学案1 探究电场的力的性质
[学习目标定位] 1.理解电场强度的概念及公式，并会进行有关的计算.2.会用电场线表示电场，并熟记几种常见电场的电场线分布特征.3.理解点电荷的电场强度及场强叠加原理．
一、电场
19世纪30年代，法拉第在大量实验的基础上认为电荷周围存在着由它产生的电场，其基本性质是能够对放入其中的电荷有力的作用，这个力叫做电场力．
二、怎样描述电场
1．电场中某点的电荷所受到的电场力F跟它的电荷量q的比值叫做电场在该点的电场强度，简称场强，用E表示，即E＝.
2．真空中点电荷周围形成的电场的电场强度公式为：E＝
k，其中k是静电力常量，Q是场源电荷的电荷量，r是场点离开场源电荷Q的距离．
3．电场线是在电场中画出的一些有方向的曲线，曲线上每一点的切线方向都表示该点的电场强度方向，电场线的疏密程度表示空间各点场强的大小．应该注意，电场线不是(填“是”或“不是”)实际存在的线，而是形象地描述电场的假想的线．
4．电场的叠加原理：许多点电荷在某点的合场强，等于各点电荷的电场在该点场强的矢量和．
一、电场 电场强度
[问题设计]
1．在空间中有一电场，把一带电荷量为q的试探电荷放在电场中的A点，该电荷受到的静电力为F.若把带电荷量为2q的点电荷放在A点，则它受到的静电力为多少？若把带电荷量为nq的点电荷放在该点，它受到的静电力为多少？
答案 2F nF
2．结合问题设计1思考电荷在电场中某点受到的静电力F与电荷所带电荷量q有何关系？
答案 F与q成正比，即F与q的比值为定值．
[要点提炼]
电场强度的定义式是E＝F/q，它是表示电场的强弱和方向的物理量．
1．电场强度的唯一性：决定于电场本身，与是否放入试探电荷、放入电荷的电性、电荷量的多少均无关(填“有关”或“无关”)．
2．电场强度的矢量性：电场强度的方向与在该点的正电荷所受静电力的方向相同，与负电荷的受力方向相反．所以比较电场强度是否相同时，一定要考虑大小和方向两个因素．
[延伸思考] 电场强度是比值法定义的物理量．比值法定义的特点是什么？请结合密度ρ＝、电阻R＝的公式加以说明．
答案 比值法定义的特点是被定义的物理量与作比值的两个量无关，只取决于物质、电阻、电场本身的性质．
二、点电荷的电场 电场强度的叠加
[问题设计]
1.如图1所示，在正点电荷Q的电场中有一试探电荷q，已知q到Q的距离为r，Q对q的作用力是多大？Q在q所在位置产生的电场的电场强度是多大？方向如何？
图1
答案 根据库仑定律有F＝k，所以Q在q所在位置产生的电场的电场强度为E＝＝k，方向沿Qq的连线由Q指向q.
2．如果再有一正点电荷Q′＝Q，放在如图2所示的位置，q所在位置的电场的电场强度多大？
图2
答案 如图所示，Q、Q′分别对q有力的作用，q所受的静电力为两个力的合力F＝＝k.
所以q所在位置的电场的电场强度为E＝＝k.
[要点提炼]
1．点电荷电场的场强：(1)公式E＝k，适用条件：真空中的点电荷．(2)方向：沿某点和Q的连线，Q为正电荷时，沿连线向外，Q为负电荷时，沿连线向里．如果以Q为中心，r为半径作一球面，则球面上各点的电场强度大小相等．当Q为正电荷时，E的方向沿半径向外；当Q为负电荷时，E的方向沿半径向里．
2．场强是矢量，当空间存在多个点电荷产生的电场时，电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和．
三、电场线 匀强电场
[问题设计]
1．电场线是如何表示电场方向和强弱的？
答案 在电场中，某点电场线的切线方向表示该点场强方向；电场线的疏密表示电场强度的相对大小，电场强度较大的地方电场线较密，反之较疏．
2．电场线是真实存在的吗？能不能相交？
答案 不是．如果相交，则在同一点的切线方向有两个，电场强度的方向也有两个，这与电场强度的方向只有一个相矛盾，所以不可能．
[要点提炼]
1．电场线的特点有：(1)起始于无限远或正电荷，终止于负电荷或无限远．
(2)任意两条电场线不相交．
(3)在同一幅图中，电场线的疏密表示场强的大小，电场线某点的切线方向表示该点电场强度的方向．
2．匀强电场中各点的电场强度大小相等，方向相同；电场线是距离相等的平行直线．
[延伸思考] 1.点电荷、等量同号点电荷、等量异号点电荷电场的电场线有何特点？
2．电场线和带电粒子在电场中的运动轨迹相同吗？
答案 1.点电荷的电场：正电荷的电场线从正电荷出发延伸到无限远处，负电荷的电场线由无限远处延伸到负电荷，如图所示，其特点有：
(1)点电荷形成的电场中，不存在场强相同的点．
(2)若以点电荷为球心作一个球面，电场线处处与球面垂直．在此球面上场强大小处处相等，方向各不相同．
等量同号点电荷的电场：电场线分布如图所示(以等量正点电荷为例)，其特点有：
(1)两点电荷连线上，中点O处场强为零，向两侧场强逐渐增大，方向指向中点．
(2)两点电荷连线中点O沿中垂面(中垂线)到无限远，电场线先变密后变疏，即场强先变大后变小，方向背离中点．
等量异号点电荷的电场：电场分布如图所示，其特点有：
(1)两点电荷连线上的各点场强方向从正电荷指向负电荷，沿电场线方向场强先变小再变大，中点处场强最小．
(2)两点电荷连线的中垂面(中垂线)上，电场线的方向均相同，即电场强度方向都相同，总与中垂面(或中垂线)垂直且指向负点电荷一侧．沿中垂面(中垂线)从中点到无限远处，场强大小一直减小，中点处场强最大．
匀强电场的电场线分布如图所示，匀强电场的特点有：
(1)场强的大小、方向处处相同．
(2)电场线为间隔相等、相互平行的直线．
2．不一定相同．电场线是为了形象地描述电场而引入的假想曲线，规定电场线上每点的切线方向为该点的场强方向，也是正电荷在该点的受力方向(与负电荷受力方向相反)．运动轨迹是带电粒子在电场中实际通过的径迹，径迹上每点的切线方向为粒子在该点的速度方向．在力学的学习中我们就已经知道，物体运动速度的方向和它的加速度的方向是两回事，不一定相同，因此，电场线与运动轨迹不能混为一谈，不能认为电场线就是带电粒子在电场中运动的轨迹．只有当电场线是直线，且带电粒子只受静电力作用(或受其他力，但方向沿电场线所在直线)，同时带电粒子的初速度为零或初速度方向沿电场线所在直线时，运动轨迹才和电场线重合，这只是一种特殊情况．
一、对电场强度的理解
例1 如图3所示，在一带负电的导体A附近有一点B，若在B处放置一个q1＝－2.0×10－8 C的电荷，测出其受到的静电力F1大小为4.0×10－6 N，方向如图，则：
图3
(1)B处场强是多少？方向如何？
(2)如果换成一个q2＝4.0×10－7C的电荷放在B点，其受力多大？此时B处场强多大？
解析 (1)由场强公式可得EB＝＝ N/C＝200 N/C
因为是负电荷，所以场强方向与F1方向相反
(2)q2在B点所受静电力F2＝q2EB＝4.0×10－7×200 N＝8.0×10－5 N，方向与场强方向相同，也就是与F1反向．此时B处场强仍为200 N/C不变，方向与F1相反．
答案 (1)200 N/C 方向与F1相反 (2)8.0×10－5 N 200 N/C
二、点电荷的电场 电场强度的叠加
例2 如图4所示，真空中，带电荷量分别为＋Q和－Q的点电荷A、B相距r，则：
图4
(1)点电荷A、B在中点O产生的场强分别为多大？方向如何？
(2)两点电荷连线的中点O的场强为多大？
(3)在两点电荷连线的中垂线上，距A、B两点都为r的O′点的场强如何？
解析 分别求＋Q和－Q在某点的场强大小和方向，然后根据电场强度的叠加原理，求出该点的合场强．
(1)如图甲所示，A、B两点电荷在O点产生的场强方向相同，均由A→B.A、B两点电荷在O点产生的电场强度
EA＝EB＝＝.
(2)O点的场强为：EO＝EA＋EB＝，方向由A→B.
(3)如图乙所示，EA′＝EB′＝，由矢量图所形成的等边三角形可知，O′点的场强EO′＝EA′＝EB′＝，方向与A、B的中垂线垂直，由A→B.
答案 (1)，方向由A→B ，方向由A→B (2)，方向由A→B
(3)，方向由A→B
三、电场线的理解和应用
例3 某电场的电场线分布如图5所示，下列说法正确的是( )
图5
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点静止释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度的方向相同
解析 电场线的疏密表征了电场强度的大小，由题图可知Ea＜Eb，Ed＞Ec，Eb＞Ed，Ea＞Ec，故选项C正确，选项A错误．由于电场线是曲线，由a点静止释放的正电荷不可能沿电场线运动，故选项B错误．电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不在同一条直线上，故选项D错误．
答案 C
1.(对电场线的理解)如图6所示，带箭头的直线是某一电场中的一条电场线，在这条线上有A、B两点，用EA、EB表示A、B两处的场强，则( )
图6
A．A、B两处的场强方向相同
B．因为A、B在一条电场线上，且电场线是直线，所以EA＝EB
C．电场线从A指向B，所以EA＞EB
D．不知A、B附近电场线的分布情况，EA、EB的大小不能确定
答案 AD
解析 电场线的切线方向即场强方向，所以A对；电场线的疏密程度表示场强大小，只有一条电场线的情况下不能判断场强大小，所以B、C错误，D正确．
2．(电场强度矢量的叠加) N(N＞1)个电荷量均为q(q＞0)的小球，均匀分布在半径为R的圆周上，如图7所示．向右移去位于圆周上P点的一个小球，则圆心O点处的电场强度大小为________，方向________．(已知静电力常量为k)
图7
答案 k 沿OP指向P
解析 P点的带电小球在圆心O处的电场强度大小为E1＝k，方向沿PO指向O；N个小球在O点处电场强度叠加后，合场强为零；移去P点的小球后，则剩余N－1个小球在圆心O处的电场强度与P点的小球在圆心O处的电场强度等大反向，即E＝E1＝k，方向沿OP指向P.
3．(场强的应用)一试探电荷q＝＋4×10－9 C，在电场中P点受到的静电力F＝6×10－7 N．则：
(1)P点的场强大小为________；
(2)将试探电荷移走后，P点的场强大小为________；
(3)放一电荷量为q′＝1.2×10－6 C的电荷在P点，受到的静电力F′的大小为________．
答案 (1)1.5×102 N/C (2)1.5×102 N/C
(3)1.8×10－4 N
解析 (1)E＝＝＝1.5×102 N/C
(2)场强是描述电场的物理量，跟试探电荷无关，所以将试探电荷移走后，场强仍是1.5×102 N/C.
(3)F′＝q′E＝1.2×10－6×1.5×102 N＝1.8×10－4 N
题组一 对电场、电场强度的理解
1．下列说法中正确的是( )
A．只要有电荷存在，电荷周围就一定存在着电场
B．电场是一种物质，它与其他物质一样，是不依赖我们的感觉而客观存在的东西
C．电荷间的相互作用是通过电场而产生的，电场最基本的性质是对处在它里面的电荷有力的作用
D．场强的定义式E＝F/q中，F是放入电场中的电荷所受的力，q是产生电场的电荷的电荷量
答案 ABC
2．有关电场强度的理解，下述说法正确的是( )
A．由E＝可知，电场强度E跟放入电场的电荷q所受的静电力成正比
B．当电场中存在试探电荷时，电荷周围才出现电场这种特殊的物质，才存在电场强度
C．由E＝可知，在离点电荷很近，r接近于零时，电场强度无穷大
D．电场强度是反映电场本身特性的物理量，与是否存在试探电荷无关
答案 D
解析 E＝是电场强度的定义式，而非决定式，所以电场强度E跟放入的电荷q所受的静电力成正比的说法是错误的；电荷周围存在电场这种特殊的物质，不管是否置入试探电荷；E＝适用于点电荷的电场，在离点电荷很近，当r接近于零时，电荷不能再当点电荷处理，表达式不再成立．
3.如图1所示是在一个电场中的a、b、c、d四个点分别引入试探电荷时，电荷所受的静电力F跟引入的电荷电荷量之间的函数关系，下列说法正确的是( )
图1
A．该电场是匀强电场
B．a、b、c、d四点的场强大小关系是Ed>Eb>Ea>Ec
C．这四点的场强大小关系是Eb>Ea>Ec>Ed
D．无法比较场强的大小
答案 B
解析 对图像问题要着重理解它的物理意义，对于电场中给定的位置，放入的试探电荷的电荷量不同，它受到的静电力不同，但是静电力F与试探电荷的电荷量q的比值即场强E是不变的量，因为F＝qE，所以F跟q的关系图线是一条过原点的直线，该直线斜率的大小即表示场强的大小，由此可得：Ed>Eb>Ea>Ec.
题组二 电场线
4．关于电场线的特征，下列说法中正确的是( )
A．如果某空间中的电场线是曲线，那么在同一条电场线上各处的场强不相同
B．如果某空间中的电场线是直线，那么在同一条电场线上各处的场强相同
C．如果空间中只存在一个孤立的点电荷，那么这个空间中的任意两条电场线相交；如果空间中存在两个以上的点电荷，那么这个空间中有许多电场线相交
D．电场中任意两条电场线都不相交
答案 AD
5．下列各电场中，A、B两点电场强度相同的是( )
答案 C
解析 A图中，A、B两点场强大小相等，方向不同，B图中，A、B两点场强的方向相同，但大小不等，C图中是匀强电场，则A、B两点场强大小、方向相同；D图中A、B两点场强大小、方向均不相同．故选C.
6.如图2所示是某静电场的一部分电场线分布情况，下列说法中正确的是( )
图2
A．这个电场可能是负点电荷的电场
B．点电荷q在A点处受到的电场力比在B点处受到的电场力大
C．负电荷在B点处受到的电场力的方向沿电场线的切线方向
D．点电荷q在A点处的瞬时加速度比在B点处的瞬时加速度小(不计重力)
答案 B
解析 电场线的疏密反映了电场强度的大小，而加速度的大小关键是看电场力的大小．判断A、B两处电场线的疏密是解决本题的关键．负点电荷的电场线是从四周无限远处不同方向指向负点电荷的直线，故A错；电场线越密的地方场强越大，由题图知EA＞EB，又因F＝qE，得FA＞FB，故B正确；由a＝知，a∝F，而F∝E，EA＞EB，所以aA＞aB，故D错；负电荷在B点受到的电场力的方向与B点电场强度的方向相反，故C错误．
题组三 点电荷的电场
7.如图3所示是点电荷Q周围的电场线，图中A到Q的距离小于B到Q的距离．以下判断正确的是( )
图3
A．Q是正电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度
B．Q是正电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度
C．Q是负电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度
D．Q是负电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度
答案 A
解析 正点电荷的电场是向外辐射的，电场线密的地方电场强度大，所以A正确．
8．如图4甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、M、N为轴上三点．放在M、N两点的试探电荷受到的静电力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示，则( )
图4
A．M点的电场强度大小为2×103 N/C
B．N点的电场强度大小为2×103 N/C
C．点电荷Q在M、N之间
D．点电荷Q在M、O之间
答案 AC
解析 设M、N两点的电场强度分别为EM、EN，根据题图乙可知，图线的斜率即为电场强度，则EM＝2×103 N/C；EN＝－500 N/C，M、N两点电场强度方向相反．由点电荷电场强度的特点知，点电荷Q应在M、N之间，故选项A、C正确．
9．如图5所示，(a)中AB是一个点电荷电场中的电场线，图(b)则是放在电场线上a、b处的试探电荷的电荷量与所受电场力间的函数图线，由此可知以下判断可能正确的是( )
图5
A．场源是正电荷，位于a点的左侧
B．场源是正电荷，位于b点的右侧
C．场源是负电荷，位于a点的左侧
D．场源是负电荷，位于b点的右侧
答案 AC
解析 比值F/q表示电场强度，根据F－q图线，可知Ea>Eb.由点电荷电场强度表达式E＝k可知，ra10．如图6所示，实线是一簇未标明方向的由点电荷Q产生的电场线，若带电粒子q(|Q|?|q|)由a运动到b，静电力做正功．已知在a、b两点粒子所受静电力分别为Fa、Fb，则下列判断正确的是( )
图6
A．若Q为正电荷，则q带正电，Fa＞Fb
B．若Q为正电荷，则q带正电，Fa＜Fb
C．若Q为负电荷，则q带正电，Fa＞Fb
D．若Q为负电荷，则q带正电，Fa＜Fb
答案 A
解析 从电场线分布可以看出，a点电场线密，故Ea＞Eb，所以带电粒子q在a点所受静电力大，即Fa＞Fb；若Q带正电，正电荷从a到b静电力做正功，若Q带负电，正电荷从a到b静电力做负功，故A项正确．
题组四 电场强度矢量的叠加
11.如图7所示，有一水平方向的匀强电场，场强大小为900 N/C，在电场内一水平面上作半径为10 cm的圆心为O的圆，圆上取A、B两点，AO沿电场方向，BO⊥OA，另在圆心处放一电荷量为10－9 C的正点电荷，则A处场强大小EA＝________ N/C，B处场强大小EB＝________ N/C.
图7
答案 0 1.27×103
解析 由E＝k，得点电荷在A处产生的场强EA＝900 N/C，方向向左，所以A处合场强为零．点电荷在B处产生的场强EB＝900 N/C，方向向下，所以B处合场强为1.27×103 N/C.
12.如图8所示，A、B、C三点为一直角三角形的三个顶点，∠B＝30°，现在A、B两点放置两点电荷qA、qB，测得C点场强的方向与AB平行(如图)，则qA、qB带何种电荷，qA、qB的比值是多少？
图8
答案 qA带负电；qB带正电 1∶8
题组五 综合应用
13．如图9所示，在真空中的O点放一个点电荷Q＝＋1.0×10－9C，直线MN通过O点，OM的距离r＝30 cm，M点放一个点电荷q＝－1.0×10－10 C，求：
图9
(1)q在M点受到的电场力；
(2)M点的场强；
(3)拿走q后M点的场强；
(4)M、N两点的场强哪点大？
答案 (1)1.0×10－8 N，方向沿MO指向O
(2)100 N/C，方向沿OM连线背离O
(3)100 N/C，方向沿OM连线背离O
(4)M点场强大
解析 (1)电场是一种物质，电荷q在电场中M点所受的作用力是电荷Q通过它的电场对q的作用力，根据库仑定律，得FM＝k
＝ N＝1.0×10－8 N．因为Q带正电，q带负电，电场力是吸引力，所以力的方向沿MO指向O.
(2)M点的场强EM＝＝ N/C＝100 N/C，其方向沿OM连线背离O，因为它的方向跟负电荷所受电场力的方向相反．
(3)场强是反映电场的力的性质的物理量，它是由形成电场的电荷Q及场中位置决定的，与试探电荷q是否存在无关．故M点的场强仍为100 N/C，方向沿OM连线背离O.
(4)由E∝得M点场强大．
14．如图10所示，用长30 cm的细线将质量为m＝4×10－3 kg的带电小球P悬挂在O点，当空间有方向水平向右、大小为E＝1×104 N/C的匀强电场时，小球偏转37°，并处于静止状态．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
图10
(1)判断小球的带电性质；
(2)求小球所带的电荷量和细线的拉力．
答案 (1)正电 (2)3×10－6 C 5×10－2 N
解析 (1)由题图知，小球受电场力方向和电场强度方向相同，故小球带正电．
(2)对小球受力分析如图
F拉cos 37°＝mg
F拉sin 37°＝F电
F电＝qE
联立解得F拉＝5×10－2 N，q＝3×10－6 C.
学案2 习题课：电场力的性质
1．电场强度
(1)定义式：E＝，适用于任何电场，是矢量，单位：N/C或V/m.
(2)点电荷的场强：E＝，适用于计算真空中的点电荷产生的电场．
(3)规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向．电场中某一点的电场强度E与试探电荷q无关，由场源电荷(原电场)和该点在电场中的位置决定．
2．电场线是为了形象地描述电场而引入的曲线，电场线上每一点的切线方向与电场方向一致．电场线的疏密程度反映电场强度的大小．要注意电场线是假想的曲线，实际上并不存在，且电场线在空间不相交．
3．场强叠加原理和应用
(1)当空间有几个点电荷同时存在时，它们的电场就互相叠加，形成合电场，这时某点的场强就是各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和．
(2)场强是矢量，遵守矢量合成的平行四边形定则.
一、两个等量点电荷周围的电场
解决这类题目的关键是熟记等量异种点电荷、等量同种点电荷周围电场线的分布情况，根据电场线的分布分析电场强度的变化，再结合牛顿第二定律和运动学公式分析加速度和速度的变化．
例1 两个带等量正电荷的点电荷，O点为两电荷连线的中点，a点在连线的中垂线上，若在a点由静止释放一个电子，如图1所示，关于电子的运动，下列说法正确的是( )
图1
A．电子在从a向O运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大
B．电子在从a向O运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大
C．电子运动到O时，加速度为零，速度最大
D．电子通过O后，速度越来越小，加速度越来越大，一直到速度为零
解析 带等量正电荷的两点电荷连线的中垂线上，中点O处的场强为零，向中垂线的两边先变大，达到一个最大值后，再逐渐减小到零．但a点与最大场强点的位置关系不能确定，当a点在最大场强点的上方时，电子在从a点向O点运动的过程中，加速度先增大后减小；当a点在最大场强点的下方时，电子的加速度则一直减小，故A、B错误；但不论a点的位置如何，电子在向O点运动的过程中，都在做加速运动，所以电子的速度一直增加，当到达O点时，加速度为零，速度达到最大值，C正确；通过O点后，电子的运动方向与场强的方向相同，与所受电场力方向相反，故电子做减速运动，由能量守恒定律得，当电子运动到a点关于O点对称的b点时，电子的速度为零．同样因b点与最大场强的位置关系不能确定，故加速度大小的变化不能确定，D错误．
答案 C
针对训练 如图2所示，一带负电粒子沿等量异种点电荷的中垂线由A→O→B匀速飞过，重力不计，则带电粒子所受另一个力的大小和方向变化情况是( )
图2
A．先变大后变小，方向水平向左
B．先变大后变小，方向水平向右
C．先变小后变大，方向水平向左
D．先变小后变大，方向水平向右
答案 B
解析 根据等量异种点电荷电场的电场线分布图(如图)，从A到O，电场线由疏到密，从O到B，电场线由密到疏，所以从A到O到B，场强先变大再变小，电场方向沿电场线切线方向水平向右，如图所示．所以带负电粒子所受电场力先变大后变小，方向水平向左，故带负电粒子受的另一个力方向应水平向右，先变大再变小．
二、电场强度矢量的叠加
电场强度是矢量；空间存在多个电场时，空间中某点的电场强度应为每个电场单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和．
例2 如图3所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，∠MOP＝60°.电荷量相等、电性相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为E1；若将N点处的点电荷移至P点，则O点的场强大小变为E2.E1与E2之比为( )
图3
A．1∶2 B．2∶1
C．2∶ D．4∶
解析 本题考查电场强度的矢量合成. 依题意，每个点电荷在O点产生的场强为，则当N点处的点电荷移至P点时，O点场强如图所示，合场强大小为E2＝，则＝，B正确．
答案 B
三、电场线与带电粒子运动轨迹的综合分析
解决这类题目的关键是根据带电粒子运动轨迹的弯曲情况，确定带电粒子的受力，由受力情况确定电场线的方向；根据电场线的疏密程度分析带电粒子的受力大小，由牛顿第二定律a＝确定加速度a的大小变化情况．
例3 如图4所示，直线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，曲线是某一带电粒子通过电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上两点．若带电粒子运动中只受电场力作用，根据此图可以作出的判断是( )
图4
A．带电粒子所带电荷的符号
B．带电粒子在a、b两点的受力方向
C．带电粒子在a、b两点的加速度何处大
D．带电粒子在a、b两点的加速度方向
解析 根据合外力指向带电粒子运动轨迹的凹侧，可以确定带电粒子受电场力的方向，B、D可以；电场线越密集的地方电场强度越大，带电粒子受到的电场力越大，加速度越大，C可以；由于不知道电场线的方向，只知道带电粒子受力方向，没法确定带电粒子的电性，A不可以．
答案 BCD
四、电场与力学规律的综合应用
例4 竖直放置的两块足够长的平行金属板间有匀强电场．其电场强度为E，在该匀强电场中，用丝线悬挂质量为m的带电小球，丝线跟竖直方向成θ角时小球恰好平衡，如图5所示．请问：
图5
(1)小球带电荷量是多少？
(2)若剪断丝线，小球碰到金属板需多长时间？
解析 (1)由于小球处于平衡状态，对小球受力分析如图所示
Tsin θ＝qE ①
Tcos θ＝mg ②
由得tan θ＝，故q＝
(2)由第(1)问中的方程②知T＝，而剪断丝线后小球所受电场力和重力的合力与未剪断丝线时丝线的拉力大小相等，故剪断丝线后小球所受重力、电场力的合力等于.小球的加速度a＝＝，小球由静止开始沿着丝线拉力的反方向做匀加速直线运动，当碰到金属板时，它的位移为s＝，又由s＝at2得t＝ ＝ ＝
答案 (1) (2)
1．(对场强公式的理解)下列关于电场强度的两个表达式E＝F/q和E＝kQ/r2的叙述，正确的是( )
A．E＝F/q是电场强度的定义式，F是放入电场中的电荷所受的力，q是产生电场的电荷的电荷量
B．由公式E＝F/q可知，F是放入电场中的试探电荷所受的力，q是放入电场中试探电荷的电荷量，它适用于任何电场
C．E＝kQ/r2是点电荷场强的计算式，Q是产生电场的电荷的电荷量，它适用于任何电场
D．从点电荷场强计算式分析库仑定律的表达式F＝k，其中k是点电荷q2产生的电场在点电荷q1处的场强大小，而k是点电荷q1产生的电场在q2处的场强大小
答案 BD
解析 E＝F/q是场强的定义式，其中q是试探电荷的电荷量，F是试探电荷在电场中某点受到的电场力，故A选项错误，B选项正确；E＝kQ/r2是真空中点电荷形成的电场场强的计算式，Q为场源电荷的电荷量，故C选项错误；静电力F＝k的实质是一个电荷处在另一个电荷形成的电场中，结合定义式E＝F/q可知D选项正确．
2．(电场线与带电粒子运动轨迹的综合分析)某静电场中的电场线如图6中实线所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是( )
图6
A．粒子必定带正电荷
B．粒子必定带负电荷
C．粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度
D．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
答案 D
3．(两个等量点电荷周围的电场)如图7所示，在平面上建立坐标系xOy，在y轴上的点y＝a与y＝－a处各放带等量正电荷Q的小物体，已知沿x轴正方向为电场正方向，带电体周围产生电场，这时x轴上的电场强度E的图像正确的是( )
图7
答案 D
解析 两个正电荷Q在x轴产生的场强如图所示，根据场强的叠加，合场强的方向也如图所示，在x轴正半轴，场强方向与正方向相同，在x轴负半轴，场强方向与正方向相反，而两个正电荷在O点及无穷远处的合场强为零，在x轴正、负半轴的场强先增大后减小，故D正确．
题组一 对场强的理解
1．关于电场强度E，下列说法正确的是( )
A．由E＝知，若q减半，则该处电场强度为原来的2倍
B．由E＝k知，E与Q成正比，而与r2成反比
C．由E＝k知，在以Q为球心，以r为半径的球面上，各处场强均相同
D．电场中某点的场强方向就是该点正电荷受到的静电力的方向
答案 BD
解析 E＝为场强定义式，电场中某点的场强E只由电场本身决定，与试探电荷无关，A错误；E＝k是点电荷Q产生的电场的场强决定式，故可见E与Q成正比，与r2成反比，B正确；因场强为矢量，E相同，意味着大小、方向都相同，而在以场源点电荷为球心的球面上各处E的方向不同，故C错误；电场中某点的场强方向与正电荷在该点所受静电力的方向相同，故D正确．
2．如图1所示，a、b两点为负点电荷Q的电场中以Q为圆心的同一圆周上的两点，a、c两点为同一条电场线上的两点，则以下说法中正确的是( )
图1
A．a、b两点场强大小相等
B．同一试探电荷在a、b两点所受电场力相同
C．a、c两点场强大小关系为Ea＞Ec
D．a、c两点场强方向相同
答案 AD
解析 a、b两点场强大小相等但方向不同，故所受电场力大小不同，a、c两点场强方向相同，但大小不等．
题组二 对电场叠加的理解
3.AB和CD为圆上两条相互垂直的直径，圆心为O.将电荷量分别为＋q和－q的两点电荷放在圆周上，其位置关于AB对称且距离等于圆的半径，如图2所示．要使圆心处的电场强度为零，可在圆周上再放一个适当的点电荷Q，则该点电荷Q( )
图2
A．应放在A点，Q＝2q B．应放在B点，Q＝－2q
C．应放在C点，Q＝－q D．应放在D点，Q＝－q
答案 C
解析 根据平行四边形定则，求出＋q和－q在O点产生的合场强，大小等于其中一个点电荷在O点产生的场强的大小，方向水平向右，要使圆心处的电场强度为零，可在C点放一个电荷量Q＝－q的点电荷，C选项正确．
4．如图3所示，在x轴上有两个点电荷，一个带正电Q1，一个带负电Q2，且Q1＝2Q2，用E1和E2分别表示两个电荷产生的场强的大小，则在x轴上( )
图3
A．E1＝E2的点只有一处，该点合场强为零
B．E1＝E2的点只有两处，一处的合场强为零，另一处的合场强为2E2
C．E1＝E2的点只有三处，其中两处的合场强为零，另一处的合场强为2E2
D．E1＝E2的点只有三处，其中一处的合场强为零，另两处的合场强为2E2
答案 B
解析 本题考查对电场强度概念的理解，特别是对场强方向特性的理解．可以画一草图，牢记电荷量关系：Q1＝2Q2，E1、E2是这两个点电荷在x轴上同一点产生的场强的大小，试想一试探电荷在x轴上自左向右移动，在Q1左边区域时，由于Q1＝2Q2，它们对试探电荷的作用力不可能相等，因此在Q1的左边不存在E1＝E2的点；而在Q1与Q2之间以及Q2的右边区域有这样的点，且这样的点到Q1的距离是它到Q2的距离的倍，进一步考虑E1、E2的方向，可知合场强为零的点在Q2的右边，合场强为2E2的点在Q1与Q2之间．故正确答案为B.
5．图4中a、b是两个点电荷，它们的电荷量分别为Q1、Q2，MN是ab连线的中垂线，P是中垂线上的一点．下列哪种情况能使P点场强方向指向MN的右侧( )
图4
A．Q1、Q2都是正电荷，且Q1＜Q2
B．Q1是正电荷，Q2是负电荷，且Q1＞|Q2|
C．Q1是负电荷，Q2是正电荷，且|Q1|＜Q2
D．Q1、Q2都是负电荷，且|Q1|＞|Q2|
答案 B
解析 分别利用有向线段表示Q1、Q2在P点产生的场强示意图，然后根据平行四边形定则表示出合场强的大小和方向，A、B、C、D四个选项的示意图如图所示．
显然，选项B正确．
6．如图5所示，带电荷量为＋q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为____，方向________．(静电力常量为k)
图5
答案 k 水平向左
解析 a点处的场强由两部分组成：一是点电荷在a处的场强，大小为E＝k，方向水平向左；二是带电薄板在a处的场强．由题知，这两个场强的合场强为零，所以薄板在a处的场强大小为Ea＝k，方向水平向右．根据对称性可知，薄板在b处的场强为Eb＝k，方向水平向左．
7. A、B是一条电场线上的两个点，一带负电的微粒仅在静电力作用下以一定的初速度从A点沿电场线运动到B点，其v－t图象如图6所示．则此电场的电场线分布可能是( )
图6
答案 A
解析 从题图可以直接看出，粒子的速度随时间逐渐减小；图线的斜率逐渐增大，说明粒子的加速度逐渐变大，电场强度逐渐变大，从A到B电场线逐渐变密．综合分析知，微粒是顺着电场线运动，由电场线疏处到达密处，正确选项是A.
8．把质量为M的正点电荷放在电场中无初速度释放，不计重力，则以下说法正确的是( )
A．点电荷的轨迹一定和电场线重合
B．点电荷的速度方向总是与所在处的电场线方向一致
C．点电荷的加速度方向总是与它所在处的电场线的切线方向重合
D．点电荷将沿电场线切线方向抛出做抛物线运动
答案 C
解析 本题考查了电场线、电场强度的方向及电场力的方向三者之间的关系及物体做曲线运动的条件．仅当电场线为直线、电荷的初速度为零，或者电荷初速度不为零，但初速度方向和场强方向在同一直线上，且只受电场力时，电荷的运动轨迹才和电场线重合，A错．点电荷的速度方向不一定与所在位置处的电场线方向一致，如电场线为曲线时，B错．由牛顿第二定律知，加速度方向与合外力方向一致，而点电荷在电场中受的电场力方向与电场线的切线方向重合，C对．点电荷受电场力作用，由于电场不一定是匀强电场，其合力不一定为恒力，故不一定做抛物线运动，D错．
9.如图7所示，A、B是某点电荷电场中的一条电场线．在电场线上P处自由释放一个负试探电荷时，它沿直线向B点运动．对此现象，下列判断正确的是(不计电荷重力)( )
图7
A．电荷向B做匀速运动
B．电荷向B做加速度越来越小的运动
C．电荷向B做加速度越来越大的运动
D．电荷向B做加速运动，加速度的变化情况不能确定
答案 D
解析 由于负电荷从P点由静止释放，它沿直线运动到B点，说明负电荷受力方向自P指向B，则场强方向自A指向B，由于正电荷、负电荷、异种电荷以及平行且带异种电荷的金属板等都能产生一段直线电场线，所以只能确定负电荷的受力方向向左(自P指向A)，但不能确定受力变化情况，也就不能确定加速度变化情况，故选项D正确．
题组三 静电场知识与动力学知识的综合
10.如图8所示，场强为E、方向竖直向下的匀强电场中，有两个质量均为m、电荷量分别为＋2q和－q的小球A和B，两小球用绝缘细线相连，另用绝缘细线系住带正电的小球A悬挂于O点，处于平衡状态．已知重力加速度为g，求细线对悬点O的作用力．
图8
答案 2mg＋Eq
解析 以A、B整体为研究对象，静电力为内力，则T＝2mg＋Eq，由牛顿第三定律得，细线对悬点O的作用力T′＝T＝2mg＋Eq.
11．如图9所示，竖直放置的两块足够大的带电平行板间形成一个方向水平向右的匀强电场区域，场强E＝3×104N/C.在两板间用绝缘细线悬挂一个质量m＝5×10－3kg的带电小球，静止时小球偏离竖直方向的夹角θ＝60°(g取10 m/s2)．试求：
图9
(1)小球的电性和电荷量；
(2)悬线的拉力．
答案 (1)正电 ×10－6 C (2)0.1 N
解析 (1)小球受电场力向右，故带正电，受力分析如图所示．
由平衡条件有Eq＝mgtan 60°
解得q＝×10－6C
(2)由平衡条件得F＝，
解得F＝0.1 N
12．如图10所示，光滑斜面倾角为37°，一带正电的小物块质量为m，电荷量为q，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的，重力加速度为g，求：
图10
(1)原来的电场强度为多大；
(2)场强改变后，物块运动的加速度．
答案 (1)
(2)g，方向沿斜面向下
解析 (1)对小物块受力分析如图所示，物块静止于斜面上，则mgsin 37°＝qEcos 37°，解得E＝＝.
(2)当场强变为原来的时，小物块受到的合外力F合＝mgsin 37°－qEcos 37°＝mgsin 37°，又F合＝ma，所以a＝g，方向沿斜面向下．
学案3 研究电场的能的性质(一)
[学习目标定位] 1.知道电场力做的功与移动电荷的路径无关.2.掌握电场力做的功与电势能变化的关系.3.会应用WAB＝qUAB进行有关计算．
一、电场力做功的特点
在任意静电场中，电场力对电荷所做的功跟移动电荷的路径无关．
二、电荷在电场中的功能关系
1．电势能：电荷在电场中具有的势能叫做电势能．
2．电场力做正功，电势能减少，减少的电势能等于电场力做的功．电场力做负功，电势能增加，增加的电势能等于克服电场力做的功，公式表达为WE＝EpA－EpB.
3．电荷在电场中某处的电势能，等于在电场力作用下把它从该处移动到零电势能位置时电场力所做的功．通常把离开场源电荷无限远处规定为零电势能位置，或者把地球表面规定为零电势能位置．
三、电势差
1．将电荷从A点移到B点的过程中，电场力对电荷做的功WAB与所移动的电荷q的比值称为电场中A、B两点间的电势差，公式表示为UAB＝.电势差的单位是伏特，简称伏，符号是V，如果1 C的正电荷在电场中由一点移动到另一点，电场力所做的功为1_J，这两点间的电势差就是1_V，即1 V＝1_J/C.
2．在研究微观粒子时，常用电子伏特(简称电子伏，符号是eV)作为能量的单位.1 eV＝1.6×10－19J.
一、电场力做功的特点
[问题设计]
1．如图1所示，试探电荷q在电场强度为E的匀强电场中，沿直线从A移动到B，电场力做的功为多少？若q沿折线AMB从A点移动到B点，电场力做的功为多少？
图1
答案 电场力F＝qE，电场力与位移夹角为θ，电场力对试探电荷q做的功W＝F·|AB|cos θ＝qE·|AM|.在线段AM上电场力做的功W1＝qE·|AM|，在线段MB上电场力做的功W2＝0，总功W＝W1＋W2＝qE·|AM|.
2．若q沿任意曲线从A点移动到B点，电场力做的功为多少？据1、2可得出什么结论．
答案 W＝qE·|AM|.电荷在匀强电场中从不同路径由A运动到B，电场力做功相同．说明电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关．
[要点提炼]
1．电场力做功的特点：电场力对某电荷所做的功，与该电荷的电荷量有关，与电荷经过的路径无关，与电场是否是匀强电场也无关．
2．电场力做功与重力做功相似，只要初、末位置确定了，移动电荷q做的功就是确定值．
二、电势能
[问题设计]
类比重力做功与重力势能变化的关系，电场力做正功，电势能如何变化？电场力做负功，电势能如何变化？电场力做功与电势能变化有怎样的数量关系？
答案 电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加．
电场力做功的值等于电势能的变化量，即：WAB＝EpA－EpB.
[要点提炼]
1．电场力做功是电势能变化的量度，用公式表示为WAB＝EpA－EpB，即电场力做正功，电荷的电势能减少，电场力做负功，电荷的电势能增加．
2．电势能具有相对性．
电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在地球表面上的电势能规定为零．
[延伸思考] 当正电荷顺着电场线运动时，电场力做什么功？电势能是增加还是减少？当负电荷顺着电场线运动时，电场力做什么功？电势能是增加还是减少？
答案 正电荷顺着电场线运动时，电场力做正功，电势能减少．负电荷顺着电场线运动时，电场力做负功，电势能增加．
三、电势差
[问题设计]
在图1所示的示例中，我们知道了同一电荷沿不同路径由A移到B，电场力做的功是相同的，那么移动不同电荷从A至B，电场力做的功是否相同？电场力做的功与电荷量q的比值是否相同？
答案 电场力做的功WAB＝qEL，所以移动不同电荷做的功不同；但＝EL是相同的．
[要点提炼]
1．电势差的定义式UAB＝，这是用比值法定义的物理量．UAB与WAB和q无关，只跟电场中A、B两点的位置和电场强度有关．
2．电势差是标量，但有正、负之分．
3．用UAB＝或WAB＝qUAB计算时，各物理量符号的处理：
(1)带正、负号进行运算：把电荷q的电性和两点间的电势差U的正、负号代入，算出的功为正，则说明电场力做正功，电荷的电势能减小；算出的功为负，则说明电场力做负功，电荷的电势能增大．
(2)只将绝对值代入公式运算：即在计算时，q、U都取绝对值，算出的功也是绝对值，至于电场力做的是正功还是负功，可以根据电荷的正、负及电荷移动的方向与电场线方向的关系判断．
[延伸思考] 电势的大小与零电势点的选取有关，电势差的大小与零电势点的选取有关吗？
答案 无关．
一、电场力做功与电势能变化的关系
例1 在场强为4×105 V/m的匀强电场中，一质子从A点移动到B点，如图2所示．已知A、B间距离为20 cm，AB连线与电场线成30°角，求：
图2
(1)电场力做的功．
(2)质子从A到B的过程中，电势能是增加还是减少？
(3)若规定B点的电势能EpB＝0，则质子在A点的电势能是多少？
解析 (1)在匀强电场中电场力为F＝qE
沿电场力方向的位移为lABcos 30°
电场力对质子做的功为
WAB＝qElABcos 30°＝1.6×10－19×4×105×0.2× J≈1.1×10－14 J.
(2)因为电场力做正功，所以电势能减少．
(3)EpA＝WAB－EpB＝1.1×10－4 J.
答案 (1)1.1×10－14 J (2)减少 (3)1.1×10－4 J
例2 对于电场中的A、B两点，下列说法正确的是( )
A．电势差的定义式UAB＝，说明两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点电场力所做的功
C．若将1 C正电荷从A点移到B点，电场力做1 J的功，则两点间的电势差为1 V
D．若电荷由A点移到B点的过程中，除受电场力外，还受其他力的作用，则电荷电势能的变化就不再等于电场力所做的功
解析 两点间的电势差由电场本身决定，与移动电荷及电场力做功无关，故A错；电荷在电场中运动时，不管受几个力作用，其电势能变化总等于电场力做功，故D错；由公式UAB＝，可知B错，C对．
答案 C
二、对电势差的理解
例3 在电场中把一个电荷量为6×10－6 C的负电荷从A点移到B点，克服电场力做功3×10－5 J，再将电荷从B点移到C点，电场力做功1.2×10－5 J，求A点与B点，B点与C点间的电势差．
思路点拨 这是一个直接应用电势差的定义来计算的题目，解题的关键是注意电场力的功、电荷、电势能正、负值三者之间的关系．如果把这三个量及其正、负符号都代入，结果是统一的．
解析 根据电场力做功与电势差的关系得：
UAB＝＝ V＝5 V，
UBC＝＝ V＝－2 V.
答案 UAB＝5 V UBC＝－2 V
针对训练 一个带正电的质点，电荷量q＝2.0×10－9 C，在静电场中由a点移动到b点．在这个过程中，除电场力外，其他外力做的功为6.0×10－5 J，质点的动能增加了8.0×10－5 J，则a、b两点间的电势差Uab为( )
A．1×104 V B．－1×104 V
C．4×104 V D．－7×104 V
答案 A
解析 Uab＝ ①
Wab＋W外＝mv2 ②
由①②式得Uab＝1×104 V.
1．(对电势差的理解)下列说法正确的是( )
A．A、B两点的电势差等于将负电荷从A点移到B点时克服电场力所做的功
B．电势差是一个标量，但有正、负值之分
C．由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势能位置的不同而改变，所以UAB＝UBA
答案 BC
解析 解答本题的关键是要全面地理解电势差这个概念，从电势差的定义可知A项错误．从电势差的特性可知电势差是标量，但有正、负值之分，B项正确．从电场力做功的特性及电势差的定义可知两点间电势差只与两点位置有关，C项正确．移动相同电荷从A到B和从B到A做功不同，WAB＝－WBA，所以UAB＝－UBA，故D项错误．
2．(电势差、电势能和电场力做功)在静电场中，一个电子由a点移到b点时电场力做功为5 eV(1 eV＝1.6×10－19 J)，则以下说法中正确的是( )
A．电场强度的方向一定由b沿直线指向a
B．a、b两点间电势差Uab＝5 V
C．电子的电势能减少5 eV
D．电子的电势能减少5 J
答案 C
解析 电场强度的方向与运动路径无关，A错；Uab＝＝＝－5 V，B错；电场力做5 eV的正功，电势能减少
5 eV，C对，D错．
3．(电场力做功、电势能和电势差的关系)把质量为m＝4.0×10－6 kg，带电荷量为q＝1.0×10－4 C的粒子，在电场中的A点由静止释放．当它运动到B点时，电场力对它做功W＝1.25×1017 eV，则A、B两点间电势差为多少？粒子运动到B点时的速度为多少？
答案 200 V 100 m/s
解析 因为W＝qUAB，所以
UAB＝＝ V＝200 V.
又根据动能定理有W＝mv2，得
v＝ ＝ m/s
＝100 m/s.
4．(电场力做功与电势能变化的关系)在电场中把一个电荷量为6×10－6 C的负电荷从A点移到B点，克服电场力做功3×10－5 J，则电荷从A到B的过程中，电势能变化了多少？是增加还是减少？若规定电荷在B点的电势能为零，则电荷在A点的电势能为多大？
答案 3×10－5 J 增加 －3×10－5 J
解析 电荷克服电场力做功，即电场力做负功，有WAB＝－3×10－5 J．由WAB＝EpA－EpB知，电势能变化了3×10－5 J；由于电场力做负功，则电势能增加．
若EpB＝0，则由WAB＝EpA－EpB得EpA＝－3×10－5 J.
题组一 电场力做功与电势能变化的关系
1．下列说法正确的是( )
A．电荷从电场中的A点运动到了B点，路径不同，电场力做功的大小就可能不同
B．电荷从电场中的某点开始出发，运动一段时间后，又回到了该点，则说明电场力做功为零
C．正电荷沿着电场线运动，电场力对正电荷做正功，负电荷逆着电场线运动，电场力对负电荷做正功
D．电荷在电场中运动，因为电场力可能对电荷做功，所以能量守恒定律在电场中并不成立
答案 BC
解析 电场力做功与路径无关，只与电荷的初、末位置有关，所以B项正确，A项错误；正电荷沿电场线运动、负电荷逆着电场线运动，所受电场力与速度的夹角均为0度，电场力均做正功，C项正确；能量守恒定律是自然界的普遍适用定律之一，与是什么力做功无关，D项错．
2．带电粒子M只在电场力作用下由P点运动到Q点，在此过程中克服电场力做了2.6×10－6 J的功．那么( )
A．M在P点的电势能一定小于它在Q点的电势能
B．M在P点的电势能一定大于它在Q点的电势能
C．P点的场强一定小于Q点的场强
D．M在P点的动能一定大于它在Q点的动能
答案 AD
解析 带电粒子M只在电场力作用下从P点运动到Q点，克服电场力做功，其电势能增加，动能减小，故选项A、D正确，B错误；场强的大小与电场力做功的正负无关，选项C错．故正确答案为A、D.
3．如图1所示，A、B是一条电场线上的两点，若在A点释放一初速度为零的电子，电子仅受电场力作用，沿电场线从A运动到B.则( )
图1
A．电场强度的方向向左
B．A点场强一定大于B点场强
C．电场力做负功
D．电场力做正功
答案 AD
4．如图2所示，实线为方向未知的三条电场线，a、b两带电粒子从电场中的O点附近以相同的初速度飞入．仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线所示，则( )
图2
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a加速度增大，b加速度增大
C．a电势能减小，b电势能增大
D．a和b的动能一定都增大
答案 D
题组二 电场力做功、电势能、电势差
5．关于电势差与电场力做功的说法中，正确的是( )
A．电势差的大小由电场力在两点间移动电荷做的功和电荷的电荷量决定
B．电场力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定
C．电势差是矢量，电场力做的功是标量
D．电场中两点间的电势差等于电场力在这两点间所做的功与移动的电荷量的比值
答案 BD
6．如图3所示，A、B两点各固定着电荷量为＋Q和＋2Q的点电荷，A、B、C、D四点在同一直线上，且AC＝CD＝DB，将一正电荷从C点沿直线移到D点，则电场力对电荷( )
图3
A．一直做正功
B．一直做负功
C．先做正功再做负功
D．先做负功再做正功
答案 C
7．如图4所示，两个等量的正点电荷分别置于P、Q两位置，在P、Q连线的垂直平分线上有M、N两点，另有一试探电荷q，则( )
图4
A．若q是正电荷，q在N点的电势能比在M点的电势能大
B．若q是负电荷，q在M点的电势能比在N点的电势能大
C．无论q是正电荷，还是负电荷，q在M、N两点的电势能都一样大
D．无论q是正电荷还是负电荷，q在M点的电势能都比在N点的电势能小
答案 AB
解析 由两个等量的正点电荷周围的电场线的分布情况可知，两点电荷连线的中垂线上的电场方向是：由连线的中点沿中垂线指向无穷远处．正电荷从N点移到M点，电场力做正功，电势能减小；负电荷从N点移到M点，电场力做负功，电势能增大．故选A、B.
题组三 电场中的能量问题
8．如图5所示，带正电的点电荷固定于Q点，电子在静电力作用下，做以Q为焦点的椭圆运动．M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上离Q最近的点．电子在从M经P到达N点的过程中( )
图5
A．速率先增大后减小 B．速率先减小后增大
C．电势能先减小后增大 D．电势能先增大后减小
答案 AC
解析 电子从M→P→N的运动过程中，先靠近正点电荷再远离，所以电子受到的静电引力先做正功后做负功，因此电势能先减小后增大，速率先增大后减小，A、C正确．
9．如图6所示，匀强电场方向竖直向下，在此电场中有a、b、c、d四个带电微粒(不计微粒间相互作用)各以水平向左、水平向右、竖直向下和竖直向上的速度做匀速直线运动，则下列说法正确的是( )
图6
A．c、d带异种电荷
B．a、b带同种电荷且电势能均不变
C．d的电势能、重力势能均减小
D．c的电势能减小，机械能增加
答案 B
10．一带电油滴在匀强电场E中的运动轨迹如图7所示，电场方向竖直向下．若不计空气阻力，则此带电油滴从a运动到b的过程中，能量变化情况为( )
图7
A．动能减小
B．电势能增加
C．动能和电势能之和减少
D．重力势能和电势能之和增加
答案 C
解析 由题图的轨迹可知电场力竖直向上且大于重力，则从a到b电场力做正功，电势能减少，重力做负功，重力势能增加．又电场力做功的值大于重力做功的值，由动能定理可得ΔEk＝W电＋W重＞0，故动能增加．由能量守恒定律可知，重力势能、动能和电势能之和不变，所以，动能和电势能之和减少，重力势能和电势能之和减少，所以只有C选项正确．
11．如图8所示，在a点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子到达b点时速度恰好为零，设ab所在的电场线竖直向下，a、b间的高度差为h，则( )
图8
A．带电粒子带负电
B．a、b两点间的电势差Uab＝
C．b点场强大于a点场强
D．a点场强大于b点场强
答案 ABC
解析 带电粒子由a到b的过程中，重力做正功，而粒子运动到b点时动能没有增大，说明电场力做负功．根据动能定理有：mgh－qUab＝0，解得a、b两点间电势差为Uab＝.因为a点电势高于b点电势，Uab>0，所以粒子带负电，选项A、B正确．带电粒子由a运动到b过程中，在重力和电场力的共同作用下，先加速运动后减速运动．因为重力为恒力，所以电场力为变力，且电场力越来越大，由此可见b点场强大于a点场强．选项C正确，D错误．
题组四 综合题组
12．如图9所示的匀强电场中，有a、b、c三点，ab＝5 cm，bc＝12 cm，其中ab沿电场线方向，bc和电场线方向成60°角，一个电荷量为q＝4×10－8 C的正电荷从a点移到b点时电场力做功为W1＝1.2×10－7 J，从b点移到c点时电场力做功为W2＝1.44×10－7 J．求：
图9
(1)匀强电场的场强E；
(2)a、c两点间的电势差Uac.
答案 (1)60 V/m (2)6.6 V
解析 (1)设a、b间距离为d，由题设条件有W1＝qEd.
E＝＝ V/m＝60 V/m.
(2)正电荷从a移到c电场力做功W＝W1＋W2，又W＝qUac，则
Uac＝＝ V＝6.6 V.
13．如图10所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为 .求小球由A到B的过程中电场力做的功及A、B两点间的电势差．
图10
答案 mgh －
解析 由A到B过程中电场力是变力，所以不能直接用W＝Fs来解，只能考虑应用功能关系求解．
因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：电场力做功WE和重力做功mgh，由动能定理得：
WE＋mgh＝mv
代入已知条件vB＝得电场力做功
WE＝m·3gh－mgh＝mgh
UAB＝＝－
学案4 研究电场的能的性质(二)
[学习目标定位] 1.理解电势的概念，掌握电势的计算公式.2.知道什么是等势面，掌握等势面的特点.3.掌握电势差与电场强度的关系并会进行有关计算．
一、电势
1．把电荷在电场中某一点的电势能与其电荷量的比值，叫做这一点的电势．
2．定义式：φM＝.单位：V.
3．电势的相对性：电势也具有相对性，常取离场源电荷无限远处或大地的电势为零．
4．电场中任意两点A、B间的电势差可表示为UAB＝φA－φB.
若UAB为正值，表示A点的电势比B点的电势高．若UAB为负值，表示A点的电势比B点的电势低．
二、电势的等势面
1．电场中电势相等的点构成的线(面)叫做等势线(面)．在同一个等势线(面)上移动电荷时，电场力不做功．
2．等势面实例：孤立的点电荷电场的等势面是一簇以点电荷位置为球心的同心球面，匀强电场的等势面是一簇平行平面．
三、电势差与电场强度的关系
1．在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积．用公式表示为E＝.
2．电场强度的单位是V/m，也可以是N/C.
一、电势
[问题设计]
1．如图1所示的匀强电场，场强为E，取O点为零势能点，A点距O点为l，AO连线与电场强度反方向的夹角为θ.电荷量分别为q和2q的试探电荷在A点的电势能各为多少？电势能与电荷量的比值是否相同？
图1
答案 由EpA－EpO＝WAO＝Eqlcos θ，知电荷量为q和2q的试探电荷在A点的电势能分别为Eqlcos θ、2Eqlcos θ；虽然电势能不同，但电势能与电荷量的比值相同，都为Elcos θ.
2．电势能与电荷量的比值与试探电荷的电荷量是否有关系？
答案 没有关系．
3．电场中两点间的电势差与两点的电势之间有怎样的关系？UAB与UBA意义是否相同？
答案 A、B两点间的电势差与A、B两点的电势的关系为：
UAB＝φA－φB
同理UBA＝φB－φA
所以UAB＝－UBA.
UAB与UBA所表示的意义不相同．
[要点提炼]
1．电场中某点的电势φ＝，在计算时应代入各自的正负号．
2．电势的标量性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分，电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低．
3．电势的相对性：零电势点的选取原则：一般选大地或无限远处为零电势点，只有选取了零电势点才能确定某点的电势大小．
4．电势是描述电场性质的物理量，决定于电场本身，与试探电荷无关．
5．判断电势高低的方法：(1)利用电场线：沿着电场线方向电势逐渐降低(此为主要方法)；
(2)利用公式φ＝判断，即在正电荷的电势能越大处，电势越高，负电荷电势能越大处，电势越低．
[延伸思考] 选取不同的零电势参考面，电场中某两点的电势会不同，两点之间的电势差也会随之改变吗？
答案 不会，电势差与零电势面的选取无关．
二、等势面
[要点提炼]
1．电场中电势相同的各点构成的面叫等势面．
2．等势面的特点：
(1)在等势面上移动电荷时，电场力不做功．
(2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面．
(3)等势面密的地方，电场强度较强；等势面疏的地方，电场强度较弱．
(4)任意等势面不相交．
[延伸思考] 请大致画出点电荷、等量异号点电荷、等量同号点电荷和匀强电场的等势面．简述它们的特点？
答案
(1)点电荷的等势面：点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面．
(2)等量异号点电荷的等势面：等量异号点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，中垂线是一等势线．
(3)等量同号点电荷的等势面：等量正点电荷连线的中点电势最低，中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．等量负点电荷连线的中点电势最高，中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高，连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．
(4)匀强电场的等势面：匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面．
说明：等势面密集处电场线也密集．任意两个等势面不会相交．
三、电势差与电场强度的关系
[问题设计]
如图2所示的匀强电场中有A、B两点，A、B两点位于同一条电场线上，B、C连线垂直电场线，已知场强大小为E，A、B两点间的电势差为UAB，A、B间距离为d，电荷q从A点移动到B点，回答下列问题：
图2
(1)电荷所受电场力是多少？从力和位移的角度计算电场力所做功的大小．通过A、B间的电势差计算电场力做功的大小．
(2)比较两次计算的功的大小，电势差与电场强度有何关系？
(3)在图2中，如果将电荷从A点移动到C点．再利用(1)问的推导过程试着推导，能获得何结论？(已知AB与AC的夹角为θ)
答案 (1)F＝qE WAB＝Fd＝qEd WAB＝qUAB
(2)UAB＝Ed
(3)WAC＝qELcos θ＝qEd，WAC＝qUAC，UAC＝Ed
[要点提炼]
1．公式U＝Ed只适用于匀强电场，其中d为A、B两点沿电场方向的距离．
2．电场中A、B两点的电势差UAB跟电荷移动的路径无关，由电场强度E及A、B两点沿电场方向的距离d决定．
3．公式E＝说明电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，且场强方向就是电势降低最快的方向．
4．在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等；在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等．
[延伸思考] 公式U＝Ed是在匀强电场中得到的，在非匀强电场中能否适用？
答案 在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．
一、对电场力做功与电势能、电势、电势差关系
例1 有一个带电荷量q＝－3×10－6 C的点电荷，从某电场中的A点移到B点，电荷克服电场力做6×10－4 J的功，从B点移到C点，电场力对电荷做9×10－4 J的功，问：
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)如以B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
解析 (1)解法一：先求电势差的绝对值，再判断正、负．
|UAB|＝＝ V＝200 V，
因负电荷从A移到B克服电场力做功，必是从高电势点移到低电势点，即φA＞φB，UAB＝200 V.
|UBC|＝＝ V＝300 V，
因负电荷从B移到C电场力做正功，必是从低电势点移到高电势点，即φB＜φC，UBC＝－300 V.
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300 V－200 V＝100 V.
解法二：直接取代数值求．
电荷由A移向B克服电场力做功，即电场力做负功，
WAB＝－6×10－4 J，
UAB＝＝ V＝200 V.
电荷从B到C电场力做正功，
UBC＝＝ V＝－300 V.
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300 V－200 V＝100 V.
(2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB，得φA＝UAB＝200 V.
由UBC＝φB－φC，得φC＝φB－UBC＝0－(－300) V＝300 V.
电荷在A点的电势能
EpA＝qφA＝－3×10－6×200 J＝－6×10－4 J.
电荷在C点的电势能
EpC＝qφC＝－3×10－6×300 J＝－9×10－4 J.
答案 见解析
二、对电势和电势差的理解
例2 如图3所示，某电场的等势面用实线表示，各等势面的电势分别为10 V、6 V和－2 V，则UAB＝________，UBC＝________，UCA＝________.
图3
解析 由电势差的定义可知：因A、B两点在同一个等势面上，
故有φA＝φB＝10 V，φC＝－2 V，
所以UAB＝φA－φB＝(10－10)V＝0.
B、C间的电势差为
UBC＝φB－φC＝[10－(－2)] V＝12 V.
C、A间的电势差为
UCA＝φC－φB＝(－2－10) V＝－12 V.
答案 0 12 V －12 V
三、对电势差与电场强度关系的理解
例3 如图4所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm.求：
图4
(1)P板及A点的电势．
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
解析 板间场强方向水平向左，可见Q板是电势最高处．Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值．利用公式E＝可求出板间匀强电场的场强，再由U＝Ed可求出各点与Q板间的电势差，即各点的电势．
(1)场强E＝＝ V·m－1＝5×102 V·m－1
Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
所以A点电势φA＝－30 V，P点电势φP＝UPQ＝－50 V
(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d?＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm
电场强度E′＝＝ V·m－1＝1.0×103 V·m－1
Q、A间电势差UQA′＝E′d?＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V
所以A点电势φA＝－10 V
答案 (1)－50 V －30 V (2)－10 V
1．(对电势差与电场强度的理解)对公式E＝的理解，下列说法正确的是( )
A．此公式适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B．A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中的d是指A点和B点之间的距离
D．公式中的d是A、B所在两个等势面间的垂直距离
答案 D
解析 公式E＝，仅适用于匀强电场，所以A错；公式中的d是指A、B两点沿电场线方向的距离，即A、B所在两等势面间的垂直距离．所以B、C均错，D对．
2．(对电势和电势差的理解)在电场中A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差UBC＝－200 V，则A、B、C三点的电势高低关系为( )
A．φA＞φB＞φC B．φA＜φC＜φB
C．φC＞φA＞φB D．φC＞φB＞φA
解析 UAB＝75 V，φA－φB＝75 V，φA＝φB＋75 V；UBC＝－200 V，φB－φC＝－200 V，φC＝φB＋200 V；φC＞φA＞φB.
答案 C
3．(对等势面的理解)位于A、B处的两个带有不等量负电的点电荷在平面内的电势分布如图5所示，图中实线表示等势线，则( )
图5
A．a点和b点的电场强度相同
B．正电荷从c点移到d点，电场力做正功
C．负电荷从a点移到c点，电场力做正功
D．正电荷从e点沿图中虚线移到f点，电势能先减小后增大
答案 CD
解析 等差等势面越密的地方，电场线越密，电场线的疏密表示电场的强弱；正电荷从c点移到d点，电场力做负功；负电荷从a点移到c点，电场力做正功；正电荷从e点沿图中虚线移到f点，电场力先做正功，后做负功，故电势能先减小后增大．
题组一 对电势和电势差的理解
1．关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是( )
A．UAB表示B点与A点之间的电势差，即UAB＝φB－φA
B．UAB和UBA是不同的，它们有关系：UAB＝－UBA
C．φA、φB都有正负，所以电势是矢量
D．零电势点的规定虽然是任意的，但人们常常规定大地和无限远处为零电势点
答案 BD
2．下列关于电场的描述，正确的是( )
A．电场中某点电势的大小、正负与零电势点的选取有关
B．电场中某两点间的电势差与零电势点的选取有关
C．同一点电荷处于电场中的不同位置时，具有的电势能越大，说明那一点的电势越高
D．同一点电荷在电场中任意两点间移动时，只要电场力做的功相同，那么两点间的电势差一定相同
答案 AD
解析 电场中某两点间的电势差与零电势点的选取无关；对负电荷而言，它在电场中具有的电势能越大，说明该点电势越低，故B、C错，A、D对．
3.如图1所示，a、b、c是氢原子的核外电子绕核运动的三个可能轨道，取无限远电子的电势能为零，电子在a、b、c三个轨道时对应的电势能分别为－13.6 eV，－3.4 eV，－1.51 eV，由于某种因素(如加热或光照)的影响，电子会沿椭圆轨道跃迁到离核更远的轨道上运动，则：
图1
(1)φa＝________，φb＝________，φc＝________.
(2)Uab＝________，Ubc＝________.
答案 (1)13.6 V 3.4 V 1.51 V (2)10.2 V 1.89 V
解析 (1)电子的带电荷量q＝－e，据电势的定义φ＝得，φa＝＝＝13.6 V，
同理φb＝3.4 V，φc＝1.51 V.
(2)Uab＝φa－φb＝(13.6－3.4) V＝10.2 V
Ubc＝φb－φc＝1.89 V.
题组二 对等势面、电场线、场强的理解
4．关于等势面的说法，正确的是( )
A．电荷在等势面上移动时，由于不受电场力作用，所以说电场力不做功
B．在同一个等势面上各点的场强大小相等
C．两个不等电势的等势面可能相交
D．若相邻两等势面的电势差相等，则等势面的疏密程度能反映场强的大小
解析 等势面由电势相等的点组成，等势面处的电场线跟等势面垂直，因此电荷在等势面上移动时，电场力不做功，但并不是不受电场力的作用，A错．等势面上各点场强大小不一定相等，等势面不可能相交，B、C错．等差等势面的疏密反映场强的大小，D对．
答案 D
5．下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度也相等的是( )
答案 D
解析 匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇等间距的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相等；B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强大小相等、方向不同；C中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强的方向不同；在D中，a、b两点的电势相等，场强的方向是沿连线的，而且方向相同、大小相等，故本题选D.
6．如图2所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某同心圆弧上，将一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点时，电场力做功大小比较( )
图2
A．WAB>WAC B．WAD>WAB
C．WAC＝WAD D．WAB＝WAC
答案 CD
解析 点电荷的等势面为同心球面，故B、C、D三点位于同一等势面上，故UAB＝UAC＝UAD，将同一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点，由W＝qU可得电场力做功相同．
7．如图3所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列．A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上．A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势是( )
图3
A．一定等于6 V B．一定低于6 V
C．一定高于6 V D．无法确定
答案 B
题组三 对电势差与电场强度的关系的理解
8．如图4所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定电场强度的方向及大小为( )
图4
A．竖直向下，E＝0.4 N/C
B．水平向右，E＝0.4 N/C
C．水平向左，E＝40 N/C
D．水平向右，E＝40 V/m
答案 D
解析 电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝＝ V/m＝40 V/m，故D项正确．
9．如图5所示，沿x轴正向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，r＝OA为半径做逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正向(E方向)成θ角，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为( )
图5
A．U＝Er B．U＝Er(sin θ＋1)
C．U＝Er(cos θ＋1) D．U＝2Er
答案 C
解析 由U＝Ed知，与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)，C对．
10．如图6所示的匀强电场场强为103 N/C，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm.则下述计算结果正确的是( )
图6
A．ab之间的电势差为40 V
B．ac之间的电势差为50 V
C．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25 J
D．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J
答案 A
解析 A项，由U＝Ed得Uab＝103×0.04 V＝40 V；B项，a、c在同一等势面上，所以Uac＝0；C项，将电荷沿abdca移动一周，沿电场方向位移为0，故电场力做功为0；D项，Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10－3)×40 J＝－0.2 J，只有A正确．
题组四 电场力做功与电势能、电势差、电势、场强的关系
11．如图7所示的匀强电场E的区域内，由A、B、C、D、A′、B′、C′、D′作为顶点构成一正方体空间，电场方向与面ABCD垂直．下列说法正确的是( )
图7
A．AD两点间电势差UAD与AA′两点间电势差UAA′相等
B. 带正电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电场力做正功
C．带负电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电场势能减少
D．同一带电粒子从A点移到C′点，沿对角线A→C′与沿A→B→B′→C′电场力做功相同
答案 BD
12．如果把q＝1.0×10－8 C的电荷从无穷远处移到电场中的A点，需要克服电场力做功W＝1.2×10－4 J，那么，
(1)q在A点的电势能和A点的电势各是什么？
(2)q未移入电场前A点的电势是多少？
答案 (1)1.2×10－4 J 1.2×104 V (2)1.2×104 V
解析 (1)电场力做负功，电势能增加，无穷远处的电势为零，电荷在无穷远处的电势能也为零，即φ∞＝0，Ep∞＝0.
由W∞A＝Ep∞－EpA得EpA＝Ep∞－W∞A＝0－(－1.2×10－4 J)＝1.2×10－4 J
再由φA＝得φA＝1.2×104 V
(2)A点的电势是由电场本身决定的，跟A点是否有电荷存在无关，所以q未移入电场前，A点的电势仍为1.2×104 V.
13．如图8所示，在匀强电场中，有A、B两点，它们之间的距离为2 cm，两点的连线与场强方向成60°角．将一个电荷量为－2×10－5 C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.1 J．问：
图8
(1)在此过程中，电场力对该电荷做了多少功？
(2)A、B两点的电势差UAB为多大？
(3)匀强电场的场强为多大？
答案 (1)－0.1 J (2)5 000 V (3)5×105 V/m
解析 (1)电势能增加多少，电场力就做多少负功，故电场力对电荷做了－0.1 J的功．
(2)由W＝qU，得UAB＝＝ V＝5 000 V.
(3)由U＝Ed，得E＝＝＝5×105 V/m.
学案5 习题课：电场能的性质的应用
[学习目标定位] 1.进一步掌握电势、电势差、电势能的概念.2.进一步掌握电场力做功与电势能、电势差的关系，并会进行有关计算.3.进一步增强运用力学规律处理电场问题的能力．
1．牛顿第二定律：物体的加速度与合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力方向相同．
2．动能定理：合外力所做的功等于物体动能的变化．
3．电场力做功的计算方法
(1)WAB＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场线方向的位移．
(2)WAB＝qUAB，适用于任何形式的电场．
4．电势能大小由电场和电荷决定．电场力做功与电势能变化的关系为W＝ΔEp，电势能与电势的关系Ep＝φq.
5．电势φ＝，是反映电场性质的物理量，其大小与零电势点的选取有关．通常把离场源电荷无限远处的电势规定为零，或把大地的电势规定为零．
6．A、B两点间的电势差UAB＝＝φA－φB，其大小与零电势点的选取无关．
7．用电场线和等势面可以形象地研究电场：(1)沿电场线的方向电势逐渐降低；(2)等势面一定与电场线垂直，等差等势面越密的地方电场强度越大，反之则越小．
8．匀强电场中电势差与场强的关系式：U＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场线方向的距离．电场中场强方向是指电势降低最快的方向.
一、电势、电势能、电场力做功的综合分析
计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：(1)利用电场力做功与电势能的关系求解：WAB＝EpA－EpB.
(2)利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场．
图1
(3)利用公式WAB＝qUAB求解．
(4)利用动能定理求解．
例1 为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B，必须对电荷施加一恒力F，如图1所示．若AB＝0.4 m，α＝37°，q＝－3×10－7 C，F＝1.5×10－4 N，A点电势φA＝100 V．(不计重力)
(1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势值．
(2)q在由A到B的过程中电势能的变化量是多少？
解析 (1)由平衡条件可知电场力方向与F方向相反、大小相等，又知点电荷带负电，故电场强度方向与电场力方向相反，所以电场方向与F方向相同，如图所示．E＝＝ N/C＝5×102 N/C，UBA＝φB－φA＝－Ecos α，φB＝φA－Ecos α＝－60 V.
(2)负电荷在由A到B的过程中，电势能增加，增量为ΔEp＝－qEd＝qUBA＝－3×10－7×(－160) J＝4.8×10－5 J.
答案 (1)见解析图 (2)4.8×10－5 J
二、电场线、等势面和运动轨迹等方面的综合
带电粒子在电场中运动时，在电场线密处所受电场力大，加速度也大；其速度方向沿轨迹的切线方向或与切线相反的方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧；其速度方向与电场力方向夹角小于90°时电场力做正功，大于90°时电场力做负功．
例2 两个固定的等量异号点电荷所产生电场的等势面如图2中虚线所示，一带负电的粒子以某一速度从图中A点沿图示方向进入电场在纸面内飞行，最后离开电场，粒子只受电场力的作用，则粒子在电场中( )
图2
A．做直线运动，电势能先变小后变大
B．做直线运动，电势能先变大后变小
C．做曲线运动，电势能先变小后变大
D．做曲线运动，电势能先变大后变小
解析 带负电的粒子受到的电场力垂直电势为0 V的等势面向上，粒子做曲线运动，电场力先做正功后做负功，电势能先变小后变大，故C正确．
答案 C
针对训练 某静电场中的电场线如图3所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，由M运动到N，其运动轨迹如图中虚线所示，以下说法正确的是( )
图3
A．粒子必定带正电荷
B．由于M点没有电场线，粒子在M点不受电场力的作用
C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D．粒子在M点的动能小于在N点的动能
答案 ACD
解析 根据带电粒子运动轨迹弯曲的情况，可以确定粒子受电场力的方向沿电场线方向，故此粒子带正电，A选项正确．由于电场线越密，电场强度越大，粒子受到的电场力就越大，根据牛顿第二定律可知其加速度也越大，故此粒子在N点加速度大，B项错误，C选项正确．粒子从M点运动到N点，电场力做正功，根据动能定理得此粒子在N点的动能大，故D选项正确．
三、等分法确定等势点(等势线)
根据“匀强电场中，任意方向上，平行且相等的两个线段之间的电势差相等”，先确定电势相等的点，画出等势面；根据电场线和等势面的关系，画出电场线．
例3 如图4所示，A、B、C是匀强电场中等腰直角三角形的三个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，试确定场强的方向，并画出电场线．
图4
解析 根据A、B、C三点电势的特点，在AC连线上取M、N两点，使AM＝MN＝NC，如图所示，尽管AC不一定是场强方向，但可以肯定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等，由U＝Ed可知，UAM＝UMN＝UNC＝＝ V＝6 V．由此可知，φN＝3 V，φM＝9 V，B、N两点等电势，BN的连线即为等势线，那么电场线与BN垂直．电场强度的方向为电势降低的方向：斜向下．
答案 见解析
四、电场中的力学问题分析
带电体在电场中的平衡问题和一般的平衡问题相同，在原有受力分析的基础上增加了电场力，根据带电体在电场中的平衡情况列出平衡方程．当带电体在电场中做加速运动时，可用牛顿运动定律和动能定理求解．
例4 如图5所示的电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各平面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：
图5
(1)小球应带何种电荷及其带电荷量；
(2)小球受到的合外力；
(3)在入射方向上小球运动的最大位移sm.(电场足够大)
解析 (1)作电场线如图(a)所示．由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图(b)所示．只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动．由图(b)知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝，所以q＝＝.
(2)由图(b)知，
F合＝＝mg
(3)由动能定理得－F合 sm＝0－mv
所以sm＝＝.
答案 (1)正电荷 (2)mg (3)
1．(等势面、电场线和运动轨迹的综合)如图6所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知( )
图6
A．三个等势面中，a的电势最高
B．带电质点通过P点时电势能较大
C．带电质点通过P点时动能较大
D．带电质点通过P点时加速度较大
答案 BD
解析 由轨迹QP可以确定质点的受力方向，由于该质点带正电，所以可以判断P点电势高．由Q到P，电场力做负功，电势能增加，故质点在P点电势能较大，由于P处等势面密集，所以带电质点通过P点时加速度较大．
2．(电势差、电场力做功的计算)如图7所示，A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，＝20 cm，把一个电荷量q＝10－5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－1.73×10－3 J，则该匀强电场的电场强度的大小和方向为( )
图7
A．865 V/m，垂直AC向左
B．865 V/m，垂直AC向右
C．1 000 V/m，垂直AB斜向上
D．1 000 V/m，垂直AB斜向下
答案 D
解析 把电荷q从A移到B，电场力不做功，说明A、B两点在同一等势面上．因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故题图中直线AB即为等势线，电场强度方向应垂直于AB，可见，选项A、B错误；UBC＝＝ V＝－173 V，说明B点电势比C点低173 V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下，电场强度大小E＝＝＝ V/m＝1 000 V/m，因此选项D正确，C错误．
3．(电势、电势差、电场力做功的计算)如图8所示，a、b、c、d为匀强电场中四个等势面，相邻等势面间距离均为2 cm，已知UAC＝60 V，求：
图8
(1)设B点电势为零，求A、C、D、P点的电势；
(2)将q＝－1.0×10－10 C的点电荷由A移到D，电场力所做的功WAD；
(3)将q＝1.0×10－10 C的点电荷由B移到C，再经过D最后回到P，电场力所做的功WBCDP.
答案 (1)30 V －30 V －60 V 0
(2)－9.0×10－9 J (3)0
解析 (1)由题意可知φP＝φB＝0
UAC＝60 V，UAB＝UBC，所以UAB＝φA－0＝30 V
则φA＝30 V，同理φC＝－30 V，φD＝－60 V
(2)WAD＝qUAD＝q(φA－φD)＝－9.0×10－9 J
(3)由于电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关，所以做功为WBCDP＝qUBP＝0.
4．(电场中的动力学问题)如图9所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好变为零，若此电荷在A点处的加速度大小为g，求：
图9
(1)此电荷在B点处的加速度；
(2)A、B两点间的电势差(用Q和h表示)．
答案 (1)3g，方向竖直向上 (2)－
解析 (1)由题意可知，这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律得，在A点时：mg－k＝m· g．在B点时：k－mg＝m·aB，解得aB＝3g，方向竖直向上．
(2)从A到B的过程，由动能定理得mg(h－0.25h)＋qUAB＝0，解得UAB＝－.
题组一 电势、电势能、电场力做功的综合分析
1．关于电势和电势能的说法正确的是( )
A．电荷在电场中电势越高的地方电势能也越大
B．电荷在电场中电势越高的地方，电荷量越大，所具有的电势能也越大
C．在正点电荷电场中的任意一点处，正电荷所具有的电势能一定大于负电荷所具有的电势能
D．在负点电荷电场中的任意一点处，正电荷所具有的电势能一定小于负电荷所具有的电势能
答案 CD
解析 沿电场线方向电势越来越低，正电荷的电势能越来越小，负电荷的电势能却越来越大．
2.如图1所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab的中点，a、b电势分别为φa＝5 V、φb＝3 V．下列叙述正确的是( )
图1
A．该电场在c点处的电势一定为4 V
B．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb
C．一正电荷从c点运动到b点电势能一定减少
D．一正电荷运动到c点时受到的电场力方向由c指向a
答案 C
解析 由于无法确定该电场是否为匀强电场及a、b、c处场强的关系，所以A、B错．正电荷运动到c点受力方向为由a指向c，故D错．
3．等量异号点电荷的连线和中垂线如图2所示，现将一个带负电的试探电荷先从图中的a点沿直线移动到b点，再从b点沿直线移动到c点，则试探电荷在此全过程中( )
图2
A．所受电场力的方向不变
B．所受电场力的大小恒定
C．电势能一直减小
D．电势能先不变后减小
答案 AD
解析 ab线是等量异号点电荷电场的等势线，而合电场的场强方向都是垂直ab线向下的，试探电荷在a→b过程中电场力方向始终竖直向上，与在c点相同，A对；沿ab方向越靠近两点电荷的连线，电场线越密，场强越大，所受电场力越大，B错；从a→b电场力不做功，从b→c电场力做正功，电势能先不变后减小，C错，D对．
4．图3是某种静电矿料分选器的原理示意图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分落在收集板中央的两侧．对矿粉分离的过程，下列表述正确的有( )
图3
A．带正电的矿粉落在右侧
B．电场力对矿粉做正功
C．带负电的矿粉电势能变大
D．带正电的矿粉电势能变小
答案 BD
解析 由题图可知，电场方向水平向左，带正电的矿粉所受电场力方向与电场方向相同，所以落在左侧；带负电的矿粉所受电场力方向与电场方向相反，所以落在右侧，选项A错误；无论矿粉所带电性如何，矿粉均向所受电场力方向偏转，电场力均做正功，选项B正确；电势能均减少，选项C错误，选项D正确．
题组二 电场力、电场线和运动轨迹等方面的综合
5.三个点电荷电场的电场线分布如图4所示，图中a、b两点处的场强大小分别为Ea、Eb，电势分别为φa、φb，则( )
图4
A．Ea>Eb，φa>φb B．EaC．Ea>Eb，φa<φb D．Eaφb
答案 C
解析 由题图可知，a点附近的电场线比b点附近的电场线密，所以Ea>Eb，电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，a点所在等势面的电势一定低于b点所在的等势面的电势，即φb>φa故选项C正确．
6.一带电粒子沿图5中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则( )
图5
A．粒子一定带正电
B．粒子的运动是匀变速运动
C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
答案 B
解析 由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小．
7.如图6所示，虚线a、b和c是某静电场中的三个等势面，它们的电势分别为φa、φb和φc，且φa＞φb＞φc.一带正电的粒子射入该电场中，其运动轨迹如图中KLMN所示，可知( )
图6
A．粒子从K到L的过程中，电场力做负功
B．粒子从L到M的过程中，电场力做负功
C．粒子从K到L的过程中，电势能增加
D．粒子从L到M的过程中，动能减少
答案 AC
解析 根据a、b、c三个等势面的电势关系及带电粒子的运动轨迹可以判断，该电场是正电荷周围的电场，所以粒子从K到L电场力做负功，电势能增加，A、C正确．粒子从L到M 的过程中，电场力做正功，电势能减少，动能增加，B、D错误．
8．如图7为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，电场力做的功为1.5 J．则下列说法正确的是( )
图7
A．粒子带负电
B．粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C．粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D．粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
答案 D
解析 本题考查电荷在电场中的运动，从粒子运动的轨迹判断粒子带正电，A项错误；因为电场力做正功，电势能减小，所以B项错误；根据动能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5 J，B点的动能小于A点的动能，C项错误；电场力做正功，机械能增加，所以A点的机械能比B点的机械能要小1.5 J，D项正确 .
题组三 等分法确定等势点、等势线
9.如图8所示，虚线框内为一匀强电场，A、B、C为该电场中的三个点．已知φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V．试在该框中作出该电场的示意图(即画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的辅助线．若将一个电子从A点移到B点，电场力做多少电子伏的功？
图8
答案 见解析
解析 由于电场线与等势面垂直，而且在匀强电场中，电势相等的点的连线必在同一等势面上，所以与等势点连线垂直的线必是电场线．电势相等的点可根据匀强电场的特点，利用等分法来找．因φB＝6 V，φC＝－6 V，由匀强电场的特点知：
BC连线的中点D处的电势必为零；同理，把AC线段等分成三份，在等分点D′处的电势也必为零．连结DD′即为该电场中的一条等势线．根据电场线与等势线垂直，可以画出电场中的电场线，如图中实线所示，由沿场强方向电势降低可确定场强的方向．将一电子从A移到B，电场力做功为：
W＝－eUAB＝－e×(12－6)V＝－6 eV
10.如图9所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点．已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，求：
图9
(1)AC的三等分点F点电势φF；
(2)D点电势φD.
答案 (1)3 V (2)9 V
解析 (1)UAC＝UAE＋UEF＋UFC＝φA－
φC＝18 V
又UAE＝UEF＝UFC，UFC＝φF－φC
所以φF＝3 V
(2)如图，由题意知φE＝9 V，φF＝3 V，显然B、F两点等电势，D、E两点等电势，故D点电势φD为9 V.
题组四 匀强电场中的力学综合题
11．匀强电场的场强为40 N/C，在同一条电场线上有A、B两点，把质量为2×10－9 kg、带电荷量为－2×10－9 C的微粒从A点移到B点，电场力做了1.5×10－7 J的正功．求：
(1)A、B两点间的电势差UAB；
(2)A、B两点间的距离；
(3)若微粒在A点具有与电场线同向的速度为10 m/s，在只有电场力作用的情况下，求经过B点的速度．
答案 (1)－75 V (2)1.875 m (3)5 m/s，方向与电场线同向
解析 (1)WAB＝UAB·q
UAB＝＝ V＝－75 V.
(2)由题意知：场强方向由B→A，故UBA＝E·d，d＝＝ m＝1.875 m.
(3)由动能定理有WAB＝mv－mv
解得vB＝5 m/s，方向与电场线同向．
12.如图10所示，匀强电场中有A、B、C三点构成等边三角形，边长均为4 cm，将一带电荷量q＝1.0×10－10 C的正电荷(不计重力)从A点移到C点，电场力做功为－×10－9 J，若把同一电荷从A点移到B点，电场力做功也为－×10－9 J，那么该电场的场强是多大？
图10
答案 5×102 V/m
解析 把正电荷从电场中的A点分别移到C点或B点，电场力做的功相同，根据WAB＝qUAB可知，B、C两点电势相同，在同一等势面上，由于电场中的等势面与电场线垂直，可见A点与BC等势面在场强方向的距离
d＝sin 60°＝4×10－2× m＝2×10－2 m.
A、B两点的电势差UAB＝＝ V＝－10 V.
该电场的电场强度E＝＝ V/m＝5×102 V/m.
13.把一个带正电荷q的小球用细线悬挂在两块面积很大的竖直平行板间的O点，小球质量m＝2 g，悬线长L＝6 cm，两板间距离d＝8 cm，当两板间加上U＝2×103 V的电压时，小球自悬线水平的A点由静止开始向下运动到达O点正下方的B点时的速度刚好为零，如图11所示，以后小球一直在A、B之间来回摆动．取g＝10 m/s2，求小球所带的电荷量．
图11
答案 8×10－7 C
解析 取小球为研究对象，重力mg竖直向下，电场力qE水平向左，绳的拉力为T，在小球由A向B运动的过程中，重力mg对小球做正功，电场力qE对小球做负功，拉力T不做功，根据动能定理mgL－qEL＝0，
又因为E＝，
由以上两式可得：q＝8×10－7 C.
学案6 电容器 电容
[学习目标定位] 1.知道什么是电容器和平行板电容器的主要构造.2.理解电容的概念及其定义式和决定式.3.掌握平行板电容器电容的决定式，并能用其讨论有关问题．
一、电容器
1．能够储存电荷和电能的装置叫电容器．任何两个彼此绝缘又相隔很近的导体都可以看成电容器．
2．在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质(空气也是一种电介质)，就组成一个最简单的电容器，叫做平行板电容器．
3．将一定电压加在电容器上，两个极板就分别带上等量的异种电荷，这个过程叫充电．
4．用导线把充电后的电容器的两极板接通，两极板上的电荷中和，电容器不再带电，这个过程叫做放电．
二、电容
对于同一个电容器，每个极板所带的绝对电荷量Q跟电容器两极板间的电势差U成正比，它们的比值是一个确定的值．不同的电容器，这个比值一般是不同的，可见，这个比值反映了电容器储存电荷的本领，叫电容．单位是法拉，符号是F,1F＝106 μF＝1012 pF.
三、探究影响平行板电容器电容的因素
平行板电容器的两极间为充满相对介电常数为ε的介质时，其电容跟极板的正对面积成正比，跟两极板的间距成反比，即C＝.
四、常见电容器
加在电容器两极板上的电压不能超过某一限度，超过这个限度，电介质将被击穿成为导体，电容器被损坏，这个极限电压叫做击穿电压．电容器外壳上标的是额定电压，是电容器正常工作时所能承受的电压，它比击穿电压要低.
一、电容器 电容
[问题设计]
照相机的闪光灯是通过电容供电的，拍照前先对电容器充电，拍照时电容器瞬间放电，闪光灯发出耀眼的白光．拍照前、后的充电过程和放电过程，能量发生怎样的变化？
答案 拍照前的充电过程由电源获得的电能储存在电容器中；拍照后的放电过程，两极板间的电场能转化为其他形式的能量．
[要点提炼]
1．任何两个彼此绝缘又相隔很近的导体，都可以看成一个电容器．
2．电容器的电容在数值上等于两极板间每升高(或降低)单位电压时增加(或减少)的电荷量．
C＝＝，对任何电容器都适用．Q为电容器的带电荷量，是其中一个极板上带电荷量的绝对值．
[延伸思考] 是否可以根据C＝认为，电容器的电容与电容器所带电荷量成正比，与电容器两极板间的电势差成反比？
答案 不可以．电容是电容器本身的一种属性，大小由电容器自身的构成情况决定，与电容器是否带电、带多少电荷量均无关．
二、平行板电容器的电容
[问题设计]
平行板电容器由两块平行放置的金属板组成．利用平行板电容器进行如下实验：
图1
(1)如图1所示，保持Q和d不变，增大(或减少)两极板的正对面积S，观察电势差U(静电计指针偏角)的变化，依据C＝，分析电容C的变化．
(2)如图2所示，保持Q和S不变，增大(或减小)两极板间的距离d，观察电势差U(静电计指针偏角)的变化，依据C＝，分析电容C的变化．
图2
(3)如图3所示，保持Q、S、d不变，插入电介质，观察电势差U(静电计指针偏角)的变化，依据C＝，分析电容C的变化．
图3
答案 (1)实验结论：S增大，电势差U减小，电容C增大．
(2)实验结论：d增大，电势差U增大，电容C减小．
(3)实验结论：插入电介质，电势差U减小，电容C增大．
[要点提炼]
1．平行板电容器的电容与两平行极板正对面积S成正比，与电介质的相对介电常数ε成正比，与极板间距离d成反比，其表达式为C＝，两板间为真空时相对介电常数ε＝1，其他任何电介质的相对介电常数ε都大于1.
2．C＝适用于所有电容器；C＝仅适用于平行板电容器．
三、平行板电容器的动态分析
[问题设计]
1．如图4所示，电容器充电后保持和电源相连，此时电容器两极板间的电压不变．
图4
(1)当两极板的正对面积S增大时，电容器的C、Q、E如何变化？
(2)当两极板间距d增大时，电容器的C、Q、E如何变化？
答案 (1)根据C＝，S增大时，C增大．根据C＝得Q＝CU，所以Q增大，电场强度E＝不变．
(2)根据C＝，d增大时，C减小，由于Q＝CU，所以Q减小，电场强度E＝减小．
2．在上图中，电容器充电后和电源断开，此时电容器的带电荷量不变．
(1)当两极板的正对面积增大时，电容器的C、U、E将如何变化？
(2)当两极板间距d增大时，电容器的C、U、E将如何变化？
答案 (1)根据C＝，S增大时，C增大，由于U＝，所以U减小，电场强度E＝减小．
(2)根据C＝，d增大时，C减小，由于U＝，所以U增大，电场强度E＝＝＝＝，所以E不变．
[要点提炼]
1．分析方法：抓住不变量，分析变化量．其理论依据是：
(1)电容器电容的定义式C＝；
(2)平行板电容器内部是匀强电场，E＝；
(3)平行板电容器电容的决定式C＝.
2．两类典型题型
(1)电压不变时：若电容器始终与电源相连，这时电容器两极板间的电压是不变的，以此不变量出发可讨论其他量的变化情况．
(2)电荷量不变时：若电容器在充电后与电源断开，这时电容器两极板上的电荷量保持不变，在此基础上讨论其他量的变化．
一、对电容器及电容的理解
例1 有一充电的电容器，两板间的电压为3 V，所带电荷量为4.5×10－4 C，此电容器的电容是多少？将电容器的电压降为2 V，电容器的电容是多少？所带电荷量是多少？
解析 由C＝可求电容．
C＝＝ F＝1.5×10－4 F.
电容器电压降为2 V时，电容不变，仍为1.5×10－4 F．此时电荷量为Q′＝CU′＝1.5×10－4×2 C＝3×10－4 C.
答案 1.5×10－4 F 1.5×10－4 F 3×10－4 C
二、平行板电容器的电容
例2 对于水平放置的平行板电容器，下列说法正确的是( )
A．将两极板的间距加大，电容将增大
B．将两极板平行错开，使正对面积减小，电容将减小
C．在下极板的内表面上放置一面积和极板相等、厚度小于极板间距的陶瓷板，电容将增大
D．在下极板的内表面上放置一面积和极板相等、厚度小于极板间距的铝板，电容将增大
解析 影响平行板电容器电容大小的因素有：(1)随正对面积的增大而增大；(2)随两极板间距离的增大而减小；(3)在两极板间放入电介质，电容增大．据上面叙述可直接看出B、C选项正确；对D选项，实际上是减小了两极板间的距离．所以本题正确选项应为B、C、D.
答案 BCD
三、平行板电容器的两类典型问题
例3 如图5所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板间的电势差U，现使B板带正电，则下列判断正确的是( )
图5
A．增大两极板之间的距离，静电计指针张角变大
B．将A板稍微上移，静电计指针张角将变大
C．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D．若将A板拿走，则静电计指针张角变为零
解析 电容器上所带电荷量一定，由公式C＝，当d变大时，C变小．再由C＝得U变大；当A板上移时，正对面积S变小，C也变小，U变大；当插入玻璃板时，C变大，U变小；当将A板拿走时，相当于使d变得更大，C更小，故U应更大，故选A、B.
答案 AB
1．(对电容器及电容的理解)电容器是一种常用的电子元件．对电容器认识正确的是( )
A．电容器的电容表示其储存电荷的能力
B．电容器的电容与它所带的电荷量成正比
C．电容器的电容与它两极板间的电压成正比
D．电容的常用单位有μF和pF,1 μF＝103 pF
答案 A
解析 电容是表示电容器储存电荷本领大小的物理量．电容的大小是由电容器本身结构决定的，与两板间电压及电容器所带电荷量无关．单位μF与pF的换算关系为1 μF＝106 pF.
2．(对电容器及电容的理解)某电容器上标有“25 μF 450 V”字样，下列对该电容器的说法中正确的是( )
A．要使该电容器两极板之间电压增加1 V，所需电荷量为2.5×10－5 C
B．要使该电容器带电荷量为1 C，两极板之间需加电压2.5×10－5 V
C．该电容器能够容纳的电荷量最多为2.5×10－5 C
D．该电容器能够承受的最大电压为450 V
答案 A
解析 由电容器的定义式C＝可得C＝，所以ΔQ＝C·ΔU＝2.5×10－5×1 C＝2.5×10－5 C，A正确．若Q＝1 C，则U＝＝4×104 V，B错误．当电容器的电压为450 V时，电容器的电荷量最多，Q′＝CU′＝2.5×10－5×450 C＝1.125×10－2 C，C错误.450 V是电容器的额定电压，低于击穿电压，D错误．
3．(平行板电容器的两类典型问题)用控制变量法，可以研究影响平行板电容器电容的因素(如图6所示)．设若两极板正对面积为S，极板间的距离为d，静电计指针偏角为θ.实验中，极板所带电荷量不变，若( )
图6
A．保持S不变，增大d，则θ变大
B．保持S不变，增大d，则θ变小
C．保持d不变，减小S，则θ变小
D．保持d不变，减小S，则θ不变
答案 A
解析 静电计指针偏角体现电容器两板间电压大小．在做选项所示的操作中，电容器电荷量Q保持不变，C＝＝.保持S不变，增大d，则C减小，U增大，偏角θ增大，选项A正确，B错误；保持d不变，减小S，则C减小，偏角θ也增大，故选项C、D均错．
4．(平行板电容器的动态分析)连接在电池两极上的平行板电容器，当两板间的距离减小时( )
A．电容器的电容C变大
B．电容器极板的带电荷量Q变大
C．电容器两极板间的电势差U变大
D．电容器两极板间的电场强度E变大
答案 ABD
解析 平行板电容器的电容C＝.当两极板间距离d减小时，电容C变大，选项A正确．平行板电容器连接在电池两极上，两极板间的电压为定值，选项C错误．根据电容定义式，C＝Q/U，Q＝CU，U不变，C变大，所以Q变大，选项B正确．平行板电容器两极板间的电场是匀强电场，E＝U/d，U不变，d减小，所以E变大，选项D正确．
题组一 对电容器及电容定义式的理解
1．下列关于电容器和电容的说法中，正确的是( )
A．根据C＝Q/U可知，电容器的电容与其所带电荷量成正比，跟两板间的电压成反比
B．对于确定的电容器，其所带电荷量与两板间的电压成正比
C．无论电容器的电压如何变化(小于击穿电压且不为零)，它所带的电荷量与电压的比值都恒定不变
D．电容器的电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量，其大小与加在两板间的电压无关
答案 BCD
解析 由于电容器的电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量，是电容器的一种特性．一个电容器对应唯一的电容值，不能说电容器的电容与其所带电荷量成正比，与两极板间的电压成反比．因此A错误，C、D正确．由于电容是定值，由Q＝CU知，其所带电荷量与两板间的电压成正比，故B正确．
2．下列选项描述的是对给定的电容器充电时电荷量Q、电压U、电容C之间相互关系的图像，其中正确的是( )
答案 BCD
3．下列关于电容器的说法中，正确的是( )
A．电容越大的电容器，带电荷量也一定越多
B．电容器不带电时，其电容为零
C．由C＝Q/U可知，C不变时，只要Q不断增加，则U可无限制地增大
D．电容器的电容跟它是否带电无关
答案 D
4．有一个正充电的电容器，若使它带的电荷量减少了3×10－6 C，则其电压降为原来的，则( )
A．电容器原来带的电荷量是9×10－6 C
B．电容器原来带的电荷量是4.5×10－6 C
C．电容器原来的电压可能是5 V
D．电容器原来的电压可能是5×10－7 V
答案 BC
解析 由题意知C＝＝，解得Q＝4.5×10－6 C．当U1＝5 V时，C1＝＝ F＝0.9 μF；当U2＝5×10－7 V时，C2＝＝ F＝9 F．电容器的电容不可能达到9 F，故原电压值不可能是5×10－7V.
题组二 对平行板电容器电容的理解
5．要使平行板电容器的电容增大( )
A．增大电容器的带电荷量
B．增大电容器两极间的电压
C．增大电容器两极板的正对面积
D．增大电容器两极板的距离
答案 C
解答 平行板电容器电容大小C＝，与带电荷量和电压无关，所以A、B、D错．
6．关于已充上电的某个平行板电容器，下列说法正确的是( )
A．两极板上一定带等量异号电荷
B．两极板所带的电荷量为两极板所带电荷量的绝对值之和
C．电容器带电荷量多，说明它容纳电荷的本领大
D．某电容器带电荷量越多，两极板间的电势差就越大
答案 AD
解析 电容器充电后两极板上一定带等量异号电荷，A对；两极板所带的电荷量指一个极板所带电荷量的绝对值，B错；描述电容器容纳电荷本领的是电容，C错；由U＝知，电容器带电荷量越多，两极板间的电势差就越大，D对．
题组三 平行板电容器的动态分析
7．一充电后的平行板电容器保持两极板的正对面积、间距和电荷量不变，在两极板间插入一电介质，其电容C和两极板间的电势差U的变化情况是( )
A．C和U均增大 B．C增大，U减小
C．C减小，U增大 D．C和U均减小
答案 B
解析 由平行板电容器电容决定式C＝知，当插入电介质后，ε变大，则在S、d不变的情况下C增大；由电容定义式C＝得U＝，又电荷量Q不变，故两极板间的电势差U减小，选项B正确．
8.绝缘金属平行板电容器充电后，静电计的指针偏转一定角度，若减小两极板a、b间的距离，同时在两极板间插入电介质，如图1所示，则( )
图1
A．电容器两极板的电势差会减小
B．电容器两极板的电势差会增大
C．静电计指针的偏转角度会减小
D．静电计指针的偏转角度会增大
答案 AC
解析 绝缘金属平行板电容器充电后电荷量Q不变，若减小两极板a、b间的距离，同时在两极板间插入电介质，电容变大，由C＝知U变小，静电计指针的偏转角度会减小．
题组四 综合应用
9．如图2所示是一个由电池、电阻R与平行板电容器组成的串联电路，在减小电容器两极板间距离的过程中( )
图2
A．电阻R中没有电流
B．电容器的电容变小
C．电阻R中有从a流向b的电流
D．电阻R中有从b流向a的电流
答案 D
解析 在减小电容器两极板间距离的过程中，电容器始终与电源相连，则两极板间电压U不变，由C＝知d减小，电容C增大，由Q＝UC知电容器所带电荷量Q增加，电容器充电，电路中有充电电流，电流从电容器负极板通过电阻流向正极板，所以电阻R中的电流方向是从b流向a，故D正确．
10.如图3所示是一个平行板电容器，其电容为C，带电荷量为Q，上极板带正电，两极板间距为d.现将一个试探电荷＋q由两极板间的A点移动到B点，A、B两点间的距离为s，连线AB与极板间的夹角为30°，则电场力对试探电荷＋q所做的功等于( )
图3
A. B. C. D.
答案 C
解析 电容器两极板间电势差为U＝，场强为E＝＝.而A、B两点间电势差为UAB＝Essin 30°＝，电场力对＋q所做的功为W＝qUAB＝，C正确．
11.如图4所示，把一个平行板电容器接在电压U＝10 V的电源上．现进行下列四步操作：(1)合上K；(2)在两板中央插入厚为的金属板；(3)断开K；(4)抽出金属板．则此时电容器两板间的电势差为( )
图4
A．0 B．10 V C．5 V D．20 V
答案 D
解析 根据C＝分析每一步操作造成的影响如下：
(1)合上K，电源对电容器充电，电容器两端电压为U，设电容为C，则带电荷量Q1＝CU，板间形成一个匀强电场，电场强度为E1＝.
(2)插入金属板，板的两侧出现等量异号的感应电荷，上、下形成两个匀强电场区域，其宽度均为.由于整个金属板为等势体，则M板与金属板之间、金属板与N板之间的电势差均为，因此，其电场强度增为原来的2倍，即E2＝2E1.显然，在插入过程中，电源必须对M、N两板继续充电，使板上电荷量增为原来的2倍，即Q2＝2Q1.
(3)断开K，M、N两板的电荷量保持不变，即Q3＝Q2＝2Q1.
(4)抽出金属板，电容器的电容仍为C，而电荷量为2Q1，所以两板间电势差变为＝2U＝20 V.
12．如图5所示是测定液面高度h的电容式传感器示意图，E为电源，G为灵敏电流计，A为固定的导体芯，B为导体芯外面的一层绝缘物质，C为导电液体．已知灵敏电流计指针偏转方向与电流方向的关系为：电流从左边接线柱流进电流计，指针向左偏．如果在导电液体的深度h发生变化时观察到指针正向左偏转，则( )
图5
A．导体芯A所带电荷量在增加，液体的深度h在增大
B．导体芯A所带电荷量在减小，液体的深度h在增大
C．导体芯A所带电荷量在增加，液体的深度h在减小
D．导体芯A所带电荷量在减小，液体的深度h在减小
答案 D
解析 电流计指针向左偏转，说明流过电流计G的电流由左→右，则导体芯A所带电荷量在减小，由Q＝CU可知，由导体芯A与导电液体形成的电容器的电容在减小，则液体的深度h在减小，故D正确．
13．如图6所示，两块水平放置的平行正对的金属板a、b与电池相连，在与两板等距的M点有一个带电液滴处于静止状态．若上极板a向下平移一小段距离，但仍在M点上方，稳定后，下列说法正确的是( )
图6
A．液滴将向下加速运动
B．M点电势升高
C．M点的电场强度变小了
D．在a板移动前后两种情况下，若将液滴从a板移到b板，电场力做功相同
答案 BD
解析 两极板始终与电源相连，所以a下移过程中极板间电压U不变．由E＝可知，d减小，E增大，故选项C错误；开始时带电液滴静止，即mg＝qE，a板下移，则qE>mg，带电液滴向上加速运动，故选项A错误；由φM＝UMb＝EdMb可知，a板下移，M点电势升高，故选项B正确；a板移动前后，a、b间电势差U不变，所以电场力做功相同，故选项D正确．
14．如图7所示，平行板电容器的两个极板A、B分别接在电压为60 V的恒压电源上，两极板间距为3 cm，电容器带电荷量为6×10－8 C，A极板接地．求：
图7
(1)平行板电容器的电容；
(2)平行板电容器两板之间的电场强度；
(3)距B板2 cm的M点处的电势．
答案 (1)1×10－9 F (2)2×103 V/m，方向竖直向下 (3)－20 V
解析 (1)由电容定义式C＝＝ F＝1×10－9 F
(2)两板之间为匀强电场E＝＝V/m＝2×103 V/m，方向竖直向下．
(3)M点距A板间距离为dAM＝d－dBM＝1 cm
A与M间电势差UAM＝EdAM＝20 V
又UAM＝φA－φM，φA＝0可得φM＝－20 V.
学案7 探究电子束在示波管中的运动
[学习目标定位] 1.掌握带电粒子在电场中加速和偏转所遵循的规律.2.知道示波管的主要构造和工作原理．
一、示波管的原理
1．示波管的构造：示波管是一个真空电子管，主要由三部分组成，分别是：电子枪、偏转电极和荧光屏．
2．示波管的基本原理：电子在加速电场中被加速，在偏转电场中被偏转．
二、电子在电子枪中的运动
1．运动状态分析
电子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一直线上，做加速直线运动．
2．处理方法：(1)匀强电场可以根据电子受到的电场力，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定电子的速度、位移等．
(2)无论是匀强电场还是非匀强电场，均可用动能定理分析，即qU＝ΔEk＝mv2－0.
3．电子在偏转电极中的运动
(1)运动状态分析
电子以速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场时做匀变速曲线运动．
(2)偏转问题的处理方法：运动的合成与分解，即可将电子的运动分解为初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的初速度为零的匀加速直线运动.
一、带电粒子的加速
[问题设计]
如图1所示，在真空中有一对平行金属板，由于接在电池组上而带电，两板间的电势差为U.若一个质量为m、带正电荷量q的α粒子，在电场力的作用下由静止开始从正极板向负极板运动，板间距为d.
图1
(1)带电粒子在电场中受哪些力作用？重力能否忽略不计？
(2)粒子在电场中做何种运动？
(3)计算粒子到达负极板时的速度？
答案 (1)受重力和电场力；因重力远小于电场力，故可以忽略重力．
(2)做初速度为0、加速度为a＝的匀加速直线运动．
(3)方法一：在带电粒子运动的过程中，电场力对它做的功是W＝qU
设带电粒子到达负极板时的速率为v，其动能可以写为Ek＝mv2
由动能定理可知mv2＝qU
于是求出v＝
方法二：设粒子到达负极板时所用时间为t，则
d＝at2
v＝at
a＝
联立解得v＝
[要点提炼]
1．电子、质子、α粒子、离子等微观粒子，它们的重力远小于电场力，处理问题时可以忽略它们的重力．带电小球、带电油滴、带电颗粒等，质量较大，处理问题时重力不能忽略．
2．带电粒子仅在电场力作用下加速，若初速度为零，则qU＝mv2；若初速度不为零，则qU＝mv2－mv.
[延伸思考] 若是非匀强电场，如何求末速度？
答案 由动能定理得qU＝mv2，故v＝ .
二、带电粒子的偏转
[问题设计]
如图2所示，电子经电子枪阴极与阳极之间电场的加速，然后进入偏转电极YY′之间．
(1)若已知电子电量为q，质量为m，偏转板的长度为l，两板距离为d，偏转电极间电压为U′，电子进入偏转电场时的初速度为v0.
图2
①电子在偏转电场中做什么运动？
②求电子在偏转电场中运动的时间和加速度．
③求电子离开电场时，速度方向与初速度方向夹角φ的正切值．
④求电子在偏转电场中沿电场方向的偏移量y.
(2)若已知加速电场的电压为U，请进一步表示tan φ和y?
(3)如果再已知偏转电极YY′与荧光屏的距离为L，则电子打在荧光屏上的亮斑在垂直于极板方向上的偏移量y′是多大？
答案 (1)①电子受电场力作用，其方向和初速度v0方向垂直，所以电子水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，其实际运动类似于平抛运动．
②由l＝v0t得t＝
a＝＝＝
③vy＝at＝
tan φ＝＝
④y＝at2＝
(2)在加速电场中，由动能定理有
qU＝mv，
由③及上式得：tan φ＝
由④及上式得：y＝
(3)方法一：y′＝y＋Ltan φ＝(l＋2L)
方法二：y′＝y＋vyt′
＝y＋vy·
＝(l＋2L)
方法三：利用平抛运动和类平抛运动的结论，从偏转电场射出时的速度vy方向的反向延长线与初速度v0的交点位于处(如图所示)
则y′＝tan φ·(＋L)
＝(＋L)
＝(l＋2L)
[要点提炼]
1．运动状态分析：带电粒子(不计重力)以初速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场时，受到恒定的与初速度方向垂直的电场力作用而做匀变速曲线运动．
2．偏转问题的分析处理方法：类似于平抛运动的分析处理方法，即应用运动的合成与分解的知识分析处理：把运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动．
3．一个有用的结论：粒子射出电场时速度方向的反向延长线过水平位移的中点，即粒子就像是从极板间处射出的一样．
[延伸思考] 让一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的混合物经同一电场由静止开始加速，然后在同一偏转电场中偏转，它们会分成三股吗？
答案 不会．因为它们离开偏转电场时的y＝相同，说明从同一点射出电场，且tan φ＝也相同，说明射出时速度方向也相同，故不会分成三股．
一、对带电粒子在电场中的加速运动的理解
例1 如图3所示，在点电荷＋Q激发的电场中有A、B两点，将质子和α粒子分别从A点由静止释放到达B点时，它们的速度大小之比为多少？
图3
解析 质子和α粒子都带正电，从A点释放都将受电场力作用加速运动到B点，设A、B两点间的电势差为U，由动能定理可知，对质子：mHv＝qHU，对α粒子：mαv＝qαU.
所以＝ ＝ ＝.
答案 ∶1
二、对带电粒子在电场中的偏转运动的理解
例2 如图4为一真空示波管的示意图，电子从灯丝K发出(初速度可忽略不计)，经灯丝与A板间的电压U1加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点．已知M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子受到的重力及它们之间的相互作用力．
图4
(1)求电子穿过A板时速度的大小；
(2)求电子从偏转电场射出时的偏移量；
(3)若要电子打在荧光屏上P点的上方，可采取哪些措施？
解析 (1)设电子经电压U1加速后的速度为v0，由动能定理有eU1＝mv
解得v0＝ .
(2)电子沿极板方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动．设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场中运动的时间为t，加速度为a，电子离开偏转电场时的偏移量为y.由牛顿第二定律和运动学公式有t＝
a＝
y＝at2
解得y＝.
(3)减小加速电压U1或增大偏转电压U2.
答案 (1) (2) (3)见解析
1．(带电粒子在电场中的加速)两平行金属板相距为d，电势差为U，一电子质量为m，电荷量为e，从O点沿垂直于极板的方向射出，最远到达A点，然后返回，如图5所示，OA＝h，则此电子具有的初动能是( )
图5
A. B．edUh C. D.
答案 D
解析 电子从O点运动到A点，因受电场力作用，速度逐渐减小．根据题意和题图判断，电子仅受电场力，不计重力．这样，我们可以用能量守恒定律来研究问题，即mv＝eUOA.因E＝，UOA＝Eh＝，故mv＝，所以D正确．
2．(带电粒子在电场中的偏转)一束正离子以相同的速率从同一位置垂直于电场方向飞入匀强电场中，所有离子的轨迹都是一样的，这说明所有离子( )
A．都具有相同的质量
B．都具有相同的电荷量
C．具有相同的比荷
D．都是同一元素的同位素
答案 C
解析 轨迹相同的含义为：偏转位移、偏转角度相同，即这些离子通过电场时轨迹不分叉．
tan α＝＝，所以这些离子只要有相同的比荷，轨迹便相同，故只有C正确．
3．(对示波管原理的认识)如图6是示波管的原理图．它由电子枪、偏转电极(XX′和YY′)、荧光屏组成，管内抽成真空．给电子枪通电后，如果在偏转电极XX′和YY′上都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心O点．
图6
(1)带电粒子在________区域是加速的，在________区域是偏转的．
(2)若UYY′＞0，UXX′＝0，则粒子向________板偏移，若UYY′＝0，UXX′＞0，则粒子向________板偏移．
答案 (1)Ⅰ Ⅱ (2)Y X
4．(带电粒子在电场中加速和偏转)如图7所示，离子发生器发射出一束质量为m、电荷量为q的离子，从静止经加速电压U1加速后，并沿垂直于电场线方向射入两平行板中央，受偏转电压U2作用后，离开电场，已知平行板长为l，两板间距离为d，求：
图7
(1)v0的大小；(2)离子在偏转电场中运动时间t；
(3)离子在偏转电场中的加速度．
答案 (1) (2)l (3)
解析 (1)不管加速电场是不是匀强电场，W＝qU都适用，所以由动能定理得qU1＝mv
解得v0＝
(2)由于偏转电场是匀强电场，所以离子的运动类似平抛运动，水平方向为速度为v0的匀速直线运动，竖直方向为初速度为零的匀加速直线运动．
所以在水平方向t＝＝l
(3)E＝，F＝qE＝
解得a＝＝
题组一 带电粒子在电场中的加速运动
1.如图1所示，在匀强电场E中，一带电粒子(不计重力)－q的初速度v0恰与电场线方向相同，则带电粒子－q在开始运动后，将( )
图1
A．沿电场线方向做匀加速直线运动
B．沿电场线方向做变加速直线运动
C．沿电场线方向做匀减速直线运动
D．偏离电场线方向做曲线运动
答案 C
解析 在匀强电场E中，带电粒子所受电场力为恒力．带电粒子受到与运动方向相反的恒定的电场力作用，产生与运动方向相反的恒定的加速度，因此，带电粒子－q在开始运动后，将沿电场线做匀减速直线运动．
2.如图2所示，M和N是匀强电场中的两个等势面，相距为d，电势差为U，一质量为m(不计重力)、电荷量为－q的粒子，以速度v0通过等势面M射入两等势面之间，则该粒子穿过等势面N的速度应是( )
图2
A. B．v0＋
C. D.
答案 C
解析 qU＝mv2－mv，v＝，选C.
3.如图3所示P和Q为两平行金属板，板间电压为U，在P板附近有一电子由静止开始向Q板运动，关于电子到达Q板时的速率，下列说法正确的是( )
图3
A．两板间距离越大，加速时间越长，获得的速率就越大
B．两板间距离越小，加速度越大，获得的速率就越大
C．与两板间距离无关，仅与加速电压U有关
D．以上说法都不正确
答案 C
题组二 带电粒子在电场中的偏转运动
4.如图4所示，电子经过加速后以速度v0垂直进入偏转电场，离开电场时偏移量为h，两平行板间距离为d，电势差为U，板长为l，每单位电压引起的偏移量(h/U)叫示波器的灵敏度．若要提高其灵敏度，可采用下列方法中的( )
图4
A．增大两极板间的电压
B．尽可能使板长l做得短些
C．尽可能使板间距离d小些
D．使电子入射速度v0大些
答案 C
解析 因为h＝at2＝(a＝，t＝)，所以＝.要使灵敏度大些，选项中合乎要求的只有C.
5.如图5所示，a、b两个带正电的粒子，以相同的速度先后垂直于电场线从同一点进入平行板间的匀强电场后，a粒子打在B板的a′点，b粒子打在B板的b′点，若不计重力，则( )
图5
A．a的电荷量一定大于b的电荷量
B．b的质量一定大于a的质量
C．a的比荷一定大于b的比荷
D．b的比荷一定大于a的比荷
答案 C
解析 粒子在电场中做类平抛运动，h＝()2得：x＝v0 .由v0 ＜v0 得＞.
6.如图6所示，有一带电粒子贴着A板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U1时，带电粒子沿①轨迹从两板正中间飞出；当偏转电压为U2时，带电粒子沿②轨迹落到B板中间；设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次偏转电压之比为( )
图6
A．U1∶U2＝1∶8 B．U1∶U2＝1∶4
C．U1∶U2＝1∶2 D．U1∶U2＝1∶1
答案 A
解析 由y＝at2＝··得：
U＝，所以U∝，可知A项正确．
7.如图7所示，一束不同的带正电的粒子(不计重力)，垂直电场线进入偏转电场，若使它们经过电场区域时偏转距离y和偏转角θ都相同，应满足( )
图7
A．具有相同的动能
B．具有相同的速度
C．具有相同的
D．先经同一电场加速，然后再进入偏转电场
答案 D
解析 带电粒子进入偏转电场的过程中，其偏转距离为：
y＝at2＝2＝，
偏转角θ满足tan θ＝＝＝.
由此知，若动能相等，q不同，则不能满足要求，A错误；若速度相同，不同，则不能满足要求，B错误；同样地，若相同，v0不同也不能满足要求，C错误；若经过相同电场加速，满足qU1＝mv，则y＝，tan θ＝，y、tan θ均与v0、Ek、q、m无关，D正确．
8.真空中的某装置如图8所示，其中平行金属板A、B之间有加速电场，C、D之间有偏转电场，M为荧光屏．今有质子、氘核和α粒子均由A板从静止开始被加速电场加速后垂直于电场方向进入偏转电场，最后打在荧光屏上．已知质子、氘核和α粒子的质量之比为1∶2∶4，电荷量之比为1∶1∶2，则下列判断中正确的是( )
图8
A．三种粒子从B板运动到荧光屏经历的时间相同
B．三种粒子打到荧光屏上的位置相同
C．偏转电场的电场力对三种粒子做功之比为1∶2∶2
D．偏转电场的电场力对三种粒子做功之比为1∶2∶4
答案 B
解析 粒子加速过程qU1＝mv2，从B至M用时t＝，得t∝ ，所以t1∶t2∶t3＝1∶∶，选项A错误．偏转位移y＝()2＝，所以三种粒子打到荧光屏上的位置相同，选项B正确．因W＝qEy，得W1∶W2∶W3＝q1∶q2∶q3＝1∶1∶2，选项C、D错误．
9．如图9所示的示波管，当两偏转电极XX′、YY′电压为零时，电子枪发射的电子经加速电场加速后会打在荧光屏上的正中间(图示坐标系的O点，其中x轴与XX′电场的场强方向重合，x轴正方向垂直于纸面向里，y轴与YY′电场的场强方向重合，y轴正方向竖直向上)．若要电子打在图示坐标系的第Ⅲ象限，则( )
图9
A．X、Y极接电源的正极，X′、Y′接电源的负极
B．X、Y′极接电源的正极，X′、Y接电源的负极
C．X′、Y极接电源的正极，X、Y′接电源的负极
D．X′、Y′极接电源的正极，X、Y接电源的负极
答案 D
解析 若要使电子打在题图所示坐标系的第Ⅲ象限，电子在x轴上向负方向偏转，则应使X′接正极，X接负极；电子在y轴上也向负方向偏转，则应使Y′接正极，Y接负极，所以选项D正确．
题组三 综合应用
10．一个初动能为Ek的带电粒子以速度v垂直电场线方向飞入两块平行金属板间，飞出时动能为3Ek.如果这个带电粒子的初速度增加到原来的2倍，不计重力，那么该粒子飞出时动能为( )
A．4Ek B．4.5Ek
C．6Ek D．9.5Ek
答案 B
解析 带电粒子做类平抛运动，平行于极板方向的速度增加到原来的2倍，带电粒子通过电场的时间变为原来的，沿电场方向的位移变为原来的，电场力做功变为原来的.
由动能定理得ΔEk′＝qE·y′＝yqE
原速飞过时由动能定理有ΔEk＝3Ek－Ek＝qEy
而ΔEk′＝Ek末′－4Ek
解得Ek末′＝4.5Ek.
11.如图10所示，水平放置的平行板电容器，上板带负电，下板带正电，带电小球以速度v0水平射入电场，且沿下板边缘飞出．若下板不动，将上板上移一小段距离，小球仍以相同的速度v0从原处飞入，则带电小球( )
图10
A．将打在下板中央
B．仍沿原轨迹由下板边缘飞出
C．不发生偏转，沿直线运动
D．若上板不动，将下板上移一段距离，小球可能打在下板的中央
答案 BD
解析 将电容器上板或下板移动一小段距离，电容器带电荷量不变，由公式E＝＝＝可知，电容器产生的场强不变，以相同速度入射的小球仍将沿原轨迹运动．当上板不动，下板向上移动时，小球可能打在下板的中央．
12．两个半径均为R的圆形平板电极，平行正对放置，相距为d，极板间的电势差为U，板间电场可以认为是匀强电场．一个α粒子从正极板边缘以某一初速度垂直于电场方向射入两极板之间，到达负极板时恰好落在极板中心．已知质子电荷量为e，质子和中子的质量均视为m，忽略重力和空气阻力的影响，求：
(1)极板间的电场强度E的大小；
(2)α粒子在极板间运动的加速度a的大小；
(3)α粒子的初速度v0的大小．
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)极板间场强E＝
(2)α粒子电荷量为2e，质量为4m，所受电场力F＝2eE＝
α粒子在极板间运动的加速度a＝＝
(3)由d＝at2，得t＝ ＝2d ，v0＝＝
学案8 习题课：带电粒子在电场中的运动
1．平行板电容器内的电场可以看做是匀强电场，其场强与电势差的关系式为E＝，其电势差与电容的关系式为C＝.
2．带电粒子在电场中做直线运动
(1)匀速直线运动：此时带电粒子受到的合外力一定等于零，即所受到的电场力与其他力平衡．
(2)匀加速直线运动：带电粒子受到的合外力与其初速度方向同向．
(3)匀减速直线运动：带电粒子受到的合外力与其初速度方向反向．
3．带电粒子在电场中的偏转(匀强电场)
带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，可将粒子的运动分解为初速度方向的匀速直线运动和电场力方向的初速度为零的匀加速直线运动．
位移关系：
速度关系：，速度的偏转角的正切值tan α＝.
4．在所讨论的问题中，带电粒子受到的重力远小于电场力，即mg?qE，所以可以忽略重力的影响．若带电粒子所受的重力跟电场力可以比拟，则要考虑重力的影响．总之，是否考虑重力的影响要根据具体情况而定．
5．物体做匀速圆周运动，受到的向心力为F＝m(用m、v、r表示)＝mr()2(用m、r、T表示)＝mrω2(用m、r、ω表示)．
一、带电粒子在电场中的直线运动
讨论带电粒子在电场中做直线运动(加速或减速)的方法：
(1)能量方法——能量守恒定律；
(2)功和能方法——动能定理；
(3)力和加速度方法——牛顿运动定律、匀变速直线运动公式．
例1 如图1所示，水平放置的A、B两平行板相距h，上板A带正电，现有质量为m、带电荷量为＋q的小球在B板下方距离B板为H处，以初速度v0竖直向上运动，从B板小孔进入板间电场．
图1
(1)带电小球在板间做何种运动？
(2)欲使小球刚好打到A板，A、B间电势差为多少？
解析 (1)带电小球在电场外只受重力的作用做匀减速直线运动，在电场中受重力和电场力作用做匀减速直线运动．
(2)整个运动过程中重力和电场力做功，由动能定理得
－mg(H＋h)－qUAB＝0－mv
解得UAB＝
答案 见解析
二、带电粒子在电场中的类平抛运动
带电粒子在电场中做类平抛运动涉及带电粒子在电场中加速和偏转的运动规律，利用运动的合成与分解把曲线运动转换为直线运动研究，涉及运动学公式、牛顿运动定律、动能定理、功能关系的综合应用．
例2 如图2所示，水平放置的两平行金属板，板长为10 cm，两板相距2 cm.一束电子以v0＝4.0×107 m/s的初速度从两板中央水平射入板间，然后从板间飞出射到距板右端L为45 cm、宽D为20 cm的荧光屏上．(不计电子重力，荧光屏中点在两板间的中线上，电子质量m＝9.0×10－31 kg，电荷量e＝1.6×10－19 C)求：
图2
(1)电子飞入两板前所经历的加速电场的电压；
(2)为使带电粒子能射到荧光屏的所有位置，两板间所加电压的取值范围．
解析 (1)设加速电场的电压为U1，由动能定理可得eU1＝mv－0
化简得U1＝
代入数据得U1＝4.5×103 V.
(2)如图所示，设电子飞出偏转电场时速度为v1，和水平方向的夹角为θ，偏转电压为U2，偏转位移为y，则：
y＝at2＝()2
tan θ＝＝＝
由此看出，电子从偏转电场射出时，不论偏转电压多大，电子都像是从偏转电场的两极板间中线的中点沿直线射出一样，射出电场后电子做匀速直线运动恰好打在荧光屏的边缘上，结合图可得
tan θ＝＝
U2＝
代入所有数据得U2＝360 V
因此偏转电压在－360 V～360 V范围内时，电子可打在荧光屏上的任何位置．
答案 (1)4.5×103 V (2)－360 V～360 V
三、带电粒子在交变电场中的运动
交变电场作用下粒子所受的电场力发生改变，从而影响粒子的运动性质；由于电场力周期性变化，粒子的运动性质也具有周期性；研究带电粒子在交变电场中的运动需要分段研究，特别注意带电粒子进入交变电场的时间及交变电场的周期．
例3 带正电的微粒放在电场中，场强的大小和方向随时间变化的规律如图3所示．带电微粒只在电场力的作用下由静止开始运动，则下列说法中正确的是( )
图3
A．微粒在0～1 s内的加速度与1 s～2 s内的加速度相同
B．微粒将沿着一条直线运动
C．微粒做往复运动
D．微粒在第1 s内的位移与第3 s内的位移相同
解析 带正电的微粒放在电场中，第1 s内加速运动，第2 s内减速至零，故B、D对．
答案 BD
四、带电粒子在电场中的圆周运动
解决电场中的圆周运动问题，关键是分析向心力的来源，指向圆心的力提供向心力，向心力的提供有可能是重力和电场力的合力，也有可能是单独的重力或电场力．有时可以把电场中的圆周运动等效为竖直面内的圆周运动，找出等效“最高点”和“最低点”．
例4 如图4所示，半径为r的绝缘细圆环的环面固定在水平面上，场强为E的匀强电场与环面平行．一电量为＋q、质量为m的小球穿在环上，可沿环做无摩擦的圆周运动，若小球经A点时，速度vA的方向恰与电场垂直，且圆环与小球间沿水平方向无力的作用，求：
图4
(1)速度vA的大小；
(2)小球运动到与A点对称的B点时，对环在水平方向的作用力的大小．
解析 (1)在A点，小球在水平方向只受电场力作用，根据牛顿第二定律得：qE＝m
所以小球在A点的速度vA＝ .
(2)在小球从A到B的过程中，根据动能定理，电场力做的正功等于小球动能的增加量，即
2qEr＝mv－mv
小球在B点时，根据牛顿第二定律，在水平方向有FB－qE＝m
解以上两式得小球在B点对环的水平作用力为：FB＝6qE.
答案 (1) (2)6qE
1.(带电粒子在电场中的直线运动)如图5所示，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相连．若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子( )
图5
A．所受重力与电场力平衡 B．电势能逐渐增加
C．动能逐渐增加 D．做匀变速直线运动
答案 BD
解析 对带电粒子受力分析如图所示，F合≠0，则A错．由图可知电场力与重力的合力方向与v0方向相反，F合对粒子做负功，其中mg不做功，Eq做负功，故粒子动能减少，电势能增加，B正确，C错误．F合恒定且F合与v0方向相反，粒子做匀减速直线运动，D项正确．
2.(带电粒子在电场中的类平抛运动)如图6所示，一电子沿x轴正方向射入电场，在电场中的运动轨迹为OCD，已知O＝A，电子过C、D两点时竖直方向的分速度为vCy和vDy；电子在OC段和OD段动能的变化量分别为ΔEk1和ΔEk2，则( )
图6
A．vCy∶vDy＝1∶2 B．vCy∶vDy＝1∶4
C．ΔEk1∶ΔEk2＝1∶3 D．ΔEk1∶ΔEk2＝1∶4
答案 AD
3．(带电粒子在交变电场中的运动)如图7甲所示，在间距足够大的平行金属板A、B之间有一电子，在A、B之间加上如图乙所示规律变化的电压，在t＝0时刻电子静止且A板电势比B板电势高，则( )
图7
A．电子在A、B两板间做往复运动
B．在足够长的时间内，电子一定会碰上A板
C．当t＝时，电子将回到出发点
D．当t＝时，电子的位移最大
答案 B
解析 粒子先向A板做半个周期的匀加速运动，接着做半个周期的匀减速运动，经历一个周期后速度为零，以后重复以上过程，运动方向不变，选B.
题组一 带电粒子在电场中的直线运动
1.图1为示波管中电子枪的原理示意图，示波管内被抽成真空．A为发射电子的阴极，K为接在高电势点的加速阳极，A、K间电压为U，电子离开阴极时的速度可以忽略，电子经加速后从K的小孔中射出时的速度大小为v.下面的说法中正确的是( )
图1
A．如果A、K间距离减半而电压仍为U，则电子离开K时的速度仍为v
B．如果A、K间距离减半而电压仍为U，则电子离开K时的速度变为v/2
C．如果A、K间距离不变而电压减半，则电子离开K时的速度变为v
D．如果A、K间距离不变而电压减半，则电子离开K时的速度变为v/2
答案 AC
2.如图2所示，M、N是真空中的两块平行金属板，质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0由小孔进入电场，当M、N间电压为U时，粒子恰好能到达N板，如果要使这个带电粒子到达M、N板间距的后返回，下列措施中能满足要求的是(不计带电粒子的重力)( )
图2
A．使初速度减为原来的
B．使M、N间电压加倍
C．使M、N间电压提高到原来的4倍
D．使初速度和M、N间电压都减为原来的
答案 BD
解析 由qE·l＝mv，
当v0变为v0时l变为；
因为qE＝q，
所以qE·l＝q·l＝mv，
通过分析知B、D选项正确．
题组二 带电粒子在电场中的类平抛运动
3.如图3所示，氕、氘、氚的原子核以初速度为零经同一电场加速后，又经同一匀强电场偏转，最后打在荧光屏上，那么( )
图3
A．经过加速电场的过程中，电场力对氚核做的功最多
B．经过偏转电场的过程中，电场力对三种核做的功一样多
C．三种原子核打在屏上的速度一样大
D．三种原子核都打在屏上同一位置处
答案 BD
解析 同一加速电场、同一偏转电场，三种原子核带电荷量相同，故在同一加速电场中电场力对它们做的功都相同，在同一偏转电场中电场力对它们做的功也相同，A错，B对；由于质量不同，所以三种原子核打在屏上的速度不同，C错；再根据偏转距离公式或偏转角公式y＝，tan α＝知，与带电粒子无关，D对．
4.如图4所示，质量相同的两个带电粒子P、Q以相同的速度沿垂直于电场方向射入两平行板间的匀强电场中，P从两极板正中央射入，Q从下极板边缘处射入，它们最后打在同一点(重力不计)，则从开始射入到打到上极板的过程中( )
图4
A．它们运动的时间tQ＞tP
B．它们运动的加速度aQ＜aP
C．它们所带的电荷量之比qP∶qQ＝1∶2
D．它们的动能增加量之比ΔEkP∶ΔEkQ＝1∶2
答案 C
解析 设两板距离为h，P、Q两粒子的初速度为v0，加速度分别为aP和aQ，粒子P到上极板的距离是，它们做类平抛运动的水平距离均为l.则对P，由l＝v0tP，＝aPt，得到aP＝；同理对Q，l＝v0tQ，h＝aQt，得到aQ＝.由此可见tP＝tQ，aQ＝2aP，而aP＝，aQ＝，所以qP∶qQ＝1∶2.由动能定理得，它们的动能增加量之比ΔEkP∶ΔEkQ＝maP∶maQh＝1∶4.综上所述，C项正确．
5.如图5所示，静止的电子在加速电压U1的作用下从O经P板的小孔射出，又垂直进入平行金属板间的电场，在偏转电压U2的作用下偏转一段距离．现使U1加倍，要想使电子射出电场的位置不发生变化，应该( )
图5
A．使U2变为原来的2倍 B．使U2变为原来的4倍
C．使U2变为原来的倍 D．使U2变为原来的1/2倍
答案 A
解析 电子加速有qU1＝mv
电子偏转有y＝·()2
联立解得y＝，显然选A.
6.如图6所示，带正电的粒子以一定的初速度v0沿两板的中线进入水平放置的平行金属板内，恰好沿下板的边缘飞出，已知板长为L，平行板间距离为d，板间电压为U，带电粒子的电荷量为q，粒子通过平行板的时间为t，则(不计粒子的重力)( )
图6
A．在前时间内，电场力对粒子做的功为
B．在后时间内，电场力对粒子做的功为
C．在粒子下落前和后的过程中，电场力做功之比为1∶2
D．在粒子下落前和后的过程中，电场力做功之比为1∶1
答案 BD
解析 粒子在电场中做类平抛运动的加速度为a＝＝，t时间内加速度方向上的位移y＝at2＝，前时间内加速度方向上的位移y1＝a＝，后时间内加速度方向上的位移y2＝y－y1＝d.由公式W＝Fl可知前、后、前、后电场力做的功分别为W1＝qU，W2＝qU，W3＝qU，W4＝qU.
题组三 带电粒子在电场中的圆周运动
7.两个共轴的半圆柱形电极间的缝隙中，存在一沿半径方向的电场，如图7所示．带正电的粒子流由电场区域的一端M射入电场，沿图中所示的半圆形轨道通过电场并从另一端N射出，由此可知( )
图7
A．若入射粒子的电荷量相等，则出射粒子的质量一定相等
B．若入射粒子的电荷量相等，则出射粒子的动能一定相等
C．若入射粒子的电荷量与质量之比相等，则出射粒子的速率一定相等
D．若入射粒子的电荷量与质量之比相等，则出射粒子的动能一定相等
答案 BC
解析 由题图可知，该粒子在电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力qE＝m得r＝，r、E为定值，若q相等则mv2一定相等；若相等，则速率v一定相等，故B、C正确．
8．如图8所示，内壁光滑的绝缘材料制成的圆轨道固定在倾角为θ＝37°的斜面上，与斜面的交点为A，直径AB垂直于斜面，直径CD和MN分别在水平和竖直方向上，它们处在水平向右的匀强电场中．质量为m、电荷量为q的小球(可视为点电荷)刚好能静止于圆轨道内的A点．现对该小球施加一沿圆环切线方向的瞬时速度，使其恰能绕圆环完成圆周运动．下列对该小球运动的分析中正确的是( )
图8
A．小球一定带负电
B．小球运动到B点时动能最小
C．小球运动到M点时动能最小
D．小球运动到D点时机械能最小
答案 ABD
解析 小球能静止于A点，说明小球在A点所受的合力为零，电场力一定与场强方向相反，小球带负电，A正确；小球所受的重力和电场力的合力F是不变的，方向沿AB直径方向由B指向A，小球从A运动到B的过程中F做负功，动能减小，所以小球运动到B点时动能最小，B正确，C错误；在圆环上，D点的电势最低，小球在D点的电势能最大，由能量守恒定律可得，小球运动到D点时机械能最小，D正确．
题组四 综合应用
9．如图9所示，一平行板长l＝4 cm，板间距离为d＝3 cm，倾斜放置，使板面与水平方向夹角α＝37°，若两板间所加电压U＝100 V，一带电荷量q＝3×10－10 C的负电荷以v0＝0.5 m/s的速度自A板左边缘水平进入电场，在电场中沿水平方向运动，并恰好从B板右边缘水平飞出，则带电粒子从电场中飞出时的速度为多少？带电粒子的质量为多少？(g取10 m/s2)
图9
答案 1 m/s 8×10－8 kg
解析 带电粒子能沿直线运动，所受合力与运动方向在同一直线上，由此可知重力不可忽略，受力分析如图所示．
电场力在竖直方向上的分力与重力等大反向，则带电粒子所受合力与电场力在水平方向上的分力相同，即水平方向上F合＝qEsin α＝qsin α
竖直方向上mg＝qEcos α
m＝＝＝3×10－10××0.8 kg＝8×10－8 kg
根据动能定理有mv2－mv＝F合s，s＝
联立以上各式解得v＝1 m/s.
10.如图10所示，长L＝0.20 m的丝线的一端拴一质量为m＝1.0×10－4 kg、带电荷量为q＝＋1.0×10－6 C的小球，另一端连在一水平轴O上，丝线拉着小球可在竖直平面内做圆周运动，整个装置处在竖直向上的匀强电场中，电场强度E＝2.0×103 N/C.现将小球拉到与轴O在同一水平面上的A点，然后无初速度地将小球释放，取g＝10 m/s2.求：
图10
(1)小球通过最高点B时速度的大小；
(2)小球通过最高点时，丝线对小球拉力的大小．
答案 (1)2 m/s (2)3.0×10－3 N
解析 (1)小球由A运动到B，其初速度为零，电场力对小球做正功，重力对小球做负功，丝线拉力不做功，则由动能定理有：qEL－mgL＝
vB＝ ＝2 m/s
(2)小球到达B点时，受重力mg、电场力qE和拉力TB作用，经计算
mg＝1.0×10－4×10 N＝1.0×10－3 N
qE＝1.0×10－6×2.0×103 N＝2.0×10－3 N
因为qE>mg，而qE方向竖直向上，mg方向竖直向下，小球做圆周运动，其到达B点时向心力的方向一定指向圆心，由此可以判断出TB的方向一定指向圆心，由牛顿第二定律有：TB＋mg－qE＝
TB＝＋qE－mg＝3.0×10－3 N
11．如图11甲所示为一间距为d、足够大的平行金属板，板间加有随时间变化的电压(如图乙所示)，设U0和T已知．A板上O处有一静止的带电粒子，其带电荷量为q，质量为m(不计重力)，在t＝0时刻起该带电粒子受板间电场加速向B板运动(粒子未与B板相碰)．
(1)当Ux＝2U0时，求带电粒子在t＝T时刻的动能．
(2)为使带电粒子在一个周期时间内能回到O点，Ux要大于多少？
甲
乙
图11
答案 (1) (2)3U0
解析 (1)Ux＝2U0时，由a1＝，a2＝和时的速度v1＝a1得，T时刻速度v2＝v1－a2＝a1－a2＝－，故T时刻的动能Ek＝mv＝.
(2)时刻的位移s＝a1()2，～T时刻的位移s′＝v1－ax()2，
v1＝a1，s＝－s′，联立解得ax＝3a1
因为a1＝，ax＝，所以Ux＝3U0.
学案9 章末总结
一、利用电场线和等势面解题
解决这类题目要画出它们(等量同种点电荷、等量异种点电荷、点电荷)周围电场线，结合等势面与电场线的关系，画出等势面；结合牛顿运动定律、电场力做功、电场强度与电场线和等势面的关系等解答．
例1 A、B在两个等量异种点电荷连线的中垂线上，且到连线上中点O的距离相等，如图1所示，则( )
图1
A．同一电荷在A、B两点的电势能相等
B．A、B两点的电场强度相同
C．把正电荷从A点沿直线移动到B点，电场力先减小后增大
D．A、B连线上的任意两点的电势差为零
解析 先画出等量异种点电荷周围的电场线，如图所示，由电场线的疏密程度知，EA＝EB，从O至A或至B电场强度逐渐减小，从A到B电场力先增大后减小，故B正确，C错误．中垂线是一条等势线，故φA＝φB，UAB＝0，同一电荷在A、B两点的电势能EpA＝EpB，A、D正确．
答案 ABD
二、电场中力和运动关系
带电的粒子在电场中受到电场力作用，还可能受到其他力的作用，如重力、弹力、摩擦力等，在诸多力的作用下物体所受合力可能不为零，做匀变速运动或变速运动；处理这类问题，首先对物体进行受力分析，再明确其运动状态，最后根据所受的合力和所处的状态，合理地选择牛顿第二定律、运动学公式、平抛运动知识、圆周运动知识等相应的规律解题．
例2 在真空中存在空间范围足够大、水平向右的匀强电场．若将一个质量为m、带正电电量为q的小球在此电场中由静止释放，小球将沿与竖直方向夹角为37°的直线运动．现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出，求运动过程中(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)小球受到的电场力的大小及方向；
(2)小球运动的抛出点至最高点之间的电势差U.
解析 (1)根据题设条件，电场力大小
F＝mgtan 37°＝mg
电场力的方向向右
(2)小球沿竖直方向做初速度为v0的匀减速运动，到最高点的时间为t，则：
vy＝v0－gt＝0 t＝
沿水平方向做初速度为0的匀加速运动，设加速度为a
a＝＝g
此过程小球沿电场方向位移为：s＝at2＝
小球上升到最高点的过程中，电场力做功为：W＝qU＝Fs＝mv
U＝
答案 见解析
三、电场中的功能关系
带电物体在电场中具有一定的电势能，同时还可能具有动能和重力势能等．因此涉及到电场有关的功和能的问题应优先考虑利用动能定理和能量守恒定律求解．
例3 空间某区域存在着电场，电场线在竖直面上的分布如图2所示，一个质量为m、电荷量为q的小球在该电场中运动，小球经过A点时的速度大小为v1，方向水平向右，运动至B点时的速度大小为v2，运动方向与水平方向之间夹角为α，A、B两点之间的高度差与水平距离均为H，则以下判断中正确的是( )
图2
A．小球由A点运动至B点，电场力做的功W＝mv－mv－mgH
B．A、B两点间的电势差U＝
C．带电小球由A运动到B的过程中，机械能一定增加
D．带电小球由A运动到B的过程中，电势能的变化量为mv－mv－mgH
解析 由动能定理知：A→B
W＋mgH＝mv－mv
所以W＝mv－mv－mgH
所以A正确．
因为U＝
所以UAB＝＝
所以B错误．
因为无法判断出电场力做功的正负，所以无法判断机械能的变化，故C错误．
由电场力做的功等于电势能的变化量可知D正确．
答案 AD
四、带电粒子在电场中的加速和偏转
画出运动轨迹，利用运动的合成与分解把曲线运动分解为直线运动，有时要特别注意末速度的分解，结合牛顿运动定律和动能定理等规律求解．
例4 如图3所示的真空管中，电子从灯丝K发出(初速度不计)，经过电压为U1的加速电场加速后沿中心线进入两平行金属板M、N间的匀强电场中，通过电场后打到荧光屏上的P点处．设M、N板间电压为U2，两板距离为d，板长为L1，板右端到荧光屏的距离为L2，已知U1＝576 V，U2＝168 V，L1＝6 cm，d＝3 cm，L2＝21 cm，求：
图3
(1)电子离开偏转电场时的偏转角θ的正切值；
(2)电子打到荧光屏上的位置P偏离屏中心O的距离．
解析 (1)带电粒子在电场中的运动轨迹如图所示，由动能定理可得：eU1＝mv，所以v0＝
又vy＝at＝
所以tan θ＝＝＝＝.
(2)电子从平行金属板射出时，可看作从平行金属板中点沿直线射出．即tan θ＝，所以＝tan θ＝×(21×10－2＋3×10－2) m＝7×10－2 m＝7 cm，所以电子打到荧光屏上的位置P偏离屏中心的距离为7 cm.
答案 (1) (2)7 cm
1.(电场中的功能关系)如图4所示，A、B、O、C为在同一竖直平面内的四点，其中A、B、O沿同一竖直线，B、C同在以O为圆心的圆周(用虚线表示)上，沿AC方向固定有一光滑绝缘细杆L，在O点固定放置一带负电的小球．现有两个质量和电荷量都相同的带正电小球a、b均可视为点电荷(a、b之间的静电力忽略不计)，先将a放在细杆上，让其从A点由静止开始沿杆下滑，后使b从A点由静止开始沿竖直方向下落，则下列说法中正确的是( )
图4
A．从A点到C点，小球a做匀加速运动
B．小球a在C点的动能等于小球b在B点的动能
C．从A点到C点，小球a的机械能先增加后减少，但机械能与电势能之和不变
D．小球a从A点到C点电场力做的功大于小球b从A点到B点电场力做的功
答案 C
解析 从A到C小球a受到的作用力是变力，故不可能做匀加速运动，A错；B和C在同一个等势面上，小球a和b在B和C点的电势能相等，故B、D错；电场力对小球a先做正功后做负功，故小球a的机械能先增加后减少，小球a只有重力和电场力做功，机械能和电势能之和不变，故C正确．
2．(电场中力和运动的关系)如图5甲所示，在平行金属板M、N间加有如图乙所示的电压．当t＝0时，一个电子从靠近N板处由静止开始运动，经1.0×10－3s到达两板正中间的P点，那么在3.0×10－3s这一时刻，电子所在的位置和速度大小为( )
图5
A．到达M板，速度为零
B．到达P点，速度为零
C．到达N板，速度为零
D．到达P点，速度不为零
答案 D
解析 在1.0×10－3s的时间里，电子做初速度为零的匀加速直线运动，当t＝1.0×10－3s时电子达到P点，之后板间电压反向，两极板间的电场强度大小不变，方向和原来相反，电子开始做匀减速直线运动，由于加速度的大小不变，当t＝2.0×10－3s时电子达到M板处，且速度减为零．随后电子将反向做匀加速运动，当t＝3.0×10－3s时电子又回到P点，且速度大小与第一次经过P点时相等，而方向相反．故正确选项为D.
3.(电场中力和运动的关系)在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线一端连着一个质量为m、电荷量为＋q的带电小球，另一端固定于O点．将小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速度释放，则小球沿圆弧做往复运动．已知小球摆到最低点的另一侧，此时线与竖直方向的最大夹角为θ(如图6)．求：
图6
(1)匀强电场的场强；
(2)小球经过最低点时细线对小球的拉力．
答案 见解析
解析 (1)设细线长为l，匀强电场的场强为E，因带电小球的电荷量为正，故匀强电场的场强的方向为水平向右．
从释放点到左侧最高点，由动能定理有WG＋WE＝ΔEk＝0，故mglcos θ＝qEl(1＋sin θ)
解得E＝
(2)设小球运动到最低点的速度为v，此时细线的拉力为T，由动能定理可得mgl－qEl＝mv2，由牛顿第二定律得T－mg＝m，联立解得T＝mg[3－]．
