电场加速后，由小孔S1进入一个速度选择器，再经小孔S2进入匀强磁场B′，受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，最后打到显示屏D上．那些原子序数相同而相对原子质量不同的同位素离子，将在显示屏上按质量大小排列成若干条细条状谱线，每一条谱线对应于一定的质量，故称“质谱仪”．
一、回旋加速器
[问题设计]
1．回旋加速器主要由哪几部分组成？回旋加速器中磁场和电场分别起什么作用？
答案 两个D形盒 磁场的作用是使带电粒子回旋，电场的作用是使带电粒子加速．
2．对交流电源的周期有什么要求？带电粒子获得的最大动能由哪些因素决定？
答案 交流电源的周期应等于带电粒子在磁场中运动的周期．
当带电粒子速度最大时，其运动半径也最大，即rm＝，再由动能定理得：Ekm＝，所以要提高带电粒子获得的最大动能，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径rm.
[要点提炼]
1．洛伦兹力永远不做功，磁场的作用是让带电粒子“转圈圈”，电场的作用是加速带电粒子．
2．两D形盒窄缝所加的是与带电粒子做匀速圆周运动周期相同的交流电，且粒子每次过窄缝时均为加速电压．
3．带电粒子获得的最大动能Ekm＝，决定于D形盒的半径r和磁感应强度B.
[延伸思考]
为什么带电粒子加速后的最大动能与加速电压无关呢？
答案 加速电压高时，粒子在加速器中旋转的圈数较少，而加速电压低时，粒子在加速器中旋转的圈数较多，最终粒子离开加速器时的速度与加速电压无关．
二、质谱仪
[问题设计]
1．如图3所示，是速度选择器的原理图．带正电的粒子以速度v从左端进入两极板间，不计粒子的重力．要使粒子匀速通过该区域，粒子的速度应满足什么条件？
图3
答案 粒子受电场力和洛伦兹力作用，电场力的方向向下，洛伦兹力的方向向上．当qE＝qvB，即v＝时粒子做匀速直线运动．
2．阅读教材，总结质谱仪的构造和各部分的作用，并简述质谱仪的工作原理．
答案 质谱仪主要由以下几部分组成：离子源、加速电场U1、速度选择器(U2，B1)、偏转磁场B2及照相底片．
工作原理：在加速电场中被加速：qU1＝mv2
在速度选择器中匀速通过：q＝qvB1
在偏转磁场中做圆周运动：r＝
由此可求得离子的质量：m＝
通过前两式也可求得离子的比荷：＝.
[要点提炼]
1．速度选择器中存在正交的电场和磁场，当粒子的速度满足v＝时，粒子能通过速度选择器，粒子的速度大于或小于，均不能通过速度选择器．
2．速度选择器适用于正、负电荷．
3．速度选择器中的E、B1的方向具有确定的关系，仅改变其中一个方向，就不能对速度做出选择．
三、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的分析
[要点提炼]
1．圆心的确定方法：两线定一点
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上．
如图4甲所示，已知入射点P(或出射点M)的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心．
图4
(2)圆心一定在弦的中垂线上．
如图乙所示，作P、M连线的中垂线，与其中一个速度的垂线的交点为圆心．
2．半径的确定
半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要做好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．
3．粒子在磁场中运动时间的确定
(1)粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)．
(2)当v一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长．
一、对回旋加速器原理的理解
例1 回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒内的狭缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过狭缝时都得到加速，两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q、质量为m，粒子最大回旋半径为Rmax.求：
(1)粒子在盒内做何种运动；
(2)所加交变电流频率及粒子角速度；
(3)粒子离开加速器时的最大速度及最大动能．
解析 (1)带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大．
(2)粒子在电场中运动时间极短，因此高频交变电流频率要等于粒子回旋频率，因为T＝，回旋频率f＝＝，角速度ω＝2πf＝.
(3)由牛顿第二定律知＝qBvmax
则vmax＝
最大动能Ekmax＝mv＝
答案 (1)匀速圆周运动 (2)
(3)
方法点拨 回旋加速器中粒子每旋转一周被加速两次，粒子射出时的最大速度(动能)由磁感应强度和D形盒的半径决定，与加速电压无关．
二、对质谱仪原理的理解
例2 如图5是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的场强分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是( )
图5
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
解析 根据Bqv＝Eq，得v＝，C正确；在磁场中，B0qv＝m，得＝，半径r越小，比荷越大，D错误；同位素的电荷数一样，质量数不同，在速度选择器中电场力向右，洛伦兹力必须向左，根据左手定则，可判断磁场方向垂直纸面向外，A、B正确．
答案 ABC
三、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题
例3 如图6所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°，求电子的质量和穿越磁场的时间．
图6
解析 过M、N作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，过N做OM的垂线，垂足为P，如图所示．由直角三角形OPN知，
电子运动的半径为r＝＝d①
由牛顿第二定律知qvB＝m②
联立①②式解得m＝
电子在无界磁场中运动的周期为
T＝·＝
电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝60°，故电子在磁场中的运动时间为t＝T＝×＝
答案
1．(对回旋加速器原理的理解)在回旋加速器中( )
A．电场用来加速带电粒子，磁场则使带电粒子回旋
B．电场和磁场同时用来加速带电粒子
C．磁场相同的条件下，回旋加速器的半径越大，则带电粒子获得的动能越大
D．同一带电粒子获得的最大动能只与交流电压的大小有关，而与交流电压的频率无关
答案 AC
解析 电场的作用是使粒子加速，磁场的作用是使粒子回旋，故A选项正确，B选项错误；粒子获得的动能Ek＝，对同一粒子，回旋加速器的半径越大，粒子获得的动能越大，与交流电压的大小无关，故C选项正确，D选项错误．
2．(对质谱仪原理的理解)质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图7所示，离子源S产生的各种不同正离子束(速度可看为零)，经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P上，设离子在P上的位置到入口处S1的距离为x，可以判断( )
图7
A．若离子束是同位素，则x越大，离子质量越大
B．若离子束是同位素，则x越大，离子质量越小
C．只要x相同，则离子质量一定相同
D．只要x相同，则离子的比荷一定相同
答案 AD
解析 由动能定理qU＝mv2.离子进入磁场后将在洛伦兹力的作用下发生偏转，由圆周运动的知识，有：x＝2r＝，故x＝ ，分析四个选项，A、D正确，B、C错误．
3．(带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题)如图8所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点(图中未画出)时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则( )
图8
A．该粒子带正电
B．A点与x轴的距离为
C．粒子由O到A经历时间t＝
D．运动过程中粒子的速度不变
答案 BC
解析 根据粒子的运动方向，由左手定则判断可知粒子带负电，A项错；运动过程中粒子做匀速圆周运动，速度大小不变，方向变化，D项错；粒子做圆周运动的半径r＝，周期T＝，从O点到A点速度的偏向角为60°，即运动了T，所以由几何知识求得点A与x轴的距离为，粒子由O到A经历时间t＝，B、C两项正确．
题组一 回旋加速器原理的理解
1．回旋加速器是利用较低电压的高频电源，使粒子经多次加速获得巨大速度的一种仪器，工作原理如图1所示．下列说法正确的是( )
图1
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动
B．粒子由A0运动到A1比粒子由A2运动到A3所用时间少
C．粒子的轨道半径与它被电场加速的次数成正比
D．粒子的运动周期和运动速率成正比
答案 A
解析 由于粒子在磁场中只受洛伦兹力，且洛伦兹力与运动方向垂直，所以粒子在磁场中做匀速圆周运动，A正确；
由T＝可知粒子在磁场中运动的周期与半径无关，故粒子由A0运动到A1与粒子由A2运动到A3所用时间相等，B错误；
由nqU＝mv2和R＝可得，R＝ ，n为加速次数，所以粒子的轨道半径与它被电场加速的次数的平方根成正比，C错误；
由T＝可知粒子在磁场中运动的周期与速率无关，D错误；故选A.
2．如图2所示，回旋加速器是用来加速带电粒子使它获得较大动能的装置，其核心部分是两个D型金属盒，置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连．下列说法正确的有( )
图2
A．粒子被加速后的最大速度随磁感应强度和D型盒的半径的增大而增大
B．粒子被加速后的最大动能随高频电源的加速电压的增大而增大
C．高频电源频率由粒子的质量、电荷量和磁感应强度决定
D．粒子从磁场中获得能量
答案 AC
解析 当粒子从D形盒中出来时速度最大，由qvmB＝m其中R为D型盒的半径，得vm＝，可见最大速度随磁感应强度和D型盒的半径的增大而增大，A正确；粒子被加速后的最大动能Ekm＝mv＝m()2B2R2与高频电源的加速电压无关，B错误；高频电源频率与粒子在磁场中匀速圆周运动的频率相同，则f＝，可见频率由粒子的质量、电荷量和磁感应强度决定，C正确；洛伦兹力不做功，所以粒子从电场中获得能量，D错误；故选A、C.
3．用回旋加速器分别加速α粒子和质子时，若磁场相同，则加在两个D形盒间的交变电压的频率应不同，其频率之比为( )
A．1∶1 B．1∶3 C．2∶1 D．1∶2
答案 D
解析 解决本题的关键是知道回旋加速器中，加速电场的变化周期与粒子在磁场中运动的周期相等．
带电粒子在磁场中的运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，又v＝，所以在磁场中运动的周期T＝，因此α粒子和质子在磁场中运动的周期之比为＝·＝，因为在回旋加速器中，加速电场的变化周期与粒子在磁场中运动的周期相等，故加在两个D形盒间的交变电压的频率之比为＝＝，所以选D.
题组二 对质谱仪原理的理解
4．速度相同的一束粒子(不计重力)由左端射入质谱仪后的运动轨迹如图3所示，则下列相关说法中正确的是( )
图3
A．该束带电粒子带正电
B．速度选择器的P1极板带负电
C．能通过狭缝S0的带电粒子的速率等于EB1
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝S0，粒子的比荷越大
答案 AD
解析 由带电粒子由左端射入质谱仪后的运动轨迹和左手定则可知该束带电粒子带正电，A选项正确；在速度选择器中，带正电的粒子受向下的磁场力，则必受向上的电场力，所以上极板带正电，B选项错误；由于在速度选择器中粒子做匀速直线运动，所以qvB1＝qE，v＝，C选项错误；带电粒子由左端射入质谱仪后做匀速圆周运动，由qvB2＝m，解得＝＝，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝S0，R越小，而E、B1、B2不变，所以粒子的比荷越大，D选项正确．
5．如图4所示为质谱仪测定带电粒子质量的装置示意图．速度选择器(也称滤速器)中场强E的方向竖直向下，磁感应强度B1的方向垂直纸面向里，分离器中磁感应强度B2的方向垂直纸面向外．在S处有甲、乙、丙、丁四个一价正离子垂直于E和B1入射到速度选择器中，若m甲＝m乙图4
A．乙甲丙丁 B．甲丁乙丙
C．丙丁乙甲 D．丁甲丙乙
答案 B
解析 四种粒子，只有两个粒子通过速度选择器，只有速度满足v＝，才能通过速度选择器，所以通过速度选择器进入磁场的粒子是乙和丙，乙的质量小于丙的质量，根据公式Bqv＝m可得乙的半径小于丙的半径，则乙打在P3位置，丙打在P4位置，甲的速度小于乙的速度，即小于，洛伦兹力小于电场力，粒子向下偏转，打在P1位置，丁的速度大于v＝，洛伦兹力大于电场力，粒子向上偏转，打在P2位置，故B正确，
6．如图5所示为质谱仪的原理图．利用这种质谱仪可以对氢元素进行测量．氢元素的各种同位素，从容器A下方的小孔S1进入加速电压为U的加速电场，可以认为从容器出来的粒子初速度为零．粒子被加速后从小孔S2进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在照相底片D上，形成a、b、c三条质谱线．关于氢的三种同位素进入磁场时速率的排列顺序和三条谱线的排列顺序，下列说法中正确的是( )
图5
A．进磁场时速率从大到小的排列顺序是氕、氘、氚
B．进磁场时速率从大到小的排列顺序是氚、氘、氕
C．a、b、c三条谱线的排列顺序是氕、氘、氚
D．a、b、c三条谱线的排列顺序是氘、氚、氕
答案 A
解析 根据qU＝mv2得，v＝ .比荷最大的是氕，最小的是氚，所以进入磁场速率从大到小的顺序是氕、氘、氚．故A正确，B错误．进入偏转磁场有Bqv＝m，R＝＝ ，氕比荷最大，则轨道半径最小，c对应的是氕，氚比荷最小，则轨道半径最大，a对应的是氚．故C、D错误； 故选A.
题组三 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
7.如图6所示，在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B.现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场．不计重力的影响．由这些条件可知( )
图6
A．不能确定粒子通过y轴时的位置
B．不能确定粒子速度的大小
C．不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间
D．以上三个判断都不对
答案 D
解析 带电粒子以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场，故带电粒子一定在磁场中运动了周期，从y轴上距O为x0处射出，回旋角为90°，由r＝可得v＝＝，可求出粒子在磁场中运动时的速度大小，另有T＝＝，可知粒子在磁场中运动所经历的时间，故选D.
8.空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图7所示的正方形虚线为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是( )
图7
A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
答案 BD
解析 由于粒子比荷相同，由r＝可知速度相同的粒子运动半径相同，运动轨迹也必相同，B正确．对于入射速度不同的粒子在磁场中可能的运动轨迹如图所示，由图可知，粒子的轨迹直径不超过磁场边界一半时转过的圆心角都相同，运动时间都为半个周期，而由T＝知所有粒子在磁场运动周期都相同，A、C皆错误．再由t＝T＝可知D正确．故选B、D.
9．有一带电荷量为＋q，质量为m的带电粒子，沿如图8所示的方向，从A点沿着与边界夹角30°、并且垂直磁场的方向，进入到磁感应强度为B的匀强磁场中，已知磁场的上部没有边界，若离子的速度为v，则该粒子离开磁场时，距离A点的距离( )
图8
A. B.
C. D.
答案 A
解析 带电粒子将在磁场中做匀速圆周运动，粒子从O点离开磁场，如图所示：
由对称性，OA所对应的圆心角为60°.由Bqv＝得R＝，OA间的距离x＝R＝，所以选项A正确．
10．如图9所示，三个速度大小不同的同种带电粒子沿同一方向从图示长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中的运动时间之比为( )
图9
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．3∶2∶1 D.∶∶1
答案 C
解析 如图所示，设带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心为O，由几何关系知，圆弧所对应的粒子运动的时间t＝＝＝·＝，因此，同种粒子以不同速率射入磁场，经历时间与它们的偏角α成正比，即t1∶t2∶t3＝90°∶60°∶30°＝3∶2∶1.
11．长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度答案 AB
解析 如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r＝(r1－)2＋l2
又r1＝，
所以v1＝
粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，v2＝
综合上述分析可知，选项A、B正确．
12．如图10所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界．一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场．若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点．下列说法正确的有( )
图10
A．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0
B．若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0
C．若粒子落在A点左、右两侧d的范围内，其速度不可能小于v0－
D．若粒子落在A点左、右两侧d的范围内，其速度不可能大于v0＋
答案 BC
解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，qv0B＝，所以r＝，当带电粒子从不同方向由O点以速度v0进入匀强磁场时，其轨迹是半径为r的圆，轨迹与边界的交点位置最远是离O点2r的距离，即OA＝2r，落在A点的粒子从O点垂直入射，其他粒子则均落在A点左侧，若落在A点右侧则必须有更大的速度，选项B正确．若粒子速度虽然比v0大，但进入磁场时与磁场边界夹角过大或过小，粒子仍有可能落在A点左侧，选项A错误．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，设其半径为r′，则r′≥，代入r＝，r′＝，解得v≥v0－，选项C正确，D错误．
13.如图11所示，一个质量为m、电荷量为－q、不计重力的带电粒子从x轴上的P(a,0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求：
图11
(1)匀强磁场的磁感应强度B；
(2)穿过第一象限的时间．
答案 (1) (2)
解析 (1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹，由图中几何关系知：
Rcos 30°＝a，得：R＝
Bqv＝m得：B＝＝.
(2)运动时间：t＝×＝.
14．如图12，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于xOy所在纸面向外．某时刻在x＝l0、y＝0处，一质子沿y轴负方向进入磁场；同一时刻，在x＝－l0、y＝0处，一个α粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直．不考虑质子与α粒子的相互作用，设质子的质量为m，电荷量为e.则：
图12
(1)如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大？
(2)如果α粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，α粒子的速度应为何值？方向如何？
答案 (1)eBl0/2m
(2)eBl0/4m，方向与x轴正方向的夹角为
解析 (1)质子的运动轨迹如图所示，其圆心在x＝l0/2处，其半径r1＝l0/2.
又r1＝mv/eB，可得v＝eBl0/2m.
(2)质子从x＝l0处到达坐标原点O处的时间为tH＝TH/2，又TH＝2πm/eB，可得tH＝πm/eB.
α粒子的周期为Tα＝4πm/eB，可得tα＝Tα/4
两粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系得rα＝l0，又2evαB＝，解得
vα＝eBl0/4m，方向与x轴正方向的夹角为.
学案6 习题课：带电粒子在磁场或电场中的运动
1．带电粒子在匀强磁场中的运动特点：
(1)当带电粒子(不计重力)的速度方向与磁场方向平行时，带电粒子所受洛伦兹力F＝0，粒子做匀速直线运动．
(2)当带电粒子(不计重力)的速度方向与磁场方向垂直时，带电粒子所受洛伦兹力F＝qvB，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，半径为r＝，周期为T＝.
2．分析带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的关键是确定圆心和半径．
(1)圆心的确定：①入、出方向垂线的交点；②入或出方向垂线与弦的中垂线的交点．
(2)半径的确定：利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．注意圆心角α等于粒子速度转过的偏向角φ，且等于弦切角θ的2倍，如图1所示，即φ＝α＝2θ.
图1
3．带电粒子在匀强电场中的运动特点：
(1)带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场时，粒子做匀变速直线运动．
(2)带电粒子沿垂直于电场方向进入匀强电场时，粒子做类平抛运动．
一、带电粒子在有界磁场中的运动
解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法
先画出运动轨迹草图．找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置，半径大小以及与半径有关的几何关系是解题的关键．解决此类问题时应注意下列结论：
(1)粒子进入单边磁场时，进、出磁场具有对称性，如图2(a)、(b)、(c)所示．
图2
(2) 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出，如图(d)所示.
(3)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长．
例1 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图3所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出．
图3
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
解析 (1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷．
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r，
又qvB＝m，
则粒子的比荷＝.
(2)设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°，粒子做圆周运动的半径R′＝rcot 30°＝ r，又R′＝，所以B′＝B，
粒子在磁场中运动所用时间t＝T＝×＝.
答案 (1)负电荷 (2)B
二、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子刚好穿出或刚好不穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是从轨迹入手找准临界状态．
(1)当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，由于半径不确定，可从轨迹圆的缩放中发现临界点．
(2)当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，轨迹圆大小不变，只是位置绕入射点发生了旋转，可从定圆的动态旋转中发现临界点．
例2 真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图4所示，MN、PQ是磁场的边界．质量为m、电荷量为＋q的粒子沿着与MN夹角为θ＝30°的方向垂直射入磁场中，粒子刚好没能从PQ边界射出磁场(不计粒子重力的影响)，求粒子射入磁场的速度及在磁场中运动的时间．
图4
解析 粒子刚好没能从PQ边界射出磁场，设轨迹半径为r，则粒子的运动轨迹如图所示，L＝r＋rcos θ，轨迹半径r＝＝.由半径公式r＝得：v＝；由几何知识可看出，轨迹所对圆心角为300°，则运动时间t＝T＝T，周期公式T＝，所以t＝.
答案
三、带电粒子在复合场或组合场中的运动
1．电荷在复合场中的运动一般有两种情况——直线运动和圆周运动．
(1)电荷在静电力、重力和洛伦兹力共同作用下做直线运动时，一定是做匀速直线运动．
(2)电荷在上述复合场中如果做匀速圆周运动，只能是除洛伦兹力以外的所有恒力的合力为零才能实现．
2．分析电荷在电场和磁场组合场中的运动，通常按时间的先后顺序分成若干个小过程来进行处理，在每一运动过程中都从粒子的受力分析着手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动．
例3 一带电微粒在如图5所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，求：
图5
(1)该带电微粒的电性？
(2)该带电微粒的旋转方向？
(3)若已知圆的半径为r，电场强度的大小为E，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，则线速度为多少？
解析 (1)带电粒子在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，可知，带电微粒受到的重力和电场力是一对平衡力，重力竖直向下，所以电场力竖直向上，与电场方向相反，故可知带电微粒带负电荷．
(2)磁场方向向外，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可判断粒子的旋转方向为逆时针(四指所指的方向与带负电的粒子的运动方向相反)．
(3)由微粒做匀速圆周运动可知电场力和重力大小相等，得： mg＝qE①
带电微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的半径为：r＝②
①②联立得：v＝
答案 (1)负电荷 (2)逆时针 (3)
1．(带电粒子在有界磁场中运动的临界问题)如图6所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场．欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是( )
图6
A. B.
C. D.
答案 BC
解析 粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由r＝知，粒子的入射速度v0越大，r越大，当粒子的径迹和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大．若粒子带正电，其运动轨迹如图(a)所示(此时圆心为O点)，容易看出R1sin 45°＋d＝R1，将R1＝代入上式得v0＝，B项正确．若粒子带负电，其运动轨迹如图(b)所示(此时圆心为O′点)，容易看出R2＋R2cos 45°＝d，将R2＝代入上式得v0＝，C项正确．
2.(带电粒子在电场中的运动)如图7所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，匀强电场的方向竖直向下，有一正离子恰能以速率v沿直线从左向右水平飞越此区域．下列说法正确的是( )
图7
A．若一电子以速率v从右向左飞入，则该电子将沿直线运动
B．若一电子以速率v从右向左飞入，则该电子将向上偏转
C．若一电子以速率v从右向左飞入，则该电子将向下偏转
D．若一电子以速率v从左向右飞入，则该电子将沿直线运动
答案 BD
解析 若电子从右向左飞入，电场力向上，洛伦兹力也向上，所以电子上偏，选项B正确，A、C错误；若电子从左向右飞入，电场力向上，洛伦兹力向下．由题意，对正电荷有qE＝Bqv，会发现q被约去，说明等号的成立与q无关，包括q的大小和正负，所以一旦满足了E＝Bv，对任意不计重力的带电粒子都有电场力大小等于洛伦兹力大小，显然对于电子两者也相等，所以电子从左向右飞入时，将做匀速直线运动，选项D正确．
3．(带电粒子在有界磁场中的运动)如图8所示，在半径为R＝的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板MN，圆顶点P有一速率为v0的带正电的粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子的重力不计．
图8
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为v0，求它打到感光板MN上时速度的垂直分量．
答案 (1) (2)v0
解析 (1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，由牛顿第二定律得
Bqv0＝m
所以r＝R
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为，如图所示．
t＝＝
(2)由(1)知，当v＝v0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，其运动轨迹如图所示．
由图可知∠PO2O＝∠OO2A＝30°
所以带电粒子离开磁场时偏向角为60°
粒子打到感光板上时速度的垂直分量为
v⊥＝vsin 60°＝v0
题组一 带电粒子在有界磁场中的运动
1．如图1所示，虚线框内为一长方形区域，内有匀强磁场，一束质子以不同的速度从O点垂直磁场方向射入后，分别从a、b、c、d四点射出．比较它们在磁场中的运动时间( )
图1
A．ta＝tb＝tc＝td B．taC．ta＝tbtc>td
答案 D
解析 根据轨迹可得a、b两粒子的圆心在长方形的底边上，即在磁场中所对圆弧的圆心角相等，所以根据公式t＝·＝，可得ta＝tb，根据轨迹可得c点对应弧长的圆心角大于d点的圆心角，但是小于a、b的，故tc>td，综上所述ta＝tb>tc>td，D正确．
2.如图2所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30°角从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动时间之比为( )
图2
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶ D．1∶1
答案 B
解析 如图所示，粗略地画出正、负电子在第一象限的匀强磁场中的运动轨迹．由几何关系知，正电子轨迹对应的圆心角为120°，运动时间为t1＝，其中T1为正电子运
动的周期，由T＝及qvB＝知T1＝；同理，负电子在磁场中运动的周期T2＝T1＝，但由几何关系知负电子在磁场中转过的圆心角为60°，故在磁场中运动时间t2＝.所以正、负电子在磁场中运动的时间之比为＝＝，故B选项正确．
3.如图3所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t.若加上磁感应强度为B、水平向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出时偏离原方向60°角，利用以上数据可求出下列物理量中的( )
图3
A．带电粒子的比荷
B．带电粒子在磁场中运动的周期
C．带电粒子的初速度
D．带电粒子在磁场中运动所对应的圆心角
答案 ABD
解析 由带电粒子在磁场中运动的偏向角，可知带电粒子运动轨迹所对的圆心角为60°，因此由几何关系得l＝Rsin 60°，又由Bqv0＝m得R＝，故l＝sin 60°，又未加磁场时有l＝v0t，所以可求得比荷＝，故A、D正确；根据周期公式T＝可得带电粒子在磁场中运动的周期T＝＝·＝，故B正确；由于半径未知，所以初速度无法求出，C错误．
4.如图4所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图．若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是( )
图4
A．a粒子动能最大
B．c粒子速率最大
C．b粒子在磁场中运动时间最长
D．它们做圆周运动的周期Ta答案 B
解析 三个质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率垂直进入匀强磁场中，则运动半径的不同，导致运动轨迹也不同．因此运动轨迹对应的半径越大，则粒子的速率也越大．而运动周期相同，运动时间由圆弧对应的圆心角决定．
粒子在磁场中做匀速圆周运动，故洛伦兹力提供向心力，则有Bqv＝m，R＝.由于带电粒子的B、q、m均相同，所以R与v成正比，因此轨迹圆弧半径越大，则运动速率越大，由题图知c粒子速率最大，A错误，B正确．粒子运动周期为T＝，由于带电粒子的B、q、m均相同，所以周期相同，则轨迹圆弧对应的圆心角越大，则运动时间越长，由题图知a粒子在磁场中运动的时间最长，故ta>tb>tc，C、D错误，故选B.
5．如图5所示为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一放射源，沿半径方向射出速率为v的不同带电粒子，其中带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力．则( )
图5
A．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为3∶1
B．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为∶1
C．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为2∶1
D．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为1∶2
答案 A
解析 根据题图中几何关系，tan 60°＝R/r1，tan 30°＝R/r2，带电粒子在匀强磁场中运动，r＝，联立解得带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为3∶1，选项A正确，选项B错误；带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为＝＝2＝2∶3，选项C、D错误．
6.如图6所示，比荷为e/m的电子垂直射入宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场区域，则电子能从右边界射出这个区域，至少应具有的初速度大小为( )
图6
A．2eBd/m B．eBd/m
C．eBd/2m D.eBd/m
答案 B
解析 要使电子能从右边界射出这个区域，则有R≥d，根据洛伦兹力提供向心力，可得R＝≥d，则至少应具有的初速度大小为v＝，B正确．
7.如图7所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度B的大小需满足( )
图7
A．B> B．B<
C．B> D．B<
答案 B
解析 粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝acot 30°.由r＝得，粒子要能从AC边射出，粒子运动的半径r>r0，解得B<，选项B正确．
题组二 带电粒子在电场或组合场中的运动
8.如图8所示，在xOy平面内，匀强电场的方向沿x轴正向，匀强磁场的方向垂直于xOy平面向里．一电子在xOy平面内运动时，速度方向保持不变．则电子的运动方向沿( )
图8
A．x轴正方向 B．x轴负方向
C．y轴正方向 D．y轴负方向
答案 C
解析 电子受电场力方向一定水平向左，所以需要受向右的洛伦兹力才能做匀速运动，根据左手定则进行判断可得电子应沿y轴正方向运动．
9．如图9所示，A板发出的电子(重力不计)经加速后，水平射入水平放置的两平行金属板M、N间，M、N之间有垂直纸面向里的匀强磁场，电子通过磁场后最终打在荧光屏P上，关于电子的运动，下列说法中正确的是( )
图9
A．当滑动触头向右移动时，电子打在荧光屏的位置上升
B．当滑动触头向右移动时，电子通过磁场区域所用时间不变
C．若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度大小不变
D．若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度变大
答案 AC
解析 当滑动触头向右移动时，电场的加速电压增大，加速后电子动能增大，进入磁场的初速度增大，向下偏转程度变小，位置上升，选项A正确．由于在磁场中运动对应的圆心角变小，运动时间变短，选项B错误．电子在磁场中运动速度大小不变，选项C正确，D错误．
10.三个完全相同的小球a、b、c带有相同电荷量的正电荷，从同一高度由静止开始下落，当落下h1高度后a球进入水平向左的匀强电场，b球进入垂直纸面向里的匀强磁场，如图10所示，它们到达水平面上的速度大小分别用va、vb、vc表示，它们的关系是( )
图10
A．va>vb＝vc B．va＝vb＝vc
C．va>vb>vc D．va＝vb>vc
答案 A
解析 小球a下落时，重力和电场力都对a做正功；小球b下落时，只有重力做功；小球c下落时只有重力做功．重力做功的大小都相同．根据动能定理可知外力对小球a所做的功最多，即小球a落地时的动能最大，小球b、c落地时的动能相等．
11.如图11所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上．两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断地喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴．调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能水平向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点．
图11
(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；
(2)求磁感应强度B的值；
(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置．为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B′，则B′的大小为多少？
答案 (1)负电荷 (2) (3)
解析 (1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，有
q＝mg①
由①式得：q＝②
由于电场方向向下，电荷所受静电力向上，可知：
墨滴带负电荷．
(2)墨滴垂直进入电场、磁场共存区域后，重力仍与静电力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，有
qv0B＝m③
考虑墨滴进入电场、磁场共存区域和下板的几何关系，可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动，则半径
R＝d④
由②③④式得B＝
(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图所示，设墨滴做圆周运动的半径为R′，有qv0B′＝m⑤
由图可得：
R′2＝d2＋(R′－)2⑥
由⑥式得：R′＝d⑦
联立②⑤⑦式可得：B′＝.
12.如图12所示，有界匀强磁场的磁感应强度B＝2×10－3 T；磁场右边是宽度L＝0.2 m、场强E＝40 V/m、方向向左的匀强电场．一带电粒子电荷量为q＝3.2×10－19 C的负电荷，质量m＝6.4×10－27 kg，以v＝4×104 m/s的速度沿OO′垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出．求：
图12
(1)大致画出带电粒子的运动轨迹(画在题图上)；
(2)带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
(3)带电粒子飞出电场时的动能．
答案 (1)见解析图 (2)0.4 m (3)7.68×10－18 J
解析 (1)运动轨迹如图所示．
(2)带电粒子在磁场中运动时，由牛顿第二定律有
qvB＝m
R＝＝ m＝0.4 m
(3)Ek＝EqL＋mv2＝40×3.2×10－19×0.2 J＋×6.4×10－27×(4×104)2 J＝7.68×10－18 J
13.在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以一定的初速度垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，已知ON＝d，如图13所示．不计粒子重力，求：
图13
(1)粒子在磁场中运动的轨道半径R；
(2)粒子在M点的初速度v0的大小；
(3)粒子从M点运动到P点的总时间t.
答案 (1)d (2) (3)
解析 (1)作出带电粒子的运动轨迹如图所示
由几何知识得Rsin θ＝d
解得R＝d
(2)由qvB＝mv2 /R得v＝
在N点速度v与x轴正方向成θ＝60°角射出电场，将速度分解如图所示
v0＝vcos θ
解得v0＝
(3)设粒子在电场中运动的时间为t1，有d＝v0t1
所以t1＝＝
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝
设粒子在磁场中运动的时间为t2，有t2＝T
所以t2＝
t＝t1＋t2，所以t＝
学案7 章末总结
一、通电导体在安培力作用下运动的判断四法
安培力作用下通电导体在磁场中运动问题的分析方法：
(1)电流元法：把整段通电导体等效为许多小段的直线电流元，用左手定则判断出每小段电流元所受安培力的方向，从而判断整段通电导体所受合力方向．
(2)特殊位置法：把通电导体或磁铁转到一个便于分析的特殊位置后再判断安培力的方向．
(3)等效法：环形电流和通电螺线管都可以等效成条形磁铁，条形磁铁也可以等效成环形电流或通电螺线管，通电螺线管也可以等效成很多匝的环形电流．
(4)利用结论法：①两通电导线相互平行时无转动趋势，同向电流相互吸引，反向电流相互排斥；②两者不平行时，有转动到相互平行且电流方向相同的趋势．
例1 如图1所示，把轻质导线圈用绝缘细线悬挂在磁铁N极附近，磁铁的轴线穿过线圈的圆心且垂直线圈平面．当线圈内通以图示方向的电流后，线圈的运动情况是( )
图1
A．线圈向左运动
B．线圈向右运动
C．从上往下看顺时针转动
D．从上往下看逆时针转动
解析 解法一 电流元法
首先将线圈分成很多小段，每一小段可看作一直线电流元，取其中上、下两小段分析，其截面图和受到的安培力情况如图所示．根据对称性可知，线圈所受安培力的合力水平向左，故线圈向左运动．只有选项A正确．
解法二 等效法
将环形电流等效成小磁针，如图所示，根据异名磁极相互吸引知，线圈将向左运动，选A.也可将左侧条形磁铁等效成环形电流，根据结论“同向电流相互吸引，异向电流相互排斥”也可判断出线圈向左运动，选A.
答案 A
二、安培力作用下导体的平衡
1．分析安培力的方向应牢记安培力方向既跟磁感应强度方向垂直又跟电流方向垂直；
2．一般是先把立体图改画成平面图，并将题中的角度、电流的方向、磁场的方向标注在图上，然后根据平衡条件列方程．
例2 如图2所示，光滑导轨与水平面成α角，导轨宽为L.匀强磁场磁感应强度为B.金属杆长为L，质量为m，水平放在导轨上．当回路总电流为I1时，金属杆正好能静止．求：
图2
(1)B至少多大？这时B的方向如何？
(2)若保持(1)中B的大小不变而将B的方向改为竖直向上，应把回路总电流I2调到多大才能使金属杆继续保持静止？
解析 在解这类题时必须画出截面图，只有在截面图上才能正确表示各力的准确方向，从而弄清各矢量方向间的关系．
(1)画出金属杆的截面图．由三角形法则得，只有当安培力方向沿导轨平面向上时安培力才最小，B也最小．根据左手定则，这时B应垂直于导轨平面向上，大小满足BI1L＝mgsin α，B＝mgsin α/I1L.
(2)当B的方向改为竖直向上时，这时安培力的方向变为水平向右，要使金属杆保持静止，应使沿导轨方向的合力为零，得BI2Lcos α＝mgsin α，I2＝I1/cos α.
答案 (1)mgsin α/I1L 垂直于导轨平面向上
(2)I1/cos α
三、带电粒子在电场或组合场中的运动
正确分析带电粒子的受力情况和运动情况，明确运动过程和运动性质，选择恰当的规律解答
1．带电粒子在组合场中运动
要依据粒子运动过程的先后顺序和受力特点辨别清楚在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动．
2．带电粒子在电场中的运动
(1)当带电粒子(带电体)在电场中做匀速运动时，根据平衡条件列方程求解．
(2)当带电粒子(带电体)在电场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程求解．
(3)当带电粒子(带电体)在电场中做非匀变速曲线运动时，常选用动能定理或能量守恒定律列方程求解．
例3 如图3所示，相距为d的两带电平行板间存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m，带电量为q的小球由下板边缘沿水平方向射入该区域，带电小球恰能在两板间做匀速圆周运动，则( )
图3
A．小球一定带负电
B．小球一定带正电
C．两板间电压为
D．小球在两板间的运动时间为
答案 BC
解析 要使小球在复合场中做匀速圆周运动，必须满足重力与电场力平衡，即mg＝Eq，方向相反，因为电场方向向上，故小球一定带正电，A错误，B正确；根据E＝可得mg＝q，所以U＝，C正确；小球在两板间的运动时间为整个圆周运动周期的一半，即t＝＝，D错误．
例4 如图4所示的直角坐标系xOy中，x<0，y>0的区域内有沿x轴正方向的匀强电场，x≥0的区域内有垂直于xOy坐标平面向外的匀强磁场，x轴上P点坐标为(－L,0)，y轴上M点的坐标为(0，L)．有一个带正电的粒子从P点以初速度v沿y轴正方向射入匀强电场区域，经过M点进入匀强磁场区域，然后经x轴上的C点(图中未画出)运动到坐标原点O.不计重力．求：
图4
(1)粒子在M点的速度v′；
(2)C点与O点的距离x；
(3)匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B的比值．
解析 (1)设粒子在由P到M的过程中运动时间为t，在M点时速度为v′，沿x轴正方向的速度大小为vx，带电粒子在第二象限做匀变速曲线运动，则：
＝vt＝L①
＝vxt＝L②
v′2＝v2＋v③
联解①②③得：v′＝2v④
(2)设粒子在M点的速度v′与y轴正方向的夹角为θ，如图所示，则：
tan θ＝⑤
粒子在x≥0的区域内受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示．⑥
设轨迹半径为R，由几何关系有：
＝2Rsin θ＝L⑦
x＝2Rcos θ⑧
联解⑤⑥⑦⑧得：x＝L⑨
(3)设粒子质量为m，带电荷量为q，则：
qE·＝mv′2－mv2⑩
qv′B＝m?
联解⑧⑨⑩?得：＝
答案 (1)2v (2)L (3)
1.(通电导体在安培力作用下运动方向的判断)如图5所示，用绝缘细线悬挂一个导线框，导线框是由两同心半圆弧导线和直导线ab、cd(ab、cd在同一条水平直线上)连接而成的闭合回路，导线框中通有图示方向的电流，处于静止状态．在半圆弧导线的圆心处沿垂直于导线框平面的方向放置一根长直导线P.当P中通以方向向外的电流时( )
图5
A．导线框将向左摆动
B．导线框将向右摆动
C．从上往下看，导线框将顺时针转动
D．从上往下看，导线框将逆时针转动
答案 D
解析 当直导线P中通以方向向外的电流时，由安培定则可判断出长直导线P产生的磁场方向为逆时针方向，磁感线是以P为圆心的同心圆，半圆弧导线与磁感线平行不受安培力，由左手定则可判断出直导线ab所受的安培力方向垂直纸面向外，cd所受的安培力方向垂直纸面向里，从上往下看，导线框将逆时针转动，故D正确．
2.(安培力作用下导体的平衡)倾角为α的光滑斜面上，放一根长L、质量为m的导体棒，通以如图6所示方向电流I，为使其静止在斜面上，可加一个强度、方向适当的匀强磁场，这磁场可能是( )
图6
A．垂直于斜面向上，B＝mgsin α/IL
B．垂直于斜面向下，B＝mgsin α/IL
C．竖直向下，B＝mgtan α/IL
D．水平向左，B＝mg/IL
答案 BCD
解析 当磁场方向垂直于斜面向上时导体棒受到的安培力方向沿斜面向下，又重力竖直向下，所以不可能静止在斜面上，A错误．当磁场垂直斜面向下时，导体棒受到的安培力方向沿斜面向上，当B＝mgsin α/IL时，沿斜面方向上的合力为零，故可能，B正确．当磁场方向竖直向下时，导体棒受到的安培力方向水平向左，当B＝mgtan α/IL时，合力为零，故C正确．当磁场方向水平向左时，导体棒受到的安培力竖直向上，所以当安培力等于重力时，合力为零，即B＝mg/IL，D正确．
3．(带电粒子在混合场中的运动)地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场和匀强磁场，已知磁场方向垂直纸面向里，一个带电油滴能沿一条与竖直方向成α角的直线MN运动(MN在垂直于磁场方向的平面内)，如图7所示，则以下判断中正确的是( )
图7
A．油滴一定带正电
B．油滴一定带负电
C．如果电场方向水平向右，油滴是从M点运动到N点
D．如果电场方向水平向左，油滴是从M点运动到N点
答案 D
解析 粒子所受力只有重力的方向是确定的，竖直向下，根据力的合成与分解可知磁场力的方向必须是垂直MN斜向上的，电场力的方向必须是水平向左的，所以如果电场方向水平向左，那么粒子带正电，从M点运动到N点，如果电场方向水平向右，那么粒子带负电，从N运动到M，故D正确．
4．(带电粒子在组合场中的运动)如图8所示，在矩形ABCD内对角线BD以上的区域存在有平行于AD向下的匀强电场，对角线BD以下的区域存在有垂直于纸面的匀强磁场(图中未标出)，矩形AD边长L，AB边长为L.一个质量为m、电荷＋q的带电粒子(不计重力)以初速度v0从A点沿AB方向进入电场，从对角线BD的中点P处进入磁场，并从DC边上的Q点垂直于DC离开磁场，试求：
图8
(1)电场强度的大小；
(2)带电粒子经过P点时速度的大小和方向；
(3)磁场的磁感应强度的大小和方向．
答案 (1) (2)v0 方向垂直BD向下
(3) 方向垂直纸面向外
解析 (1) 带电粒子受电场力作用做类平抛运动，则
＝at2
＝v0t
Eq＝ma
解得E＝
(2)在竖直方向上做匀变速运动，设竖直方向分速度为vy，则有2 a＝ v
得vy＝＝v0到P点时速度为v＝＝v0
(3)粒子在磁场中运动轨迹的圆心就在D点，则
R＝＝L
qvB0＝m B0＝
方向垂直纸面向外
